Transcript Türevin işletme uygulamaları

İçindekiler:
1. Marjinal Hâsılat Fonksiyonunun
Ortalama Hâsılat Fonksiyonundan
Elde Edilmesi
2. Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet
Fonksiyonları Arasındaki İlişki
TÜREVİN İŞLETME
UYGULAMALARI
Marjinal Hâsılat Fonksiyonunun
Ortalama Hâsılat Fonksiyonundan Elde
Edilmesi:
Bir ortalama hâsılat fonksiyonu AR=15-Q
gibi özel bir biçimde verilmişse, toplam
hâsılat fonksiyonunu elde etmek için AR, Q
ile çarpılır. R  AR.Q  (15  Q).Q  15.Q  Q 2
olarak bulunur. Daha sonra R nin türevi
alınarak
dR
MR 
 15 2Q
dQ
marjinal hâsılat fonksiyonu (MR) elde edilir.
AR fonksiyonu AR=f(Q) genel biçiminde
verildiğinde toplam hasılat fonksiyonu
R=AR.Q=f(Q).Q ve R nin türevinin
alınmasıyla marjinal hasılat fonksiyonu
dR
MR 
 f (Q).1  Q. f (Q)  f (Q)  Q. f (Q)
dQ
olarak bulunur.
Sonuçta MR  AR  Q. f (Q) olur ve bu da MR
ile AR arasında her zaman Q. f (Q)
büyüklüğünde bir fark olacağını gösterir.
f (Q)  0  MR  AR  0
olursa AR ve MR eğrileri çakışmak
zorundadır.
f (Q)  0  MR  AR  0
olursa MR eğrisi AR eğrisinin altında
kalmak zorundadır.
• Örnek: AR=60-3Q verildiğine göre toplam
hasılat ve marjinal hasılat fonksiyonlarını
bulunuz.
• Çözüm:
2
AR  60  3Q  R  AR.Q  (60  3Q)  60Q  3Q
olarak toplam hasılat fonksiyonu bulunur.
Toplam hasılat fonksiyonunun Q ya
göre türevi alınırsa
dR
MR 
 60  6Q
dQ
olarak marjinal hasılat fonksiyonu bulunur.
Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet
Fonksiyonları Arasındaki İlişki:
C=C(Q) gibi bir toplam maliyet fonksiyonu
verildiğinde ortalama maliyet fonksiyonu AC,
Q nun iki fonksiyonunun birbirine oranı olur.
AC=C(Q)/Q olur. AC nin Q ya göre değişim
oranını AC nin türevini alarak bulabiliriz.
d C (Q) C (Q).Q  C (Q).1 1 
C (Q) 

 C (Q) 

2
dQ Q
Q
Q
Q


buradan Q>0 için;
d C (Q)
C (Q)
 0  C (Q) 
dQ Q
Q
d C (Q)
C (Q)
 0  C (Q) 
dQ Q
Q
sonucu çıkar.
C (Q) türevi marjinal maliyet fonksiyonu,
MC, C(Q)/Q da AC fonksiyonunu temsil
ettiğine göre bunun iktisadi anlamı şudur:
AC eğrisinin eğimi, ancak ve ancak marjinal
maliyet eğrisi AC üstünde olduğunda,
kestiğinde ya da altında olduğunda pozitif
sıfır ya da negatif olacaktır.
Örnek: C  Q 3  5Q 2  14Q  75
verildiğine göre ortalama maliyet fonksiyonunu
ve marjinal maliyet fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Ortalama maliyet fonksiyonu;
C (Q) Q 3  5Q 2  14Q  75
75
2
AC 

 Q  5Q  14 
Q
Q
Q
olarak bulunur.
Marjinal maliyet fonksiyonu;
2

MC  C (Q)  3Q  10.Q  14
olarak bulunur.
Örnek: Toplam gelir fonksiyonu
2
R  600Q  5Q ve toplam maliyet fonksiyonu
C=320+20Q olmak üzere kârın enbüyüklendiği
çıktı düzeyini bulunuz. Sadece Q>0 durumunu
ele alınız ve ikinci derece koşulları kontrol
ediniz.
Çözüm: Kâr fonksiyonu
K  600Q  5.Q 2  (320 20.Q)  5Q 2  580.Q  320
olarak bulunur.
Kaynakça:
Buradan kritik değerler;
K   10Q  580  Q0  58
olarak bulunur.
İkinci derece koşulları kontrol edersek;
K   10  0
olup aşağı çukurdur (konkav). Kâr Q=58 de
enbüyüklenir. Burada K(58)=16500 olur.
Örnek: Bir kamyonu otoyolda işletmenin
maliyeti, işçilik maliyeti dışında
(0,13+v/500)$/km ve v kamyonun km/sa
cinsinden sabit hızıdır. Kamyon şoförünün
ücreti ise 9,80$/sa olduğuna göre 600 km lik
bir yolculukta maliyeti enküçüklemek için
kamyonun hızı ne olmalıdır?
Çözüm: C(v) toplam maliyet, işçilik
dışındaki maliyet C N (v) ile işçilik maliyeti C L (v)
nin toplamına eşittir. Burada
v 

 600
C N (v)  600. 0,13 
 ve C L (v)  9,8.

500

 v 
yerine koyarsak
v 

 600
1
C (v)  600. 0,13 

9
,
8
.

78

1
,
2
v

5880
v



500

 v 
toplam maliyet fonksiyonu elde edilir.
2

C (v)  1,2  5880v
olur.
Kritik nokta
5880
2
C (v)  1,2  5880v  0  1,2  2
v
2
 v  4900 v  70 km / sa
bulunur.
C (v)  11760 .v
3
11760
 C (70) 
0
3
70
olur ve v= 70 yerel minimum noktadır. Yani
kamyonun hızı 70 km/sa olduğunda maliyet
enküçüklenir.