Transcript Fonction partie entière - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

Fonction partie entière
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
Rôle des paramètres
Remarque : Tu devrais visionner la présentation « Fonction en escalier.ppt »
avant de visionner celle-ci.
La fonction partie entière est un type de fonction en escalier.
Fonction partie entière
Fonction en escalier quelconque
Impôt fédéral
Les marches ont des longueurs
différentes.
Ce qui la distingue, c’est sa régularité.
Les marches ont toutes la même longueur.
La distance entre les marches est toujours
la même.
Les distances entre les marches
sont différentes.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
La fonction partie entière de base est représentée par f(x) = [ x ].
Les paramètres a, b, h, k vont transformer cette fonction de base.
Regardons, en premier, ce que signifie f(x) = [ x ].
Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Exemple : Si x = 2,25 alors [ x ] = [ 2,25 ] = 2.
Soit le plus grand entier inférieur à 2,25.
…
-3
-2
-1
0
1
2
Le plus grand
entier inférieur.
Si x = 45,99
alors [ x ] = [ 45,99 ] = 45.
Si x = 489,23 alors [ x ] = [ 489,23 ] = 489.
Si x = 26
alors [ x ] = [ 26 ] = 26.
3
2,25
…
Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Attention : Si x = - 2,25 alors [ x ] = [ - 2,25 ] = - 3
Soit le plus grand entier inférieur à - 2,25.
…
-3
-2
Le plus grand
entier inférieur.
-1
0
1
2
3
- 2,25
Si x = - 78,1 alors [ x ] = [ - 78,1 ] = - 79.
…
- 79
- 78
- 78,1
Le plus grand
entier inférieur.
- 77
…
…
La fonction partie entière sert à représenter certaines situations dans lesquelles
la variable dépendante ne varie pas alors que la variable indépendante varie.
Prenons comme exemple ton âge.
Variable indépendante
Variable dépendante
À ton dernier anniversaire,
tu as eu 15 ans.
À 15 ans et 1 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 3 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 6 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 9 mois,
tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 12 mois,
tu auras 16 ans.
soit à ton prochain
anniversaire,
Durant toute l’année, on ne retient que la partie entière de ton âge, soit 15
ans.
Représentons par un graphique l’âge d’un enfant.
Âge d’un enfant
Âge
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Années depuis
la naissance
trait vertical
Durant touteChaque
la première
année, xreprésente
varie, mais1ymois.
ne varie pas, l’âge est de 0 an.
Durant toute la deuxième année, x varie, mais y ne varie pas, l’âge est de 1 an.
Ainsi de suite.
Le modèle théorique de la fonction partie entière de base est :
Caractéristiques :
y
5
- La longueur des marches est
de 1 unité.
4
3
- Les intervalles de valeurs
de la variable indépendante
sont fermés à gauche,
ce qui signifie que la première
valeur de l’intervalle est incluse.
Exemple :
[0,1[
f(x) = [ x ]
2
1
-6
:
-5
- La distance entre les marches est
de 1 unité.
-3
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
-2
-3
- L’ordonnée à l’origine est 0.
-4
-5
- Les abscisses à l’origine sont dans
l’intervalle [ 0 , 1 [ .
La fonction f , partie entière de
x
, qui associe à chaque nombre réel
plus grand entier inférieur ou égal à
dom f = IR et ima f = Z.
-4
x est définie par f(x) = [ x ] ;
Soit la partie entière seulement.
{ … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
x le
6
x
La fonction partie entière de base est f(x) = [ x ] .
Les paramètres a, b, h, k transforment cette fonction de base.
On obtient alors f(x) = a [ b (x – h) ] + k
Forme canonique.
Regardons le rôle joué par chacun de ces paramètres.
Pour bien comprendre ces rôles, utilisons une table de valeurs restreinte et le
graphique qui lui est associé.
x
f(x) =
[x]
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
y
2
1
-2
-1
-1
-2
1
2
x
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre a :
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
b = 1, h = 0 et k = 0
f(x) = a [ 1 (x – 0) ] + 0
f(x) = a [ x ]
f(x) = 1 [ x ]
x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
[x]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
f(x) = 1 [ x ]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
f(x) =
y
2
1
-2
-1
-1
1
2
x
-2
f(x) = 1 [ x ]
f(x) = [ x ]
Fonction de base.
y
2
1
Fonction croissante.
f(x) = 1 [ x ]
-2
-1
1
-1
2
x
-2
f(x) = - 1 [ x ]
x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
[x]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
f(x) = - 1 [ x ]
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
f(x) =
y
2
Réflexion par rapport à
l’axe des x .
1
-2
-1
-1
-2
Fonction décroissante.
1
2
x
x
…
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
…
[x]
…
-1
-1
0
0
1
1
…
f(x) = 2 [ x ]
…
-2
-2
0
0
2
2
…
f(x) =
y
a>1
2
1
Étirement vertical.
-2
-1
-1
1
2
x
La distance verticale
entre les marches
augmente.
-2
x
f(x) =
[x]
f(x) = 0,5 [ x ]
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
…
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
…
-1
-1
-0,5
-0,5
0
0
0,5
0,5
…
0<a<1
y
2
1
Compression verticale.
-2
-1
-1
-2
1
2
x
La distance verticale
entre les marches
diminue.
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre b :
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
a = 1, h = 0 et k = 0
f(x) = [ b x ]
f(x) = 1 [ b (x – 0) ] + 0
f(x) = [ b x ]
x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
f(x) = [ 1 x ]
[ -2 ]
[ -1,1 ]
[ -1 ]
[ -0,1 ]
[0]
[ 0,9 ]
[1]
[ 1,9 ]
[2]
f(x) = [ 1 x ]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
y
2
1
-2
-1
-1
1
2
x
-2
f(x) = [ 1 x ]
f(x) = [ x ]
Fonction de base.
y
2
1
Fonction croissante.
f(x) = [ 1 x ]
-2
-1
1
-1
2
x
b>0
-2
f(x) = [ - b x ]
x
-2
-1,9
-1
-0,9
0
0,1
1
1,1
2
f(x) = [ -1 x ]
[2]
[ 1,9 ]
[1]
[ 0,9 ]
[0]
[ -0,1 ]
[ -1 ]
[ -1,1 ]
[ -2 ]
f(x) = [ -1 x ]
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
y
2
1
Réflexion par rapport à
l’axe des y.
-2
-1
-1
-2
Fonction décroissante.
1
2
x
b<0
x
-1
-0,6
-0,5
-0,1
0
0,4
0,5
0,9
1
f(x) = [ 2 x ]
[ -2 ]
[ -1,2 ]
[ -1 ]
[ -0,2 ]
[0]
[ 0,8 ]
[1]
[ 1,8 ]
[2]
f(x) = [ 2 x ]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
y
b>1
2
Compression
horizontale.
1
-2
-1
1
-1
2
x
La longueur des
marches (intervalles)
diminue.
-2
x
-2
f(x) = [ 0,5 x ]
[ -1 ]
f(x) = [ 0,5 x ]
-1
-1
-0,1
0
[ -0,5 ] [ -0,05 ]
-1
1
[0]
-1
1,9
[ 0,5 ] [ 0,95 ]
0
0
0
2
[1]
1
2,5
[ 1,25 ] [ 1,5 ]
1
y
2
0<b<1
1
Étirement
horizontal.
-2
-1
-1
-2
1
2
x
3
La longueur des
marches (intervalles)
augmente.
1
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre h :
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
a = 1, b = 1 et k = 0
f(x) = 1 [ 1 (x – h) ] + 0
f(x) = [ (x – h) ]
f(x) = [ x – h ]
f(x) = [ x – h ]
x
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
2,9
3
f(x) = [ x – 1 ]
[ -2 ]
[ -1,1 ]
[ -1 ]
[ -0,1 ]
[0]
[ 0,9 ]
[1]
[ 1,9 ]
[2]
f(x) = [ x – 1 ]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
y
2
1
-2
-1
-1
-2
1
2
x
Translation horizontale
vers la droite.
f(x) = [ x – h ]
x
-3
-2,1
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
f(x) = [ x + 1 ]
[ -2 ]
[ -1,1 ]
[ -1 ]
[ -0,1 ]
[0]
[ 0,9 ]
[1]
[ 1,9 ]
[2]
f(x) = [ x + 1 ]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
Translation horizontale
vers la gauche.
h=-1
y
2
1
-2
-1
-1
-2
1
x
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
Le paramètre k :
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
a = 1, b = 1 et h = 0
f(x) = [ x ] + k
f(x) = 1 [ 1 (x – 0) ] + k
f(x) = [ x ] + k
x
-2
-1,1
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
…
f(x) = [ x ]
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
…
f(x) = [ x ] + 1
-1
-1
0
0
1
1
2
2
…
y
2
1
-2
-1
-1
-2
1
2
x
Translation verticale
vers le haut.
f(x) = [ x ] + k
x
-1
-0,1
0
0,9
1
1,9
2
2,9
…
f(x) = [ x ]
-1
-1
0
0
1
1
2
2
…
f(x) = [ x ] - 1
-2
-2
-1
-1
0
0
1
1
…
k = -1
y
2
1
-2
-1
-1
-2
1
2
x
Translation verticale
vers le bas.
En résumé : Le paramètre a
f(x) = a [ x ]
f(x) = a [ x ]
y
-2
y
y
2
2
2
1
1
1
-1
-1
1
2
x
-2
-1
-1
-2
1
2
x
-2
-1
-1
-2
y
y
2
1
1
1
-1
-2
a = -1
2
x
-2
-1
-1
-2
a < -1
2
x
y
2
1
x
f(x) = a [ x ]
2
-1
2
0<a<1
f(x) = a [ x ]
f(x) = a [ x ]
1
-2
a>1
a=1
-2
f(x) = a [ x ]
1
2
x
-2
-1
-1
1
-2
-1 < a < 0
En résumé : Le paramètre b
f(x) = [ b x ]
f(x) = [ b x ]
y
-2
y
y
2
2
2
1
1
1
-1
-1
1
2
x
-2
-1
-1
-2
1
2
x
-2
-1
-1
-2
y
y
2
1
1
1
-1
-2
b = -1
2
x
-2
-1
-1
-2
b < -1
2
x
y
2
1
x
f(x) = [ b x ]
2
-1
2
0<b<1
f(x) = [ b x ]
f(x) = [ b x ]
1
-2
b>1
b=1
-2
f(x) = [ b x ]
1
2
x
-2
-1
-1
1
-2
-1 < b < 0
En résumé : Le paramètre h
f(x) = [ x + h ]
f(x) = [ x ]
y
-2
f(x) = [ x – h ]
y
y
2
2
2
1
1
1
-1
-1
1
2
x
-2
-1
-1
-2
1
2
x
-2
-1
-1
-2
1
2
x
2
x
-2
h<0
h>0
Le paramètre k
f(x) = [ x ] + k
f(x) = [ x ]
y
-2
f(x) = [ x ] + k
y
y
2
2
2
1
1
1
-1
-1
-2
k<0
1
2
x
-2
-1
-1
-2
1
2
x
-2
-1
-1
-2
k>0
1
Remarque :
a et b du même signe.
a : positif
Fonction croissante.
b : positif
a : négatif
y
-2
y
2
2
1
1
-1
1
-1
x
2
-2
-1
-1
-2
b : positif
a : positif
y
2
1
1
-1
-2
x
b : négatif
2
-1
2
Fonction décroissante.
y
-2
1
-2
a et b de signes contraires.
a : négatif
b : négatif
1
2
x
-2
-1
-1
-2
1
2
x
Attention
Pour interpréter correctement les paramètres d’une fonction partie entière, il faut
que celle-ci soit écrite en forme canonique.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
Exemple :
f(x) = 2 [ 2x – 4 ] + 1
Ce n’est pas la forme canonique.
Le coefficient de x doit être +1.
f(x) = 2 [ 2 (x – 2) ] + 1
C’est la forme canonique.
a=2
b=2
h=2
k=1
Simple mise en évidence.
Exemple :
f(x) = 3 [ 5 - x ] - 2
Ce n’est pas la forme canonique.
f(x) = 3 [ - x + 5 ] - 2
Ce n’est pas la forme canonique.
f(x) = 3 [ - ( x – 5 ) ] - 2
C’est la forme canonique.
a=3
b = -1
h=5
k = -2
Simple mise en évidence.
Pour bien comprendre la fonction partie entière, c’est-à-dire :
- analyser les caractéristiques de la fonction;
- déterminer la règle de la fonction;
- tracer le graphique de la fonction;
- résoudre l’équation;
il faut bien saisir le rôle de chaque paramètre.