Transcript 3-1 符號邏輯與真值表3-2 布林代數與邏輯閘3

第03章 數位邏輯
GoTop--計算機概論(第二版) 吳權威 王緒溢編著
1
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3-1
3-2
3-3
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符號邏輯與真值表
布林代數與邏輯閘
邏輯電路簡化技巧
2
3-1 符號邏輯與真值表
3-1.1 什麼是符號邏輯
 3-1.2 布林函數的真值表
 3-1.3 用真值表找出布林函數

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3
什麼是符號邏輯？

符號邏輯就是以邏輯運算符號和邏輯運算
元組合而成的邏輯運算式，邏輯的常數分
別以0和1來代表真和假。
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邏輯常數
邏輯涵義
0
假
1
真
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邏輯運算符號：
AND：代表「且」運算，以「‧」表示。
 OR：代表「或」運算，以「+」表示。
 NOT：代表「否」運算，以「，」或「￣」
表示。

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5
邏輯運算元：

以英文字母A、B、C……來表示，而運算
元的值可能為0或1，因此又可稱為二元變
數。
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6
邏輯運算式所表示的意義：

(1) X‧Y


(1) X AND Y

(2) X＋Y


(2) X OR Y

(3) X＋Y‧Z


(3) X OR Y AND Z

(4) A‧ B ＋C


(4) A AND B OR C

(5) A‧B‧C‧D


(5) A AND B AND C
AND D
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AND（且）邏輯運算符號說明：
需要兩個運算元，只有當運算元均為”真”
時，其結果為”真”，否則為”假”。
 在X‧Y式中，當X=1、Y=1時，邏輯運算式
X AND Y的值為1，其餘的情況則為0。

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OR（或）邏輯運算符號的說明：
需要兩個運算元，只要有其中一個運算元
為“真”時，其結果為“真”，只有當兩
個運算元均為“假”時，其結果為“假”。
 在 X＋Y式中，當X=0、Y=0時，邏輯運算
式X OR Y的值為0，其餘的情況則為1。

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NOT（否）邏輯運算符號說明：

只需要一個運算元，當運算元為“真”時，
其結果為“假”，而當運算元為“假”時，
其結果為“真”。
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10
布林函數-1：

布林函數（Boolean function）是指以邏輯運
算式所構成的函數。例如：
 (1)
 (2)
 (3)

F(X,Y)=X‧Y
F(X,Y)=X＋Y
F(A,B,C)=A‧ B＋C
上述三個布林函數的名稱均為F，這三個函
數的邏輯運算式不同，其運算結果也就不
一樣。
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布林函數-2：

在邏輯函數中，AND運算子必須優先運算，可以
省略不用，例如：
F(X,Y)=X‧Y
表示為 F(X,Y)=XY

可使用括號來區別運算的先後次序，例如：
F(X,Y,Z)=X(Y＋Z)
上面的函數中，Y、Z先進行OR運算，其結果再
與X進行AND運算。

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真值表：
在邏輯運算式中每一個變數只有0和1兩種
變化。
 為了解布林函數的邏輯值，可以列出函數
的真值表（True Table）。

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函數的真值表-1：
(1)
(2)
F(X,Y)=XY
F(X,Y)=X ＋ Y
X
Y
F
X
Y
F
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
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函數的真值表-2 ：
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用真值表找出布林函數：


已知某一邏輯函數的真值表內容，也可以透過真
值表，寫出相對於真值表的布林函數。
例如：真值表
。
 在上列真值表中顯示，當A、B的邏輯值同為0或同為1
時，邏輯函數值為1，因此邏輯函數可表示
為
。
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用真值表找出邏輯函數的另一個例
子：
按一下滑鼠或鍵
盤檢查答案
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3-2 布林代數與邏輯閘
3-2.1
 3-2.2
 3-2.3
 3-2.4

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布林代數運算定理
邏輯閘
布林函數與邏輯電路
推算邏輯電路的真值表
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18
布林代數運算定理：
布林（George Boole）先生於1854年，發表
布林代數理論。
 建立了符號邏輯以及研究計算機基本原理
的基礎。

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19
運算布林代數可直接引用的定理：
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20
布林函數的簡化過程與所應用的定
理：
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邏輯閘：
邏輯閘（Logic Gate）是一種表示與推算數
位邏輯電路的基本元件，目的是為了簡化
使用的邏輯閘和邏輯電路的運作效率。
 根據邏輯函數中的邏輯符號，使用相對應
的邏輯閘，就可以設計出完整的邏輯電路
圖。

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22
基本的邏輯閘名稱與圖形符號-1：
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23
基本的邏輯閘名稱與圖形符號-2：
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基本的邏輯閘名稱與圖形符號-3：
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基本的邏輯閘名稱與圖形符號-4：
上述的邏輯閘是最基本的電子元件，積體電路（IC）就是以
邏輯閘為基礎的電子元件所組成。例如積體電路編號7408的
IC中，有四個AND閘，且每個閘有兩個輸入﹔而7432 IC中
有四個OR閘，且每個閘有兩個輸入。
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邏輯函數的邏輯電路圖-1：

邏輯函數 F(X,Y,Z)=(X+Y)(Y+Z)的邏輯電路圖表示如下：
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27
邏輯函數的邏輯電路圖-2：

F(X,Y)= (X  Y )( X  Y)
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
F(X,Y,Z)= XY+YZ+XZ
28
推算邏輯電路的真值表：

我們可以將推算邏輯電路圖的真值表，轉換為邏
輯函數，以驗證所設計的電路圖是否正確。
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29
從邏輯電路圖推算真值表：
按一下滑鼠或鍵
盤檢查答案
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30
再看一次電路圖
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31
3-3 邏輯電路簡化技巧
3-3.1
 3-3.2
 3-3.3
 3-3.4
 3-3.5
 3-3.6
 3-3.7

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最小項
最大項
SOP與POS的轉換
什麼是卡諾圖
用卡諾圖化簡二變數邏輯函數
用卡諾圖化簡三變數邏輯函數
用卡諾圖化簡四變數邏輯函數
下一張
32
最小項-1：

所謂最小項（Minterm），是指在邏輯函數中包含
所有二元變數的積項（AND邏輯運算）。例如
F(X,Y,Z)邏輯函數之最小項包括：

下列的積項則不屬於F(X,Y,Z)邏輯函數的最小項：

F(X,Y)邏輯函數之最小項包括：
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33
最小項-2：



n
一個n個變數的邏輯函數共有2 個不同的最小項。
可用m0、m1、m2……mn-1等符號來代表各個最小項。
例如，兩個變數的最小項和符號表如下：
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34
三個變數的最小項和符號表：
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35
標準SOP形式：
任何邏輯函數都可以使用最小項的邏輯和
來表示，這種表示方法稱為標準SOP（Sum
of Product ，簡稱為SOP）形式。
 例如下面的邏輯函數：

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36
簡化邏輯函數：

為了簡化表示的方式，最小項可以使用符
號來表示如下：

再近一步簡化表示如下：
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37
最大項-1：

所謂最大項（Maxterm）是指在邏輯函數中
包含所有二元變數的和項（OR邏輯運算）。
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38
最大項-2：

例如F(X,Y,Z)三變數邏輯函數之最大項包括：
X + Y + Z 、 X + Y +Z、 X +Y+ Z 、 X +Y+Z、
X+ Y + Z 、X+ Y +Z、X+Y+ Z、X+Y+Z

而下列的和項則不是F(X,Y,Z)邏輯函數的最大項：
X+Y、X+Z、Y+Z、 + 、 + 、 +
X Z
X Y Y Z
F(X,Y)二變數邏輯函數之最大項包括：
+ 、 +Y、X+ 、X+Y
X Y X
Y

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最大項-3：



n
一個n個變數的邏輯函數共有2 個不同的最大項。
可用M0、M1、M2……Mn-1等符號來代表各個最大
項。
例如，兩個變數的最大項和符號表如下：
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40
三個變數的最大項和符號表：
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41
標準POS形式：

使用其最大項的邏輯乘積來表示，這種表
示方法稱為標準POS（Product of Sum ，簡
稱為POS）形式。

例如：下面的邏輯函數
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簡化邏輯函數：

為了簡化表示的方式，最大項可以使用符號來表示如下：

再近一步簡化表示如下：
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43
SOP與POS的轉換-1：


使用SOP和POS表示的邏輯函數可以相互轉換，
每一個最小項都有一個對應的最大項。
下表是二變數邏輯函數之最小項和最大項的對應
表。
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44
SOP與POS的轉換-2：

從上張投影片的表中可以看到，
因為
，
邏輯函數
SOP簡化形式為
POS簡化形式為
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45
SOP與POS的轉換-3：

當三變數邏輯函數的SOP形式表示如下時：
F(X,Y,Z)=

 m(1,2,5,7)
則可以轉換為POS形式表示如下：
F(X,Y,Z) =
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 M(0,3,4,6)
46
什麼是卡諾圖？
卡諾圖（Karnaugh Map）是一種非常實用
的簡化邏輯電路的圖解法。
 卡諾圖是由邏輯最小項（或最大項）所組
成的二維矩陣，在矩陣中填入所對應最小
項（或最大項）的值（1或0），然後藉由
矩陣中的二元數值，進行簡化的工作。

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47
兩個變數的卡諾圖表示方式：

兩個變數的卡諾圖，以最小項表示如下：

以最小項的符號表示：
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48
三個變數的卡諾圖表示方式：

三個變數的卡諾圖，以最小項表示：

以最小項的符號表示：
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49
四個變數的卡諾圖表示方式-1：

四個變數的卡諾圖，以最小項表示：
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四個變數的卡諾圖表示方式-2：

以最小項的符號表示：
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51
用卡諾圖化簡二變數邏輯函數：

二變數的邏輯函數只要使用布林代數，就
可以輕易將邏輯函數簡化。
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使用卡諾圖化簡二變數邏輯函數
F(X,Y)=X+Y的操作方法如下：
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55
用卡諾圖化簡二變數邏輯函數的補
充說明：

應用卡諾圖簡化過程中，最重要的技巧，是如何
從步驟4變成為步驟5。在圈圈A中，若以最小項
來化簡，過程如下：
X Y +XY=X( Y +Y)
=X

當您熟悉圈圈的化簡技巧後，就能立即將圈圈A
換成為X，而將圈圈B，換成為Y，所以化簡後的
邏輯函數為X+Y。
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56
使用卡諾圖化簡三變數邏輯函數
的操作方法如
下：
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59
使用卡諾圖化簡三變數邏輯函數
的補充說明：

在圈圈A中，若以最小項來化簡，過程如下：

在圈圈B中，若以最小項來化簡，過程如下：

在圈圈C中，若以最小項來化簡，過程如下：
化簡後的邏輯函數為XZ+XY+YZ。
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使用卡諾圖化簡四變數邏輯函數
的操作方法如下：
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