Transcript Dérivation et intégration mumérique

Analyse Numérique
Problèmes Pratiques
Dérivation
Intégration
Introduction
f connue
sur un certain nb de points
ou analytiquement
besoin de connaître f'
sur ces points
sans faire le calcul analytique.
besoin de calculer l'intégrale
sans calculer la primitive
(quadrature)
Ph. Leray
Analyse Numérique
t b
 f ( t )dt
t a
1
Dérivation numérique
Méthode "naïve" : f x  
1/5
f x  h   f x 
h
en théorie, la formule est vraie pour h  0
en pratique, attention au choix de h !
h trop grand : calcul trop approximatif
h trop petit : problèmes d'arrondis
Ph. Leray
Analyse Numérique
2
Dérivation numérique
2/5
Méthode des différences centrales :
Taylor :
h2
h3
f x  
f x   ...
 f x  h   f x   hf x  
2!
3!
On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
h = xi+1 - xi
f(x+h) 
f(x-h) 
Ph. Leray
y i 1
h2
h3
 yi  hf xi  
f xi  
f xi   ...
2!
3!
yi 1
h2
h3
 yi  hf xi  
f xi  
f xi   ...
2!
3!
Analyse Numérique
3
Dérivation numérique
3/5
Méthode des différences centrales (suite) :
2h 3
f xi   ...
f(x+h) - f(x-h) yi 1  yi 1  2hf xi  
3!
y i  1  y i 1
3
en négligeant les termes en h : f  xi  
2h
meilleure approximation que la méthode "naïve" (h3/h2)
Ph. Leray
Analyse Numérique
4
Dérivation numérique
4/5
Méthode des différences centrales (suite) :
calcul des dérivées d'ordre supérieur :
f"(xi) ?
Ph. Leray
y i 1
h2
h3
 yi  hf xi  
f xi  
f xi   ...
2!
3!
yi 1
h2
h3
 yi  hf xi  
f xi  
f xi   ...
2!
3!
Analyse Numérique
5
Dérivation numérique
5/5
Méthode des différences centrales (fin) :
calcul des dérivées d'ordre supérieur :
2h 2
yi 1  yi 1  2 yi 
f xi   ...
2!
en négligeant les termes en h4 :
yi 1  2 yi  yi 1
f xi  
h2
et pour les autres dérivées ?
Ph. Leray
Analyse Numérique
6
Intégration numérique
Plusieurs méthodes :
a et b finis
1/
t b
I
 f ( t )dt
t a
On connaît f sur un ensemble de points {xi,yi}
polynôme d'interpolation sur n+1 points
Newton-Cotes
On connaît f sur autant de points que l'on veut
polynôme d'interpolation + choix de n+1 points
Gauss-Legendre
a ou b infini
Gauss-Laguerre, ...
Ph. Leray
Analyse Numérique
7
Intégration numérique
2/
Méthodes polynomiales
On connaît la fonction sur n+1 points
2 solutions :
calculer le polynôme d'interpolation de degré n : Pn(x)
calculer l'intégrale du polynôme de degré n
 problème = les polynômes de degré élevé oscillent énormément
regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points
(avec p+1 faible)
calculer les polynômes d'interpolation de degré p
sommer les intégrales de chaque sous-intervalle
Ph. Leray
Analyse Numérique
8
Intégration numérique
3/
Méthode des trapèzes : p+1=2 points
polynôme d'interpolation=droite
ba
 f a   f b 
2
n 1
xi 1  xi
 y i  y i 1 
I 
2
i 0
A =
 soit h = xi+1 - xi
yn 
 y0 n1
I  h   yi  
2 
 2 i 1
A
0
Ph. Leray
0.5
Analyse Numérique
1
1.5
2
2.5
3
9
Intégration numérique
4/
Méthode de Simpson: p+1=3 points
polynôme d'interpolation de degré 2
n2
h
I    y i  4 y i 1  y i  2 
i 0 3
i va de 0 à n-2
avec un pas de 2
A
0
Ph. Leray
0.5
Analyse Numérique
1
1.5
2
2.5
3
10
Intégration numérique
5/
Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points
polynôme d'interpolation de degré p: Pp(x)
txp
A
 P ( t )dt
p
t  x0
p
A   i y i
i 0
comment trouver
les i ?
A
0
Ph. Leray
0.5
Analyse Numérique
1
1.5
2
2.5
3
11
Intégration numérique
6/
Méthode générale Newton-Cotes: p+1 points
calcul des i = décomposition de l'intégrale dans
la base {1, t, … tp}
1
x
 0

 p
 x0
1
x1
x1p
1   0   0 
 x p   1   1 

   
  
p 
x p   p  v p 

txp
k 
k
t
 dt
A
t  x0
0
Ph. Leray
0.5
Analyse Numérique
1
1.5
2
2.5
3
12
Intégration numérique
7/
Exercice :
Utiliser la méthode de Newton-Cotes pour :
retrouver la méthode des trapèzes
retrouver la méthode de Simpson
trouver la méthode de Simpson "3/8" (p+1=4)
Ph. Leray
Analyse Numérique
13
Intégration numérique
8/
Quelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ?
Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :
[ (x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xp) ]
erreur d'interpolation :
f ( p 1 )  x 
ex  
 x 
 p  1!
erreur de quadrature : E 
E 
xp
xn
x0
x0
( p 1 )
 ex dx  
 x   x dx  f
   x  dx
x  p  1!
 p  1! x
xn
f
( p 1 )
0
E 
Ph. Leray
f ( p 1 )  x 
 x dx
 p  1!
xn
0
xn
M
 x  dx

 p  1! x0
M majorant de |f (p+1)|
Analyse Numérique
14
Intégration numérique
9/
Erreur de quadrature pour :
les trapèzes
h3
E 
f  
12
Simpson
h 5 4 
E 
f  
90
Ph. Leray
Analyse Numérique
15
Intégration numérique
10/
Méthodes polynomiales récursives :
ex pour la méthode des trapèzes
découpage récursif de la surface en trapèzes
I(0)
0
0.5
Ph. Leray
1
1.5
I(1)
2
2.5
3
Analyse Numérique
16
Intégration numérique
11/
Bornes infinies ?
Méthode de Gauss-Laguerre
Ph. Leray
Analyse Numérique
17
Intégration numérique
12/
Intégrales multiples ?
Ex avec la méthode de Simpson
en dimension 2 : zij = f(xi, yj)
A
x2 y 2
  f x , y dxdy
x0 y0
x2
k

k = yi+1 - yi
A     f  x , y0   4 f  x , y1   f  x , y 2 dx
3
h = xi+1 - xi

x0 
x

k  2
A
f x , y0 dx  4  f x , y1 dx   f x , y 2 dx


3  x0

hk
z00  z02  z 20  z 22  4z01  z10  z12  z 21   16 z11 
A
9
Ph. Leray
Analyse Numérique
18
Sujet de TD
Ph. Leray
Analyse Numérique
19
Conclusion
Ph. Leray
Analyse Numérique
20