Transcript FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Lo scopo è quello di trovare una formula
che metta in relazione le funzioni
goniometriche della somma o della
differenza di due angoli dati con le
stesse funzioni per gli angoli dati
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
P
Q
α
β
O
A
Nella
costruzione
sono dati due
angoli, α e β, e P
e Q sono i
rispettivi estremi
dell’arco sulla
circonferenza
goniometrica
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
P
O
Riportiamo
l’angolo α-β,
α-β Q
differenza dei due
R angoli, in modo
α
che anch’esso
α-β
β
abbia origine in A
A
ed estremo R
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P
O
Ricordando che
seno e coseno
α-β Q
sono ordinata e
R ascissa
α
dell’estremo
α-β
β
dell’arco
A
possiamo porre
Yp=senα
Xp=cosα
ecc…
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P
Abbiamo così le
coordinate di P, Q,
R, A
Q
α-β
R
α
β
O
α-β
A
P(cosα, senα)
Q(cosβ, senβ)
R(cos(α-β), sen(α-β))
A(1, 0)
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P
O
Possiamo poi
vedere che i
α-β Q
triangoli PQO e
R RAO sono uguali,
α
in quanto i lati OP,
α-β
β
OQ, OR, OA sono
A
tutti uguali perché
raggi, mentre
l’angolo in O è
uguale per
costruzione
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P
Quindi:
Q
α-β
R
α
β
O
α-β
A
PQ=RA
ovvero:
PQ2=RA2
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Utilizzando la formula della distanza:
PQ  (cos   cos  )  ( sen   sen  )
2
2
RA  (cos(    )  1)  ( sen (   )  0)
2
2
Elevando al quadrato e uguagliando:
(cos  cos  )2  (sen  sen )2  (cos(   ) 1)2  sen2 (   )
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Sviluppando i quadrati:
cos2   cos2   2 cos cos  sen2  sen2   2sensen 
cos2 (   )  1  2 cos(   )  sen2 (   )
e usando la prima relazione:
1  1  2 cos cos   2sensen  1  2 cos(   )  1
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Ed eliminando i termini uguali e
trasportando i membri si ottiene la formula
finale
FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL COSENO
cos(   )  cos cos   sensen