Transcript площі фігур

Площі фігур
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
Дидактичний матеріал до уроку
геометрії
з досвіду роботи вчителя математики
Снов“янської ЗОШ І – ІІ ст
Чернігівського району Чернігівської
області
Колько Н.М.
2
4
• Геометрія - це наука про
властивості фігур
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
• Геометрія – слово грецьке,
означає «землемірство»
З давніх часів обчислювання площ було одним
з найважливіших застосувань геометрії. У
Стародавньому Єгипті заплави річки Нілу
землероби почали обробляти приблизно в п’ятому
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
тисячолітті до н.е. Тоді і виникла потреба в
обчисленні площ. На підставі документів, що
дійшли до нас, вже у Х Υ – ХΥІ ст. до н.е. єгиптяни
вміли вимірювати площі прямокутника,
трикутника і трапеції за відомими тепер
правилами.
Обчислення площі або поверхні фігури
називається « квадратурою», що в перекладі з
латинської означає надання квадратної форми. У
стародавніх єгиптян квадратура якоїсь фігури
зводилася до побудови квадрата, що мав таку саму
площу. Звідси зрозуміле походження слова
«квадратура».
1
2
4
Геометрична
фігура
можна
розбити
проста
Скінченну
кількість плоских
трикутників
Площа
Поняття
Додатна
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
величина
площі
Числове значення якої має
властивості
Рівні фігури
Якщо фігура розбивається
Мають рівні
площі
На частини , що є
простими фігурами
1
Площа
квадрата
2
4
Сторона дорівнює
одиниці
вимірювання
Дорівнює одиниці
То площа
фігури = сумі
площ її
частин
Плоским
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
трикутником
називають скінченну
частину площини,
обмежену
трикутником
1
2
4
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Геометричну фігуру
називатимемо
простою, якщо її
можна розбити на
скінченну кількість
плоских
трикутників.
1
2
4
Площа – це додатна величина,
числове
значення
якої
має
такі
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
властивості:
• рівні фігури мають рівні площі;
• якщо фігура розбивається на частини, що
є простими фігурами, то площа цієї
фігури дорівнює сумі площ її частин;
• площа квадрата зі стороною, що
дорівнює одиниці вимірювання,
дорівнює одиниці.
1
2
4
За одиницю
вимірювання площ
0011 0010
1010 1101 0001
0100 1011
приймають
площу
квадрата, сторона якого
дорівнює одиниці
вимірювання відрізків.
1
2
4
• 1 мм 2– площа квадрата зі стороною 1 мм
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• 1 см 2 – площа квадрата зі стороною 1 см
• 1 дм 2– площа квадрата зі стороною 1 дм
• 1 м 2 – площа квадрата зі стороною 1 м
• 1 ар - площа квадрата зі стороною 10 м,
• 1 гектар – площа квадрата зі стороною
100м
1
2
4
Квадрат
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площа квадрата
дорівнює квадрату його
сторони
Площа квадрата
дорівнює половині
квадрата його діагоналі
S=a2
S = d2
1
2
4
Прямокутник
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площа прямокутника дорівнює
добутку його сусідніх сторін
Площа прямокутника дорівнює
половині квадрата його діагоналі ,
помноженій на синус кута між ними
S=ab
1
2
4
S = d2 sin φ
Паралелограм
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площа паралелограма дорівнює
добутку його сторони на висоту,
проведену до неї
S = a hа
S = b hв
Площа паралелограма дорівнює
добутку його сторін на синус кута
між ними
S = a b sin α
Площа паралелограма дорівнює
половині добутку його діагоналей
на синус кута між ними
S = d1 d2 sin φ
1
2
4
Чотирикутник
Площа чотирикутника дорівнює
половині добутку його діагоналей
синус1010
кута між
ними0001 0100 1011
0011на0010
1101
S = d1 d2 sin φ
Площа чотирикутника , в який
можна вписати коло, дорівнює
добутку його півпериметра на
радіус вписаного кола
Площа чотирикутника, навколо
якого можна описати коло,
знаходиться за формулою
S=pr
S=
Півпериметр
р = (a +b + c + d )
1
2
4
p( p  a)( p  b)( p  c)( p  d )
від грецького «ромбос» - бубон
( у стародавні часи цей ударний
музичний інструмент мав форму ромба).
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Ромб
Площа ромба дорівнює
добутку його сторону на
висоту
Площа ромба дорівнює
половині добутку його
діагоналей
Площа ромба дорівнює
добутку квадрата його
сторони на синус кута ромба
S=ah
S = d1 d2
S = а2 sin α
1
2
4
Трапеція
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Площа трапеції дорівнює
добутку півсуми її основ на
висоту
S = 12 ( a + b)h
Площа трапеції дорівнює
половині добутку її
діагоналей на синус кута
між ними
S = 2 d1 d2 sin φ
Площа рівнобічної
трапеції, діагоналі якої
перпендикулярні, дорівнює
квадрату її висоти
1
S = h2
1
2
4
Т
0011 0010
р 1010 1101 0001 0100 1011
и
к
у
т Формула Герона
н
и
к
Площа трикутника дорівнює
половині добутку його сторони на
висоту, проведену до цієї сторони
Площа трикутника дорівнює
половині добутку двох його сторін
на синус кута між ними
Площа трикутника виражається
через добуток його сторін та
радіус описаного кола
S = a hа
S = b hв
1
S = bсsin α
2
1
2
4
Т
0011 0010
р 1010 1101 0001 0100 1011
и
к
у
т
н
и
к
Площа трикутника дорівнює
добутку його півпериметра на
радіус вписаного кола
Площа прямокутного трикутника
дорівнює половині добутку його
катетів
Площа рівностороннього
трикутника виражається
через його сторону
S= pr
S
1
=
2
1
ab
2
4
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Герон Александрійський ( мабуть І ст. н.е.) –
давньогрецький математик –
енциклопедист, який працював в Александрії. Праці
його мали головним чином прикладний характер.
Він був видатним механіком, його навіть називали «
Герон – механік». У творах « Пневматика» і
«Механіка» описав автомат для відкривання дверей,
автомат для продажу «священної води», пожежний
насос тощо. Багато уваги Герон приділяв питанням
геодезії і практичному застосуванню геометрії. У
кращій з математичних праць «Метрика», він виклав
практичні правила для обчислення площ та об’ємів
геометричних фігур, які застосовували
давньогрецькі, римські та середньовічні землеміри і
техніки.
1
2
4
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Формула Герона красива, симетрична, зручна, легко
запам’ятовується, справжня формула – красуня! Цікава й історія її
творення. Називають її ім'ям Герона Олександрійського
(Старшого) не зовсім заслужено, бо вперше відкрив і обґрунтував
її Архімед. А Герон тільки через чверть тисячоліття після того
вмістив її у своїй праці «Метрика». Тому справедливіше було б
називати її формулою Архімеда або принаймні Архімеда –
Герона. Отже, про формулу Герона можна було б написати цілу
поему.
•
Формула Герона досить корисна, бо за її допомогою можна
розв’язувати багато цікавих і важливих задач. І все таки
користуватися нею бажано тільки тоді, коли вона справді
доцільна.
1
2
4
Задача
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
С
В
А
D
К
N
Знайти площу
трапеції, у якої
паралельні
сторони 20 см і
60 см, а
непаралельні –
13 см і 37 см
1
2
4
І спосіб
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
За формулою Герона S KCD = 240 (см 2)
S KCD = KD· CN,
KD = 60 – 20 = 40 (см), CN = 12 (см)
За формулою площі трапеції
S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2).
•
Відповідь: S = 480 (см2).
1
2
4
ІІ спосіб
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
З трикутника CKD за теоремою косинусів
CD2 = CK2 + KD2 – 2 CK · KD cos < CKD
знайдемо cos < CKD = cos α і sin α.
тоді CN = CK sin α.
CN =12 (см). За формулою
S =( 60+20) : 2 · 12 = 480 (см2).
• Відповідь: S = 480 (см2).
1
2
4
ІІІ спосіб
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Нехай КN = х, тоді ND = 40 – х. Для
∆ CKN і ∆ CND застосуємо теорему
Піфагора і знайдемо CN :
CN 2 = 132 – х2, CN2 = 372 – (40 -х)2 .
З рівняння 132 – х2 = 372 – (40 -х) 2
х = 5, CN =12 (см) .
За формулою S =( 60+20) : 2 · 12 = 480
(см2).
• Відповідь: S = 480 (см2).
1
2
4
ІУ спосіб
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
• Продовжимо АВ і СD до перетину в т. О.
ВС
20 1

∆АОD ˜ ∆ВОС (за кутами ). Тоді АД 60  3
OD =1,5 ∙ 37 = 55,5 (см), ОА =1,5 ∙13 = 19,5 (см).
За формулою Герона знайдемо SAOD = 540 (см2).
SABCD = 8 SAOD.
9
SABCD =480 (см2).
• Відповідь: S = 480 (см2).
1
2
4
M
B
Задача
C
Один веселий кулінар
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
зробив торт у вигляді
правильного
шестикутника
АВСDFG . Після цього
він перетворив його у круглий торт, з’ївши
залишки. Поміркувавши, він вирішив, що
попередня форма торта була кращою, і ,
знову з’ївши залишки, отримав нарешті
правильний шестикутник LMNOPR . Яку
частину початкового торта з’їв кулінар?
L
N
А
D
O
R
G
P
F
1
2
4
Вчитись можна тільки
весело.
Щоб перетравити знання,
треба поглинати їх з
апетитом!
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1
2
4
Анатоль Франс