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OPERACIONES 2
Transporte
Profesor: Pablo Diez Bennewitz
Ingeniería Comercial - U.C.V.
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE
OPERACIONES - EL MODELO
Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION
MODELOS
PLANIFICACION
(DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:
• ESTRATEGIAS DE OPERACION
• PREDICCION (PRONOSTICOS)
• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS
• CAPACIDAD DE OPERACIONES
• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES
• PLANEACION
DISTRIBUCION FISICA
M
ORGANIZACION
ORGANIZACION PARA LA CONVERSION
• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO
• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES
• MEDICION DEL TRABAJO
• ADMINISTRACION DE PROYECTOS
PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION
• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA
• PROGRAMACION OPERACIONES
INSUMOS
MODELOS
RESULTADOS
MODELOS
M
• Productos
• Servicios
• Información
PROCESO de CONVERSION
SEGUIMIENTO
CONTROL
PRODUCTOS
CONTROL
• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION
• CONTROL DE INVENTARIO
• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES
• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD
• CONTROL DE CALIDAD
RETROALIMENTACION
M
MODELO DE TRANSPORTE
Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras
de determinados destinos (D) receptores, donde
hay que transportar cierta cantidad de recursos
productivos (naturales, intermedios o finales)
desde las fuentes hacia los destinos
FUENTES
DESTINOS
Oferta
Demanda
Capacidad de producción Capacidad de venta
Proveedores
Plantas de producción
Plantas de producción Almacenes mayoristas
Almacenes mayoristas
Tiendas minoristas
MODELO DE TRANSPORTE
Se desea determinar la distribución óptima de los
recursos productivos, lo que implica establecer la
combinación de distribución de fuentes a
destinos, que tenga el mínimo costo asociado
F1
D1
F2
D2
F3
D3
Fn
Dm
MODELO DE TRANSPORTE
Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo
de transporte, lo que requiere considerar los
costos unitarios de transporte desde cada fuente
hacia cada destino
Se construye un modelo de transporte que, es un
caso particular del método simplex
n m
F.O. :
Mín Z
=   Cij Xij
i
Cij
j
i=1 j=1
• Cij : Costo unitario de
transporte desde la
fuente i hasta el destino j
• Xij : Unidades a transportar desde la fuente i
hasta el destino j
MODELO DE TRANSPORTE
n m
F.O. :
Mín Z
=   Cij Xij
i=1 j=1
 Xij =
Qdemandada
 Xij =
Qofrecida
i=1
m
j=1
Xij
>
0
A
s.a. :
n
i,j
i
Cij
j
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Hacia
Desde
D1
D2
D3
D4
F1
F2
Cij
Xij
F3
F4
TOTAL
 Xi1  Xi2  Xi3  Xi4
TOTAL
 X1j
 X2j
 X3j
 X4j
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Hacia
Desde
F1
F2
F3
F4
TOTAL
D1
C11
C21
C31
C41
X11
X21
X31
X41
D2
C12
C22
C32
C42
X12
X22
X32
X42
D3
C13
C23
C33
C43
X13
X23
X33
X43
D4
C14
C24
C34
C44
X14
X24
X34
X44
 Xi1  Xi2  Xi3  Xi4
TOTAL
 X1j
 X2j
 X3j
 X4j
SIGNIFICADO DE CADA CUADRO
Cij
Xij
C23
X23
6
175
Significa que el costo unitario de transporte
desde la fuente 2 al destino 3 es de $6
A su vez, el número de unidades a transportar
desde la fuente 2 al destino 3 es de 175
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Es el valor total producido en los
orígenes (Qofrecida) y es también
el valor total demandado por los
destinos (Qdemandada)
Qdemandada
Qofrecida
=  Xi1 +  Xi2 +  Xi3 + .......+Xim
=  X1j +  X2j +  X3j + .......+Xnj
Necesariamente:
Qdemandada
=
Qofrecida
ALGORITMO DE TRANSPORTE
Si Qdemandada = Qofrecida, entonces significa
que falta en el cuadro una columna o fila, la que
representa las holguras existentes
Si Qdemandada = Qofrecida
Holguras
Exceso de Qdemandada <Qofrecida
Oferta
Holguras
Exceso de
Qdemandada >Qofrecida
Demanda
VARIABLES DE HOLGURA
Cuando no se cumple la condición necesaria del
modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada),
se incorporan variables de holgura (o exceso), a
través de la creación una columna adicional o
una fila adicional en el cuadro
Se asume que el costo unitario de
transporte para la columna adicional o fila
adicional es cero, ya que las variables de
holgura o exceso no forman parte de la
función objetivo de optimización
VARIABLES DE HOLGURA
Dependiendo si se trata de un exceso de oferta
(Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de
demanda (Qdemandada > Qofrecida), las
variables de holgura (o exceso) que se añaden, a
través de la creación una columna adicional o
una fila adicional en el cuadro, representan
diferentes casos
Cada caso de variables de holgura o
exceso, con su posible columna adicional
o fila adicional, se identifica a partir del
contexto de cada situación particular
EXCESO DE OFERTA
Casos Posibles:
Si Qofrecida
> Qdemandada
Acumulación
de Inventario
Se crea una columna adicional en el cuadro, que
corresponde a la acumulación de inventario
Si Qofrecida
> Qdemandada
Capacidad
Ociosa
Se crea una columna adicional en el cuadro, que
representa a las unidades a no producir
EXCESO DE DEMANDA
Casos Posibles:
Si Qofrecida
< Qdemandada
Desacumulación
de Inventario
Se crea una fila adicional en el cuadro, que
corresponde a la desacumulación de inventario
Si Qofrecida
< Qdemandada
Demanda No
Satisfecha
Se crea una fila adicional en el cuadro, que
corresponde a la demanda no satisfecha
EXCESO DE DEMANDA
Casos Posibles:
Si Qofrecida
< Qdemandada
Producción en
Turno Extra
Se crea una fila adicional en el cuadro, que
corresponde a la producción en turno extra
(sobretiempo)
EJEMPLO
Una compañía manufacturera dispone de 3
fábricas con diferentes capacidades y costos de
transporte para el destino de sus 4 almacenes.
La información pertinente se muestra en la tabla:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1
23
18
21
25
650
2
21
24
23
18
600
3
18
21
27
23
700
Demanda
300
450
500
600
Para resolver se arma un cuadro simplex
METODOLOGIA DEL SIMPLEX
1) Se arma el tableau inicial
2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible
3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima
4) Si no es la solución óptima, se itera hallando
una nueva solución factible, para verificar si la
nueva solución factible es o no es óptima
5) Se realizan tantas iteraciones como sean
necesarias hasta encontrar la solución óptima
METODOS PARA LOGRAR LA
1ª SOLUCION FACTIBLE
• Esquina Nor-Oeste
• Vogel
Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad
inmediata, solo garantizan la factibilidad
Iteraciones: Si la solución básica no es óptima,
se deben reasignar recursos, mediante el criterio
de la minimización de los costos, lo que implica
realizar iteraciones al cuadro
METODO ESQUINA NOR-OESTE
Asigna el máximo número de unidades a
transportar en la celda ubicada en la esquina noroeste del cuadro tableau
Luego, se asigna el máximo número de unidades
a transportar en la celda aledaña correspondiente,
según las restricciones de demanda en los
destinos y las restricciones de oferta en las
fuentes
METODO ESQUINA NOR-OESTE
Si en principio, la asignación de la esquina noroeste es una restricción de demanda, entonces no
es posible asignar hacia abajo en el tableau y se
asigna hacia el lado
Mientras que, si la asignación inicial es una
restricción de oferta, entonces no es posible
asignar hacia el lado en el tableau y se asigna
hacia abajo
Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau,
de acuerdo al criterio recientemente descrito
METODO ESQUINA NOR-OESTE
En general:
Si no se puede asignar más
por restricción de demanda
Se completa
hacia el lado
Si no se puede asignar más
por restricción de oferta
Se completa
hacia abajo
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
600 100
Demanda
Como
300
450
500
600
Qofrecida > Qdemandada
100
650
600
700
1950
1850
Acumulación
de Inventario
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
El problema de transporte es una aplicación de la
programación lineal, para el caso específico de
variables de decisión bidimensionales (Xij, con
dos subíndices: ij)
La programación lineal se concibe y comprende,
a partir de conceptos geométricos y un sistema
de ecuaciones lineales (que en el caso del
modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada)
Los conceptos geométricos implican el uso de
espacios vectoriales, con determinada dimensión
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
La dimensión es el rango del espacio vectorial, que
representa la cantidad de componentes requerida
en la base o vector de variables básicas ( XJ )
Si se cumple con el rango establecido, entonces el
conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema
cumple la condición de linealidad: o sea, todas las
restricciones son linealmente independientes (l.i.)
La condición de linealidad o restricciones
linealmente independientes, es condición
ineludible para aplicar la metodología del simplex
DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
Programación Lineal con
variables de decisión
unidimensionales (caso Xi)
Rango = m
Donde m es el número de restricciones l.i.
Programación Lineal con
variables de decisión
bidimensionales (caso Xij)
Rango = m + n - 1
Donde: • m es el número de columnas del tableau
• n es el número de filas del tableau
SOLUCION DEGENERADA
Existe cuando en la solución básica hay al menos
una variable cuyo valor es igual a cero
Cuando la solución es óptima y a la vez
degenerada, entonces hay múltiples soluciones
óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones
La solución degenerada no
implica dificultad para el
problema de programación
lineal, es simplemente un
caso particular
SOLUCION DEGENERADA
Número de Variables Básicas
=
m+n-1
m: Número de columnas en el tableau (destinos)
n : Número de filas en el tableau (fuentes)
Si
Variables
básicas
<
(m+n-1)
Existe
solución
degenerada
SOLUCION DEGENERADA
Para completar una base con solución
degenerada, se ingresan tantos valores ceros
como sean necesarios para completar el rango
(dimensión) requerido por el espacio vectorial
Cuando se ingresa uno o más valores ceros,
no se hace en cualquiera celda vacía al azar
El o los valores ceros, deben
ingresarse tal que se
disponga una base
linealmente independiente (l.i.)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
(m+n-1) = 7
Sin embargo, en la asignación inicial del método
de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables
básicas (celdas ocupadas)
Por lo tanto, existe una solución degenerada.
Luego, debe ingresarse un valor cero para
completar la base de iteración
Ingresa XP3A2 = 0
Pudo ser también en
otras celdas vacías
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
600
100
650
600
700
1950
1950
XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
BASE LINEALMENTE
INDEPENDIENTE (L.I.)
Una base es linealmente independiente cuando
permite realizar la verificación de la condición de
optimalidad para cada variable no básica (celda
vacía en el tableau)
Aquello acontece cuando se forma un único
lazo alrededor de cada una de las variables
no básicas, determinando para cada una de
éstas, si realizan o no realizan aporte a la
minimización de costos del problema
BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA
Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando
los precios sombra de cada una de las variables
no básicas (celdas vacías en el algoritmo de
transporte), para saber si es que hay algún ahorro
respecto del costo total (valor de la función
objetivo z) de la reciente iteración
Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y
toman un valor, que en general es mayor que cero
Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau
(celdas vacías) y necesariamente valen cero
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Permite comprobar si una solución básica factible
es o no es óptima, evaluando el precio sombra o
costo marginal asociado al transporte o envío de
una unidad en cada variable no básica o celda
desocupada en el tableau
Verificar la condición de
optimalidad se efectúa por
medio de la formación de
“lazos”, alrededor de cada
variable no básica
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Lazos: Son los caminos que se forman dentro del
tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que
se cierran mediante movimientos exclusiva y
alternadamente, horizontales y verticales
Por ejemplo:
El primer vértice del lazo es una celda no
básica, la cual también es el último
vértice, cerrando el lazo. Los demás
vértices del lazo necesariamente son
variables o celdas básicas
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
El costo marginal referido a la verificación de la
optimalidad, se obtiene a través de los mismos
costos unitarios presentes en las celdas del lazo,
según la transferencia de unidades asignadas
que exista en cada celda del lazo:
Si la celda del lazo
recibe unidades
en la transferencia
Se suma el costo
unitario de la celda
para la verificación
Si la celda del lazo
entrega unidades
en la transferencia
Se resta el costo
unitario de la celda
para la verificación
VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
En el ejemplo, para la celda P2A1
(planta 2 y almacén 1) se tiene:
-23 Alm.1
Planta 1 300
Planta 2
+21
Alm.2 +18
350
100
-24
CMg = +21 -24 +18 -23 = - 8
Hay un Ahorro
Marginal, es el
concepto de
precio sombra
PRECIO - SOMBRA

Es cuánto varía la función objetivo respecto del
cambio en una unidad de una de sus variables
componentes
La verificación de optimalidad requiere obtener el
precio sombra de todas las celdas vacías, para lo
cual se necesita formar los lazos respectivos
Una base linealmente
independiente garantiza un
único lazo alrededor de cada
una de las variables no básicas
CONDICION DE OPTIMALIDAD
ij > 0 , ij X
A
Si
J
Solución óptima
La solución factible es óptima cuando no
existe posibilidad alguna de ahorro marginal,
lo que ocurre cuando todos los precios
sombra son mayores o iguales a cero
CONDICION DE OPTIMALIDAD
E
Si

ij
< 0 ,ij

XJ
Solución no
es óptima
Mientras exista al menos un precio sombra
menor que cero en las celdas no básicas de las
iteraciones del tableau, entonces su solución
factible no es óptima, por lo que entonces deben
continuarse las iteraciones
Si hay dos o más precios sombra menores a cero,
se determina que ingresa a la base la variable no
básica que origina el precio sombra más negativo
ITERACIONES
Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se
transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo
de las celdas que entregan unidades en la
transferencia, para así conservar la condición
de factibilidad
Xij > 0
i,j
A
Cada vez que se realiza una iteración
(reasignación de unidades), a continuación se
necesita volver a calcular los precios sombra,
hasta verificar que se alcanza la solución óptima
CONCEPTO DE LA GRAN “M”
Si
CMg
=
8
En caso de que no se pueda o no se desee
almacenar o asignar unidades, el método de
transporte define un costo unitario de transporte
igual a “M”, que representa un costo marginal
infinito, que en el tableau se expresa de la
siguiente manera:
M
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
-8
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
600
 P2A1 = + 21 - 24 + 18 - 23 = - 8
100
650
600
700
1950
1950
Se deben calcular todos los precios sombra
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
-8
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
600
 P1A3 = + 21 - 18 + 24 - 23 = + 4
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
+5
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
-8
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
600
 P1A4 = + 25 - 18 + 21 - 23 = + 5
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
+5
+3
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
-8
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
 P1INV
300
450
500
= + 0 - 18 + 21 - 0 = + 3
600
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
+5
+3
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
-8
-8
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
600
 P2A4 = + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
+5
+3
300
350
21
24
23
18
0
Planta 2
-8
-8
-3
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
 P2INV = + 0 - 24 + 21 - 0 = - 3
600
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
+5
+3
300
350
0
21
24
23
18
Planta 2
-8
-8
-3
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
E
Demanda
300
 P3A1 = No Existe
450
500
600
650
600
700
100
Pues no pueden asignarse
unidades desde P3A2
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
+4
+5
+3
300
350
0
21
24
23
18
Planta 2
-8
-8
-3
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
E
E
Demanda
300
 P3A3 = No Existe
450
500
600
650
600
700
100
Pues no pueden asignarse
unidades desde P3A2
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
25
0
18
21
Planta 1
300
350
0
21
24
23
18
Planta 2
-8
-8
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
0
600 100
Demanda
300
450
500
 P2A4 = + 18 - 24 + 21 - 23 = - 8
600
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Entra XP2A4 y Sale XP2A2. Unidades Transferir = 100
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
18
21
23
25
0
Planta 1
300
350
0
21
24
23
18
Planta 2
100
100
500
18
0
21
27
23
Planta 3
0
600
100
500 100
Demanda
300
450
500
600
650
600
700
100
XJ2 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A2,XP3A4,XP3INV)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
18
21
25
0
Planta 1
-4
+5
+3
300
350
0
21
24
23
18
Planta 2
0
+8
+5
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
-8
-1
100
500 100
Demanda
300
450
500
600
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
18
21
25
0
Planta 1
300
350
0
21
24
23
18
Planta 2
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
-8
100
500 100
Demanda
300
450
500
600
 P3A1 = + 18 - 23 + 18 - 21 = - 8
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Entra XP3A1 y Sale XP3A2. Unidades Transferir = 100
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
18
21
23
25
0
Planta 1
200
450
350
300
0
21
24
23
18
Planta 2
100
500
18
0
21
27
23
Planta 3
100
500 100
100
Demanda
300
450
500
600
650
600
700
100
XJ3 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Cálculo de los Precios Sombra para 3ª iteración:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
18
21
25
0
Planta 1
-12
-3
-5
200
450
0
21
24
23
18
Planta 2
+8
+16 500
+5
100
18
21
27
23
0
Planta 3
+8
-1
100
500 100
Demanda
300
450
500
600
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
18
21
25
0
Planta 1
-12
200
450
0
21
24
23
18
Planta 2
100
500
18
21
27
23
0
Planta 3
100
500 100
Demanda
300
450
500
600
100
 P1A3 = + 21 - 23 + 18 – 23 + 18 - 23 = - 12
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Entra XP1A3 y Sale XP1A1. Unidades Transferir = 200
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
18
21
23
25
0
Planta 1
200
200
450
0
21
24
23
18
Planta 2
300
300
500
100
18
0
21
27
23
Planta 3
100
500 100
300
300
Demanda
300
450
500
600
650
600
700
100
XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Cálculo de los Precios Sombra para 4ª iteración:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
18
21
25
0
Planta 1
+12 450
+9
+7
200
0
21
24
23
18
Planta 2
+8
+4
+5
300
300
18
21
27
23
0
Planta 3
-4
-1
300
300 100
Demanda
300
450
500
600
100
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Revisión del lazo para la iteración correspondiente:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
23
18
21
25
0
Planta 1
200
450
0
21
24
23
18
Planta 2
300
300
18
21
27
23
0
Planta 3
-4
300
300 100
Demanda
300
450
500
600
100
 P3A2 = + 21 - 18 + 21 – 23 + 18 - 23 = - 4
650
600
700
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Entra XP3A2 y Salen XP2A3 y XP3A4. Transferir = 300
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
18
21
25
0
Planta 1
450
200
150
500
0
21
24
23
18
Planta 2
600
300
0
300
18
0
21
27
23
Planta 3
300
300
300 100
23
Demanda
300
450
500
600
650
600
700
100
XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Cálculo de los Precios Sombra para 5ª iteración:
Hacia
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta
Desde
18
21
25
0
Planta 1
+8
+9
+3
500
150
0
21
24
23
18
Planta 2
0
600
18
0
21
27
23
Planta 3
+3
+4 100
300
300
23
E
E
300
E
Demanda
450
500
600
650
600
700
100
Se halló la solución óptima, que es degenerada
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Solución Óptima del Ejercicio:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP1A2 = 150
XP3A1 = 300
XP1A3 = 500
XP3A2 = 300
XP3INV = 100
 ij > 0
A
XP2A3 = 0
XP2A4 = 600
i,j
 XJ
La solución no
es única, pues
es una solución
degenerada
Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) +
+ (300*18) + (300*21) + (0*100)
Z = Costo Total = $ 35.700
EJEMPLO
Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1
23
18
21
25
650
2
21
24
23
18
600
3
18
21
27
23
700
Demanda
300
450
500
600
Considere que los costos unitarios de producción
son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3
respectivamente. Por política de la empresa, no se
permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2.
Plantee como problema de programación lineal y
encuentre la asignación óptima por método Vogel
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema
de programación lineal, se procede
cumpliendo las siguientes etapas:
1.- Comprensión del problema (lectura en detalle)
2.- Definición de las variables de decisión
3.- Descripción de la función objetivo
4.- Identificación de las restricciones del problema
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Resulta imprescindible definir las variables de
decisión. Si no se definen las variables de decisión,
entonces es imposible determinar qué significan las
denominaciones Xij que, a continuación, se
describen en la función objetivo y las restricciones
En un problema de transporte, las
variables de decisión contemplan
todas las combinaciones posibles de
flujos de distribución física, a transferir
desde las fuentes hacia los destinos
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Se define como función objetivo la minimización
de los costos de transporte asociados a la red de
distribución física
Las restricciones incluyen un
conjunto de restricciones de
oferta (una por cada fuente) y
otro conjunto de restricciones
de demanda (una por cada
destino), sin olvidar la
condición de no negatividad
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones
(oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades
( < , > ) y el otro de ellos son igualdades ( = ), lo que
depende del contraste entre oferta total y demanda
total. Caso exceso de oferta:
Si Oferta Demanda
total > total
Restricciones Oferta <
Restricciones Demanda =
Situación válida tanto para acumulación
de inventario como capacidad ociosa
(unidades a no producir)
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones
(oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades
( < , > ) y el otro de ellos son igualdades ( = ), lo que
depende del contraste entre oferta total y demanda
total. Caso exceso de demanda:
Si Oferta Demanda
total < total
Restricciones Oferta =
Restricciones Demanda <
Situación válida para caso de demanda no satisfecha
Si Oferta Demanda
total < total
Restricciones Oferta >
Restricciones Demanda =
Situación válida para los casos de desacumulación
de inventario y de producción en turno extra
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
El ejemplo considera dos categorías de costos,
por lo que se deben sumar los costos unitarios de
producción con los costos unitarios de transporte
La tabla de costos para plantear el problema de
programación lineal queda así:
A1
P1 41
P2 46
P3 28
A2
36
49
31
A3
39
48
37
A4 INV
43 M
43 M
33 10
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Sea Xij: Número de unidades a transportar desde
la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo
donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 }
j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3,
almacén 4 }
Función objetivo: Minimizar Z (producción + transporte)
Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 +
46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 +
28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Para el ejemplo planteado:
Costo Unitario de Transporte a cada Almacén Capacidad
Planta Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 (unidades)
1
23
18
21
25
650
2
21
24
23
18
600
3
18
21
27
23
700
Demanda
300
450
500
600
Oferta total = 1950
Demanda total = 1850
Luego, se plantean:
Hay un exceso de oferta
• Restricciones Oferta <
• Restricciones Demanda =
PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Restricciones de Oferta:
s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A4
XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A4
XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A4
650
600
700
= 300
= 450
= 500
= 600
Restricciones de No Negatividad: Xij
>0
A
Restricciones de Demanda:
s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A1
XP1A2 + XP2A2 + XP3A2
XP1A3 + XP2A3 + XP3A3
XP1A4 + XP2A4 + XP3A4
<
<
<
, ij
METODO DE VOGEL
>
>
Selecciona las diferencias de ahorros más altas y
luego asigna el máximo número de recursos
productivos en la celda con el mínimo costo
unitario, según las restricciones de oferta y de
demanda
z
z
Gradiente:
g(x) =
xi +
yj

Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo
avanzado: calcula un gradiente moviéndose por
la mayor pendiente, asignando unidades en las
celdas con el menor costo marginal
Vogel es más inteligente y rápido que la esquina
noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad
ETAPAS DEL METODO VOGEL
1) Calcular las diferencias entre los dos costos
unitarios más bajos para cada fila y para cada
columna, en el tableau
2) Se escoge la mayor de las diferencias y se
ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la
celda con el menor costo unitario, asignándole el
máximo número de unidades posible
3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta
total o demanda total, respectivamente, por
efecto de la asignación reciente
ETAPAS DEL METODO VOGEL
4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1),
recalculando las diferencias entre los dos costos
unitarios más bajos para cada fila y para cada
columna, seleccionando la mayor de tales
diferencias, para identificar en dicha máxima
diferencia la celda con el menor costo unitario y
asignar en dicha celda el máximo número de
unidades posibles, según las restricciones de
oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que
ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau
5) Se asignan las celdas restantes en forma manual
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Al resolver el problema de transporte, sólo se
consideran los costos diferenciales, por lo que si
bien se deben sumar los costos unitarios de
producción con los costos unitarios de transporte,
es posible reducir la tabla de costos según:
A1
P1 41
P2 46
P3 28
A2
36
49
31
A3
39
48
37
A4 INV
43 M
43 M
33 10
A1
P1 31
P2 36
P3 18
Como sólo interesan los costos
diferenciales, podría trabajarse
A2
26
39
21
A3
29
38
27
A4 INV
33 M
33 M
23 0
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.2
P.3
Dda
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Ofta
26
29
M
31
33
3
650
36
39
38
33
M
600 3
27
18
21
23
0
18
100 700
300 450 500 600 100
13
5
2
10
M
1ª asignación: en la celda con menor costo de la
mayor de las diferencias de mínimos costos
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.2
P.3
Dda
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Ofta
26
29
M
31
33
3
650
36
39
38
33
M
600 3
27
18
21
23
0
3
300
100 700
300 450 500 600 100
13
5
2
10
1ª asignación: XP3A3 = 100
2ª asignación: XP3A1 = 300
M
.... y así se completa
sucesivamente
EJEMPLO DE TRANSPORTE
P.1
P.2
P.3
Dda
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven
26
29
M
31
33
450 200
36
39
38
33
M
300 300
27
18
21
23
0
300
300 100
300 450 500 600 100
10
5
2
13
M
13
9
0
*
*
Ofta
650
3 4
*
600 3 5
18
3
2
700
*
EJEMPLO DE TRANSPORTE
1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M
2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13
3ª asignación: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 10
4ª asignación: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 13
5ª asignación: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 9
6ª asignación: XP2A3 = 300
Asignación
manual
7ª asignación: XP2A4 = 300
Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible,
sin embargo falta verificar la condición de optimalidad e iterar vía simplex si es que es necesario
EJEMPLO DE TRANSPORTE
XJ1 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)
Planta 1
Planta 2
Planta 3
Demanda
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven
26
29
M
31
33
+12 450 200
+9
+M
36
39
38
33
M
+8
+4 300 300
+M
27
18
21
23
0
-4
-1 300 100
300
300 450 500 600 100
Oferta
650
600
700
De acuerdo al cálculo de los precios sombra
Entra XP3A2 y salen XP2A3 y XP3A4. Transferir = 300
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0
Planta 1
Planta 2
Planta 3
Demanda
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven
26
29
M
31
33
450
150 200
500
36
39
38
33
M
0 300 600
300
27
18
21
23
0
300 300
300 100
300 450 500 600 100
Oferta
650
600
700
XJ2 = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
Ya que
 ij > 0
A
Demanda
E
Planta 3
E
Planta 2
i,j
 XJ
E
Planta 1
Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven
26
29
M
31
33
+8 150 500
+13 +M
36
39
38
33
M
0
600
27
18
21
23
0
+3
+8 100
300 300
300 450 500 600 100
Oferta
650
600
700
La solución
es óptima
EJEMPLO DE TRANSPORTE
Solución óptima del ejemplo:
XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV)
XP2A2 = 0
XP2A4 = 600
XP3A1 = 300
XP3A2 = 300
XP3INV = 100
 ij > 0
A
XP1A2 = 150
XP1A3 = 500
i,j
 XJ
La solución no
es única, pues
es una solución
degenerada
Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) +
+ (300*28) + (300*31) + (100*10)
Z = Costo Total = $ 69.400
(producción + transporte)