Transcript x<=0

Ecuación de Schrödinger
Potenciales unidimensionales
Física 3 -2011 / Daniel Mirabella
Facultad de Ingeniería UNMDP
Ecuación de Schödinger dependiente del tiempo
p  h  k

De Broglie
E  
Energía de una partícula en 1D
2
P
E
 V ( x)
2m
Solución
Planck
 ( x, t )  expi(kx  t )
2
 k
 
 V ( x)
2m
i 
t
Ecuación de Schrödinger en 1D
2
2





i

 V ( x)
2
t
2m x
 ( x, t )
2
Función de onda compleja de variable real
que representa el estado de la ondícula
2

 
2
x 2
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Derivación
Si el potencial es independiente del tiempo
 
V x,t  V (x)

h2 2
ih

 V (x)
2
t
2m x
El lado izquierdo de la
ecuación sólo involucra
la variación Ψ con t.
Proponemos asi una solución donde x y t
son independientes
Sustituyendo:
El lado derecho sólo involucra la
variación de Ψ con x.
(x,t)   (x)T (t)
h2 2



 (x)T (t) 


(x)T
(t)
V
(x)

(x)T
(t)

ih

2 
2m x
t
2
2

d
 entonces,
Note que:


 (x)T (t)   T (t) 2
2 
x
dx
Esta ecuación es
h2 d 2
dT

T 2 V (x) T  ih
a derivadas totales
2m dx
dt
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Continuación
h2 d 2
dT

T 2 V (x) T  ih
2m dx
dt
Dividiendo ambos miembros por ψT
h2 1 d 2
1 dT

 V (x)  ih
2
2m  dx
T dt
(3)
Note que el lado izquierdo de la Ec(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t.
Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así,
1 dT
ih
A
T dt
h2 1 d 2

 V (x)  A
2
2m  dx
Esta ecuación depende sólo del
tiempo y da cuenta de la
evolución temporal.
Esta ecuación depende
sólo de x y determina la
dependencia espacial.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Evolución temporal
1 dT
ih
 A (4)
T dt
1 dT
ih
A
T dt
h2 1 d 2

 V (x)  A (5)
2m  dx 2
dT  iA 

T

dt  h 
T (t)  aeiAt /h
T (t)  ae
iEt /h
• Esto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema.
• Note que T(t) no depende explícitamente de V(x). Sí depende implícitamente dado
que el potencial, como muestra (3), determina los valores posible de E.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Derivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Usando que A = E en la Ec(5):
h2 d 2

 V (x)  E
2
2m dx
 P2


V
(
x
)

  E
 2m

H  E
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT)
La solución de la Ecuación
de Schrödinger dependiente
del tiempo se escribe como:
(x,t)   (x)T(t)   (x)eiEt / h
 
 
2
Note que la densidad de P x,t   x,t   * (x)e iEt /h (x)e iEt /h
probabilidad no depende
2
*
  (x) (x)   (x)
del tiempo
Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Soluciones de la ESIT en potenciales constantes por partes
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
h2 d 2

 V (x)  E
2
2m dx
(6)
Puede ser reescrita como
 k  0
''
2
(6)
donde k 
2m
[E  V(x)]
h
Notemos que (6)es una ecuación diferencial de 2do orden. Para el caso en que V(x) sea
constante podemos usar la función de prueba =exp(-ax) y así hallar su polinomio
característico
2
2
siendo las raices características
Encontramos que (6) tiene dos posibles soluciones según sus raices caracteristicas
sean reales o imaginarias
a  k  0
a  ik
 (x)  Aexp(ikx)  Bexp(ikx)
 (x)  C exp( x)  D exp( x)
k
2m
[E  V ]; E  V
h

2m
[V  E];V  E
h
(7)
Note que estas soluciones son la prolongación analítica una de la otra para k=+/- i
Movimiento de una partícula clásica en un potencial 1D
Zonas clásicamente permitidas y prohibidas en un potencial de forma arbitraria
E= Ec + Ep =P2/2m +V(x)
V(x)
E
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X
Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0
Notemos que una partícula clásica en este caso se encuentra confinada a moverse entre
los puntos de retorno xi sólo en la regiones donde E>=V(x), esto es donde tiene Ec>=0.
Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x)
No existen soluciones para las regiones donde V(x) >E, por lo tanto son inaccesibles
Note que para que la partícula pase de la región [x1,x2] a la [x3,x4] debe ganar una
energía extra mayor a Vmax[x2,x3] - E
Ondícula en un potencial 1D
Escribimos las soluciones de la ESIT para un potencial constante por partes
Debemos escribir la ESIT para cada zona
V(x)
ZCP
d 2 1
2m
V j  E  1

2
2
dx

ZCP
E
ZCX
ZCX
ZCX
x
d 2 j
dx2

2m
V j  E  j
2

 j ( x)  Aj exp(ik j x)  B j exp(ik j x)  l ( x)  Cl exp(l x)  Dl exp(l x)
Solución general para cada ZCP
dónde
kj 
2m
[E V j ]
2

Notemos que la solución de la
ESIT(6) para las ZCP (k >=0), se
escriben como una combinación
lineal de exponenciales imaginarias
Solución general para cada ZCX
2m
[Vl  E ]
2

SORPRESA!! Existe solución de la ESIT(6)
para las ZCX. Estas presentan valores de k
imaginarios y se escriben como una
combinación lineal de exponenciales reales
dónde
l 
Interpretando las soluciones de la ESIT para las ZCP
Flujos
Solución general para cada ZCP
V(x)
 j (x)  Aj exp(ik j x)  Bj exp(ik j x)
ZCP
ZCP
ZCX
ZCX
E
dónde
ZCX
kj 
2m
[E  Vj ]
2
h
x
Recordemos que de la ESDT
pudimos derivar la conservación
del flujo de probabilidad.
  J   
t
*


dónde  | ( x, t ) |2 y J   ih   *     
2m 
x
Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que
i
 ( x, t )   ( x) exp(  Et ) Por lo tanto | ( x, t ) |2 | ( x) |2 y   J  0

Esto es, el flujo de partículas se conserva para todo x.
Así podemos calcular le expresión para el flujo para la ZCPl y obtenemos


hkl
hkl
hkl
2
2
2
jl 
| Al |  | Bl | 
| Al | 
| Bl |2  jlder  jlizq
m
m
m
x 
Condiciones de continuidad de la función de onda en las
discontinuidades de potencial
2m
  2 (E  V )
h
 k  0
''
''
2
Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia (E-V) . De
modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos:
'
 ''
 ' ' ( x0 )
 ' ' ( x0 )
 ' ( x0 )

 ' ( x0 )
 continua
’’ discontinua de 1er orden
 ' ' (x )
’ continua
 ' ' (x )

0

0
 ''(x0 )
 ''(x0 )
’’ discontinua de 2do orden
’ discontinua de 1er orden
 ' ( x0 )
 ' ( x0 )
 continua
Escalón de Potencial
Aplicaciones de la ESIT
V(x)
Modelo
E
ZCP
ZCP
V=V0
X=0
Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la ESIT
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial
Ubicar los puntos de discontinuidad. Enumerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como
discontinuidades +1. Tendremos así tantas ESIT y soluciones como zonas hayamos contado.
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona
Vemos como es la energia E respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de
una ZCP(E>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o
una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales].
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad
Evaluamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de
discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente.
x
Escalón de Potencial
Cálculo para E>V0
P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?
R:Que las partículas experimenten un cambio en la Ec (y por lo tanto en
su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a
derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario.
V(x)
E
ZCP
ZCP
V=V0
Veamos ahora que ocurre con las ondículas
Siguimos el procedimiento que propusimos anteriormente
X=0
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial
En este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que
enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona
Como E es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT
corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las
2
ondículas en la zona 1 y 2 son distintas Eci  P2 2m  2ki 2m
 1 ( x)  A exp(ik1 x)  B exp(ik1 x)
 2 ( x)  C exp(ik2 x)  D exp(ik2 x)
2m
E
2

2m
donde x  0, k 2 
( E  V0 )
2

donde
x  0, k1 
x
Escalón de Potencial
V(x)
ZCP
Cálculo para E>V0 (Continuación)
E
ZCP
V=V0
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad
X=0
Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función
es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la
derivada 1era es continua.
 1 (0)   2 (0)
y
 '1 (0)   '2 (0)
Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene
A B  C  D
y
ik1 ( A  B)  ik2 (C  D)
El análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que
aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de
la izquierda en esta caso (k1 m) | A |2 representa en flujo de incidente. En este caso
no tiene sentido físico el flujo (k2 m) | D. |2 Por lo tanto podemos reescribir las CC.
2k1 A  (k1  k2 )C
(k1  k2 ) A  (k1  k2 ) B
x
Escalón de Potencial
Cálculo para E>V0 (Continuación 2)
V(x)
Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que
J1 (0)  J 2 (0)
E
A
C
B
V=V0
(k1 m) | A |2 (k1 m) | B |2  (k2 m) | C |2
Ondículas
incidentes
Ondículas
reflejadas
Ondículas
Transmitidas
X=0
Sorpresa!!.
No teniamos esto en el caso clásico
J incidente  J reflejado  JTransmitid o
Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene
1
J reflejado
J incidente
J trasmitido
| B |2 k2 | C |2

;1 

;1  R  T
2
2
J incidente
| A|
k1 | A |
Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como
coeficiente de transmision. R+T=1 expresa la conservación del flujo de probabilidad.
x
Escalón de Potencial
Cálculo del coeficiente de reflexión y transmisión
V(x)
E
Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión
A
C
4 E(E V0 )
k2 | C |
4k1k2
T
2 
2 
k1 | A |
(k2  k1)
( E V0  E )2
B
V=V0
2
Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si E>>V0
X=0
2
| B |2 (k 2  k1 ) 2 ( E  V0  E )
R


2
2
| A|
(k 2  k1 )
( E  V0  E ) 2
MUY INTERESANTE: Note que tanto R(E) como T(E) no dependen ni de m (la masa de la
partícula) ni de h la constante de Planck. Es decir que este resultado debería ser aplicable a
un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!!
Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones.
CURIOSIDAD: Note que tanto R(E) como T(E) son simétricos frente ante un cambio de x -> -x,
esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto
al subir como al bajar el escalón.
x
Escalón de Potencial
Cálculo para E<V0
P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas?
R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda.
x=0 es un punto de retorno clásico
V(x)
ZCX
ZCP
V=V0
Veamos ahora que ocurre con las ondículas
E
Siguimos el procedimiento que efectuado anteriormente
X=0
1 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial
En este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que
enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT.
2 Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona
E es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una ZCP. La solución de la ESIT es
una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). En el caso de la zona 2 E<V (ZCX)
La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales reales.
 1 ( x)  A exp(ik1 x)  B exp(ik1 x)
 2 ( x)  C exp(x)  D exp(x)
donde
donde
2m
E
2

2m
x  0,  
(V0  E )
2

x  0, k1 
x
Escalón de Potencial
V(x)
ZCP
Cálculo para E>V0 (Continuación)
ZCX
V=V0
 2 ( x)  C exp(x)  D exp(x)
E
Notemos que |2 (x) |2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0 y se X=0
debe cumplir que

C=0
2
debe ser finita, entonces  2 ( x)  C exp(x)  D exp(x)
2
0
 |
( x) | dx
3 Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad
Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función
es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la
derivada 1era es continua y la función
 1 (0)   2 (0)
y
 '1 (0)   '2 (0)
Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene
A B  D
y
ik1 ( A  B)  D
En este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda.
Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente (k1 m) | A |2 que representa el
flujo incidente.
x
Escalón de Potencial (E<V)
Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión
V(x)
Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que
J1 (0)  J 2 (0) J1  (k1 m) | A |2 (k1 m) | B |2
*
i  *  2
 2 
 2
 Dado que 2 es real J2=0
J2  
 2

2m 
x
x 
Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión
T
J2
0
J1
Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0
| B |2 | ik1   |2

1
 R 
2
2
| A|
| ik1   |
A
B
V=V0
E
X=0
x
Escalón de Potencial (E<V)
Interpretando la solución en la ZCX
 2 ( x, t ) 2* ( x, t )  D* D exp(2x)  D*D(exp(1))2
Longitud de penetración
para
2m
x  1 /   h /
(V0  E)
2
h
De las desigualdades de Heisenberg
 E  E ; Vo
Una ondícula en el Escalón de Potencial (E<V)
Reflexión de la ondícula.