Transcript INF6001 Chapitre 6

Chapitre 6
Réseaux de Petri
et logique temporelle
Chap 6
w3.uqo.ca/luigi/
1
Réseaux de Petri
 Formalisme pour la spécification de systèmes répartis
 Inventé au début des années 1960 par un chercheur
allemand, Carl Adam Petri


Un des informaticiens les plus cités
En même temps un des moins productifs en termes de
nombre de publications!
 A été énormément étudié et développé, et l’est encore
aujourd’hui, surtout en Europe, et surtout en France
 En principe très simple, mais

Un très grand nombre de variations a été étudié
 Beaucoup de ressources Web, cours en ligne, etc.
INF6001 Chap 6
2
Places, transitions et tire - modèle de base
Places
Transitions
Arcs
Jeton ou Marque
Tire!
Quand toutes les places d’entrée à une transition sont marquées avec
des jetons, la transition peut tirer et alors les jetons sont retirés des places
d’entrée et ajoutés à toutes les places de sortie.
INF6001 Chap 6
3
Observez la différence...
Après la transition, des jetons seront mis dans
les deux places suivantes et il y aura traitement
parallèle dans les deux directions
Après la transition, un seul jeton sera mis dans
une seule des deux places suivantes (l’une ou
l’autre) et une seule branche sera exécutée
Nous avons deux jetons, donc deux transitions
sont possibles: ceci serait ou bien l’une et l’autre
ou bien deux fois une des deux
INF6001 Chap 6
4
Exemple
t3
p1
p3
t0
t1
t2
p2
Marquage initial: 1 0 0
Y a-t-il une transition qui peut tirer?
INF6001 Chap 6
5
Deux transitions qui peuvent tirer, t1 et t3
t3
p1
t1
Marq.
p3
initial
(1 0 0)
t0
t1
t0
(0 1 0)
t2
p2
t2
INF6001 Chap 6
(0 0 1)
6
Analyse d’accessibilité pour les réseaux de Petri
 Un réseau de Petri avec 3 états (= marquages) accessibles
t3
p1
t1
Marq.
p3
initial
(1 0 0)
t0
t1
t0
t0
(0 1 0)
t2
p2
t2
INF6001 Chap 6
(0 0 1)
7
Vecteurs de marquages
 Les états peuvent être représentés par des vecteurs de marquages

(1 0 0) = jeton sur p1, pas de jeton sur p2 ou p3, etc.
 Le réseau peut être vu comme une machine à états (graphe de marquage)
t1
(1 0 0)
(0 1 0)
t0
t2
t3
(0 0 1)
t3
p1
t1
Marq.
p3
t0
initial
(1 0 0)
t1
t0
t0
(0 1 0)
p2
t2
t2
t3
t2
INF6001 Chap 6
(0 0 1)
8
Il est aussi possible d’obtenir un RP à partir d’une
machine à états
vend 15¢ bonbon
Machine
à états
5
10
5
5
0
10
10
5
10
15
5
20
vend 20¢ bonbon
Figures provenant de http://www.cs.unc.edu/~montek/teaching/fall-07/lectures/index.html
INF6001 Chap 6
9
Réseau de Petri équivalent
chaque transition a seul. 1 entrée et 1 sortie
vend 15¢ bonbon
10
5
5
5
5
10
10
vend 20¢ bonbon
INF6001 Chap 6
10
Représentation de parallélisme
t2
t1
t4
t3
Les Réseaux de Petri sont plus synthétiques que les machines à états
pour la représentation du parallélisme
Pour représenter ce réseau, une machine à états doit donner
l’entrelacement de t2 et t3
INF6001 Chap 6
11
Machine à états correspondante
p1
t2
p3
t1
(1 1 0 0 0)
t4
p2
t3
p4
t2
t3
(0 1 1 0 0)
(1 0 0 1 0)
p5
t3
t2
(0 0 1 1 0)
t1
t4
Mais s’il y avait plus de transitions à
entrelacer…
INF6001 Chap 6
(0 0 0 0 1)
12
Le même chose en LOTOS 1ère possibilité
(à contrôler comme exercice)
A := B |[t4,t1]| C
where
B := t2; t4; t1; B
C := t3; t4; t1; C
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t2
t3
t3
t2
t1
t4
13
Même chose en LOTOS 2ème possibilité
(Exercice)
A:= (t2; exit ||| t3; exit) >> B
B:= t4; t1; A
Aspect de LOTOS qui n’a pas été expliqué:
L’opérateur >> cause une synchronisation entre les exit
qui résulte dans une action interne i, suivie par le
comportement B
t2
t1
t3
t3
t2
i
t4
INF6001 Chap 6
14
Explosion d’états dans graphes de marquage
p1
p2
t1
t2
p3
t3
p5
p4
t4
p6
t4
t2
p5
t3
t1
011000
010 010
t3
t2
001100
110000
t4
t4
t3
t2
etc.
INF6001 Chap 6
Exercice: compléter ceci
15
Modélisation de flux de données
(utilisée pour la conception d’architecture de matériel)
x = (a+b)/(a-b)
a
a
copy
+
/
a+b
x
a
b
≠0
b
copy
-
a-b
Erreur
b
=0
INF6001 Chap 6
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Modélisation de protocoles: envoi et attente
prêt à env.
tampon
plein
env.
msg.
attente
acquitt.
proc.1
rec.
acq.
recevoir
proc.2
msg.
reçu
env.
acquitt.
tampon
plein
acq.
reçu
INF6001 Chap 6
prêt à rec.
acq.
envoyé
17
Exercice: calculer le graphe de marquage
p1
p6
p4
t4
t1
p2
t3
t6
p7
t5
t2
p5
p3
INF6001 Chap 6
p8
18
Service Transport OSI en RP: phase connexion
http://pagesperso-systeme.lip6.fr/Cedric.Besse/IMG/pdf/Cours_Ing.pd
INF6001 Chap 6
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Modélisation des files
 Les files d’attente sont modélisées par le fait qu’une place peut contenir
plus d’un jeton

Cependant dans les RP de base les jetons dans une place n’ont pas d’ordre
 Cas limite:
p1 a un jeton et est capable de
tirer t1 un nombre arbitraire de
fois; cependant p3 n’a pas de jeton
donc un nombre arbitraire de
jetons pourra s’accumuler dans p2
sans jamais tirer t2
p1
t1
p2
p3
t2
INF6001 Chap 6
20
Modélisation de files, cas plus normal…
p1
p2
t1
t2
p3
p4
t3
INF6001 Chap 6
Supposons que t3 tire
beaucoup plus rapidement que
t1. Si p2 se trouve à être vide,
un nombre arbitraire de jetons
peut s’accumuler dans p3,
cependant dès que p2 aura un
jeton, t2 tirera
(symétrique pour t1 et t3)
21
Poids aux transitions
 Les arcs peuvent avoir un poids, ce qui permet d’exprimer
concisément des situations plus compliquées

Jusqu’à présent, tous les arcs avaient poids 1
2
2
Il faut 2 jetons sur la place de haut pour causer le tir
INF6001 Chap 6
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Réseaux de Petri colorés
 Les ‘couleurs’ identifient des types de données
différentes
 Une place peut contenir des jetons de différents
couleurs, p.ex. 1 jeton rouges et 2 verts
 Une règle de tirage pourrait être comme suit:

Pour tirer, il faut consommer au moins un jeton rouge et un
vert, et le résultat sera trois jetons bleus dans la place
suivante
INF6001 Chap 6
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Différentes possibilités avec Petri Nets
séquence
synchronisation
choix
Q
P
A
parallélisme
B
Q
C
B
Confusion:
P peut faire tirer A ou
B (ce dernier avec Q)
mais s’il fait tirer A, B
devient impossible
INF6001 Chap 6
Fusion
Priorité/inhibition:
Les trois transitions ne
sont pas obligées d’être
simultanées, la place a
besoin d’un seul jeton
pour procéder
le cercle indique que
s’il y a un jeton dans
Q, la transition B ne
peut pas tirer
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Réseau de Petri pour bit alterné
[Tanenbaum]
INF6001 Chap 6
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Autre bit alterné (problématique dans certains aspects)
Récepteur
état initial
Émetteur état
initial
SS0
RS0
p0
DT0
t0
p2
p1
t1
p3
t2
ACK0
p4
p5
RS1
SS1
t3
DT1
p6
t4
p7
ACK1
t5
[Sarikaya]
INF6001 Chap 6
 BA unidirectionnel
 Communication directe (synchrone)
entre les deux stations
 Et sans erreur!
 DT0 est envoyé et reçu
 ACK0 est envoyé et reçu
 DT1 est envoyé et reçu
 ACK1 est envoyé et reçu
 Retour au début…
 t0 remet le jeton dans SS0, car il en
aura besoin pour t2
 Cependant ce mécanisme peut causer
accumulation d’un nombre
arbitrairement grand de jetons dans
DT0 et DT1
26
Variétés de Réseaux de Petri
 Ces idées de base a été développées grandement et nous
avons:








RP colorés
RP temporisés: temps associé aux transitions
RP stochastiques
RP Markoviens
RP numériques
RP emboîtés
RP orientés objet
Etc, etc…
INF6001 Chap 6
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V&V avec Réseaux de Petri
 Un grand nombre de techniques de vérification sont associées
aux RP

Principalement basées sur la manipulation des vecteurs de marquage et
de matrices reliées
 Questions de vérification




Accessibilité: nous avons vu comment faire l’analyse d’accessibilité avec
les RP
n-borné: dans aucune place on ne peut jamais avoir plus de n jetons
Vivacité (liveness): une transition est vivace si elle peut être tirée à partir
de l’état initial (directement ou indirectement)
Absence de blocage: impossibilité d’arriver à un état final

diwww.epfl.ch/w3lco/pub/racloz/ ps9798/LesProprietes.fm.ps
 Ces questions sont adressée avec des algorithmes basés
sur la manipulation des vecteurs de marquage
INF6001 Chap 6
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Propriétés des RP avec exemples
 Borné: qu’aucune place ne
puisse avoir un nombre
arbitrairement grand de jetons
 Vivace: toute transition peut
être tirée (directement ou
indirectement) à partir de
n’importe quel marquage

Donc il n’y a pas d’impasse
 Réversible si pour toute
transition t il existe une
transition t’ qui en renverse
les effets
C. Girault and R. Valk, Petri Nets for Systems Engineering, Springer Verlag, 2003
INF6001 Chap 6
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Comment vérifier les différentes propriétés B, L, R?
Technique de base: calculer le graphe de marquage
Exercice: faire ceci pour quelques uns des RP précédents
INF6001 Chap 6
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Critique des RP
 Les RP permettent de représenter des systèmes entiers

Notation naturelle pour le parallélisme
 Le problème majeur est que pour représenter un système réel il faut remplir
des énormes graphes, sans aucune structure!
 Aussi difficulté d’en comprendre le fonctionnement
 Plusieurs méthodes existent pour remédier à cette situation, mais la
notation devient plus complexe et les chercheurs ne sont pas d’accord sur
les meilleurs méthodes
 Cependant les RP sont utiles comme représentation interne associée à une
autre technique qui est utilisée par l’usager



P. ex. l’outil Caesar/Aldébaran transforme LOTOS en RP
Il y a des outils qui transforment SDL en RP
Les méthodes de vérification pour les RP deviennent donc disponibles aux
utilisateurs de SDL, LOTOS, etc.

On appelle ceci Petrification!
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Présentations la semaine
prochaine
INF6001 Chap 6
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Présentations préliminaires des projets
 Yaovi Ahadjitse: Vérification de propriétés du protocole AODV
utilisant l’outil Promela-Spin
 Nora Belghazi: Utiliser le navigateur Use Case Maps pour illustrer
un scenario de conditions routières des véhicules a l’entrée d’une
autoroute
 Christian Deschamplain: Amélioration d’un protocole de routage ad
hoc sans fils pour l’équité des flux et la QdS avec vérifications et
tests
 Boné Maboudou: Techniques de réduction de l´explosion d´états
dans les machines a états finis.
INF6001 Chap 6
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Pour la semaine prochaine
 Chacun doit faire une présentation préliminaire mais
informative de son propre projet:
 Approx 15 transparents, 20 mins chaque
 Chacun aussi doit me donner un rapport préliminaire de
la longueur d’approx 5 pages, voir spécifications dans:


http://w3.uqo.ca/luigi/INF6001/index.html#_Page_des_projet
s
Je peux attendre jusqu’à vendredi 2 mars pour ce rapport
INF6001 Chap 6
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Model checking? Analyse de modèle?
INF6001 Chap 6
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Model checking??
INF6001 Chap 6
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Histoire: logique modale, logique temporelle, modèle
 Les concepts de logique modale, logique temporelle et modèle furent
développés par les philosophes Prior, Meredith et Kripke autour des années
1960
 Mais ils étaient déjà connus en philosophie avant ça
 La logique modale est un système logique où on utilise des opérateurs
additionnels pour spécifier des modalités
 P.ex. les opérateurs ‘nécessité’ et ‘possibilité’ en ajout aux opérateurs logiques
conventionnels

‘s’il est nécessaire qu’il pleuve, donc il est possible que je me mouille’
 Le même principe est utilisé pour définir autres types d’opérateurs modales:
 Logique déontique, dont les opérateurs modales sont obligatoire, défendu,
permis, etc.
 Logique temporelle, dont les opérateurs sont ‘désormais’, ‘finalement’
 La logique temporelle fut introduite en informatique par Amir Pnueli en 1977
INF6001 Chap 6
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Logique: Rappel de Notation
 Variables: x, y, z… Constantes: a, b, c…
 Opérateurs principaux:

Logique propositionnelle:






Logique des prédicats:




 (et) (parfois aussi écrit &, &&..)
 (ou) (parfois aussi écrit ||)
 (négation) (parfois aussi écrit ~ ou !)
 (implication), A  B est défini comme A  B
 (équivalence, iff), A  B est défini comme A  B  B  A
P(x1, …, xn) (le tuple x1, …, xn a la propriété P)
x1,…,xn (il existe x1, …, xn )
x1,…,xn (pour tous les x1, …, xn )
P.ex.



x,y z =(x+y,z) ou x,y z (x+y=z)
(x (P(x) Q(x))  P(a) )  Q(a)
(x (P(x)  Q(x))   y(P(y)))  z Q(z)
INF6001 Chap 6
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Dualité entre opérateurs logiques
Lois de dualité (De Morgan):




A  B = (A  B)
A  B =  (A  B)
x P(x) = x P(x)
x P(x) =  x P(x)

Ces deux dernières se justifient par les deux premières et le
fait que

x P(x) = ( P(a)  P(b)  P(c)….)

x P(x) = (P(a)  P(b)  P(c)….)


Si a, b, c… sont tous les éléments du domaine en considération
Faisant l’hypotèse que le domaine n’est pas vide!
INF6001 Chap 6
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Logiques modales
 Dans les logiques modales, on ajoute des opérateurs
pour exprimer certaines propriétés qui ne peuvent pas
être exprimées directement en logique pure
 P.ex. nécessité et possibilité (logique modale usuelle)
 Obligation et permission (logique déontique)
 Les logiques modales sont caractérisées par le fait qu’il
y a dualité entre ces opérateurs:


nécessaire (x) non possible non x
obligatoire (x) = non permis non x
INF6001 Chap 6
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Logique temporelle
 Les modalités principales sont:


 dorénavant, désormais (aussi écrit G)
 finalement, enfin (aussi écrit F)
 Dualité:

p =    p (s’il fera beau dorénavant, il est faux que finalement il pleuvra!)

 p =   p (si finalement je serai riche, il est faux que je serai toujours
pauvre!)
 Et donc aussi (par élimination des doubles négations)
  p =   p
 p = p
INF6001 Chap 6
41
Assertions sur traces ou runs = exécutions
Holzmann, SPIN model checker, Chap. 6
= chaînes
 Le modèle de SPIN est un automate fini qui est capable
d’exécuter des séquences d’événements
 Une exécution (ou run, ou chaîne) est une séquence de
transitions d’état correspondant à une exécution de l’automate


Les transitions sont de la forme:(si, l, sj)
 État initial, étiquette (opération exécutée), état final
Les traces sont de la forme
 {(s0, l0, s1), (s1, l1, s2), (s2, l2, s3), … }
 Ces séquences ont des propriétés qui peuvent être contrôlées
(checked)

Vrai ou faux
INF6001 Chap 6
42
Concept de modèle
 Un modèle représente un ‘monde’, un ‘univers’ qui peut
ou non avoir certaines propriétés
 P.ex. les automates discutés dans le cours sont des
modèles de protocoles
INF6001 Chap 6
43
Un modèle
X=X/2
X: entier
s0
X=13
s1
X=(X/2)+1
s2
X>0
s3
X≤0
Nous pouvons affirmer des propriétés pour:
Des états: p.ex. à l’état s1, X=13 toujours (invariant)
pas besoin de logique temporelle ici
Des chaînes, p.ex.  x≤0 ou  x≤0, mais pas  x≤0 (!)
Exercice: contrôlez ceci
État d’acceptation
.
INF6001 Chap 6
44
Une chaîne possible pour ce modèlè
 (s0, X=13, s1)(s1, x=(x/2)+1, s2)(s2, x>0, S3) ….
INF6001 Chap 6
45
Acceptation de chaînes infinies
 Dans cette logique, une chaîne est acceptée ssi elle
passe un nombre infini de fois par un état d’acceptation

Ssi elle reste dans une boucle incluant un état d’acceptation
 On n’accepte que des chaînes infinies
 On ne considère que les propriétés des chaînes infinies
INF6001 Chap 6
46
Concept de satisfaction, symbole╞
 Un modèle, ou partie de modèle, peut satisfaire une
propriété ou non

Il satisfait la propriété ssi la propriété est vraie dans le modèle
 P.ex. si on regarde le modèle de la vie d’un sujet A, on
pourrait constater que





A a été étudiant gradué: propriété satisfaite
A est devenu professeur: propriété satisfaite
A est devenu riche: propriété non-satisfaite
A a vécu dans au moins 4 villes différentes: propriété satisfaite
A a vécu dans 10 villes différentes: propriété non-satisfaite
INF6001 Chap 6
47
Exemples de satisfaction en logique
 Une formule logique est satisfiable s’il y a une affectation de valeurs
de vérité aux variables qui la rend vraie
 p  q est satisfait si au moins un de p ou q est satisfait (= est vrai)
P.ex. supposons qu’aujourd’hui il fait beau
(Il fait beau)  (j’ai bien mangé)
est satisfait indépendamment de comment j’ai mangé.
Mais
(Il fait beau)  (j’ai bien mangé)
est satisfait seulement si les deux sont satisfaits
INF6001 Chap 6
48
Une propriété peut aussi être satisfaite à un état
 À l’état courant, chacun de vous satisfait la propriété:
vous êtes étudiant gradué
 Dans un état futur, vous pourriez ou non satisfaire la
propriété: avoir obtenu la maîtrise
INF6001 Chap 6
49
Les opérateurs temporels sont des abréviations
Utilisons la notation s ╞p pour dire:

La chaîne s satisfait la propriété p


s ╞vrai est toujours vrai, pour tout s
s ╞faux est toujours faux, pour tout s
s ╞p est une abréviation pour:


pour tous les éléments de s, p est vrai
dorénavant, désormais
s ╞p est une abréviation pour:


Pour au moins un élément de s, p est vrai
finalement, enfin
INF6001 Chap 6
50
Notation pour les chaînes
si est l’élément i de la chaîne s
s[i] est la chaîne qui commence à l’élément i
Donc récursivement:

s = s1 s[2]
s = s1 s2 s[3]

Etc.

INF6001 Chap 6
…
…
σi
σ[i]
51
Par rapport à notre exemple
 s = (s0, X=13, s1)(s1, x=(x/2)+1, s2)(s2, x>0, S3)(s3, x=x/2,s2) …



s1 = (s0, X=13, s1)
s[1] = s
s2 = (s1, x=(x/2)+1, s2)

s[2] = (s1, x=(x/2)+1, s2)(s2, x>0, S3) (s3, x=x/2,s2) ….
s3 =(s2, x>0, S3)
s[3] = (s2, x>0, S3) (s3, x=x/2,s2) …

Etc.


INF6001 Chap 6
52
Notation pour les chaînes
si ╞P veut dire que le i-ème élément de la
chaîne satisfait la propriété P
s[i] ╞Q veut dire que la chaîne à partir du i-ème
élément satisfait la propriété Q
…
…
σi
σ[i]
INF6001 Chap 6
53
Deux opérateurs jusqu’à: faible et fort
 FAIBLE: Je serai pauvre jusqu’à ce que je serai riche:

Définition:


Ou bien je suis déjà riche
Ou bien je serai pauvre jusqu’à ce que je serai riche

L’événement attendu pourrait ne jamais se vérifier
 FORT: Nous regarderons le spectacle jusqu’à la fin

Définition:


Nous regarderons le spectacle jusqu’à la fin dans le sens
précédent
Il y aura une fin
INF6001 Chap 6
54
Définition formelle de jusqu’à faible
s[i] ╞ (p U q)
U
σ à partir du ième élém. satisfait p U q
Définition:

si ╞ q  (si ╞ p  s [i+1] ╞ (p U q) )
et le reste de la chaîne satisfait p U q
ou bien le i-ème élément de σ
satisfait déjà q,
ou le ième élément satisfait p
INF6001 Chap 6
55
Définition formelle de dorénavant 
s ╞ p
Définition:

s ╞ (p U faux)

s 1 ╞ faux  (s 1 ╞ p  s[2] ╞ (p U faux))
Touj. faux
INF6001 Chap 6
Récursivement, p est vrai pour tous les si
et donc il est vrai pour s
56
Définition formelle de jusqu’à fort
U
 Le ‘jusqu’à fort’ garantit que q devient vrai
s[i] ╞ (p U q)
Définition:

s[i] ╞ (p U q)

la chaîne satisfait p U q
j, i≤j (s j ╞ q)
il y aura un σj futur qui satisfiera q
i≤j: i présent, j futur
Observez: pour définir U fort nous utilisons l’U faible
INF6001 Chap 6
57
Définition formelle de finalement 
 s ╞q
 Définition:

s ╞ (vrai U q)

s[1] ╞ (vrai U q)

N’importe quelle chaîne satisfait vrai!

j, i≤j (sj ╞ q)
s[1] ╞ (vrai U q) =
s1 ╞ q  (s1 ╞ vrai  s[2] ╞ (vrai U q) ) =
s1 ╞ q  s[2] ╞ (vrai U q) =
s1 ╞ q  (s2 ╞ q  s[3] ╞ (vrai U q))
INF6001 Chap 6
etc. jusqu’à ce que q sera satisfait
58
Importance de U, jusqu’à faible
 Il est intéressant d’observer que U est l’opérateur
fondamental de la logique temporelle.
 Il peut être défini sans utiliser les autres opérateurs,
mais les autres opérateurs peuvent être définis en
termes de lui.
 Comme conséquence des définitions, nous avons:
(p U q)  (p U q)
INF6001 Chap 6
59
Formules fréquemment utilisées
 p  q
réponse, causalité
 p  qUr
 p
p implique q jusqu’à r (précédence)
toujours finalement p (progrès vers p)
infiniment souvent p
il sera toujours vrai qu’il y aura des p dans le futur
 p
finalement toujours p
nous allons vers une stabilité
 pq
   p
   p
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corrélation
p finalement devient toujours faux
p deviendra faux au moins une fois
encore il sera toujours vrai que p sera faux dans un futur
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La différence…
   riche(L)


Dorénavant, il y aura toujours un futur dans lequel L sera
riche
La richesse reviendra toujours à L

(il pourra cependant être non-riche de temps en temps)
  riche(L)

Il y aura un moment à partir duquel L sera toujours riche
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Équivalences utiles (exercice: en prouver quelques unes)
Équivalent à
(p U q)
(q) U (p q)
(p U q)
(q) U (p q)
 (p  q)
 p  q
(p  q)
pq
p U (q  r)
(p U q)  (p U r)
(p  q) U r
(p U r)  (q U r)
p U (q  r)
( p U q)  (p U r)
(p  q) U r
(p U r)  (q U r)
  (p  q)
pp
  (p  q)
pq
 p
p
p
p
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Lois d’implication
http://www.pst.informatik.uni-muenchen.de/lehre/WS0304/tl/Vorlesung/46-1.pd
Lois de réflexivité
pp
(si p dorénavant, donc p maintenant)
pp
(si p maintenant, donc enfin p)
Implications entre opérateurs
p   p
p   p
Distributivité faible
 (p  q)  (p   q)
p v q  (p v q)
( p   q)   (p  q)
(p  q)  p  q
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Opérateur ‘prochain état’  (aussi écrit X)
s[i] ╞  p
Définition:
 si+1 ╞ p


…
si
…
si+1
σ[i]
s est vrai dans le prochain état
Attention: ceci est le prochain état par rapport à l’état courant,
pas à un état suivant par rapport à un autre operateur comme

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Une façon plus intuitive de définir 
Par raisonnement récursif, il est possible de prouver que
s ╞ p ssi  si (si ╞ p)
Pour faire un peu de pratique, voyons comment ceci fonctionne pour un s
de la forme: s = s1 s[2]
s1 s[2] ╞ p =
s1 s [2] ╞(p U faux) =
s1 ╞ faux  (s1 ╞p  s[2] ╞(p U faux) ) =
(étant donné que s1 ╞ faux
s1 ╞p  s[2] ╞(p U faux) =
s1 ╞p  (s2 ╞ faux  (s2 ╞p  s[3] ╞(p U faux) )) = (étant donné que s2 ╞ faux
s1 ╞p  ( s2 ╞p  s[3] ╞(p U faux) ) = . . .
s1 ╞p  s2 ╞p  s3 ╞p …
etc. donc tous les s satisfont p
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est faux)
est faux)
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Une façon plus intuitive de définir 
Par raisonnement récursif, il est aussi possible de prouver
que
s ╞ p ssi  si (si ╞ p)
Le raisonnement est semblable au précédent:
s’en convaincre comme exercice
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Dualité de  

p =    p (il sera sec dorénavant, ssi il est faux que finalement il pleuvra!)

 p =   p (finalement je serai riche ssi il est faux que je serai toujours pauvre!)
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Dualité de  
 Il est maintenant facile de prouver que ,  sont
duales, comme conséquence de la dualité de , 
p =
 si (si ╞ p) =
¬  si ¬ (si ╞ p) =
(dualité de  et )
¬¬p
 La preuve de s ╞ ¬¬p = s ╞  p est semblable
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Logiques temporelles linéaires et à branchements
 La logique temporelle que nous venons d’étudier est dite
‘logique temporelle linéaire’
 Car elle est basée sur l’hypothèse qu’il n’y a qu’un seul futur
 On étudie aussi les logiques temporelles à branchements,
basées sur l’hypothèse qu’il y a plusieurs futurs


CTL, Computational Tree Logic
Nous avons des opérateurs pour exprimer:
 Dans tout futur possible, p sera vrai
 Il y a un futur dans lequel p sera vrai
 Il y a aussi des logiques pour exprimer le passé:

Si p a été vrai dans un passé, il devra être vrai dans un futur
 Temporal logic with past
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Conclusion sur la logique temporelle
 Elle est utile pour exprimer les propriétés de systèmes
qui évoluent dans le temps

Comme tous les systèmes réels
 Les vérificateurs de modèles temporels (temporal logic
model checkers) l’utilisent

L’utilisation de ces concepts dépasse grandement
l’ingénierie des protocole

Il y a par ex. des applics à la vérif du matériel, circuits etc.
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Exercice
 L’expression p  q dit que si enfin p se vérifie, il y aura aussi
un q sans ordre entre p et q
 Donc une question pourrait être si p  q implique q  p ou
si les deux sont équivalents
 La réponse est négative, car
 p  q = p  q
 Ceci est vrai dans le cas où p est dorénavant faux ou q se
vérifie enfin
 q  p = q  p
 Ceci est vrai dans le cas où q est dorénavant faux ou p se
vérifie enfin
 Pour bien comprendre, remplacez p et q par des événements
concrets
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Automate Büchi (v. prochain cours)
 Utilisant l’outil http://www.lsv.ens-cachan.fr/~gastin/ltl2ba/index.php voici
l’automate de Büchi de p  q
 Celui pour q  p est identique après échange de p et q
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Cependant …
 (p
q)  (( p   q)  (qp))
 Ceci est vrai, mais il n’a rien à faire avec la logique temporelle, car
 (p q)  ((p  q)  (qp))
 Est aussi vrai : il est une tautologie
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Autres symboles de logique et théorie des ensembles
 Je mets ici quelques symboles utiles, car il ne se
trouvent toujours pas dans les tableaux de symboles
fournis par Word.
 Cette diapo n’est pas nécessairement reliée au cours
 ∈ ∉ ∅ ⊆ ⊂ ∪ ∩
   ┬ ┴├
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