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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
• 3.8 Circuito RC en serie y sus aplicaciones
• Se llama circuito RC a la combinación en serie de un
capacitor y un resistor.
• Dicho circuito puede representar cualquier conexión
de resistores y capacitores cuyo equivalente sea un
solo resistor en serie con un solo capacitor.
Ing. Catarino Fernando Pérez Lara
Facultad de Ingeniería, UNAM
Universidad Nacional Autónoma de México
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Carga de un circuito
En la figura se muestra un circuito RC conectado a una
fuente de voltaje continuo ε. El interruptor tiene como
objetivo cargar y descargar al capacitor C.
a
b V
R
Vc
C
+
+
ε
R
- -
El proceso inicia cuando el interruptor se conecta a la
posición “a” en el tiempo t=0 [s] y se considera que el
capacitor se encuentra descargado.
Aplicando ley de Kirchhoff a la malla.
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carga de un circuito
En la figura se muestra un circuito RC conectado a una
fuente de voltaje continuo. El interruptor tiene como
objetivo cargar y descargar al capacitor, al cerrar el
interruptor “a”
R
a
i
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+
+
ε
b
- -
q
C
C
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VR VC ;
LVK
VC=0
t≤0
R i(t ) VC
q(t ) CVc (t )
dVc (t )
dq (t )
i (t ) i (t ) R i (t ) C
C
dt
dt
dVc (t )
R C
VC
dt
Ecuación diferencial no
coeficientes constantes
homogénea
dVc
VC
dt
R C R C
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Ecuación diferencial lineal no homogénea coeficientes
constantes con solución homogénea (VCh) y particular
(Vcp).
dVc
VC
dt
R C R C
dVCh VCh
0;
dt
R C
t
LnVCh C1
;
RC
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dVCh
dt
VCh
R C
C1 LnK
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Sustituimos la
antilogaritmo.
constante
C
y
VCh
t
Ln
K
RC
t
VCh
e RC ;
K
VCh Ke
t
RC
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aplicamos
el
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Solución Particular
Debido a que el segundo miembro de la ecuación
diferencial no homogénea es una constante, derivando
la ecuación homogénea, la solución particular será del
tipo:
Vcp A;
A = Constante
1
A
;
RC
RC
A Vcp
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Solución completa
Homogénea más la particular
Vc t Vch Vcp Ke
t
RC
V 0 0 Ke ; K
0
Vc t 1 e
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t
RC
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Solución completa
La carga del capacitor
qmax
q (t )
Vc t
;
C
C
t
q (t ) qmax
1 e RC
C
C
q(t ) qmax 1 e
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t
RC
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Corriente eléctrica
La corriente en función del tiempo es:
dVc
ic t C
e
dt
R
t
RC
A
Donde el término RC es la constante de tiempo en
segundos.
c RCs
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Entonces las ecuaciones del voltaje y corriente del
capacitor es:
c
Vc t 1 e
t
I c t
R
e
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t
c
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Las gráficas de voltaje y corriente en función de la
constante de tiempo (RC) Tau.
t
0.5c
c
Vc
0.394
0.632
ic
0.607
0.368
2c
3c
4c
0.865
0.95
0.982
0.135
0.05
0.018
5c
6c
0.993
0.998
0.007
0.002
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En las gráficas o en las ecuaciones, se observa que el
capacitor, para cuando, se carga y adquiere el voltaje
de la fuente ε. Para entonces ya no existe diferencia de
potencial en las terminales del resistor, por lo que la
corriente es cero, es decir, si
t
Vc
I c 0
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Para considerar que el capacitor se ha cargado, de
acuerdo con las gráficas para el tiempo el capacitor
prácticamente ya se cargo y la corriente es casi nula.
Es decir, para
t 4 c
se ha alcanzado el 98.2% del valor final del voltaje en el
capacitor y se tiene el t = 4tc resulta el 1.8% de la
corriente inicial en el circuito; es por ello que, para
fines prácticos, se
considera que para
c
se han alcanzado las condiciones estables del circuito.
t 4
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Descarga
Si Después de cargado el capacitor hasta alcanzar una
diferencia de potencial Vc=V0, se cambia el interruptor
a la posición “b”, como se muestra en la siguiente
figura, se obtendrá un circuito a través del cual se
pueda descargar el capacitor, transformando su
energía almacenada en energía en forma de calor en el
resistor.
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Circuito de descarga
Se conecta ahora el interruptor en la posición b.
dVc
RC
Vc 0
dt
dVc
1
Vc
0
dt
RC
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VR
b
i
+
+
dVc
VR Vc 0;VR RI R ; I C C
dt
I R IC
- -
C Vc
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Circuito de descarga
La solución de la última ecuación es
dVc
1
Vc
0
dt
RC
Vc t Vch Ke
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t
RC
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Circuito de descarga
Condiciones iniciales
VC 0 V0 Ke
Vc t V0 e
0
t
RC
V0
dVc
e
I c t C
R
dt
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t
RC
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Circuito de descarga
En la tabla siguiente se muestran los valores de la
diferencia de potencial y de la corriente en el
capacitor para diferentes valores de la constante de
tiempo y considerando como condiciones iniciales
t
Vc
Ic
0.5c
0.607
-0.607
c
0.368
-0.368
2c
0.135
-0.135
3c
0.05
-0.05
4c
0.018
-0.018
5c
0.007
-0.007
6c
0.002
-0.002
Vc V0 1V
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V0
1A
R
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Ejemplo
Se tiene un circuito con una batería una resistencia de 50 Ω y un
capacitor de 100. μF. El capacitor esta completamente descargado.
¿En cuánto tiempo se carga el capacitor al 90% de su carga máxima?
t
RC
q (t ) qmax 1 e
qs(t ) / qma 6 x 90%
q (t ) / qmax
t
RC
0.90
1 e
t
RC
t
Ln0.10
0.10
e
RC
t RCLn0.1 50 100 106 (2.3) 11.5 103 s
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Ejemplo
Si la resistencia del corazón se considera de R2 = 500 Ω, la Fem es de 3.7
V y el corazón late entre 60 y 100 latidos por minuto. No obstante debe
estar preparado a latir a 180 latidos por minuto.
Cuales serían los valores de R y
C
para
usarse
en
un
1
+
marcapasos.
+
b
- -
C
R
R2
Corazón
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t min
1
1 min 60s
0.33s
180lat / min 180 1 min
q qmax (1 e
t
R1C
)
q / qmax (1 e
t
R1C
) 0.95
t min
1 R1C
0.111s
Ln(1 0.95)
si
2 0.5m s
2 R2C 0.5 103 s
0.0005
C
1.0 F
500
1 R1C 0.1s R1 1.0 106
0. 1
3
R1
100
10
6
1.0 10
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Ejemplo
Electrocardiograma.
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Próxima sesión
Tema 4 Magnetostática
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