Berechnung unsymmetrischer Kurzschlüsse
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Transcript Berechnung unsymmetrischer Kurzschlüsse
Berechnung unsymmetrischer
Kurzschlüsse in Drehstromnetzen
Vorlesung
Dr.-Ing. Jörg Stammen
Bismarckstr. 81, 47057 Duisburg, BE 003
Tel.: 0203 379 2832
e-mail: [email protected]
Literatur
Download dieser Vorlesung: http://www.ets.uni-due.de/~sta/
Vertiefende Literatur:
[HDS2010] Heuck, K.; Dettmann, K.;Schulz, D.:
Elektrische Energieversorgung, Springer
Verlag; 8. Auflage, 2010, ISBN 978-3-83482527-8
[OOE2011] Oeding, D.; Oswald, B.R.: Elektrische
Kraftwerke und Netze, Springer Verlag, 7.
Aufl., 2011, ISBN 978-3-6421-9245-6
[DIN0102]: DIN VDE 0102: Kurzschlussströme in
Drehstromnetzen - Berechnung der Ströme
(IEC 60909-0: 2001)
Folie: 2
Inhalt
•
•
•
•
Drehstromsysteme
Fehler in Drehstromsystemen
Symmetrische Komponenten
Kurzschlussbeschreibung und
Berechnungsannahmen
• Beispielberechnung eines
Erdkurzschlusses
Inhalt
Folie: 3
Drehstromsysteme
Erzeugung von Drehstrom
Elektrische Energie wird in Kraftwerksgeneratoren großer Leistung erzeugt.
Spannung
Im Generator befinden sich 120° zueinander versetzte Wicklungen, in denen durch
einen rotierenden Elektromagneten (Polrad) zeitlich versetzte sinusförmige
Spannungen (Frequenz 50 Hz) induziert werden.
u1(t)
u2(t)
u3(t)
Z e it
Prinzip des Drehstromgenerators
Folie: 5
Symmetrisches Dreiphasensystem
Der Generator ist symmetrisch ausgelegt, d.h., alle induzierten Spannungen
besitzen dieselbe Amplitude und Phasendifferenz zueinander.
Die Überlagerung von drei Wechselspannungen stellt die einfachste Möglichkeit
dar, ein gleichmäßiges Drehfeld zu erzeugen. Das Drehfeld wird zum Betrieb von
Drehstrommaschinen (z.B. Motoren) genutzt. Das Dreiphasensystem wird
deshalb auch als Drehstrom-System bezeichnet.
Die Basis der Energietechnik bildet das rechtsdrehende, symmetrische
Dreiphasensystem,
u 1 ( t ) uˆ cos t
oder komplex:
u 2 ( t ) uˆ cos t 120
u 3 ( t ) uˆ cos t 240
U 1 U eff e
U
U
2
3
U
U
eff
eff
j0
e
-j12 0
e
-j24 0
Folie: 6
Ersatzschaltbild des Dreiphasensystems
Im Ersatzschaltbild wird für jede Phase des im Stern geschalteten Generators eine
Spannungsquelle gezeichnet:
U1
L1
Sternpunkt
U 12
U2
U 31
U3
U 12
Sternpunkt
L2
U2
U 23
U 23
U1
U3
L3
U 31
N
Folie: 7
Dreiphasensystem mit Verbraucher
Wird an die Drehstromquelle ein symmetrischer Verbraucher angeschlossen,
entsteht ein symmetrisches Drehstromsystem (hier stark vereinfacht, ideale
Leitungen, ohne Transformatoren):
U1
U
U S tr1
L1
IL1
I S tr1
U
Z
U2
L2
2
U S tr2
IL2
I S tr2
3
mit
U 1 e
-j12 0
U 1 e
-j24 0
I U /Z
Z
U3
L3
U S tr3
IL3
I S tr3
Z
N
Generator/
Netzeinspeisung
IN
Verbraucher
folgt
I 2 I1 e
-j12 0
I 3 I1 e
-j24 0
Folie: 8
Einphasiges Ersatzschaltbild
Die Phasen 2 und 3 enthalten keine neuen Informationen, sie können entfallen.
Für den Übergang zum einphasigen ESB wird Phase 1 herausgegriffen:
U1
L1
N
IL 1
Z
IN
Vorteil:
Der Rechenaufwand reduziert sich auf ein Drittel.
Phase 2 und 3 können aus Phase 1 durch Drehung um -120° bzw
-240° sofort ermittelt werden.
Nachteil:
Dies gilt nur für symmetrische Dreiphasensysteme.
Folie: 9
Fehler in Drehstromsystemen
Fehler in Drehstromsystemen
In Drehstromsystem können eine Vielzahl von Fehlern
(z. B. Kurzschlüsse) auftreten.
Kurzschluss: niederohmige Verbindung zwischen einem
spannungsführenden Leiter mit mindestens einem
weiteren Leiter, Spannungseinbruch und große Ströme an
der Fehlerstelle
Satter Kurzschluss: direkter metallischer Kontakt
(Übergangswiderstand vernachlässigbar)
Lichtbogenkurzschluss: Durchschlag in Luft, Leiter über
Lichtbogen (hoch nichtlinear, wenige Ohm) verbunden
Kurzschlussarten:
einpolige Fehler:
•Erdschluss (1) - ein Leiter mit Erdpotential verbunden; keine Sternpunkterdung,
Fehlerstrom hängt von der Erdkapazität und von der Ausdehnung des Netzes ab
•Erdkurzschluss (1) – wie Erdschluss aber im Netz mit geerdetem Sternpunkt
Folie: 11
Fehler in Drehstromsystemen
L1
(2)
(3)
(5)
(6)
(5)
(6)
L2
zweipolige Fehler:
L3
•zweipoliger
Kurzschluss (2):
Kurzschluss zwischen
zwei Leitern eines
Systems
(4)
(1)
(3)
(4)
(6)
•zweipoliger Kurzschluss mit Erdberührung (3): Kurzschluss zwischen zwei
Leitern und Erdberührung einer der beiden Leiter
•Doppelerdschluss (4): zwei Erdschlüsse an unterschiedlichen Orten
dreipolige Fehler:
•dreipoliger Kurzschluss (5): L1, L2 und L3 miteinander kurzgeschlossen größte Belastung für Netze und Schaltgeräte, meist durch einen einpoligen
Fehler eingeleitet, (Lichtbogenwanderung oder Spannungserhöhung auf den
gesunden Leiter)
•dreipoliger Kurzschluss mit Erdberührung (6)
Folie: 12
Fehler in Drehstromsystemen
Problem:
Alle Kurzschlüsse, aßer dem dreipoligen Kurzschluss, führen zu einem
unsymmetrischen Dreiphasensystem (mit symmetrischer Einspeisung)
Der dreipolige Kurzschluss kann weiterhin mit dem einphasigen Ersatzschaltbild
und dem Verfahren der Ersatzquelle (mehrere Einspeisungen werden als
phasengleich (synchronisiert) angenommen und zu einer Ersatzquelle im
Fehlerzweig zusammengefasst.
Alle unsymmetrischen Kurzschlüsse müssen entweder dreiphasig berechnet
werden,
•z.B. numerisch mit der komplexen Knotenpotentialanalyse (für
Wechselstromkurzschlussströme) oder der transienten Knotenpotentialanalyse,
(mit Einschwingvorgängen)
•oder einphasig mit Hilfe der symmetrischen Komponenten.
Folie: 13
Symmetrische Komponenten
Symmetrische Komponenten
Idee:
Man zerlegt ein unsymmetrisches
System in drei symmetrische
Systeme.
jIm
Im 1
Ig1
I3
I1
I 01
I mm11
I2
Im 3
Ig2
M itsyste m
Vorteil:
Man muss wie beim
symmetrischen
System nur die erste
Phase betrachten.
G e ge n syste m
Ig3
N u llsystem
II01
01
I02
Re
Ig1
I03
Im 2
Folie: 15
Symmetrische Komponenten
Symmetrische Komponenten werden am einfachsten bestimmt durch Mittelwertbildungen der drei Zeiger.
1. Berechnen des Anteils ohne Drehung:
I L1 I L2 I L3 0
I L1 I L2 I L3 I N
I3
I3
IN
symmetrisch
unsymmetrisch
I2
I2
I3
I1
I2
I1
I3
I2
Komponenten des Nullsystems:
I 01 I 02 I 03
Merke: Beim symmetrischen System und beim unsymmetrischen ohne
Neutralleiter ist das Nullsystem Null!
1
3
IN
Folie: 16
Symmetrische Komponenten
2. Berechnen der im Uhrzeigersinn drehenden Anteile (Zeiger werden hierzu um je
120° zurück gedreht und addiert). Zuerst für das symmetrische System:
I m1
1
3
1
3
I
1
I 2 e
I m1
- j240
1
3
I 3 e
I
j240
3
(I 1 I 1 e
I1 e
j120
e
- j120
j240
3 I 1
e
j120
a 2 I3
)
I2
I1
a
I1
a I2
Mitsystem, rechtsdrehend
Folie: 17
Symmetrische Komponenten
Statt der Exponentialschreibweise ist folgende Abkürzung üblich:
ae
j120
2
,a e
j240
3
,a 1
Die Berechnungsvorschrift für das Mitsystem lautet somit:
I m1
1
3
I
2
1
aI2 a I3
Entsprechend gilt für die weiteren Ströme des Mitsystems:
2
I m2 a I 1 I 2 ;
I m3 a I 1 I 3
Merke: Das rechtsdrehende symmetrische Drehstromsystem ist identisch zum
Mitsystem!
Folie: 18
Symmetrische Komponenten
Anwendung der Gleichung:
I m1
1
3
I
2
1
aI2 a I3
auf das unsymmetrische System:
3 Im 1
I3
I1
a 2 I3
a I2
I2
ergibt die rechtsdrehenden Anteile im unsymmetrischen System – das
Mitsystem.
Folie: 19
Symmetrische Komponenten
Zum Schluss werden die Anteile des linksdrehenden, des sogenannten
Gegensystems, betrachtet. Jetzt werden die Zeiger rechtsherum gedreht:
Daraus ergibt sich die Gleichung:
I g1
1
3
I
2
1
a I2 aI3
I3
a 2 I2
Anwendung auf das symmetrische
System:
Merke: Beim symmetrischen
System sind Null- und
Gegensystem Null!
a I3
I2
I1
Folie: 20
Symmetrische Komponenten
I g1
Anwendung der Gleichung
1
3
I
auf das unsymmetrische System:
2
1
a I2 aI3
I3
I1
Damit ergibt sich die vollständige Vorschrift
zur Berechnung der symmetrischen
Komponenten zu:
I 01
I m1
I
g1
1
1
1
3
1
1
a
a
2
1 I1
2
a I 2
a I 3
I2
3 Ig1
a 2 I2
a I3
Folie: 21
Symmetrische Komponenten
Aus den symmetrischen Komponenten lassen sich auch wieder die Ströme des
Originalsystems zusammensetzen:
I 1 1
I 2 1
I 1
3
1
a
2
a
1 I 01
a I m1
2
a I g1
Eine wesentliche Vereinfachung bringen die symmetrischen Komponenten auch
bei symmetrischen Verbrauchern mit Koppelimpedanzen. Das Originalsystem:
U 1 Z
U 2 Z K
U Z
3 K
ZK
Z
ZK
Z K I1
Z K I 2
Z I3
Folie: 22
Symmetrische Komponenten
wird in symmetrische Komponenten umgerechnet:
1
1
1
1
a
2
a
1 U 01
a U m1
2
a U g1
Z
ZK
ZK
Z K 1
Z K 1
Z 1
ZK
Z
ZK
1
a
2
a
1 I 01
a I m1
2
a I g1
Bei den symmetrischen Komponenten ist die Impedanzmatrix entkoppelt!
U 01
U m1
U g1
Z 2Z K
0
0
0
0
Z ZK
0
0
Z ZK
I 01
I m1
I
g1
Merke: Die symmetrischen Komponenten erlauben eine einphasige Berechnung
und führen zu einfacher strukturierten Gleichungen mit einfacheren
Folie: 23
Impedanzmatrizen!
Null-, Mit- und Gegenimpedanzen
Soll ein Netzwerk mit Hilfe der symmetrischen Komponenten berechnet werden,
müssen die wirksamen Impedanzen im jeweiligen System bekannt sein. Man
spricht daher von Nullimpedanzen, Mitimpedanzen und Gegenimpedanzen.
Sind entsprechende Größenwerte nicht gegeben, so finden sich Berechnungsgleichungen für die Betriebsmittel in der Fachliteratur (z.B. [HDS2010] oder
[OOE2011]).
Zur Berechnung der Nullimpedanz stellt man sich alle drei Außenleiter parallel
geschaltet an eine Spannungsquelle angeschlossen vor:
L1
L2
L3
U1
U2
U3
Folie: 24
Null-, Mit- und Gegenimpedanzen
So ergibt sich z.B. der Nullwiderstand einer Freileitung nach dem Ersatzschaltbild
zu:
U0
R0
Quelle: [HDS2010]
RL
3
U0
I0
3I0 RN 3I0
RL 3 RN
Zur Bestimmung der Mitimpedanzen wird das Betriebsmittel an ein
symmetrisches, rechtsdrehendes Dreiphasensystem angeschlossen.
Zur Bestimmung der Gegenimpedanzen werden zwei Anschlüsse des
Drehstromsystems vertauscht, so dass ein linksdrehendes System entsteht.
Folie: 25
Kurzschlussbeschreibung und
Berechnungsannahmen
Beschreibung des Kurzschlussfalls
Bei Eintreten eines Kurzschlusses wird der stationäre Zustand des Netzes
gestört. Der auftretende Kurzschlussstrom setzt sich zusammen aus einem
Kurzschluss-Wechselstrom und einem Gleichanteil. Die Größe des
Gleichanteils hängt vom Eintrittszeitpunkt ab. Im ungünstigsten Fall tritt der
Kurzschluss während des Spannungsnulldurchgangs ein. Dann weist der
Kurzschlussstrom den maximal möglichen Gleichstromanteil auf.
Gleichstromanteil und der anfängliche Kurzschlusswechselstrom (sogenannter
subtransienter Kurzschlussstrom) addieren sich zum maximalen
Kurzschlussstrom (siehe nächste Folie).
Zeichnet man um den Kurzschlussstrom zwei Einhüllende, dann haben diese
zu Anfang den Abstand:
IS 2
2 IK"
IS ist der Stoßkurzschlussstrom und ausschlaggebend für die mechanische
Beanspruchung.
IK“ ist der Effektivwert des subtransienten Kurzschluss-Wechselstroms. Er ist
entscheidend für die Auslegung der Leistungsschalter, die die auftretenden
Kurzschlussströme abschalten müssen.
Folie: 27
Beschreibung des Kurzschlussfalls
subtransienter
Bereich
Kurzschlussstrom der Synchronmaschine bei
Kurzschluss im Spannungsnulldurchgang
Quelle: [Fis09]
transienter
Bereich
Dauerkurzschlussstrom
Findet der Kurzschluss nicht im Nulldurchgang statt, so kann dies über den
Stoßfaktor berücksichtigt werden:
3 R / X
mit
S
K
I
2 I "
1, 02 0 ,98 e
mit R und X in der Anlage wirksamen Widerstände und Reaktanzen.
Folie: 28
Berechnungsannahmen
Es bleibt also die Berechnung des subtransienten Kurzschluss-Wechselstroms IK“.
Annahmen zur Berechnung:
Vor dem Kurzschluss wird ein unbelastetes Netz angenommen (I = 0). Damit
ergibt sich bei ohmsch-induktiven Netzen ein größerer Stromsprung I als bei
einer vorbelasteten Anlage.
Vor dem Kurzschluss wird die Leerlaufspannung angenommen, laut DIN VDE
0102 soll die Leerlaufspannung 10% (in Niederspannungsnetzen 5 %) über der
Netznennspannung liegen:
NQ
Q
U " 1,1
U
3
Bei beteiligten Generatoren beträgt während der subtransienten Phase die
sogenannte subtransiente Synchronreaktanz nur etwa 10 % der
Synchronreaktanz Xd:
X d " 0 ,1 X d ; X d
U0
IK
(1, 0 2 ,5 ) Z N
Folie: 29
Berechnungsannahmen
Annahmen (Fortsetzung):
Querimpedanzen werden in den meisten Fällen vernachlässigt, da über sie nur
kleine Ströme fließen. Zum Beispiel der Querzweig des Trafos, durch den nur der
Leerlaufstrom fließt, oder Freileitungskapazitäten über die nur kleine kapazitve
Ströme fließen.
Sind die Leitungen elektrisch kurz, können die Widerstandsbeläge
vernachlässigt werden (verlustlose Leitung).
Außer im Niederspannungsnetz können die ohmschen Widerstände
vernachlässigt werden.
Im Folgenden soll ein einpoliger Erdkurzschluss in einer Beispielanlage mit Hilfe
der symmetrischen Komponenten und der getroffenen Annahmen berechnet
werden.
Folie: 30
Beispielberechnung eines
Erdkurzschlusses
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
2 ,5 km
G e ne rato r
2 ,5 km
L1
G
3~
M asch in en tra fo
L2
L3
I k1 "
Einpoliger Kurzschluss (Übergangswiderstand sei 10 Ohm) in der Mitte einer
10-kV-Zuleitung vom Synchrongenerator zum Maschinentrafo.
Daten der Anlage:
ü T 110 kV / 10 kV
U GN 10 , 5 kV
X L 0 , 29 /km
S T 50 MVA
S GN 5 2 MVA
X 0L / X L 3,3 pu
u kT 0 ,13
X d 1,5 pu
X 0 / X kT 1, 0
Folie: 32
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Fehlerersatzschaltbild:
U F1 R Ü I " k1
L1
L2
L3
IF 1
U1 U2 U3
U F1
R ÜU F 2
IF 2= 0
IF 3= 0
U F3
Ströme in symmetrischen Komponenten:
I 0F1
I mF1
I
gF1
1
1
1
3
1
1
a
a
2
1 I F1
2
a 0
a 0
I F1 I " k1
I F2 0
I F3 0
Folie: 33
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
I 0F1 I mF1 I gF1
Symmetrischen Komponenten
des Kurzschlussstroms:
I F1
3
Symmetrischen Komponenten der Spannungen:
U
U
U
F1
F2
F3
1
1
1
1
a
2
a
1 U 0F1
a U mF1
2
a U gF1
Daraus folgt für die Fehlerspannung:
U
F1
U
0F1
U
mF1
U
gF1
Folie: 34
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Netz in symmetrischen
Komponenten:
jX 0 /2
jX 0 /2
G e ne rato r
n ich t g e erd e t
jX 0T
F
N u llsystem
U 0F 1
Im F 1
jX " d
Berücksichtigen der
Fehlerbedingungen:
I 0F 1
jX L /2
jX L /2
jX k T
R Ü I " k1
U
F1
U
0F1
U
mF1
U
gF1
-> Spannungsteiler
F
U"
I 0F1 I mF1 I gF1
U m F1
M itsyste m
I gF 1
jX " d
jX L /2
jX L /2
F
G e ge n syste m
U gF 1
jX kT
I " k1
3
-> Reihenschaltung
Folie: 35
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
I0F 1
jX 0 /2
G e ne rato r
n ich t g e erd e t
jX 0 /2
Berücksichtigen des
Übergangswiderstands:
jX 0 T
F
N u llsystem
U 0F1
U
F1
R Ü I " k1
I" k 1 /3
Im F 1
jX " d
jX L /2
jX L /2
3R Ü
F
U"
3 RÜ
jX k T
I " k1
3
U m F1
M itsyste m
IgF 1
jX " d
jX L /2
jX L /2
jX k T
F
G e ge n syste m
U gF1
Folie: 36
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Berechnen der
subtransienten
Synchronreaktanz:
ZN
U
2
N
S GN
(10 ,5 kV )
2
2 ,12
52 MVA
X d 1,5 pu 2 ,12 3,18
X " d 0 ,1 X d 0 ,318
Berechnen der
Leitungsreaktanzen:
XL
2 ,5 km 0 , 29 /km 0 , 725
2
X 0L 3,3 X L 3,3 2 0 , 725 4 , 785
Folie: 37
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Berechnen der Kurzschlussreaktanz des Trafos:
u kT U N
2
Z kT X kT
X0
X kT
0 ,13 (10 kV/
S TN
3)
2
0 , 26
50 MVA/3
1, 0 X 0 0 , 26
Berechnen der subtransienten Quellenspannung:
U "
1,1 U
3
QN
1,1 10 kV
6 ,351 kV
3
Folie: 38
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Berechnen der Gesamtreaktanzen:
Nullsystem:
Mitsystem:
Gegensystem:
X0
X 0L
2
X 0T 2 , 653
X m X "d
XL
1, 043
2
X g X m 1, 043
Berechnen des subtransienten Kurzschlussstroms:
Maschenumlauf:
U " j X m I mF1 j X g I gF1 j X 0 I 0F1 3 R Ü I F1 / 3 0
Folie: 39
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
mit:
I 0F1 I mF1 I gF1
ergibt sich der
Kurzschlussstrom zu:
I F1
3
I " k1
I " k1
und
3
Xm Xg
3 U "
R Ü j( 2 X m j X 0 )
mit Größenwerten:
I " k1
3 6 ,351 kV
10 j4 , 739
1, 72 kA e
- j 25 , 36
Folie: 40
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Berechnen der Leiterströme links und rechts des Kurzschlusses:
I F 1 lin k s
I F 1 re ch ts
L1
L2
I F 2 lin k s
I F 2 re ch ts
L3
I F 3 lin k s
I F 3 re ch ts
IF 1
U1 U2 U3
U F1
R ÜU F 2
IF 2= 0
IF 3= 0
U F3
Linke Seite:
I F1links
I F2links
I
F3links
1
1
1
1
a
2
a
1 I 0F1links
0
a I mF1links I " k1 / 3
2
a I gF1links I " k1 / 3 Folie: 41
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
I F1links
2
3
I " k1 ; I F2links I F3links
1
3
I " k1
Rechte Seite:
I F1rechts
I F2rechts
I
F3rechts
1
1
1
1
a
2
a
1 I 0F1links I " k1 / 3
a I mF1links 0
2
a I gF1links
0
I F1rechts I F2rechts I F3rechts
1
3
I " k1 ;
Folie: 42
Beispielberechnung eines Erdkurzschlusses
Und schließlich die Spannung am Übergangswiderstand:
U
F1
R Ü I " k1 10 1, 72 kA e
-j 25 , 36
ergibt:
U
F1
17 , 2 kV e
-j 25 , 36
Der maximal mögliche Stoßkurzschlussstrom ergibt sich zu:
IS 2
2 I K " 4 ,86 kA
Damit ist der unsymmetrische Kurzschluss für diese Beispielanlage berechnet.
Folie: 43
Ende