Transcript Conducci_n_unidimensional

2. CONDUCCIÓN
UNIDIMENSIONAL EN ESTADO
ESTABLE.
a) LA PARED PLANA
En flujo estable con fuente no distribuida
de energía.
Fluido
Caliente Ts1
Fluido
frío
C 2  T s1 y C 1 
T s 2  T s1
L
Ts2
T∞1,h1
T∞2,h2
T ( x) 
T s 2  T s1
L
d  dT 
dT
k

0
,
si
k

Cte
;
 C1


dx  dx 
dx
 T ( x )  C1 x  C 2
y con T ( 0 )  T s 1 y T ( L )  T s 2

Q x   kA

Q"x 
k
L
dT
dx

entonces
x  T s1
kA
L
(T s 1  T s 2 )
(T s 1  T s 2 )
RESISTENCIA TÉRMICA
Haciendo una analogía con el sistema eléctrico:
Re → Resistencia eléctrica; V → Voltaje;
I → Intensidad de corriente eléctrica
Rt → Resistencia térmica; T → Temperatura; Q → Calor.
Re 
V1  V 2

I
L
A
En convección
:
T s1  T s 2
R tcond 
;
R tconv 

T s  T

Q
En el circuito

Qx 
T 1  T s1
1
h1 A
anterior

T s1  T s 2
L
kA

kA
Qx

T s 2  T 2
1
h2 A

L
1
hA
CONTINUA RESISTENCIA TÉRMICA
En tér min os de (T  1  T  2 )

Qx 
(T  1  T  2 )
R tot  1
R tot
h1 A
L
kA
 1
h2 A
Que representa la resistencia de un circuito de resistencias en serie.
T∞1
Ts1
Ts2

Qx
1/h1A
L/kA 1/h2A
T∞2
T∞1

Qx
T∞2
Rtot
PARED COMPUESTA
Para una pared compuesta.
A
Ts1
B

Qx 

C
Q x  UA  T
T2
T3
T∞1, h1
fluido
caliente
Si; U = Coeficiente global de transferencia de
calor, se define:
Rt A

; donde
 Rt
1
L
 Rt 
 A 
h1 A k A A

T  T s1
T
Q x  1
 s1
1 h1 A
LA
LB
kB A
 T2
kAA

1
U 
T∞4;h4
fluido
frío
x
T 1  T 4
Ts2
LC

kC A
  
1
h4 A
1
1 h1  L A k A  L B k B  L C k C  1 h 4
R tot 

Rt 
T

Qx

1
UA
CIRCUITO TÉRMICO EN PARALELO
Una pared compuesta como se muestra
A
B
T1
D
Se puede representar como:
RA
Req
RD
T2
Donde.
C
El circuito térmico es
RB
RA
RD
T1
T2
RC
R eq 
R B RC
R B  RC
Y también:
R tot  R A  R eq  R D
RESISTENCIA DE CONTACTO
Cuando se tienen dos superficies en contacto, debido a sus irregularidades, se presentan
secciones en donde se tienen caídas de temperatura entre estas dos superficies y por lo
tanto, una resistencia térmica llamada resistencia de contacto ( R”tc). El valor de esta
resistencia depende de la presión a que están unidas esta dos superficies, su material y del
tipo de fluido entre estas irregularidades.
R " tc 
T A  TB
A
B

Q"x
TA
TB

Q"x
R”tc depende de:
* Acabado superficial
* Presión de contacto.
* Fluido entre irregularidades
x
RA
R”tc
RB
Ejemplo 2.1. El vidrio de ventana trasera de un carro de vidrio de 4 mm espesor, es
desempañada por una resistencia eléctrica en su superficie interna. Determine la potencia
eléctrica por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura de 15 0C. La
temperatura interior es de 25 0C y hi = 10 w/m2k, al exterior -10 0C y he = 65 w/m2k
SE CONOCE: Temperatura deseada vidrio y
ANÁLISIS. El circuito Térmico:
condiciones interior y exterior de un carro.
T∞i
Tsi
T∞e
SE BUSCA: Potencia por unidad de área para

mantener esa temperatura deseada.
1/hiA L/kA 1/heA
Q"

SE ASUME:,Flujo unidimensional, estado estable
Q "e
Propiedades constantes, radiación y resistencia
de película despreciables.

ESQUEMA.
T  i  T si
T si  T  e
 Q "e 
1
Aire interior
Td
Aire del ambiente

Q e"
hi
Q "e 
vidrio
T∞i
hi

T∞
he
Propiedades: Vidrio a 300 0K; k = 1.4 w/m 0K
T si  T  e
L
k
 1
he

L

 1
k
he
T  i  T si
1
 1270 w / m
hi
Nota : con Q " e  0 ; T si   4 . 6 C
0
2
b) SISTEMAS RADIALES
Un problema común es tener un cilindro hueco
cuyas superficies interior y exterior están a
fluidos de diferentes temperaturas.
L
d2
Con las condiciones de que:
T  r1   T s 1 y T  r2   T s 2
T s 1  C 1 ln r1  C 2 y T s 2  C 1 ln r2  C 2
d1
T r  
fluido
caliente
T∞1 h1
Ts1
Ts2
fluido
frío
T∞2 h2
En estado estable y sin generación.
1 d 
dT 
kr

0
r dr 
dr 
Si k = Cte, integrando dos veces:
T  r   C 1 ln r  C 2

Qr 
 r 
ln    T s 2
r1   r2 
r2 
T s1  T s 2

ln 

2  Lk (T s 1  T s 2 )
R tcond 
r

ln  2 
 r1 
r

ln  2 
 r1 
2  Lk
por lo que
y R tconv 
1
h 2  rL
CILINDRO HUECO COMPUESTO (TUBO)
Un tubo con dos capas de otros materiales
T3 Ts4
T2 B C
r1
A r2 r3
Otra forma:

Qr 
T∞4, h4
r4
U 
T∞1, h1
Qr 
R tot
T 1  T 4
r 
r 
r 
ln  2  ln  3  ln  4 
1
1
 r1 
 r2 
 r3 




2  r1 Lh 1 2  k A L
2 k B L
2  k C L 2  r4 Lh 4
 UA (T  1  T  4 )
1
1
h1
Ts1
Considerando el concepto de resistencia
térmica en sistemas radiales, se puede
deducir la ecuación del calor radial como:

T 1  T 4

r1
kA
 r  1 r1
r  r
 r  r
ln  2   1 ln  3   1 ln  4  
 r1  k B  r2  k C
 r3  h1 r4
Se cumple
que : U 1 A1  U 2 A 2  U 3 A3  U 4 A 4

 R 
1
t
EL RADIO CRÍTICO
Cuando se usa un aislante en un cilindro o un tubo, se reducen las pérdidas de Calor, se incrementa la
resistencia de conducción. También se tiene el efecto de incrementar el área transferencia de calor por
convección reduciendo la resistencia exterior de la película. Estos efectos se deben cuando al variar el
radio exterior del aislante. Considerando un tubo con una capa de aislante.
T 1  T 3

Qr 
r 
r 
ln  2  ln  a 
1
1
 r1 
 r2 



2  r1 Lh 1
2 k t L
2 k a L
2  ra Lh 3
k t y k a Conductivi dades tubo y aislante
T∞1h1
ra
r2
Suponiendo que T1 = T2 = T∞t y que h1 y kt son muy grandes

Qr 
T1 T2T3
r1
T 1  T 3
r 
ln  a 
1
 r2 

2 k a L
2  ra Lh 3
derivando respecto a ra e igualando
k
ra  rcrítico  a
h 3
r
a cero se obtiene :
T∞3 , h3
L
LA ESFERA HUECA
Aplicando este método a una esfera
Hueca, para un volumen de control
Diferencial, la conservación de la energía


requiere que.
Q Q
r
r  dr

Si la Rt se define como la diferencia de
Temperaturas dividida por la razón de calor.

Qr
4
r2
r
r1

Qr 
Q r  dr
r

Ts1
Qr
Ts2
R tcond
dr
En estado estable, unidireccional sin
generación de energía.
R tconv


Q r   kA

dT
  k ( 4 r )
dr

con Q r  Q ( r ) y Cte
2
dT
dr
Q 
dr
2
Ts 2

 k (T ) dT
; k  Cte
Ts1
4  k (T s 1  T s 2 )
1  1 
  
r  r 
 1  2
1 1
1
 

4  k  r1 r2
1

2
4  r2 h




T 2  T 1
1 1
1   1
  
2
4  k  r1 r2   4  r2 h




Ejemplo 2.2. Se tiene un tubo de vapor de diámetro exterior de 120 mm y aislado con silicato de
calcio con 20 mm. Las temperaturas Ts1 = 800 0K y Ts2 = 490 0K. Encuentre el calor radial / m.
SE ASUME: Condición de estado estable, unidimensional y k = Cte
PROPIEDADES: k = 0,089 w/m K.
DIAGRAMA:
Ts2
ANÁLISIS
Ts1


Q ´r 
Vapor

Q ´r 
D1 = 0.12 m
D2 = 0.16 m
Qr
L

2  k (T s 1  T s 2 )
ln 

D
2
D
1


2  ( 0 . 089 )( 800  490 )
ln
 
0 . 16
 603 w / m
0 . 12
COMENTARIO: El calor transferido fuera de
la superficie es disipado a los alrededores
por convección y radiación.
c) CONDUCCIÓN CON GENERACIÓN DE ENERGÍA TÉRMICA
La pared plana.

q
→ Energía uniforme Gen / Vol
T∞1 ; h1
T∞2 ; h2
Si k = Cte

2
d T
dx
2

q
0
k
Ts1
q

T 
q
2k
C1 
x  C 1 x  C 2 ; T (  L )  T s1 ; T ( L )  T s 2
2
T s 2  T s1
2L

; C2 
q
2k
L 
2
T s1  T s 2
2

2
qL 
T ( x) 
1 
2k 
x
L
2
2
Ts2
  T s 2  T s 1 x  T s 1  T s 2

2
L
2
x
CASO ESPECIAL
dT
Cuando: Ts1 = Ts2 = Ts

2
qL 
T (x) 
1 
2k 
x
L
2
2

T ( 0 )  T0 
qL
  T
s

k
2
-L
T∞ h
x
dT
dx

 h (T s  T  ) consideran do T ( x )
xL

2
qL

(
2k
2x
L
2
; T s  T 
)
xL
L
q
T∞ h
Qcond
T0
Ts
dT
dx
 Ts
2k
2
T ( x )  T0  x 
 
T s  T0
L
0
Note que en x = 0 dx
no hay transferencia de
x0
Calor a través del plano, puede representarse por una
superficie adiabática. En x = L
Qcond
Qconv
Qconv
T0
q
Ts
Ts
x
L
T∞ h
qL
h
CASO DE SISTEMAS RADIALES CON GENERACIÓN TÉRMICA
El cilindro. El modelo matemático es: Evaluando en r = 0;
fluido frío
T∞ ,h

1 d  dT  q
r
  0
r dr  dr  k

r
dT
q

dr
r  C1
2
2k
T ( r )  Ts
T0  T s
Qr
 r 
 1   
 r0 
r0
L

q
T (r )  
r  C 1 ln r  C 2
2
4k
CI :
T(r = 0) = T0
Ts
dT
 0 ; T ( r0 )  T s
dr
r0

C 2  Ts 

q
4k
r ; C1  0
2
0
2
2
q r0 
r 
1  2   Ts
T (r ) 
4 k 
r0 
Relacionando Ts a la temperatura del fluido frío T∞

q ( 2  r0 L )  h ( 2  r0 L )( T s  T  )
2

T s  T 
q r0
2h


2
2
q r0 
r 
1  2 
T ( r )  T 

2h
4 k 
r0 
q r0
Ejemplo 2.3. Se tiene un conductor de cobre calibre 12 (2.33 mm de diámetro). La
resistividad del cobre es de 1.73 x 10-8 Ώm, la conductividad térmica es de 380 w/mK y el
coeficiente de transferencia de calor de 10 10 w/m2 k. Determine la ecuación en función
de la corriente eléctrica de la diferencia de temperaturas máxima y del ambiente.
Para un cilindro la temperatura T( r ) tiene
su valor máximo en el centro, cuando r = 0
T ( r  0 )  T max  T  
pero : q 
T max
i Re
r L
2
0

q r0
q r0
2h
i e
2


2

2

T 
 r 
2 2
0

i 1 . 73 x10
4
2
3
2
0
C





ka
h

0 . 11
 11 mm
10
Es interesante evaluar ΔT para este caso
del conductor aislado.

2 380 

1

2
3

380   10 1 . 165 x10
8
1 .165 x10 
 T  0 . 1079 i en
R crítico 
4k
2
i e 
2k

 T   T 
1

2
4  r0 k 
hr 0
2
Se puede calcular el radio crítico si se forra
el conductor con un material que tenga por
ejemplo una ka = 0.11 w/mK.





d) ANÁLISIS DE ALETAS
Se usan aletas para incrementar el área de
contacto del fluido enfriador y así no
incrementar “h” por aumento de potencia.
dQconv
dx
Qx
dAx Ac(x)
x


Qx+dx

Q x  Q x  dx  d Q conv

Q x   kA c


Q x  dx   kA c
dT
dx
k
d 
dT 
A
 c
 dx
dx 
dx 

d Q conv  h .dA s (T  T  ); dA s  área dif .
d 
dT  h dA s
(T  T  )  0
 Ac

dx 
dx  k dx
2
d T
dx
2
 1 dA c  dT  1 h dA s 

 (T  T  )  0
 
 


A
dx
dx
A
k
dx
 c

 c

dT
dx
A c  Sección

Haciendo el balance de energía:
Q x  dx  Q x 
Es la ecuación generalizada de una aleta

d Qx
dx
dx
ALETAS DE SECCIÓN UNIFORME
Def.
Cuando se tienen aletas como en el
Diagrama
Qconv
fluido
T∞ , h
t
T(0) = Tb ; T∞ → fluido
Tb
Ac = Cte
As = Px
P → Perímetro
Qconv
As → área de base a “x”
Qf
2
d T
dx
2
P = 2w+2t
Ac= wt
d
L P = πd
Ac =πd2/4
 0 ; el mod elo queda
dx

hP
kA c
(T  T  )  0
d
 m   0; m 
2
2
dx
 ( x )  C 1

dx
2
w
x
L
dA c
d 
Ac
Qf
 ( x )  T ( x )  T ;
dT
dx
hP
kA c
mx
 C 2
 mx
Con  ( 0 )  T b  T    b
y con x  L ; Se tiene :
CASO (A) Convección en el filo de la aleta
El calor fluye por conducción en la aleta y pasa
a convección en su filo como muestra la figura
hA c [T ( L )  T  ]   kA c
h ( L )   k
 b  C1  C 2
dT
dx
Qconv
xL

dT
dx
xL
Se nota que el gradiente de temperatura
decrece con “x” por la pérdida continua de
calor por convección en caras de la aleta.

Qb  Q
Tb
 kA c
Qb = Qf
dT
dx
 hA c [T ( L )  T  ]
Q
h ( C 1
mL
 C 2
 mL
)  km ( C 1 
mL
 C 2
 mL
f

f

)

Q
Resolviendo para C1 y C2

Cosh .m ( L  x )  



b

Cosh .mL  

h 
 Senh .m ( L  x )
mk 
h 
 Senh .mL
mk 
dT
dx
  kA c
x0
d
dx
x0
 h 
Senh .mL  
 Cosh .mL
mk


hPkA c  b
 h 
Cosh .mL  
 Senh .mL
mk


xL

f
  kA c

Af
h T ( x )  T  dA s 

Af
h  ( x )dA s
Af → Área total de aleta incluyendo el filo
de la aleta.
OTROS CASOS DEL ANÁLISIS DE LA ALETA
CASO (B). Si la convección en el filo del aleta
es despreciable, se trata como adiabático.
d
dx

xL

b
Cosh .m ( L  x )

b


Qf 
 L
 b Senh .mx  Senh ( L  x )
Senh .mL
hPkA c  b
Cosh .mL   L  b 
Cosh .mx

Q
0
CASO ( C). Θ(L) = θL
f

hPkA c  b Tanh .mL
CASO ( D ). L → ∞ ; θL → o

NOTA. Para usar los resultados del análisis
del CASO (A), se tiene que en la práctica es
válido si (mL) < 2.65. Si (mL) ≥ 2.65 se puede
usar la aproximación infinita.
Senh .mL
 
b

Q
f

 mx
hPkA c  b
EJEMPLO 2.4. Una barra de bronce de 0.1 m largo y 0.005 m diámetro, se extiende
horizontalmente de una fundición a Tb = 200 0C.La barra está en el ambiente a T∞ = 200
C y h = 30 w/m2 K. ¿ cual es la temperatura de la barra a 0.025, 0.050 y 0.1 m ?. Bronce
a 110 0C; k = 133 w/mK
Diagrama.
Evaluando.
L = 0.1 m
Aire a T∞ y h x1 = 0.025 m,
x2 = 0.050 m
Tb
d
x1
x
 hP 
m  

kA
 c
1 2
x2
L
 4 x 30

 

 133 x 0 . 005 




 

1 2
 4h 
 

 kd 
1 2
1 2
 13 . 43 m
1
.mL  2 . 04 ; Senh .mL  1 . 78
30
 


  0 . 0168
  133 x 0 . 005 
y con :  b  200  20  180
:


hd
 

d2
 k  
 4

Cosh
 h

 mk
con mL  1 . 34
 h 
Cosh .m ( L  x )  
 Senh .m ( L  x )
 mk 
 
b
h


Cosh .mL  
 Seh .mL
mk


 
Cosh .m ( L  x )  0 . 0168 Seh .m ( L  x )
2 . 07
X(
m)
Cosh.
m(L-x)
Senh.
m(L-x)
θ
X1
1.55
1.19
136.5
156.5
X2
1.24
0.725
108.9
128.9
L
1.00
0.00
87.0
107.0
T(0 )
(180 )
RENDIMIENTO DE ALETAS
Rendimiento de una aleta
εf → Efectividad. Relación de la transferencia
de calor de la aleta a la razón de calor
transferido si no existiera la aleta. εf
justificar las aletas.
En caso ( D )
f
 kP 

 

 hA c 
Q

f

y R tconv 

Q
f 

f

Q max

Q
f
hA f  f
Aleta recta, área transversal uniforma y filo
adiabático.
2
El rendimiento se puede evaluar en términos
de resistencia térmica.
b
1
R tcond 

> 2 para
1

Eficiencia de una aleta “ηf”.
Af → Área de la superficie de la aleta.
hA cb
f
R tcond
R tconv
Acb → Área de sección transversal de aleta
en su base.
f 
MTanh .mL
hPL  b

Tanh .mL
mL
; 0   f  1; L  
Filo adiabático, sección recta o cilíndrica
Lc  L 
Lc  L 

Q
f
f
t
2
d
 Secc recta
 Secc cilíndrica
4
 MTanh .mL c ; M 
Tanh .mL c

mL c
hPkA c . b
RENDIMIENTO DE ALETAS II
Errores con la aproximación despreciables si:
ht
k
ó
hd
Aleta sección transversal no-uniforme:
Caso de secc. anular; Ac = 2πrt, varía con “r ”
Reemplazando “r” por “x” en Ec. de calor.
 0 . 0625
2k
2
d T
Si w  t  P  2 w y
1
dr
1
 hP 
 2h  2
 Lc  
mL c  
 Lc

 kt 
 kA c 
2
 L2 
multiplica ndo por  c1  y con A p  L c t
 2 
 Lc 
2

1 dT
r dr
2
con m 
2
2
kt
 3
 L2
 c

d 
2
dr
2

1 d
2h
kt
A s  2  r  r1
1
 2h
mL c  
 kA
p


2
(T  T  )  0

Área de la Sup
y   T  T
m  0
2
r dr
solución :  ( r )  C 1 I 0 ( mr )  C 2 K 0 ( mr )
I 0 y K 0 funciones de Bessel
primera y segunda clase
orden cero
RENDIMIENTO DE ALETAS III
Eficiencia secc transversal no uniforme


b

Q
f
I 0 ( mr ) K 1 ( mr 2 )  K 0 ( mr ) I 1 ( mr 2 )
I 0 ( mr1 ) K 1 ( mr 2 )  K 0 ( mr1 ) I 1 ( mr 2 )
dT
  kA cb
dr
  k ( 2  r1t )
r  r1
 ( 2  kr1t m  b )
t
d
dr
r  r1
K 1 ( mr1 ) I 1 ( mr 2 )  I 1 ( mr1 ) K 1 ( mr 2 )
r1
K 0 ( mr1 ) I 1 ( mr 2 )  I 0 ( mr1 ) K 1 ( mr 2 )

f 
Q
f
2  h ( r2  r1 ) b
R taleta 
2
2
1
hA f 

m ( r2  r1 ) K 0 ( mr1 ) I 1 ( mr 2 )  I 0 ( mr1 ) K 1 ( mr 2 )
2
 Re sistencia
f
K 1 ( mr1 ) I 1 ( mr 2 )  I 1 ( mr1 ) K 1 ( mr 2 )
2 r1
2
térmica
de aleta
L
r2
r2c = r2 + t/2
Lc = L + t/2
Ap = Lct
EFICIENCIA DE SUPERFICIE GLOBAL
Se tienen “N” aletas en un equipo térmico, la eficiencia de superficie global es:

o 
Q

f


Q max
Q
f
hA f  b
A f  Área de aleta  Área porción
AT  NA f  Ab
N  Número de aletas
AT  ÁreaTotal

Q T  N  f hA f  b  hA b b
o  1
NA f
AT
(1   f )
exp uesta
Problema: Vapor de agua fluye por tubo Dext = D1 = 3 Cm a T = 120 0C. El tubo tiene aletas
circulares de Al (k = 180 w/m 0C) de D2 = 6 Cm y espesor, t = 2 mm. El espacio entre aletas
es de 3 mm por lo que son 200 aletas/m. El aire exterior está a T∞ = 25 0C, h = 60 W/m2 K.
Determine el incremento de la TC del tubo/m por la adición de las aletas.
Análisis:
Si no se tienen aletas:
Asa = πD1L = π (0.03)(1) = 0.0942 m2

Q sa  hA sa (T b  T  )  60 ( 0 . 0942 )( 120  25 )
 537 W
Con estos datos en la gráfica de eficiencia para esta aleta:
η = 0.96
A aleta  2  ( r2 c  r1 )  2  ( 0 . 031  0 . 015 )  0 . 004624 m
2

2
2
2

Q aleta   aleta Q max   aleta hA aleta (T b  T  )
 0 . 96 ( 60 )( 0 . 004624 )( 120  25 )  25 . 3W
La TC en parte libre de aletas es:
Para aletas circulares sujetas a un tubo en
Alibre   D 1 S   ( 0 . 03 )( 0 . 003 )  0 . 000283 m
una gráfica se tiene:
L 
1
2
( D 2  D1 ) 
r2 c  r2 
t
2
1
2
 0 . 03 
( 0 . 06  0 . 03 )  . 015 m
0 . 002
2
0 . 002
 0 . 031 m

Q libre  hA libre (T b  T  )  60 ( 0 . 000283 )( 120  25 )
 1 . 6W
L c  L  2  0 . 015  2  0 . 016 m
5
2
A p  L c t  0 . 016 ( 0 . 002 )  3 . 2 x10 m
t
Se tienen

r2 c

r2
  L
3
2
c
0 . 031
kA p
200 aletas / m



Q T  200 ( Q aleta  Q libre )  200 ( 25 . 3  1 . 6 )  5380 W
 2 . 07

0 . 015
h


Q incremento  Q T  Q sa  5380  537  4843 W
3
 ( 0 . 016 ) 2
2
60
80 ( 3 . 2 x10
5
 2 . 07
)

 aleta 
QT

Q sa

5380
537
 10
2