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BLOQUE 8: Aplica las leyes
de senos y cosenos.
No
todos los triángulos poseen un ángulo
recto (90º)
Aquellos triángulos que no poseen un ángulo
recto se les llama:
.
Por ejemplo estos triángulos:
Si
observas, ninguno de ellos tiene ángulos
rectos.
Calcular
la medida de todos sus lados y ángulos.
Anteriormente
utilizamos FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS cuando eran triángulos
rectángulos.
Ahora
utilizaremos las
para resolver cualquier tipo de
triángulos.
En
cualquier triángulo la relación de cualquiera
de sus lados al seno del ángulo opuesto es
constante.
Así
que, esta ley aplica mayormente cuando
tenemos:
“En
cualquier triángulo la relación de cualquiera
de sus lados al seno del ángulo opuesto es
constante”.
a
b
c
sen A
sen B
sen C
Esta
ley también se puede utilizar de esta otra
forma y ofrece el mismo resultado final:
sen A sen B sen C
a
b
c
Resuelve
el siguiente triángulo, dado que posee
las medidas anotadas en el dibujo:
1. Primero buscamos el tercer ángulo (el que
falta): A 180 (54 72)
A 180 126
A 54
2. Luego los otros lados utilizando la ley de los
senos.
2.- Ahora calculamos los otros lados utilizando la ley de
los senos.
a
c
sen A
sen C
=54º
15
x
sen 5 4
sen 7 2
1 5( sen 7 2) x ( sen 5 4)
1 5( sen 7 2)
x
( sen 5 4)
1 7.6 3 x
3.- Ahora calculamos el lado que falta utilizando la
ley de los senos.
a
b
Sen A Sen B
15
y
Sen 54 Sen 54
15 ( Sen 54) y ( Sen 54)
15 ( Sen 54)
y
( Sen 54)
15 y
=54º
Una vez tengas todas las medidas de los lados y
ángulos el problema terminó.
=54º
y = 15 m
Resuelve
el siguiente triángulo:
1.- Primero buscamos el
ángulo β con la ley de
senos.
2.- Buscamos el tercer
ángulo con suma de ángulos
interiores de un triángulo.
3.- Finalmente, calculamos
el lado que falta utilizando
la ley de los senos.
b
23
47
sen
sen
sen 123
23( sen 123) 47( sen )
23( sen 123)
sen
47
23( sen 123)
sen 1
47
24
2.- Buscamos el tercer ángulo con suma de
ángulos interiores de un triángulo.
180
180 (24 123)
180 147
33
3.- Por último, buscamos el
lado que falta por la ley de
senos.
a
c
Sen Sen
47
c
Sen 123 Sen 33
47 ( Sen 33) c ( Sen 123)
47 ( Sen 33)
c
Sen 123
31 Cm. c
Para medir la longitud d de un lago, se estableció y
se midió una línea de base AB de 125 metros. Los
ángulos A y B son 41.6º y 124.3º, respectivamente.
¿Qué tan largo es el lago?
Como nos dan la medida de un lado, deberíamos
conocer el ángulo en C para luego utilizar la ley de
senos y encontrar d.
1.- Primero encontramos el ángulo C con suma de
ángulos interiores de un triángulo.
C 180 (A B)
C 180 (41.6 124.3)
C 180 165.9
C 14.1
A continuación usaremos la ley de senos para
encontrar el lado que nos piden d:
2.- Ahora usaremos la ley de senos para encontrar el
lado d que nos piden.
c
a
sen C sen A
125
d
sen 14.1 sen 41.6
125( sen 41.6) d ( sen 14.1)
125( sen 41.6)
d
sen 14.1
340.66 d
No
se tiene entre los datos un
par de elementos opuestos.
Así
que, esta ley aplica
mayormente cuando tenemos:
Estas tres ecuaciones plantean en
esencia lo mismo.
a b c 2bc cos A
2
2
2
b a c 2ac cos B
2
2
2
c a b 2ab cosC
2
2
2
PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El lado opuesto al ángulo
dado.
2
Segundo ángulo (Encuentre
el ángulo opuesto al más
corto de los dos lados
Ley de senos.
dados, siempre será
agudo).
3
Tercer ángulo.
Ley de cosenos.
180° menos la suma de los
otros 2 ángulos.
Resuelve
derecha
el triángulo de la
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para despejar b.
b 2 a 2 c 2 2 a c Cos B
b
a 2 c 2 2 a c Cos B
b
(10.3) 2 (6.45) 2 2(10.3)(6.45) Cos 32.4
b 5.96 cm
Paso 2: Utiliza la ley de senos
para encontrar .
Puesto que el lado c es más
corto que el lado a, debe
ser agudo.
c
b
Sen
Sen
b ( Sen ) c ( Sen )
c ( Sen )
Sen
b
1 6.45( Sen 32.4)
Sen
5.96
35.44
Paso 3: Calcular el tercer
ángulo.
180 ( )
180 (32.4 35.44)
112.16
PASO
ENCUENTRE
MÉTODO
1
El ángulo opuesto al lado más
largo (hay que tener cuidado si el Ley de cosenos.
ángulo es obtuso).
2
De los ángulos restantes, cuál
será agudo (¿Por qué?)
Ley de senos.
Tercer ángulo.
180° menos la
suma de los otros 2
ángulos.
3
Resuelve
el triángulo con a = 27.3 m,
b = 17.8 m y c = 35.2 m
Paso 1: Utiliza la ley de
cosenos para encontrar el
ángulo , que está opuesto
al lado más largo. c 2 a 2 b 2 2ab cos
c 2 a 2 b 2 2ab cos
c2 a2 b2
cos
2ab
2
2
2
(
35
.
2
)
(
27
.
3
)
(
17
.
8
)
cos1
2(27.3)(17.8)
100.49
Paso 2: Utiliza la ley de senos
para encontrar el ángulo α o
β.
Calculemos α.
a
c
sen
sen
c ( sen ) a ( sen )
sen
a ( sen )
c
27.3( sen 100.49)
35.2
sen 1
49.69
Paso 3: Calcular el tercer
ángulo, β.
180 ( )
180 (100.49 49.69)
29.82