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RIGIDEZZA
la capacità di un elemento di opporsi alle deformazioni
generate da un carico
F
k

la rigidezza è costante fintanto che l'elemento presenta
comportamento lineare
RIGIDEZZA ASSIALE
Esempio: pilastro soggetto ad un carico centrato
tensioni: σ = F/A
deformazioni: ε = F/EA
F

accorciamento del pilastro:
h
h   dh  F EA  h
0
rigidezza:
F
F
EA
k


F
h
h
h
EA
RIGIDEZZA FLESSIONALE
F

F
EJ
k  48 3
l
F


EJ
k 3 3
h

12 EJ
k 3
h
La distribuzione delle forze fra più elementi resistenti
avviene proporzionalmente alle rigidezze degli
elementi nell'ipotesi di movimento rigido
dell'elemento che li collega.
k1 
F
E1 A1
h1
k2 
E 2 A2
h2
F1  F2  F
F1    k1
F2    k2
F    k1    k2    k1  k2 
F

F

k1  k 2
F1
F2
k1
F1  F 
k1  k 2
k2
F2  F 
k1  k 2
Pilastro in cemento armato soggetto a sforzo normale
N  Nc  Na 
Aa, Ea
 c  Ac  a  Aa   c  Ec  Ac   a  Ea  Aa
Ac, Ec
N

E c  Ac  E a  Aa
c  a  
E c  Ac
N c    E c  Ac 
N  E c  Ac
N
E c  Ac
E c  Ac  E a  Aa
N  Ec
 c    Ec 

E c  Ac  E a  Aa
h

h
E a  Aa
N
h
kc
kc  ka
N
N

Ea
Ac  nAa
Ac 
 Aa
Ec
Distribuzione della forza orizzontale
fra le strutture verticali
Struttura costituita da un solaio
sostenuto da 4 pilastri, che
costituiscono 2 telai nella
direzione della forza F
F
Ipotesi di solaio infinitamente
rigido nel proprio piano
Problema: come si ripartisce la forza fra i due telai
Forza centrata
R R'

F1
F

R
F2
k1
F1  F 
k1  k 2
k2
F2  F 
k1  k 2
F1
Forza eccentrica
F
e
M
R
FR
F2
F*e
e
F


i      d i
k  F  tg

F
la rigidezza è direttamente
proporzionale al modulo
elastico E


se il materiale ha
comportamento elastico
lineare, la rigidezza è costante
F
oltre il campo elastico, la
rigidezza si abbatte
 s

è proporzionale al modulo
elastico secante
ANALISI DINAMICA DI IMPALCATO SOSTENUTO DA PIEDRITTI VERTICALI
Ipotesi:
1. impalcato infinitamente rigido nel proprio piano; ovvero, la rigidezza del solaio nel suo piano è molto
grande rispetto alla rigidezza laterale del pilastri
2. deformabilità assiale dei pilastri trascurabile
3. telai dotati di rigidezza solo nel proprio piano
4. massa concentrata a livello dell'impalcato, piedritti privi di massa
Dalle prime due ipotesi discende che il solaio può solo traslare e ruotare rigidamente nel proprio piano.
Pertanto sono sufficienti tre parametri per definire univocamente la configurazione del sistema: il sistema è
perciò a tre gradi di libertà.
coordinate del sistema: x, y traslazioni orizzontali,  rotazione, del baricentro G dell'impalcato
dy1
dy3
x
dy2
m = densità di massa
(costante)
x

G
y
..
x (t)
G
M = massa totale
y
G = baricentro delle masse
Il sistema strutturale spaziale può pensarsi costituito dall'insieme di telai piani orditi secondo x e secondo y;
in generale si avranno s telai orditi in direzione x di rigidezza laterale Kx e t telai orditi in direzione y di
rigidezza laterale Ky. In genere, è lecito trascurare la rigidezza dei telai fuori del loro piano e la rigidezza
torsionale dei pilastri, in quanto molto piccole rispetto al contributo fornito dalla rigidezza laterale dei telai
piani.
Per risolvere il problema si devono scrivere tre equazioni di equilibrio dinamico: equilibrio alla traslazione in
direzione x, in direzione y e equilibrio alla rotazione intorno all'asse verticale per G.
Se si trascura lo smorzamento, per la massa elementare, dM = mdA, le forze in gioco sono: le forze
d'inerzia - provocate dalle tre componenti di accelerazione - e le forze elastiche.
..
mdA l
.. ..
mdA(x+xG)
..
mdAy
Fy
l
G
Fx

lx
ly
Nell'equilibrio alla traslazione in direzione x, figurano:

le forze d'inerzia legate all'accelerazione assoluta in direzione x:
 mx  x dA  mx  x  dA  M x  x  x
G
G
A


elementari, per l'ipotesi di piano rigido
le componenti in direzione x delle forze d'inerzia legate all'accelerazione angolare:
 mdA l cos   m l
A
è la stessa per tutte le masse
G
A
y
dA  0
A
l
y
dA  0 momento statico rispetto all'asse x
A
le forze elastiche in direzione x, somma delle forze di richiamo elastiche esercitate da ciascun telaio
ordito secondo x; la forza esercitata da ciascun telaio è proporzionale alla rigidezza traslazionale Kxi ed allo
spostamento in direzione x del telaio stesso:
dy1

F xi  K xi x   d y i

dy3
dy2
y +dx 2
x-  dy3

x
y
Fy
Fy
y = ----Ky
L'equazione di equilibrio dinamico è:

s

M x  xG    K xi x  d yi  0
i 1
In analogia alla precedente, si scrive l'equazione di equilibrio alla traslazione in direzione y:

t

My   K yi y  d xi  0
i 1
Nell'equazione di equilibrio alla rotazione intorno a G il momento delle forze d'inerzia può
scriversi:
2
2
 mdA x  xG   l y   mdA y  l x   mdA l   mdA l  J G  M 
2
A
A
A
A
L'equazione risulta:
s


t


M    K xi x  d yi d yi   K yi y  d xi d xi  0
2
i 1
i 1
Riassumendo:
s
s

Mx  x   K xi     K xi d yi   MxG
i 1
i 1

t
t

My  y   K yi     K yi d xi  0
i 1
i 1

s
t
t

 s

2
2
M   x   K xi d yi  y   K yi d xi     K xi d yi   K yi d x2i   0

i 1
i 1
i 1
 i 1

è un sistema di equazioni differenziali del  ordine nelle incognite x, y, .
Tramite l'analisi modale è possibile disaccoppiare le equazioni e risolverle separatamente utilizzando i
risultati noti per l'oscillatore semplice.