Transcript 第四部分图论

第四部分
4.1
4.2
4.3
4.4
图论
图的基本概念
欧拉图与哈密顿图
树
平面图及图的着色
4.1
图的基本概念
4.1.1 图
无序积A&B＝{（a，b）|a∈A∧b∈B}
定义14.1 一个无向图是一个有序的二元组<V，E>，
记做G，其中
（1）V≠φ称为顶点集，其元素称为顶点或结点。
（2）E称为边集，它是无序集V&V的多重子集，
其元素称为无向边。简称边。
定义14.2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，
记做D，其中
（1）V同无向图。
（2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集，其
元素称为有向边。简称边。
如书例14.1
其它规定与概念见书P268
定义14.3 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果
多于1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称
为重数。
在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于
1条，并且这些边的始点与终点相同（也就是它们
的方向相同），则称这些边为平行边。
含平行边的图称为多重图。
既不含平行边也不含环的图称为简单图。
定义14.4 设G＝<V，E>为一无向图，∀v∈V，称v
作为边的端点次数之和为v的度数，简记为度，记
做dG（v），在不发生混淆时，简记为d（v）。设
D＝<V，E>为有向图，∀v∈V，称v作为边的始点


的次数之和为v的出度，记做
，简记
。称
d
(v)
d D (v)
v作为边的终点的次数之和为v的入度，记做
，
简记作
， d  (v) d 称为v的度数，记做d
(v )  d  (v )
d D (v)
（v）。
(G ),  (G )
 (G),  (G ),  (G),  (G)




悬挂顶点，悬挂边
偶度（奇度）顶点
定理14.1（握手定理）设图G＝<V，E>为任意无向图，
其中结点集合为V={v1，v2，…，vn}，|E|＝m，则
n
d
i 1
G
(vi )  2m
定理14.2 设有向图D＝<V，E>为任意无向图，其中
结点集合为V={v1，v2，…，vn}，|E|＝m，则
n

i 1
d G (vi )  2m 且
n
d
i 1

D
n
( v i )   d D (vi )  m

i 1
推论 任何图（无向的或有向的）中，奇度顶点的
个数是偶数个。
定理14.3 设非负整数列d＝（d1，d2，…，dn），
则d是可图化的当且仅当
n
d
i 1
i
 0(mod 2)
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图，则
(G)  n  1
例：判断下列各数列哪些可图化？哪些可简单图化？
（1）（5，5，4，4，2，1）
（2）（5，4，3，2，2）
（3）（3，3，3，1）
（4）（d1，d2，…，dn），d1>d2>…>dn≥1且∑di为偶数
（5）（4，4，3，3，2，2）
定义14.5
设图G的点集为V，边集为E，图G′的点
集为V′，边集为E′。如果存在着V到V′的双射函数f，
使对任意的u，v∈V，(u，v)∈E（或<u，v>∈E），
当且仅当（f（u），f（v））∈E′（或<f（u），f
（v）>∈E′），并且重数相同，则称图G和G′ 同构，
记作G≌G′。
4
例如：
2
c
d
b
a
3
1
定义14.6 设G为n阶无向简单图，如果任意两个不
同的结点之间都有一条边关联，则称G为n阶无向完
全图，简称n阶完全图，记作Kn（n≥1）。
设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接
到其余n－1个顶点，又邻接于其余的n－1个顶点，
则称D是n阶有向完全图。
设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向
完全图Kn，则称D是n阶竞赛图。
如书图14.4
易知：n阶无向完全图，n阶有向完全图，n阶竞赛
图的边数分别为 n( n  1) , n(n  1), n( n  1)
2
2
定义14.7 设G为n阶无向简单图，若∀v∈V（G），
均有d（v）＝k，则称G为k－正则图。
定义14.8 设G＝<V，E>，G’＝<V’，E’>为两
个图（同为无向图或同为有向图），若V’⊆V且
E’⊆E，则称G’是G的子图，G为G’母图，记做
G’⊆G，又若V’⊂V或E’⊂E，则称G’为G的真子图。
若V’＝V，则称G’为G的生成子图。
导出子图
如图14.5
定义14.9 设G＝<V，E>为n阶无向简单图。以V
为顶点集，以所有使G成为完全图Kn的添加边组成
的集合为边集的图，称为G的补图，记做 G 。
若图 G  G ，则称G是自补图。
如图14.6
定义14.10 设G＝<V，E>为无向图。
（1）设e∈E，用G－e表示从G中去掉边e，称为
删除边e。又设E’⊂E，用G－E’表示从G中删除E’
中所有边，称为删除E’。
（2）设v∈V，用G－v表示从G中去掉v及所关联的
一切边，称为删除顶点v，又设V’⊂V，用G－V’表示
从G中删除V’中所有顶点，称为删除V’。
（3）设边e＝（u，v）∈E，用G\e表示从G中删除
e后，将e的两个端点u，v用一个新的顶点w（或用
u或v充当w）代替，使w关联e以外u，v关联的所
有边，称为边e的收缩。
（4）设u，v∈V（u，v可以相邻，也可能不相邻），
用G⋃（u，v）（或G＋（u，v））表示在u，v之
间加一条边（u，v）称为加新边。
如图14.7
4.1.2 通路与回路
定义 在无向图（或有向图）G=<V，E>中，设v0，
v1，…，vn∈V，e0，e1，…，en∈E，其中ei是关联于
结点vi-1，vi的边，交替序列v0e0v1e1…en-1 vn称为联结
v0 到vn 的通路。v0 和vn 分别称为通路的起点和终点，
通路中所含边的条数称为该通路的长度。
如果通路中的始点与终点相同，则称这条路为回路。
如果经过的边各异，则称此路径为简单通路（回路）
如果经过的结点各异边也各异，则称初级通路或路径
（初级回路或圈），奇圈，偶圈。
复杂通路（复杂回路）
更简单的表示法：
（1）只用边的序列表示通路（回路）。
（2）在简单图中可以只用顶点表示通路（回路）。
定理14.5 在n阶无向图G中，如果存在一条从vi到
vj 的通路，则从vi 到vj 必有一条长度小于或等于n-1
的通路。
推论 在n阶无向图G中，如果从vi到vj存在一条通
路，则从vi到vj必有一条长度小于或等于n-1的初级
通路（或路径）。
定理14.6 在n阶无向图G中，如果存在一条vi到自
身的回路，则必有一条vi到自身长度小于或等于n
的回路。
推论 在n阶无向图G中，如果存在一条vi到自身的
简单回路，则必有一条vi到自身长度小于或等于n
的初级回路。
4.1.3 图的连通性
定义14.12 设无向图G＝<V，E>，∀u，v∈V，若
u，v之间存在通路，则称u，v是连通的，记做u～v，
∀v∈V，规定v～v。
定义14.13 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点
都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连通图
或分离图。
易证：连通关系是V上的等价关系。
定义14.14 设无向图G＝<V，E>，V关于顶点之
间的连通关系～的商集V/～＝{V1，V2，…，Vk}，
Vi为等价类，称导出子图G[Vi]（i＝1，2，…，k）
为G的连通分支，连通分支数k常记为p（G）。
定义14.15 设u，v为无向图G中任意两个顶点，
若u～v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间
的短程线，短程线的长度称为u，v之间的距离，记
做d（u，v）。当u～v时，规定d（u，v）＝
。

距离有以下性质：
（1）d（u，v）≥0，u＝v时，等号成立。
（2）具有对称性：d（u，v）＝d（v，u）
（3）满足三角不等式：∀u，v，w∈V（G），则
d（u，v）＋d（v，w）≥d（u，w）
定义14.16 设无向图G＝<V，E>，若存在V’⊂V，
且V’≠Ф，使得p（G－V’）>p（G），而对于任意
的V’’⊂V’，均有p（G－V’’）＝p（G），则称V’是G
的点割集，若V’是单元集，即V’＝{v}，则称v为割
点。
如图14.8
定义14.17 设无向图G＝<V，E>，若存在E’⊂E，
且E’≠Ф，使得p（G－E’）>p（G），而对于任意
的E’’⊂E’，均有p（G－E’’）＝p（G），则称E’是G
的边割集，若E’是单元集，即E’＝{e}，则称e为割
边或桥。
如上例
定义14.18 设G为无向连通图且不含完全图作为
子图，则称κ（G）＝min{|V’||V’为G的点割集}
为G的点连通度，简称连通度。规定完全图Kn的点
连通度为n－1，又规定非连通图的点连通度为0。
又若κ（G）≥k，则称G是k－连通图。
定义14.19 设G为无向连通图，则称λ（G）＝
min{|E’||E’为G的边割集}为G的边连通度。规定
完全图Kn的边连通度为n－1，非连通图的边连通度
为0。又若λ（G）≥r，则称G是r边－连通图。
见书例14.6
定理14.7 对于任何无向图G，有
κ（G）≤λ（G）≤δ（G）
定义14.20 在有向图D=<V，E>中，若从结点u到
v有通路，则称u可达v，记做u→v。
规定u总是可达自身的，即u→u。
若u→v且v→u，则称uv相互可达，记做u↔v。则
u↔u 。
定义14.21 在有向图D=<V，E>中，任意结点u，
v，若u→v，称u到v长度最短的通路为u到v的短程
线，短程线的长度为u到v的距离，记做d<u，v>。
定义14.22 设D=<V，E>为一个有向图，若D的
基图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图。
若任意的u，v∈V，u→v或v→u，则称D是单向连
通图。
若均有u↔v，则称D是强连通图。
如书图14.11
定理14.8 设有向图D=<V，E>，V＝{v1，v2，…，
vn}。D是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点
至少一次的回路。
定理11.9 设D是n阶有向图，D是单向连通图当
且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路。
定义14.23 若无向图G的点集V可以划分成两个子
集V1和V2（V1∪V2=V，V1∩V2=Ø）并使图中每一
条边的端点一个在V1中，另一个在V2中，则称图G
为二部图（或偶图），V1,V2称为互补顶点子集，
G记作(V1,V2，E)。又若G是二部图，且V1中的每
一个结点都与V2中的每一个结点邻接，则称G为完
全二部图，记作Kr，s，其中r=|V1|，s=|V2|。
如书图14.13
定理14.10 一个无向图G＝<V，E>是二部图当且
仅当G中无奇数长度的回路。
4.1.4 图的矩阵表示
定 义 14.24 设 无 向 图 G=<V ， E> ， V={v1 ，
v2，…，vn}，E={e1，e2，…，em}，令mij为顶
点vi 与边ej 的关联次数，则矩阵M（G）=（mij ）
n×m为G的关联矩阵。
n v i关联e j的次数
mij  
0 若v i不关联e j
如书图14.14
定 义 14.25
设 有 向 图 D=<V ， E> 中 无 环 ，
V={v1 ，v2 ，…，vn}，E={e1 ，e2 ，…，em}，
则矩阵M（D）=（mij）n×m，其中
 1 若在D中v i是e j的始点

mij   1 若在D中v i是e j的终点
 0 若在D中v 与e 不关联
i
j

称M（D）为有向图D的关联矩阵。
如书图14.15
定义14.26
设有向图D=<V，E>中，V={v1 ，
v2，…，vn}，E={e1，e2，…，em}，令 aij(1)为顶
点vi邻接到顶点vj边的条数，称 aij1
为D的邻接
nn
矩阵，记做A（D），或简记A。

如书图14.16

定 义 14.27
设 有 向 图 D=<V ， E> ， V={v1 ，
v2，…，vn}令
1 vi可达v j ,
pij  
否则
0
则称矩阵(pij)n×n为图D的可达矩阵。记作P
（D），简记为P。
例：如下图
1
l5
4
l1
l4
l3
2
l2
3
1 0 0 1 1 
1 1 0 0 0

M (G )  
0 1 1 1 0 


0 0 1 0 1 
1 1 1 0
 1 0 0 1
M (D)  
 0 0 1 0

 0 1 0 1
1 1
0
0 1
0 
P(D)  
0 0
1


 1
0 0
0 1 1 1 
0 0 0 1 

A(D)  
0 0 0 1 


0
0
0
0


1
0
1
0
1
1
1

1
4.1.5 图的运算
定义14.28
定义14.29
如书P290页
4.2 欧拉图与哈密顿图
定义15.1
给定无孤立结点图G，如果图中存在
一条通过图中各边一次且仅一次的回路，则称此
回路为欧拉回路，具有欧拉回路的图，称为欧拉
图。如果图中存在一条通过图中各边一次且仅一
次的通路，则称此通路为欧拉通路，具有欧拉通
路而无欧拉回路的图，称为半欧拉图。
如图15.1
定理15.1
无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图。
且图中没有奇度顶点，即各点的度数为偶数。
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当图G是连通
的，且G中恰有两个奇度顶点。
如下图：
定理15.3
有向图D是欧拉图当且仅当D是连通的，
且图中每个顶点的入度和出度相等。
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向
连通的，且D中恰有两个奇度顶点，其中一个顶点
的入度比它的出度多1，另一个顶点的出度比它的
入度多1，而其他结点的入度和出度相等。
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通
的且为若干个边不重的圈的并。
Fleury算法
4.2.2 哈密顿图
定义15.2 经过图（有向图或无向图）中所有顶
点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。经过图
中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图，具有哈密顿
通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图，
平凡图是哈密顿图。
如图15.6 P300
定理15.6
设无向图G=<V，E>是哈密尔顿图，
则对于结点集V的每个非空子集V1 ，都有p（G-V1 ）
≤|V1|成立，其中p（G-V1）是G-V1中的连通分支
数。
推论 设无向图G=<V，E>是半哈密尔顿图，则
对于结点集V的每个非空子集V1，都有p（G-V1）
≤|V1|＋1成立。
如例15.4
定理15.7
设图G是具有n个结点（v1，v2，…，
vn）的无向简单图，如果图G中任意两个不相邻结
点均有
d (vi)+d (vj)≥n-1
则图G具有哈密尔顿通路，即G是半哈密尔顿图。
推论 设G为n（n≥3）阶无向简单图，若对于G中
任意两个不相邻的顶点均有
d (vi)+d (vj)≥n
则图G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。
定理15.8 设u，v为n阶无向简单图G中两个不相
邻的顶点，且d（u）＋d（v）≥n，则G为哈密顿
图当且仅当G∪（u，v）为哈密顿图（（u，v）是
加的新边）。
定理15.9 若D为n（n≥2）阶竞赛图，则D中具
有哈密顿通路。
4.2.3 带权图与货郎担问题
定义15.3
给定图G＝<V，E>（G为有向图或无向
图），设W：E→R（R为实数集），对G中任意的
边e＝（vi，vj）（或<vi，vj>），设W（e）＝wij，
称实数wij为边e上的权，并将wij标注在边e上，
称G为带权图，此时常将带权图G记做<V，E，W>。
设G‘是G子集，称∑W（e）为G’的权，并记做W
（G‘），即W（G‘）＝∑W（e）。
4.3
树
4.3.1 无向树及其性质
定义16.1 设T是无回路的无向简单连通图，则称T
为无向树，或简称为树。
平凡图称为平凡树；
若无向图G至少有两个连通分支，则称其为森林。
悬挂顶点称为树叶。
度数大于或等于2的顶点称为分支点。
如下图：
图1
图2
定理16.1 设G是含n个结点和m条边的简单无向图，
则下列各结论都是等价的，都可作为无向树的定义。
（1）G是树。
（2）G中任意两个不同的结点间，有且仅有一条通
路相连。
（3）G无回路且m=n－1。
（4）G连通且m=n－1。
（5）G连通，但删去树中任意一条边，则变成不连
通图。
（6）G连通且无回路，若在G中任意两个不邻接的
结点中添加一条边，则构成的图包含唯一的回路。
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少
有两片树叶。
4.3.2 生 成 树
定义16.2 设T是 无向图G的子图并且为树，若T是
G的树且为生成子图，则称T是G的生成树。设T是G
的生成树，∀e∈E（G），若e∈E（T），则称e为T
的树枝，否则称e为T的弦。并称导出子图G[E（G）
－E（T）]为T的余树，记做 T 。
定理16.3 无向图G具有生成树当且仅当G是连通图。
推论1 设G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n－
1。
推论2 设G是n阶m条边的无向连通图，T为G的生
成树，则T的余树中含有m－n＋1条边（即T有m
－n＋1条弦）。
推论3 设T是连通图G的一棵生成树， T 为T的余
树，C为G中任意一个圈，则
E (T )
E (C ) ¹ f
定理16.4 设T为无向连通图G中一棵生成树，e为
T的任意一条弦，则T∪e中含G中只含一条弦其余
边均为树枝的圈，而且不同的弦对应的圈也不同。
定义16.3 设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵
生成树，设e‘1，e’2，…，e‘m－n＋1为T的弦，设
Cr为T添加弦e’r产生的G中只含弦e‘r，其余边均
为树枝的圈，称Cr为G的对应T的弦e’r的基本回
路或基本圈，r＝1，2，…，m－n＋1。并称
{C1，C2，…，Cm－n+1}为G对应T的基本回路系
统，称m－n＋1为G的圈轶，记做 x (G ) 。
定理16.5 设T是连通图G的一棵生成树，e为T的
树枝，则G中存在只含树枝e，其余边都是弦的
割集，且不同的树枝对应的割集也不同。
定义16.4 设T是n阶连通图G的一棵生成树， e1，
e2，…，en-1为T的树枝，Si是G的只含树枝e‘i的
割集，则称Si为G的对应生成树T由树枝e’i生成的
基本割集，i＝1，2，…，n－1。并称{S1，
S2，…，Sm－n+1}为G对应T的基本割集系统，称
n－1为G的割集轶，记做 h (G) 。
定义16.5 设无向带权图G＝<V，E，W>，T是G
的一棵生成树。T的各边权之和称为T的权，记做
W（T）。G的所有生成树中权最小的生成树称为G
的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法（避圈法）：
设G＝<V，E，W>是n阶无向连通带权图。
1、将m条边按权值从小到大顺序排列，设为e1，
e2，e3，…，em；
2、取e1在T中；
3、依次检查e2，e3，…，em ，若ei与已在T中的
边不能构成回路，则取ei在T中，否则弃去，考虑
ei＋1；
4、若T中边的条数小于n－1条，重复执行步骤3，
否则，算法结束，输出最小生成树T。
如例：
12
9
2
11
10
4
1
5
8
7
2
1
3
6
9
8
3
5
6
按权值对边进行排列为：1，2，3，4，5，6，
7，8，9，10，11，12
图中的红线表示
最小生成树的边
10
1
•Prim算法的基本思
2
50
45
30
40
3
25
4
5
55
20
6
15
35
想是：
•1). 选择图G的一条
权值最小的边e1；
•2). 假设G的一棵子
树T已经确定；
•3). 选择G的不在T
中的具有最小权值
的 边 e ， 使 得 T{e}
仍是G的一棵子树。
4.3.3
根树及其应用
如果一个有向图的底图为无向树，则该有向图称
为有向树。
定义16. 6 设T是n（n≥2）阶有向树，如果有且
仅有一个入度为0的点。其他点的入度均为1，则
称有向树T为有根树，简称根树。入度为0的点称
为树根，入度为1出度为0的点称为树叶，入度为
1出度不为0的点称为内点。内点与树根统称为分
枝点。从树根到T的任意顶点v的通路（路径）长
度称为v的层数，层数最大顶点的层数称为树高。
将平凡树也称为根树。
a
b
c
d
f
e
i
g
j
k
祖先，后代
父亲，儿子
兄弟
h
l
根树分类：
（1）r叉树；r叉有序树；
（2）r叉正则树；r叉正则有序树；
（3）r叉完全正则树；r叉完全正则有序树；
定义16.8 设T是一棵根树，∀v∈v（T），称v及其
后代的导出子图TV为T的以v为根的根子树。
2叉树，左子树，右子树
定义16.9 设T是具有t片树叶v1，v2，…，vn的二
叉树，且各片树叶所含的权为w1 ，w2 ，…，wt ，
令
W（T）=l1w1+l2w2+…+ltwt
其中，li（i=1，2，…，t）是树叶vi的层数。在所
有带权w1，w2，…，wn 的二叉树中，权最小的那
棵树，称为最优二叉树。 如图16.7
Huffman算法：
给定实数w1，w2，…，wt且w1≤w2≤…≤wt
（1）连接权为w1 w2的两片树叶，得一分支点w3，
其权为w1＋w2。
（2）在w1＋w2，w3，…，wt，中选出两个最小
的权，连接它们对应的顶点（不一定是树叶），得
新分支点及所带的权。
（3）重复（2），直至形成t－1个分支点，t片树
叶为止。
例如: 已知权值 W={ 5, 6, 2, 9, 7 }
5
6
2
9
7
6
9
7
7
5
9
2
7
5
13
2
6
7
9
7
5
13
2
6
7
0
29
13
0
6
00
1
7
01
0
9
10
1
16
0
5
110
1
7
1
2
111
例 求树叶权为2，3，5，7，11，13，17，21，39
的最优树。
解 首先权最小的两片树叶2
和3“合并”成一片树叶，并
赋以权2+3=5；
再把“合并”的树叶与未处
理过的树叶中权最小的两片
树叶5和5“合并”成一片树
叶，并赋以权5+5=10。
依次类推；
118
45
73
21
24
11
34
17
13
39
17
7
10
5
2
5
3
Huffman树应用
通信中，常用二进制编码表示符号：
如：00、01、10、11分别表示A、B、C、D
等长码表示法
ACBBDCCA可表示为：
0010010111101000
缺点：效率不高
不等长编码
 若{A,B,C,…,H}出现频率不一样,则出现频
率高的用短码字
 例: A,B,C,D,E,F,G,H, 编码为
0,1,00,01,10,11,000,001.
若收到000111, 不能唯一解码:
GFB, CDF, AHF,…等.
原因: 码字互为前缀,如00是001的前缀
定义16.10 前缀码，二元前缀码
 例:{A,B,C,D}编码为 {00,010,011,1}
 收到000111,译为 ACD
如何生成二元前缀码？？
0
0
00
1
0
010
1
1
1
011
定理16.6
由一棵树给定的2叉正则树，
可以产生唯一的一个二元前缀码。
如书P314页例16.5，例16.6
二叉树遍历问题：
1、前序遍历法定义为：
（1）访问T的根；
（2）用前序遍历左子树T1；
（3）用前序遍历右子树T2。
2、中序遍历法定义为：
（1）用中序遍历T的左子树；
（2）访问T的根；
（3）用中序遍历T的右子树。
3、后序遍历法定义为：
（1）用后序遍历T的左子树；
（2）用后序遍历T的右子树；
（3）访问T的根。
a
b
d
c
ef
g
i
h
先序：a b d e c f h i g
中序：d b e a h f i c g
后序：d e b h i f g c a
如书例16.7：中缀表示，前缀表示（波兰记法）
由二叉树的先序和中序序列建树
仅知二叉树的先序序列“abcdefg”
不能唯一确定一棵二叉树，
如果同时已知二叉树的中序序列
“cbdaegf”，则会如何？
二叉树的先序序列 根 左子树 右子树
二叉树的中序序列 左子树 根 右子树
例如:
a b c d e f g
c b d a e g f
先序序列
中序序列
a
b
^ c ^
^ e
^d ^
f ^
^ g ^
问题：已知中序和后序能否唯
一的确定一颗二叉树？已知先
序和后序呢？
例：
中序：BHDAECGF
后序：HBDEGFCA
4.4
平面图及图的着色
4.4.1 平面图的基本概念
定义17.1 如果图G能以这样的方式画在曲面S上，
即除了顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S。若
G可嵌入平面，则G是可平面图或平面图。画出的无
边相交的图称为G的平面嵌入，无平面嵌入的图称为
非平面图。
(a)
(b)
如书图17.1
定理17.1 若图G是平面图，则G的任何子图都是
平面图。
定理17.2 若图G是非平面图，则G的任何母图都
是非平面图。
推论 Kn（n≥5）和K3，n（n≥3）都是非平面图。
定理17.3 设G是平面图，则在G中加平行边或环后
所得图还是平面图。
定义17.2 设G是平面图（且已是平面嵌入），由G
的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域
都称为G的一个面。其中面积无限的面称为无限面
或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。包
围每个面的所有边组成的回路组称为该面的边界，
边界的长度称为该面的次数deg（R）。
如图17.2
定理17.4 平面图G中所有面的次数之和等于边数
m的两倍，即
r
 deg( R )  2m
i 1
i
其中r为G的面数。
定义17.3 设G为简单平面图，若在G的任意不相邻
的顶点u，v之间加边（u，v），所得图为非平面
图，则称G为极大平面图。
定理17.5 极大平面图是连通的。
定理17.6 设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G
中不可能存在割点和桥。
定理17.7 设G是n（n≥3）阶简单连通的平面图，
G为极大平面图当且仅当G的每个面的次数均为3。
如图17.4
定义17.4 若在非平面图G中任意删除一条边，所
得图为平面图，则称G为极小平面图。
4.4.2
欧拉公式
定理17.8（欧拉公式） 设图G是任意的无向连通
平面图，它具有n个结点，m条边，r个面，则
n-m+r=2。
定理17.9 对于具有k（k≥2）个连通分支的平面
图G，有n－m＋r＝k+1，其中n，m，r分别为G
的顶点数，边数和面数。
定理17.10 设G是连通的平面图，且每个面的次数
至少为l（l≥3），则G的边数m与顶点数n有如下关
系：
l
m
( n  2)
l 2
推论 K5与K3，3都不是平面图。
定理17.11 设G是有k（k≥2）个连通分支的平面
图，各面的次数至少为l（l≥3），则边数m与顶点
数n应有如下关系
l
m
(n  k  1)
l 2
定理17.12 设G是n（n≥3）阶m条边的简单平面
图，则 m≤3n－6
定理17.13 设G是n（n≥3）阶m条边的极大平面
图，则 m＝3n－6
定理17.14 设G是简单平面图，则G的最小度
5
4.4.3 平面图的判断
定义17.5 设e＝（u，v）为图G的一条边，在G中
删除e，增加新的结点w，使u，v均与w相邻，称
为在G中插入2度结点w。设w为G中一个2度顶点，
w与u，v相邻，删除w，增加新边（u，v），称
为在G中消去2度顶点w。
定义17.6 若两个图G1与G2同构，或通过反复插入
或消去2度顶点后是同构的，则称G1与G2是同胚的。
如图17.5
定理17.15（库拉托夫斯基定理1）图G是平面图
的当且仅当该图G不包含与K5或K3，3同胚的子图。
定理17.16（库拉托夫斯基定理2）图G是平面图
的当且仅当该图G中既没有可以收缩到K5 的子图
也没有可以收缩到K3，3的子图。
如书例
4.4.4 平面图的对
定义17.7 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的
偶图
对偶图G*如下：
在G的面Ri中放置G*的顶点vi*。设e为G的任意一条
边，
若e在G的面Ri 与Rj 的公共边界上，做G*的边e*与e
相交，且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点vi*与vj* ，
即e*=（vi*，vj*），e*不与其他任何边相交。
若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则e*是以Ri中G*
的顶点为端点的环，即e*=（vi*，vi*）。
4.4.5 图中顶点的着色
定义17.9
k－着色
k色图
色数  (G )  k
“四色猜想”