Transcript poliedro - Escola Omega

Capítulo
23
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Poliedros
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
Superfície poliédrica fechada
Uma superfície poliédrica fechada é composta de um
número finito (quatro ou mais) de superfícies poligonais
planas, de modo que cada lado de uma dessas superfícies
coincida com apenas um lado de alguma das outras
superfícies.
É uma superfície poliédrica fechada.
Não é uma superfície poliédrica
fechada.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.1
Poliedro
É chamado de poliedro o sólido geométrico formado
pela reunião de uma superfície poliédrica fechada com
todos os pontos do espaço delimitados por ela.
Exemplos
a)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
b)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
c)
1.5
23.2
Elementos de um poliedro
face
aresta
vértice
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.3
Nomenclatura de um poliedro
Poli edro
“várias” “face”
 Um poliedro costuma ser nomeado de acordo com seu
número de faces.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.4
Nomenclatura de um poliedro
Exemplos
6 faces
a) hexaedro
8 vértices
12 arestas
14 faces
b) tetradecaedro
16 vértices
28 arestas
12 faces
c) dodecaedro
20 vértices
30 arestas
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.4
Nomes de poliedros estudados
com maior frequência
Número
de faces
Nome do tetraedro
poliedro
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
5
6
7
pentaedro
hexaedro
heptaedro
4
Número
de faces
8
12
20
Nome do
poliedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.4
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Se cada plano que contém uma face de um poliedro
posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço,
então o poliedro é convexo; caso contrário, é não
convexo (ou côncavo).
Observação:
Um plano  divide o espaço em dois semiespaços de mesma
origem .
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.5
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Exemplos
Poliedros convexos
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
Poliedros não convexos
1.5
23.5
Relação de Euler
V+F–2=A
número de
vértices
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
número de
faces
1.5
23.6
número de
arestas
Relação de Euler
Observe que a relação de Euler é válida para os
poliedros abaixo.
Poliedro
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
V
F
A
V+F
V+F−2
8
6
12
14
12
6
6
10
12
10
6
5
9
11
9
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.6
Relação de Euler
Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem
sempre um poliedro que satisfaz essa relação é convexo.
Observe:
V = 24
F = 14
24 + 14 – 2 = 36
A = 36
não convexo
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.6
Exercício resolvido
R1. Obter o número de arestas de um poliedro convexo que
tem 6 faces e 8 vértices.
Resolução
Como a relação de Euler é válida para todos os poliedros
convexos, temos:
V + F – 2 = A  A = 8 + 6 – 2  A = 12
Portanto, esse poliedro convexo tem 12 arestas.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.7
Exercício resolvido
R2. Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces
triangulares e 5 faces quadradas?
Resolução
Número de faces do poliedro: 4 + 5 = 9.
As 4 faces triangulares têm 12 lados (4  3) e as 5 faces
quadradas têm 20 lados (5  4). Então, o número de arestas é
dado por: (12 + 20) : 2 = 16, pois a ligação de duas faces
consecutivas se dá sempre por uma única aresta. Assim, o
poliedro tem 16 arestas e 9 faces. Logo:
V + 9 – 2 = 16  V = 9
Portanto, esse poliedro tem 9 vértices.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.8
Exercício resolvido
R3. Um poliedro euleriano (que atende à relação de Euler) de
7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e
2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas
e quantas faces tem esse poliedro?
Resolução
 5 vértices com 4 arestas: (5
 4) arestas = 20 arestas
 2 vértices com 5 arestas: (2
 5) arestas = 10 arestas
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.9
Exercício resolvido
R3.
Resolução
Como cada aresta foi contada duas vezes (uma vez em cada
vértice), temos:
A = 20 + 10 = 15
2
Pela relação de Euler, obtemos:
V + F = A + 2  7 + F = 15 + 2  F = 10
Logo, o poliedro tem 15 arestas e 10 faces.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.9
Poliedros de Platão
Um poliedro é chamado de poliedro de Platão se,
e somente se:
 é convexo e, portanto, satisfaz a relação de Euler;
 todas as faces têm o mesmo número inteiro n de arestas;
 em todos os vértices concorre o mesmo número inteiro m
de arestas.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.10
Poliedros de Platão
Exemplo
Esse poliedro é de Platão, pois:
a)
 todas as faces têm 4 arestas;
 em todos os vértices concorrem
3 arestas;
 ele é convexo, portanto a relação
de Euler é válida (8 + 6 – 2 = 12).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.10
Poliedros de Platão
Exemplo
b)
Esse poliedro não é de Platão, pois,
embora seja convexo e em todos os
vértices concorra o mesmo número
de arestas, nem todas as faces têm
o mesmo número de arestas. Há
faces quadrangulares, pentagonais
e uma triangular.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.10
As cinco classes de poliedros de Platão
Classe
Característica
4 faces triangulares, e em
Tetraedro
cada vértice concorrem
3 arestas
6 faces quadrangulares,
Hexaedro
e em cada vértice
concorrem 3 arestas
8 faces triangulares, e em
Octaedro
cada vértice concorrem
4 arestas
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.11
Exemplo
As cinco classes de poliedros de Platão
Classe
Característica
12 faces pentagonais, e em
Dodecaedro
cada vértice concorrem
3 arestas
20 faces triangulares, e em
Icosaedro
cada vértice concorrem 5
arestas
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.11
Exemplo
Poliedros regulares
Os poliedros regulares têm todas as faces poligonais
regulares e congruentes entre si.
Observações:
 Uma superfície poligonal plana é regular se o polígono que
a compõe é regular;
 Um polígono é regular se tem todos os lados de mesma
medida e todos os ângulos internos congruentes.
pentágono
regular
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.12
Poliedros regulares
Veja a seguir os cinco poliedros regulares.
tetraedro
regular
hexaedro
regular (cubo)
dodecaedro
regular
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
octaedro
regular
icosaedro
regular
1.5
23.12
Planificação da superfície de um poliedro
A superfície de um poliedro, que é formada por superfícies
poligonais planas, pode ser projetada sobre um plano, de tal
modo que cada uma das faces do poliedro tenha pelo menos
um lado em comum com outra face.
Obtemos, assim, uma figura plana, que costuma ser chamada
de molde do poliedro, planificação da superfície do
poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro.
As faces de um poliedro podem ser arranjadas de vários
modos, desde que cada face esteja ligada a outra por pelo
menos um de seus lados.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.13
Planificação da superfície de um poliedro
Exemplo
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.13
Exercício resolvido
R4. Para o caso do cubo, há 11 diferentes planificações.
Duas delas estão representadas abaixo; desenhar as
outras 9 planificações.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.14
Exercício resolvido
R4.
Resolução
A resolução fica facilitada se usarmos uma malha quadriculada.
Estas são as outras possibilidades:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.14
Exercício resolvido
R5. Desenhar duas planificações diferentes da superfície do
tetraedro regular.
Resolução
ou
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.15
Exercício resolvido
R6. Na planificação da superfície
de um cubo, foi assinalado
um ponto A. Marcar nessa
planificação o ponto que
coincidirá com A depois de
o cubo ser montado.
Resolução
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.16
Exercício resolvido
R7. Qual é o número de vértices
do sólido obtido ao dobrarmos
convenientemente as linhas
tracejadas da figura ao lado?
Resolução
O sólido obtido é um heptaedro, logo o número de faces é 7.
Como há 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais, o
número de arestas é: A = 5  4 + 2  5 = 15
2
Como vale a relação de Euler, temos:
V = 15 – 7 + 2 ou V = 10
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.17
Prismas
Vamos considerar dois
planos paralelos,  e , uma
região poligonal P contida
em  e uma reta r que
intercepta os planos  e .
Chama-se prisma o poliedro formado por todos os
segmentos de reta paralelos a r tais que uma de suas
extremidades é um ponto da região P e a outra
extremidade é um ponto no plano .
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.18
Prismas
Exemplos
a)
b)
c)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.18
Elementos de um prisma
Considerando o prisma ao lado, temos:
 bases: são as regiões poligonais
P e P', congruentes e situadas
em planos paralelos ( e ,
respectivamente);
 faces laterais: as regiões poligonais AA’BB’, BB’CC’ etc.;
 arestas das bases: os segmentos AB, BC, ..., A’B’, B’C’ etc.;
 arestas laterais: os segmentos AA’, BB’, CC’ etc.;
 altura do prisma: a distância h entre os planos das
bases ( e ).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.19
Classificação dos prismas
1o critério
Consideramos a inclinação da reta r em relação aos planos
 e  que contêm as bases:
 se a reta r é
 se a reta r não é
perpendicular aos planos
perpendicular aos planos
e
e
prisma reto
faces laterais
são retângulos
faces laterais
são paralelogramos
prisma reto
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
prisma oblíquo
prisma oblíquo
1.5
23.20
Classificação dos prismas
2o critério
Consideramos o polígono que determina as bases:
 se esse polígono é um triângulo
prisma triangular
 se é um pentágono
prisma pentagonal,
e assim por diante.
 se é um quadrilátero
prisma quadrangular
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.20
Prisma regular
Um prisma é regular se, e somente se, é reto e suas
bases são superfícies poligonais regulares.
Exemplos
Este prisma é regular,
pois ele é reto e as suas
bases são quadradas.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
Este prisma não é regular,
pois as suas bases não são
polígonos regulares.
1.5
23.21
Paralelepípedo
Entre os prismas quadrangulares, aqueles que têm bases em
forma de paralelogramos são chamados de paralelepípedos.
Esses prismas podem ser retos ou oblíquos.
Exemplos
Paralelepípedo
oblíquo
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
Paralelepípedo
reto-retângulo ou
bloco retangular
1.5
23.22
cubo
Medida da diagonal de um
paralelepípedo reto-retângulo
Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujas extremidades são vértices desse paralelepípedo
que não pertencem a uma mesma face.
d=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.23
Medida da diagonal de um
paralelepípedo reto-retângulo
d=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.23
Exercício resolvido
R8. Calcule a medida da diagonal
do paralelepípedo ao lado.
Resolução
Sabemos que: d =
Substituindo a, b e c, respectivamente, por 3, 4 e 5, temos:
d=
=
=

d=
Logo, a diagonal mede
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
cm.
1.5
23.24
Exercício resolvido
R9. Calcule a medida da aresta de um cubo cuja diagonal
excede em
cm a diagonal da base.
Resolução
Sendo d a medida da diagonal do cubo e
f a medida da diagonal da base, temos, pelos
dados do problema:
d=f+
⇒d–f=
Também temos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.25
Exercício resolvido
R9.
Resolução
Por se tratar de um cubo, sabemos que: d =
Assim: d – f =
Portanto:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
=
cm
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.25
Representações planas de prismas
Observe, a seguir, a planificação da superfície de um prisma.
Por meio dela, identificamos muitas características desse
prisma. Veja:
 tem 7 faces, já que a planificação de sua superfície apresenta
7 regiões poligonais;
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.26
Representações planas de prismas
 tem bases pentagonais, pois faces pentagonais não podem
ser faces laterais de um prisma, que devem ser
necessariamente quadriláteros;
 tem 5 faces laterais (ou faces retangulares), já que as
pentagonais são bases;
 tem 10 vértices, uma vez que cada base contém metade dos
vértices do prisma;
 é um prisma reto, pois suas faces laterais são retangulares;
 tem altura igual ao comprimento de uma aresta lateral, já
que é reto.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.26
Área da superfície de um prisma
Área da base (Abase): área da face que é base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais;
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das
duas bases, ou seja:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.27
Exercício resolvido
R10. Calcular a área total da superfície
de um paralelepípedo reto-retângulo
de dimensões a, b e c (medidas
dadas em uma mesma unidade).
Resolução
Nesse caso, quaisquer pares de faces paralelas podem ser as
bases do prisma. Assim, a área total é a soma das áreas de
seis retângulos congruentes dois a dois:
Atotal = 2ab + 2ac + 2bc ⇒ Atotal = 2(ab + ac + bc)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.28
Exercício resolvido
R11. Calcular a área total da superfície de um cubo
de aresta a.
Resolução
Como o cubo é um paralelepípedo
reto-retângulo de arestas congruentes, temos:
Atotal = 2(a a + a a + a a)
Atotal = 6a2
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.29
Exercício resolvido
R12. Calcular a área total da superfície do prisma hexagonal
regular abaixo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.30
Exercício resolvido
R12.
Resolução
Como vimos, um prisma regular é um prisma reto e, portanto,
suas faces laterais são retangulares e congruentes, de
dimensões a e h.
Assim, a área lateral é dada por: Alateral = 6 ⋅ a ⋅ h
A base do prisma é uma região hexagonal regular de lado a.
Sabemos que um hexágono regular pode ser decomposto em
seis triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero
de lado ℓ é dada por: A =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.30
Exercício resolvido
R12.
Resolução
Assim, a área de um hexágono regular de lado ℓ é:
A=
Portanto, a área da base do prisma é dada por:
Abase =
Logo, a área total da superfície desse prisma hexagonal é:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 6ah + 2 ⋅
⇒ Atotal = 3a(2h + a
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.30
Exercício resolvido
R13. Determinar a área total da superfície de um prisma
triangular reto, de altura 12 cm, sabendo que as
arestas da base formam um triângulo retângulo de
catetos que medem 6 cm e 8 cm.
Resolução
O prisma tem base triangular. Assim:
Abase =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
= 24
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.31
Exercício resolvido
R13.
Resolução
A área lateral é dada pela soma das áreas das faces
retangulares que compõem a superfície lateral. Calculando a
medida da hipotenusa do triângulo retângulo da base, temos:
x2 = 62 + 82 ⇒ x = 10
Portanto: Alateral = 6 ⋅ 12 + 8 ⋅ 12 + 10 ⋅ 12 = 288
Logo, a área total é dada por:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
Atotal = 288 + 2 ⋅ 24 = 336
Portanto, a área total da superfície do prisma é de 336 cm2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.31
Exercício resolvido
R14. Determinar a área total da superfície
do prisma oblíquo de base quadrada
representado ao lado, sabendo que
as faces laterais são congruentes.
Resolução
O prisma tem base quadrada. Assim:
Abase = 102 ⇒ Abase = 100
Para calcular a área de uma das faces laterais, vamos obter
a altura h.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.32
Exercício resolvido
R14.
Resolução
sen 60º =
Assim:
Alateral = 4 ⋅ (10 ⋅ 15
) = 600
área do paralelogramo
Logo:
Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase
Atotal = 600
+ 2 ⋅ 100
Atotal = 200 (1 + 3
)
Portanto, a área total da superfície do prisma é 200 (1 + 3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.32
)cm2.
Volume de um prisma
O volume de um prisma corresponde a um único
número real V positivo obtido pela comparação da
porção do espaço ocupado pelo prisma com a porção do
espaço ocupado por uma unidade de medida de volume.
 A unidade de medida de volume que usualmente
consideramos é o volume de um cubo unitário (aresta 1 u),
sendo u certa unidade de comprimento. O volume desse cubo
unitário é 1 u3.
 Se a aresta do cubo unitário mede 1 m  V = 1 m3
 Se a aresta do cubo unitário mede 1 mm  V = 1 mm3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.33
Volume de um prisma
Exemplo
Vamos calcular quantas vezes o cubo unitário de aresta 1 cm cabe em
um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 4 cm, 2 cm e 3 cm.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.34
Volume de um prisma
Exemplo
Analisando a figura, observamos que o paralelepípedo é formado
por 4 ⋅ 2 = 8 cubos unitários na base e tem 3 camadas iguais à
camada da base.
Logo, tem 3 ⋅ 8 = 24 cubos unitários no total.
Portanto, o paralelepípedo é formado por 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 cubos de
1 cm3 de volume. Dizemos, então, que o volume dele é 24 cm3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.34
Volume de um paralelepípedo
reto-retângulo
Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c
Vcubo = a3
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.35
Secção transversal de um prisma
Um plano intercepta um sólido através de uma superfície
chamada de secção plana. Quando a secção plana é paralela
à base do prisma, ela é denominada secção transversal.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.36
Princípio de Cavalieri
Dois sólidos, S1 e S2, apoiados num plano  e contidos
num mesmo semiespaço, terão o mesmo volume V
se todo plano , paralelo a , secciona os dois sólidos
de modo que as secções sejam regiões planas de
mesma área (A).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.37
Princípio de Cavalieri
Exemplo
Sobre uma mesa, formamos uma pilha com certa quantidade de
cartões retangulares idênticos. A seguir, modificamos a forma da pilha
sem retirar nem pôr cartão algum. Veja a ilustração de uma possível
situação desse tipo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.37
Princípio de Cavalieri
Exemplo
Observando as pilhas, é possível notar que:
 a altura das duas pilhas é a mesma, pois têm a mesma quantidade
de cartões idênticos;
 os cartões das duas pilhas ficam à mesma altura da mesa e têm
a mesma área, pois são idênticos;
 a segunda pilha tem o mesmo volume da primeira, já que é formada
pelos mesmos cartões e, portanto, ocupa a mesma porção
do espaço.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.37
Volume de um prisma qualquer
Vprisma = área da base x altura
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.38
Exercício resolvido
R15. Deseja-se cimentar um quintal de formato quadrado,
com lados medindo 8 m, com 4 cm de espessura de
massa de cimento. Qual é o volume necessário de
massa para revestir essa área?
Resolução
A camada de cimento terá a forma de um paralelepípedo
reto-retângulo de base quadrada, com 8 m de aresta e altura
de 4 cm. Como a espessura do revestimento é de 4 cm ou
0,04 m, o volume de massa é dado por: V = 8 ⋅ 8 ⋅ 0,04 
V = 64 ⋅ 0,04 V = 2,56
Logo, são necessários 2,56 m3 de massa para o revestimento.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.39
Exercício resolvido
R16. Calcular o volume de ar contido em uma casa que tem
a forma do prisma a seguir.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.40
Exercício resolvido
R16.
Resolução
Vamos decompor a figura da casa em dois prismas.
1.) Prisma reto-retângulo
V1 = Abase ⋅ altura
V1 = 4 ⋅ 5 ⋅ 3
V1 = 60
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.40
Exercício resolvido
R16.
Resolução
2.) Prisma reto de base triangular
V2 = Abase ⋅ altura
V2 =
⋅5
V2 = 10
Logo, o volume total de ar contido na casa é dado por
V1 + V2, ou seja, 70 m3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.40
Exercício resolvido
R17. Um reservatório de água tem a forma do
prisma hexagonal regular da figura ao lado
e está cheio. Se forem consumidos 3.000
litros, quanto baixará, em metro, o nível da
água desse reservatório?
Resolução
Vamos representar por x, em metro, quanto baixará o
nível da água no reservatório, se forem consumidos os litros
indicados. Os 3.000
litros consumidos ocupam o volume de
um prisma hexagonal regular de mesma base do prisma da
figura e altura de x metro.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.41
Exercício resolvido
R17.
Resolução
A base do prisma é uma região hexagonal
regular de lado 2 m, cuja área é dada por:
Abase =
Abase =
Abase = 6
Com esse dado, podemos calcular o volume da parte do prisma
correspondente aos 3.000
V = Abase ⋅ x = 6
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
litros:
⋅x
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.41
Exercício resolvido
R17.
Resolução
Como 3.000
6
⋅x=3
litros = 3
m3, temos:
⇒ x = 0,5
Portanto, o nível da água baixará 0,5 metro.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.41
Pirâmides
Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S
contida em  e um ponto V fora de .
Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os
segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V
e um ponto da região S.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.42
Elementos de uma pirâmide
Considerando a pirâmide desenhada
ao lado, temos:
 base: a região poligonal S;
 vértice da pirâmide: o ponto V;
 faces laterais: as superfícies
triangulares AVB, BVC, ..., NVA;
 arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;
 arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;
 altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e
o plano .
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.43
Classificação das pirâmides
Consideramos o número de arestas da base:
 se a base tem 3 arestas
pirâmide triangular
 se a base tem 4 arestas
pirâmide quadrangular
 se a base tem 5 arestas
pirâmide pentagonal,
e assim por diante.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.44
Representações planas de pirâmides
Até aqui, representamos pirâmides em perspectiva, como
a ilustrada abaixo.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.45
Representações planas de pirâmides
Como os demais poliedros, uma pirâmide também pode ser
representada por meio de planificações de sua superfície. Em
um plano, é possível justapor as faces de uma pirâmide de
diferentes modos, desde que cada uma das faces tenha pelo
menos uma aresta em comum com outra. Observe:
ou
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.45
Pirâmide regular
Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal
regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o
plano da base coincide com o centro O do polígono de
base é chamada de pirâmide regular.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.46
Pirâmide regular
Observações:
 O centro de um polígono regular coincide com o centro da
circunferência circunscrita a esse polígono.
 As faces de uma pirâmide regular são determinadas por
triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo
desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.46
Elementos das pirâmides regulares
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.47
Relações métricas entre os elementos
de uma pirâmide regular
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.48
Relações métricas entre os elementos
de uma pirâmide regular
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.48
Relação entre as medidas da aresta da
base e as do apótema da base de
algumas pirâmides regulares
Base
Figura
Triângulo
equilátero
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
Relação
ou
1.5
23.49
Relação entre as medidas da aresta da
base e as do apótema da base de
algumas pirâmides regulares
Base
Figura
ou
Quadrado
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
Relação
1.5
23.49
Relação entre as medidas da aresta da
base e as do apótema da base de
algumas pirâmides regulares
Base
Figura
Hexágono
regular
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
Relação
ou
1.5
23.49
Exercício resolvido
R18. Um tetraedro regular tem arestas
medindo 10 cm. Calcular a medida
do apótema da pirâmide (g),
a medida do apótema da base (m)
e a altura da pirâmide (h).
Resolução
No ΔDMA, temos:
Como a base é uma superfície triângular equilátera, vem:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.50
Exercício resolvido
R18.
Resolução
Agora, no ΔDMO, temos:
Portanto, as medidas são:
cm,
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
cm e
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
cm
1.5
23.50
Área da superfície de uma pirâmide
Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma
a base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais
(superfícies triangulares);
Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base,
ou seja:
Atotal = Alateral + Abase
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.51
Área da superfície de uma pirâmide
Observação:
Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em
função da medida ℓ da aresta, será dada por:
Atotal =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.51
Exercício resolvido
R19. Determinar a área da superfície de
uma pirâmide regular hexagonal
sabendo que a aresta da base mede ℓ
e a aresta lateral mede a.
Resolução
A base da pirâmide é uma superfície hexagonal
regular de lado ℓ. Portanto, a área da base é dada por:
Abase =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.52
Exercício resolvido
R19.
Resolução
Como a pirâmide é regular, as faces laterais são formadas por
triângulos isósceles e congruentes, que nesse caso têm base ℓ
e altura g.
No triângulo retângulo VMB, temos:
Dessa forma:
Alateral =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.52
Exercício resolvido
R19.
Resolução
Portanto:
Atotal = Alateral + Abase =
=
Logo, a área da superfície da pirâmide regular hexagonal é:
Atotal =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.52
Propriedades das pirâmides
1a propriedade: A razão entre a área S’
de uma secção transversal de uma
pirâmide feita a uma altura h’ em relação
ao vértice e a área S da base dessa
pirâmide de altura h é:
2a propriedade: Se duas pirâmides
têm mesma altura e mesma área de
base, elas têm o mesmo volume.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.53
Volume de uma pirâmide de base
triangular
Vpirâmide triangular =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.54
Volume de uma pirâmide qualquer
Vpirâmide =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.55
área da base x altura
Exercício resolvido
R20. Calcular o volume do octaedro
regular de aresta a.
Resolução
Observe que o sólido é formado
por duas pirâmides quadrangulares
regulares cuja área da base é
Abase = a2.
OB é igual à metade da medida da
diagonal do quadrado da base.
Portanto: OB =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.56
Exercício resolvido
R20.
Resolução
No triângulo retângulo BOE, temos:
Logo, o volume do octaedro é:
Voctaedro = 2
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
=2
1.5
23.56
Exercício resolvido
R21. Calcular o volume do tetraedro regular de aresta a.
Resolução
A área da base é a área de uma
superfície triangular equilátera de
lado a. Logo: Abase =
A altura h é tal que:
Assim:
Vtetraedro =
⇒ Vtetraedro =
⇒ Vtetraedro =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.57
⇒
Exercício resolvido
R22. Determinar o volume de uma
pirâmide regular hexagonal cuja
aresta da base mede 12 cm e a
aresta lateral mede 20 cm.
Resolução
Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.58
Exercício resolvido
R22.
Resolução
Agora, vamos determinar a
medida m do apótema da base.
Como a base é um hexágono
regular, temos:
Cálculo da altura h da pirâmide:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.58
Exercício resolvido
R22.
Resolução
Cálculo da área da base:
Abase =
Abase =
Cálculo do volume da pirâmide:
Vpirâmide =
Vpirâmide =
Vpirâmide =
Portanto, o volume da pirâmide é
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.58
cm3.
Tronco de pirâmide
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e
base contida em um plano .
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.59
Tronco de pirâmide
Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a ,
essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o
vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base
contida no plano , e o que contém a base da pirâmide
maior, denominado tronco de pirâmide, de bases
paralelas.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.59
Elementos de um tronco de pirâmide
Considerando o tronco de pirâmide da
figura ao lado, temos:
 base maior: superfície poligonal
ABCDEF;
 base menor: superfície poligonal
A’B’C’D’E’F’;
 faces laterais: superfícies trapezoidais
AA’B’B, BB’C’C etc.;
 altura do tronco (ht): distância entre a
base maior e a base menor (ht = H – h).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.60
Tronco de pirâmide regular
No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que:
 as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes;
 as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e
congruentes;
 a altura de uma face lateral é o apótema do tronco
(de medida p).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.61
Área da superfície de um tronco de
pirâmide
Área da base menor (Ab): área
da superfície poligonal que forma
a base menor (A’B’C’D’E’F’).
Área da base maior (AB): área
da superfície poligonal que forma
a base maior (ABCDEF).
Área lateral (Alateral): soma das áreas dos trapézios laterais
(A’ABB’, B’BCC’, C’CDD’, D’DEE’, E’EFF’ e F’FAA’).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.62
Área da superfície de um tronco de
pirâmide
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das
bases menor e maior, ou seja:
Atotal = Alateral + Ab + AB
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.62
Razão de semelhança
= ... =



Observação:
Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de
semelhança entre dois segmentos.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.63
Volume de um tronco de pirâmide
Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
ou
Vtronco =
Observação:
Essa fórmula também é válida para pirâmides oblíquas.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.64
Exercício resolvido
R23. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de
lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas
das bases e o volume do tronco.
Resolução
AB = 102 = 100
Logo: AB = 100 cm2
Ab = 42 = 16
Logo: Ab = 16 cm2
Vtronco =
Vtronco = 2(100 + 40 + 16) = 312
Logo, o volume do tronco é 312 cm3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.65
Exercício resolvido
R24. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de
volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção
feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm.
Resolução
Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k,
então a razão entre seus volumes é:
Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.66
Exercício resolvido
R25. Um tronco de pirâmide regular tem
a aresta lateral medindo
dm
e bases quadradas cujos lados
medem 4 dm e 10 dm. Calcular
a área de cada base, a área lateral
e o volume do tronco.
Resolução
 Cálculo da área de cada base:
Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2
AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.67
Exercício resolvido
R25.
Resolução
 Cálculo da área lateral:
Para calcular a área lateral, precisamos
da medida de M’M indicada na figura.
Vamos destacar a face lateral BB’C’C.
Pela figura ao lado, temos:
A área de cada face lateral
(trapézio BB’C’C) é:
ABB’C’C =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.67
Exercício resolvido
R25.
Resolução
A área lateral do tronco de pirâmide é:
Alateral = 4 ⋅ 35 Alateral = 140;
logo: Alateral = 140 dm2
 Cálculo do volume do tronco:
Para calcular o volume, precisamos
determinar a altura do tronco de pirâmide.
Observe o trapézio O’M’MO destacado:
Pela figura, temos:
h2t + 32 = 52 ht = 4
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.67
Exercício resolvido
R25.
Resolução
Portanto:
Vtronco =
Vtronco =
Vtronco = 208
Logo, o volume do tronco é 208 dm3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 23 – Poliedros
1.5
23.67
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
Coordenação de produção: Maria José Tanbellini
Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação
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2012
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA