Transcript Propriétés du nombre d`or

Les PSTE
mathématiques
Les mathématiques et
l’art
PSTE 2005/2006
Baptiste BECH
Michael BENILUZ
Victor MACHADO
I.
L’origine du nombre d’or
a.
b.
•
•
c.
•
•
d.
•
•
•
Définition
Propriétés du nombre d’or
Présentation
Démonstration
La suite de Fibonacci
Présentation
Applications et expériences
Le nombre d’or en géométrie
Rectangle d’or
Triangle d’or
Pentagone d’or
a.
•
•
Définition
La plus ancienne définition et
construction géométrique de la
section d'or remonte au IIIème
siècle avant J.-C. et est due au
mathématicien grec Euclide, dans
son ouvrage Les Eléments .
Matila Ghyka, lui donne Le nom
nombre d’or ou Phi en l’honneur
de l’architecte grecque Phileas.
Matila Ghyka
b.
•
•
Propriétés du nombre d’or
Soit un grand rectangle de
longueur « x » et de largeur
« 1 » ; soit un carré de coté
« 1 » ; soit un petit
rectangle de longueur « 1 »
et de largeur « x -1 »
Comme x est non nul, nous
obtenons
la
relation
suivante :
•x² - x- 1 = 0
c.
La suite de Fibonacci
• Présentation
•
Fibonacci est à l'origine du premier
modèle mathématique de la
croissance des populations. Il étudia
notamment du point de vue
numérique la reproduction des lapins
•
Les nombres de Fibonacci forment
une suite de nombres que l'on appelle
« suite de Fibonacci ». Un nombre de
la suite s'obtient en ajoutant les deux
nombres précédents de la suite : si
on note un le nième nombre de
Fibonacci, un = un-1 + un - 2
• Application et expérience
•
Dans l’ouvrage Liber Abaci,
Fibonacci a rédigé un
énoncé traitant de la
reproduction des lapins. En
effet, à travers cet exemple il
veut expliquer la
reproduction humaine du
point de vue numérique.
d. Le nombre d’or en géométrie
• Le rectangle d’or
•
Un rectangle d'or est
un rectangle dont le
rapport longueur sur
largeur est égal au
nombre d’or.
On part d'un côté de
longueur 1/2 pour
construire un triangle
rectangle dont les
côtés de l'angle droit
mesurent 1 et 1/2.
Spirale Logarithmique
d. Le nombre d’or en géométrie
• Le triangle d’or
•
C
Le triangle ABC est
un triangle d'or
revient à dire que
ABC est un triangle
isocèle en C, et que
le rapport du grand
côté sur le petit est
égal au nombre d'or.
A
ACB = π/5 = 36°
BAC = CAB = 2π/5 = 72°
B
d. Le nombre d’or en géométrie
• Le pentagone d’or
•
On remarque qu’en
prolongeant les côtés
d'un pentagone, on
obtenait un
pentagramme ou
triple triangle. Ayant
des caractéristiques
particulières car les
trois triangles sont
des triangles d’or.
Pentagramme
II.
L’ utilisation du nombre d’or.
a.
b.
c.
Dans l’architecture
•
Chez les grecs
•
Chez les égyptiens
•
A la renaissance
•
De nos jours
Dans la peinture
•
Leonard De Vinci
•
Botticelli
•
Delacroix
Dans la musique
•
Intervalles musicaux et gammes
•
Fibonacci dans la musique
a.
•
•
•
Dans l’architecture
Les Grecs ont été les premiers à utiliser le nombre d’or dans
leurs constructions. L’exemple le plus flagrant est le Parthénon.
A le renaissance, le schéma nous montre que la façade de
certaines cathédrales sont inscrites dans un rectangle d’or.
Chez les égyptiens, la pyramide de Kheops présente une
particularité atypique. En effet, selon l’historien Hérode, la
proportion entre la hauteur de la face triangulaire et la moitié
du coté de la base carré est égale au nombre d’or.
b.
 Delacroix
Dans la peinture
 Botticelli
 Léonardo da Vinci
c.
•
•
Dans la musique
En musique, en étudiant
deux à deux les fréquences
des notes d’une gamme
particulière et très célèbre,
à savoir la gamme de Zarlin
dans laquelle nous
retrouvons encore une fois
ce fameux nombre d’or.
La gamme de Zarlin est
définie en associant trois
quintes successives.
La superposition de 2 notes
s’appelle un intervalle. Il y en a plusieurs
types dans la gamme de Zarlin :
En ne faisant attention qu’aux quintes et
aux sixtes mineur, nous obtenons les deux
termes consécutifs de la suite de
Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …).
-
la quinte : le rapport vaut 3/2
la sixte mineure : le rapport vaut 5/3
la sixte majeure : le rapport vaut 8/5
III. Les travaux pratiques
entrepris
a.
Le sondage
•
Le rectangle d’or
L’interview
b.
•
c.
d.
Mr Sakarovitch
La visite du Louvre
Etude complète du « Baptême du Christ »
•
•
e.
Application du nombre d’or sous toutes ses
formes
Pourquoi l’avoir utilisé ?
Conception informatique
•
•
Logiciel permettant de calculer la suite de
fibonacci
Animation flash sur « Le Baptême du Christ »
• Le sondage
b.
•
•
L’interview
Interview de Mr Sakarovich, professeur d’histoire
des sciences à la fac et enseignant de géométrie
et de l’histoire de la construction à l’école
d’architecture de Paris.
Cette interview nous a permis de fixer nos limites
sur le sujet et à orienter nos recherches sur le
nombre d’or.
c.
La visite du Louvre
•
La visite au Louvre nous a
été fructueuse dans la
recherche du mélange
original des
mathématiques et de l’art.
d.
Etude complète du « Baptême du Christ »
Application du nombre d’or
sous toutes ses formes.
Le Baptême du Christ de Piero
della Francesca est un chefd’œuvre dans l’application du
nombre d’or. Toutes les formes
géométriques vues
précédemment sont misest en
application dans ce tableau pour
montrer tous l’aspect divin de ce
tableau. En effet, à cette époque
le nombre d’or était appelé
« Proportion Divine ».
d.
Etude complète du « Baptême du Christ »
Pourquoi l’avoir utiliser ?
Piero della Fransesca a utilisé le
nombre d’or dans ce tableau
pour mettre en relation les
personnages divins du tableau et
la « proportion divine ». Les
formes géométriques d’or
utilisées par Piero della
Fransesca ont surtout été
utilisées pour les deux
personnages important du
tableau Jean Baptiste et le
Christ. De plus, la colombe
représentant l’Esprits Saint est lui
aussi mis en relation avec les
deux personnages.
e.
Conception informatique
•
Logiciel permettant de calculer la suite de Fibonacci
•
Animation flash sur le « Baptême du Christ »
Projet scientifique et
technique en équipe
Epopée du calcul à travers
les âges
Sommaire
• I) Introduction
• II) Histoire et origine des chiffres
–
–
–
Naissance, pourquoi a-t-on eu besoin de compter ?
Les difficultés rencontrées.
Apparition du zéro.
• III) Comment comptait-on dans les différentes civilisations de l’antiquité
jusqu’à nos jours?
–
–
–
Classes des numérations.
Correspondance terme à terme.
Chiffres romain, mayas, chinois…
• IV) Les méthodes de calculs à travers les civilisations jusqu’aujourd’hui
–
–
–
Bâtons, cailloux, encoches, mains…
Bouliers.
Ordinateurs.
• V) Conclusion
Introduction
• L’homme dénombre des objets depuis la préhistoire, avec des cailloux ou des bouts
de bois.
• Nombreuses évolutions du calcul.
• Origines des chiffres ?
Comment comptait-on dans l’Antiquité ?
Quelles sont les méthodes de calcul à travers les civilisations ? Et aujourd’hui ?
Histoire et origine des chiffres
• Naissance, pourquoi a-t-on eu besoin de compter ?
• Les difficultés rencontrées.
• Apparition du zéro.
Comment comptait-on dans les
différentes civilisations de
l’antiquité jusqu’à nos jours ?
• Classes des numérations.
• Correspondance terme à terme.
• Chiffres romain, mayas, chinois…
9100 310 21
Symboles dans les civilisations
1
10
60
600
Mésopotamie
3600 36000
Egypte
Mayas
Chine
Les méthodes de calculs à travers
les civilisations jusqu’aujourd’hui
• Bâtons, cailloux, encoches, mains…
• Bouliers.
• Ordinateurs.
Compter avec un boulier
Exemple : une addition, 209 + 127
Les boules déplacées sont en bleu :
1°) On écrit le nombre 209.
2°) Pour ajouter sept unités, on ajoute une dizaine et on soustrait trois
unités : on calcule 209 + (10 - 3).
3°) Il reste à ajouter deux dizaines et une centaine pour additionner 120 au
résultat précédent.
4°) On lit le résultat : 336.
Le premier ordinateur : l’ENIAC
• Créé en 1946.
• 30 tonnes.
• 72 m2.
• 100 KHz.
• 330 multiplication / sec.
Conclusion
• Les chiffres et les méthodes de calcul ont beaucoup évolué au cours des millénaires.
• Les hommes ont mis énormément de temps à inventer et à assimiler tous ces signes.
• Et pour demain ? Le calcul évoluera-t-il ? Ou nos techniques actuelles ne seront-elles
jamais dépassées ?
Ce projet vous a été présenté par :
Cédric ANTOINE et Romain GILLOT
Merci de votre attention.
Copyright © 2005-2006 Tous droits réservés.
Reproduction intégrale ou partielle interdite sans l’accord des auteurs.
Sujet de PSTE
Les curiosités
mathématiques
Daher Michel
Husson François
Tinnirello Alexis
SOMMAIRE
• La conjecture de Syracuse
• L’algorithme de Kaprekar
• Les fractions Égyptiennes
LA CONJECTURE DE SYRACUSE
•
Principe :
Si n est =>
PAIRE
IMPAIRE
Le nombre
suivant sera
=>
n/2
3n + 1
4
=> 4 / 2 = 2
5
=> 5 x 3 + 1
= 16
Exemples
HISTORIQUE
• Beaucoup de mathématiciens ont relevé
le défit de démontrer la conjecture mais en
vain…
•

Un vocabulaire
métaphorique s’est
créé.
Vocabulaire métaphorique :
Reprenons l’exemple initial de l’entier 5.
On appellera la suite (5, 16, 8, 4, 2, 1) la trajectoire ou le vol de 5.
Chaque entier de cette suite est une étape du vol,
16 est l’altitude maximale de la trajectoire.
La durée d’un vol (16, ici) est le nombre d’étapes nécessaires avant
l’apparition du premier ‘1’ (s’il apparaît bien sûr !).
Suite de syracuse pour
N=5
On peut aussi définir la durée du vol en altitude
de l’entier 7 comme le nombre d’étapes entre le
début du vol et le moment où il passe sous la valeur
de départ, 11 dans notre exemple (attention, si la
conjecture est fausse, ces durées peuvent être infinies).
Le facteur d’expansion est l’altitude maximale divisée
par l’entier de départ (52/7 dans notre exemple).
LES CONJECTURES EQUIVALENTES
• Tout vol a une durée de vol en altitude finie
• La durée de tout vol est finie (c’est en gros l’énoncé de
la conjecture elle-même.
• Tout vol a un nombre fini d'étapes paires
• Tout vol a un nombre fini d'étapes paires en altitude
• Tout vol a un nombre fini d'étapes impaires
• Tout vol a un nombre fini d'étapes impaires en altitude
1ère tentative de démonstration
•
Considérons la division Euclidienne d’un entier naturel n quelconque par 4
(dont le reste ne peut-être que 0, 1, 2 ou 3) :
● Si le reste est nul : n=4k, à la première itération on « descend »
sous n, donc le vol en altitude de tous les multiples de 4 vérifie la
conjecture.
● Si n=4k+1, après avoir subit les itérations successives on finit par
descendre sous la valeur n.
● Si n=4k+2, durée de vol en altitude 1.
● Si n=4k+3, boucle qui dépend de la variable choisit.
 Exemples : on finit par : 9k + 8, 9p + 4, 9t + 2, 9x + 1
2ème tentative de démonstration
•
(1) Tout vol a une durée finie : c’est la conjecture en elle-même
–
•
Indémontrable.
(2) Tout vol est de durée en altitude finie : Récurrence
–
–
Si (2) vraie => conjecture vraie.
Si conjecture vraie.
•
(3) Tout vol a un nombre fini d'étapes paires (resp. impaires).
•
(4) Tout vol a un nombre fini d'étapes paires (resp. impaires) en altitude
–
Méthode analogue a celui qui a été précédemment évoqué.
•
Pour résoudre le problème 3n+1, différentes solutions sont pensées :
– Soit on va reformuler le problème de manière différentes, c’està-dire changer les itérations (possibilités de réduire la durée de
vol en altitude…), formuler le problème différemment dans le
but de contourner certaines difficultés.
– Soit on va faire varier la forme de N, afin de pouvoir tester le
plus d’entiers possibles (1ère démonstr. : modulo).
SOMMAIRE
• La conjecture de Syracuse
• L’algorithme de Kaprekar
• Les fractions Égyptiennes
Démonstration
Soit T1 la transformation qui à un nombre M de quatre
chiffre associe D1 :
D1 = Mg – Mp
où Mg est le nombre obtenu en rangeant les chiffres de
M dans l'ordre décroissant, et Mp le nombre obtenu en
rangeant les chiffres de M dans l'ordre croissant.
On a T1(M) = D1
T2(M) = T1(T1(M)) = D2
T3(M) = T1(T2(M)) = D3
Soient a, b, c, d les quatre chiffres de M, dans
l'ordre décroissant:
a >= b >= c >= d
(1)
On a
Mg = 1000a + 100b + 10c + d
Mp = 1000d + 100c + 10b + a
T1(M) = Mg - Mp = 999(a - d) + 90(b - c)
• Première itération
• 4ème itération
On obtient 55 nombres
11 éléments
0
0999 1089 1998 2088 2178 2997 3087 3177 3267
3996 4086 4176 4266 4356 4995 5085 5175
5265 5355 5445 5994 6084 6174 6264 6354
6444 6534 6993 7083 7173 7263 7353 7443
7533 7623 7992 8082 8172 8262 8352 8442
8532 8622 8712 8991 9081 9171 9261 9351
9441 9531 9621 9711 9801
0
1998 3087 3996 4176 6174 6264
6354 8082 8352 8532 9711 9801
• 2ème itération
on tombe à 21 éléments
0
1089 1998 3087 3996 4176 5265
5355 5994 6174 6264 6354 7173
7443 7992 8082 8172 8352 8532
• 5ème itération
on tombe à 8 éléments
0
3087 4176 6174 6264 8082 8352 8532
• 6ème itération
5 éléments
0
4176 6174 8352 8532
• 7ème itération
• 3ème itération
15 éléments
0
1998 3087 3996 4176 5355
6174 6264 6354 7173 7443
8082 8352 8532 9621
2 éléments
0 et 6174
Arbre présentant les nombres après itérations
Algorithme de KAPREKAR pour des nombres
constitués de 2 chiffres
Algorithme de KAPREKAR pour des nombres
constitués de 3 chiffres
Tableau récapitulatif
SOMMAIRE
• La conjecture de Syracuse
• L’algorithme de Kaprekar
• Les fractions Égyptiennes
•
Définition : une fraction égyptienne est la représentation d'une fraction sous la
forme d'une somme de fractions à numérateurs unitaires.
Exemple: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20
Tout nombre rationnel positif peut se décomposer en fraction égyptienne
Fractions égyptiennes
Propriété
Le numérateur
est toujours 1,
sauf pour
la seule exception:
la fraction 2 / 3
La somme des fractions égyptiennes consécutives est
supérieure à n'importe quel nombre,
pourvu que le nombre de termes soit assez grand
Série lentement divergente, mais... Divergente
Comment décomposer un nombre
en fractions égyptiennes ?
Soit un nombre rationnel positif donné par r = a/b compris entre 0 et 1


Il faut trouver la plus grande fraction unitaire juste inférieure à r.
Le dénominateur peut être trouvé en divisant b par a, en écartant le reste, et en additionnant un.
Ensuite, il faut soustraire la fraction unitaire trouvée de r. Puis continuer avec la première étape, en
utilisant cette valeur plus petite pour r.
Remarque :
Cette représentation d'un nombre rationnel donné sous forme de fraction égyptienne
n'est pas unique, et la technique donnée plus haut ne produit pas la plus petite de ces
représentations.
Décomposition de 19/20 en
fractions égyptiennes
1ère étape :
• 20/19 = 1+r
donc la première fraction unitaire est 1/2.
2ème étape :
• 19/20 - 1/2 = 9/20.
• 20/9 = 2 avec un certain reste, donc notre deuxième fraction unitaire est 1/3.
3ème étape :
• 9/20 - 1/3 = 7/60
• 60/7 = 8 avec un certain reste, donc notre troisième fraction unitaire est 1/9.
• 7/60 - 1/9 = 1/180 qui est elle-même une fraction unitaire
4ème étape :
• 19/20 = ½ + 1/3 + 1/9 + 180
Outils mathématiques utiles
Pour pouvoir traiter correctement les fractions égyptiennes, nous avons du nous
mettre au point sur :
– les fractions unitaires
Une fraction unitaire est un nombre rationnel écrit sous la forme d’une fraction où le
numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif. Une fraction unitaire est par
conséquent l’inverse d'un entier positif, 1/n, comme par exemple : 1/1, 1/2, 1/3, 1/42
– les séries harmoniques
Ce sont des suites de terme général
et soit
Ces suites ont pour particularités de diverger. Cela implique que tout nombre est
décomposable en fraction égyptienne.
Par Julie SANCHEZ, Édouard ORCEL et Marin CAILLIAU
Les étapes de la compression
image
de
départ
conversion
RGB
YCrCb
transformée
en cosinus
discrète
quantification
compression
non
destructrice
image
compressée
Les étapes de la décompression
image
compressée
décompres
sion non
destructrice
déquantif
ication
transformée en
cosinus discrète
inverse
conversion
YCrCb
RGB
image
reconstituée
Image de départ
Le format RGB (Red Green Blue)
Le format YCrCb (luminance, chrominance rouge,
chrominance bleue)
0.6
0.1   R 
 Y   0.3
  
  
 Cr    0.7  0.6  0.1   G 
 Cb    0.3  0.6 0.9   B 
  
  
Matrice de passage pour passer du format de couleur RGB
au format YCrCb
1
0  Y 
 R  1
  
  
 G   1  1 / 2  1 / 6    Cr 
 B  1



0
1
Cb
  
  
Matrice inverse
ZOOM
191
191
191
191
191
111
80
80
191
191
191
191
160
96
95
95
191
191
191
191
144
95
95
80
191
191
191
191
111
95
96
80
191
191
191
176
96
112
112
80
191
191
191
160
144
143
128
95
191
191
191
160
112
128
127
95
191
191
191
191
128
127
111
96
Transformée
Transformée inverse
matrice initiale
 201

 205
 205

 205
 199

 112

 94
 94

ex : luminance
201
205
205
205
205
205
205
205
205
205
205
190
205
205
205
172
205
205
205
174
transformation en cosinus discret
matrice DCT
1274

 343
  51

  66
 0

 40

  12
  15

205 

205 
205 

205 
174 156 115 103 139 113 133 
104 103 103 119 138 129 124 

99 99 103 120 133 124 112 
99 94 94 92 99 99 104 
201
205
205
205
7
17
 46
5
21
6
 28
10
7
 14
5
21
4
10
4
 10
6
3
4
1
12
5
 14
9
6
3
3
1
47
 28
 17
24
 26
4
 18
7
4
7
9
0
3
1
3
7
 10
3
5
4
1
23
16
13
 14
0
9
3













avec q(i,j)=1+k(1+i+j) avec k facteur de qualité
Matrice de quantification
3

5
7

9
 11

 13

 15
 17

5
7
7
9
9 11
11 13
13 15
15 17
17 19
19
21
9 11 13 15 17 

11 13 15 17 19 
13 15 17 19 21 

15 17 19 21 23 
17 19 21 23 25 
19 21 23 25 27 

21 23 25 27 29 
23 25 27 29 31 
matrice DCT
21
7  4  6 12
1274 7

 343 17  6  14 10 3  5
  51  46  28 5  4 4  14

9
  66  5 10 21  10 1
 0
47 24  18 7  3 7

 40  28  26  7 9  1  10

4
0
3 3
  12  17  4
  15 23 16 13  14 0
9

 425

 69
 7

 7
 0

 3

 1
 1

matrice de quantification
 6

3
3

1 
 5 
4

1
 3 
3

5
7

9
 11

 13

 15
 17

5
7
7
9
9 11
11 13
13 15
15 17
17 19
19
21
1
2
5
0
3
1
3
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
4
2
1
2
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0













9 11 13 15 17 

11 13 15 17 19 
13 15 17 19 21 

15 17 19 21 23 
17 19 21 23 25 
19 21 23 25 27 

21 23 25 27 29 
23 25 27 29 31 
matrice DCT quantifiée
Balayage en zigzag
[425, 69, 1, 3, 2, -7, -7, -5, -1, 1, 0, -1, -3, 0, 0, 3, 4, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 2,
-2, -1, -1, -1, -2, -1, -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
Algorithmes appliqués :
• codage RLE (pour les 0)
ex : [15, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1…]
[15, 6, 5x0, 2, 1…]
• codage de Huffman
Fichier gif
(compression non
destructrice) :
12 Ko
Fichier JPEG :
7 Ko
42 Ko
23 Ko
17 Ko
13 Ko
11 Ko
8 Ko
Perception des différences
Nature des images
• I : « Intra »
•P : « Prédite »
•B : « Bidirectionnelle »
Compensation de mouvement
Partie 1
Elle définit la technologie minimale de l'algorithme de décodage ainsi que le format
du codestream devant être compris par tous les produits se réclamant compatibles
avec la norme. En outre, cette partie introduit le format de fichier JP2 qui permet
d'associer au codestream des informations additionnelles sur l'image. Enfin, elle a
pour but de couvrir une grande majorité des applications touchant au domaine de
l'imagerie numérique (archivage, diffusion sur Internet...).
codage (ms.)
décodage (ms.)
JPEG
100
30
JPEG 2000
irréversible
180
160
JPEG 2000
réversible
-
90
Compression de 80
JPEG
JPEG 2000
Julie SANCHEZ
Edouard ORCEL
Marin CAILLIAU
PSTE
2002 - 2003
PSTE 2005 - 2006
●
LES ATTRACTEURS
ETRANGES
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
d²
th =
DT
m
= cte×
0
g
g = accélération de la pesanteur
= viscosité dynamique
= coefficient de dilatation volumique
densité moyenne
0
T
PSTE 2005 - 2006
X˙ = Pr Y − X
Y˙ = − XZ rX − Y
Z˙ = XY − bZ
r=
q²
²
q²
× Ra
b=
4
²
²
q²
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
-synchronisation des signaux
-Generateur optique de chaos
-Crypter et Decrypter
-Limite de complexité de la composante de cryptage
PSTE 2005 - 2006
Equation d'Ikeda: x(t+T) = f(x'(t))
PSTE 2005 - 2006
PSTE 2005 - 2006
●
●
Intitulé du sujet :
MAT212 Les attracteurs étranges. Propriétés de ces
objets situés entre le chaos et les fractales…Etude de
l’attracteur de Henon. On utilisera un logiciel
informatique adapté pour des attracteurs.
PSTE 2005 - 2006
●
Objectifs de la première période :
Répondre à la problématique du sujet
Réaliser un programme informatique permettant de
tracer l'attracteur de Hénon
PSTE 2005 - 2006
Soutenance de la première période
Présentation du programme demandé, utilisation
des librairies GTK et Allgero étudiées en cours
Etude de la théorie du chaos
Lien avec les attracteurs
Cahier des charges intégralement respecté
Ouverture vers d'autres attracteurs
PSTE 2005 - 2006
Capture d 'écran du programme :
PSTE 2005 - 2006
Objectifs de la deuxième période :
Tracer un maximum d'attracteurs différents
Etudier plus en détail les propriétés
mathématiques des attracteurs, notamment celui de
Henon
PSTE 2005 - 2006
Soutenance de la deuxième période
Nouvelle version du programme : ajout de 16
nouveaux attracteurs en plus de Lorenz, ajout d'un
fond musical, options de dessin, dessin graduel
Approfondissement de la théorie du chaos : notions
de chaos déterministe, systèmes chaotiques, études
d'exemples...
Captures d 'écran du programme :
PSTE 2005 - 2006
Objectifs de la troisième période :
Se focaliser sur les applications des attracteurs
étranges
Prolongement du travail fait sur les systèmes
dynamiques non linéaires
PSTE 2005 - 2006
BILAN DE L'ANNEE
Problématique du sujet largement exploitée
Réalisation d'un programme informatique
fonctionnel
Etude théorique conséquente de la théorie du chaos,
des attracteurs étranges et de leurs applications