Transcript Pensare male fa male1

Pensare male fa male
Breve corso di logica
Notula sul titolo
L’intestazione del corso è – come tutti vedono – un calembour,
un gioco di parole,cioè, basato su una figura retorica: la diafora,
ossia la ripetizione di due parole con significato diverso.
1) significato morale: “a pensar male (c’è un’apocope rispetto
al titolo) si fa male (= peccato) ma spesso ci si
azzecca”(Giulio III e un suo tardo ammiratore, Giulio
Andreotti);
2) significato logico: pensare male (ossia illogicamente) fa male:
all’emittente, al destinatario o a entrambi.
Rudolf Carnap assicura che in logica non c’è morale, secondo un
principio di tolleranza che ammette per ognuno una propria
logica, purché si rispettino convenzioni logiche. Insomma, siamo
liberi di essere di essere anche illogici, se lo facciamo con
logica!
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Limiti di questo corso I
Questi incontri procederanno su stretti sentieri ben definiti. Poiché,infatti, il
termine logica è polisemico, alfine di evitare fraintendimenti qui il significato è
univoco.
Ci occuperemo della logica proposizionale classica o comunemente logica
formale.
In questo regno vige il principio di bivalenza, ossia ogni suo abitante - chiamato
proposizione - possiede due soli valori: vero o falso. La proposizione è
un’asserzione che quindi è o vera o falsa.Vanno pertanto escluse dal novero
delle proposizioni frasi del genere che ora è? Oppure chiudi la finestra! O
ancora è obbligatorio l’uso della cintura o anche credo che lei mi ami. L’elenco
potrebbe continuare; infatti i tipi di logica non standard (o non classica) è
piuttosto esteso ed accresciuto negli ultimi anni.
Tutte le frasi in corsivo suesposte hanno – notate – la peculiarità di non
potersi dichiarare vere o false. Invece, affermazioni come la luna è l’unico
satellite della terra, il cantante dei Led Zeppelin è Gigi D’Alessio sono
rispettivamente vera e falsa.
Solo di queste ci occuperemo.
P.S. Dato il carattere introduttivo del presente corso, non distingueremo tecnicamente i sostantivi
proposizione ed enunciato
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Limiti di questo corso II
Le frasi vere o false sono dette dichiarative o assertive. Vero e falso sono detti
valori di verità.
(1)Campofranco è la capitale della Tasmania ha falso quale valore di verità.
(II)5 è un numero dispari ha vero quale valore di verità.
(III)Mi piacerebbe apprendere la logica senza studiare non ha né vero né falso
quali suoi valori.
È comodo servirsi di simboli per indicare frasi assertive: p,q r….
Ad es. (I) la possiamo indicare con p, mentre (II) con q.
Sia p sia q sono proposizioni semplici o atomiche, ossia, detto alla buona, si
riferiscono ciascuna a un solo stato di cose. Ora, cosa accade se si nega p e,
al contempo, si congiunge con q? Intanto, si ottiene una proposizione
composta che si riferisce ad almeno due stati di cose.
Poi,la negazione di una proposizione falsa dà una proposizione vera; quindi
non-p = V. Infine, se congiungo non-p a q, ottengo “non-p e q”.
Essendo vera non-p ed essendo vera q, ottengo una proposizione congiunta
vera; cioè Campofranco non è la capitale della Tasmania e 5 è un numero dispari.
In definitiva, la logica si occupa delle proposizioni e del mettere in relazione
proposizioni per vedere che conclusioni si ottengono.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Perché abbiamo bisogno della logica
Siamo logici?
NO! Ecco una prova.
Un novizio chiese al priore:
“Padre, posso fumare mentre prego?”
e fu severamente redarguito.
Un secondo novizio chiese allo stesso
priore:
“Padre, posso pregare mentre fumo?”
e fu lodato per la sua devozione.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Siamo logici? II
Questo argomento è corretto?
Argomento
Tutti i siciliani sono mafiosi
Alcuni mafiosi portano la coppola
Quindi, alcuni siciliani portano la coppola.
E questo ?
Tutti i siciliani sono mafiosi
Alcuni mafiosi portano la coppola
Quindi, alcuni siciliani non portano la coppola.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Formalizzare1
Ovvero come trasformare le frasi in simboli
Nelle lingue naturali come l’italiano le frasi possono essere poetiche
(Donna: mistero senza fine bello) o prosaiche (I rigatoni sono scotti). In
logica però conta una sola cosa: la loro verità o falsità.
Le frasi sintatticamente sono semplici o complesse; mentre in logica
sono atomiche e non atomiche.
È atomica la frase in cui un oggetto soddisfa un predicato.
Es. 1)La Sicilia è un isola.
È non atomica quella in cui o un oggetto ha uno, due (o più) predicati
oppure più oggetti hanno uno o più predicati.
Es. 2)Carlo è alto e grosso
3)Carlo e Giulia si amano
4)Chi dorme non piglia pesci
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Formalizzare 2
Ovvero come trasformare le frasi in simboli
Ebbene, è sempre possibile trasformare in simboli le frasi rintracciando
la loro forma logica.
La 1 così diventa: p. La 2 invece p ∧ q. La 3 Axy. La 4 p →q.
Impareremo a usare questi e altri pochi simboli.
Ma per quale ragione è utile -anzi indispensabile- trasformare in simboli
le frasi? Perché ciò che dà verità alle frasi non è il loro contenuto,
ma la forma nella esse si presentano.
Es. Se dovessimo decidere della verità della frase 2, indipendentemente
dal contenuto, possiamo con certezza affermare che la frase è vera
solo se sono vere p e q. Nella fattispecie, la 2 è vera se Carlo è alto e
grosso. Invece, se fosse alto ma non grosso oppure grosso ma non alto o
ancora né alto né grosso, la frase sarebbe falsa.
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La logica: un tronco, due rami
Tutti i manuali di logica prevedono la trattazione di almeno due parti
essenziali, le stesse delle quali sommariamente ci dovremo occupare:
la logica proposizionale e la logica predicativa.
La prima è stata già accennata. Si occupa della forma delle proposizioni
per deciderne la verità o la falsità.
La seconda si occupa della relazione tra le proposizioni, ossia i
ragionamenti, tra i quali - nei test di ingresso, ma solo in essi - domina
il sillogismo.
Le due sezioni sono strettamente congiunte, e solamente per ragioni
didattico-espositive sono normalmente trattate disgiuntamente.
Per gli stessi motivi anche qui si procederà al medesimo modo.
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I protagonisti della logica proposizionale
¬ negazione “non”
 ∧ congiunzione “e”
 ∨ disgiunzione “o” vel = o inclusiva
 ⊕ disgiunzione “o” aut = o esclusiva
 → implicazione “ se… allora”
 ↔ doppia implicazione “se e solo se”
 ← controimplicazione

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Esempi di formalizzazione 1
È fondamentale individuare correttamente la forma logica degli
enunciati. Per farlo, occorre un po’ di teoria e molta pratica.
1.
Non si può avere la botte piena e la moglie ubriaca.
Innanzi tutto, la 1 è una congiunzione di due proposizioni; inoltre presenta
un’incompatibilità (o avere la botte piena o la moglie ubriaca). Pertanto, la 1 risulterà
falsa quando si avrà la moglie ubriaca e la botte piena (o viceversa); vera negli altri casi.
Se p = botte piena e q = moglie ubriaca
¬ (p ∧ q) che equivale a (¬p ∨ ¬q)
ovvero o non si ha la botte piena o non si ha la moglie ubriaca
Ecco la prova con le tabelle di verità
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬ (p
F
V
V
V
∧ q)
V
F
F
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬ p ∨ ¬ q)
F
V
V
V
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Esempi di formalizzazione 2
Un esempio un po’ più complesso.
2.
Sarai bocciato, a meno che non studi con impegno
La 2 risulta una implicazione. Esattamente l’antecedente (ovvero la condizione) è a
meno che non studi con impegno = p; il conseguente sarai bocciato = q.
Poiché p risulta una negazione, si avrà allora
¬p→q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬p → q
V
V
V
F
La 2 risulta falsa nel caso in cui siano falsi p e q, ossia quando si studia con impegno o si
è bocciati. Infatti, ¬ p → q equivale a p v q.
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Esempi di formalizzazione 3
Adesso un esempio ancora più complesso.
3.
Andrò in vacanza in aereo o in auto. Se andrò in vacanza in aereo, giungerò prima a destinazione e
non porterò molti bagagli. Se andrò in auto porterò molti bagagli. Se avrò una vacanza confortevole,
allora avrò portato molti bagagli. Quindi se avrò una vacanza confortevole, sarò andato in auto.
La 3 risulta una formula piuttosto complessa. Formalizzata con p = vacanza in aereo; q = vacanza in
auto; r = giungere prima; s = portare molti bagagli; t = avere una vacanza confortevole, sara la
seguente stringa
(p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q)
Andrò in vacanza in aereo o in
auto è chiaramente una “o”
esclusiva, riproducibile come
un’alternativa che afferma p
negando q o negando p e
affermando q.
La congiunzione
lega il primo
enunciato
disgiuntivo al
condizionale
successivo
Se andrò in
auto porterò
Quindi. È il
molti bagagli
connettivo
principale
della formula,
Anche qui la
che divide le
congiunzione lega
condizioni
l’enunciato
dalle
precedente al
conseguenze
successivo
Se andrò in
vacanza in
aereo etc.
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Quindi se
avrò una
vacanza
confortevole,
sarò andato in
auto.
Analisi di una formula
La 3 è chiaramente un esempio di ragionamento intuitivamente corretto.
Potremmo servircene per verificare in maniera formale la sua validità.
(p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q)
P
Q
L’enunciato ha la forma complessiva di un condizionale P → Q. Per tentare di verificarne la
correttezza dobbiamo cercare di assegnare a Q (= t → q) il valore F, cioè falso, e a P il valore V, cioè
vero. Sappiamo infatti che un condizionale è falso quando l’antecedente è vero e il conseguente
falso. Adesso, se Q non è una conseguenza di P, sarà possibile assegnare valori di verità che
rendano P vera.
Primo passo, assegnare F a t → q, quindi t = V e q = F. secondo, procedere verso sinistra. Ci
accorgiamo che P è una congiunta di una disgiunta e due condizionali. Per rendere vera una
congiunzione è necessario che le sue congiunte risultino vere.
Poiché per ottenere il valore falso a Q si è assegnato a q = V, dobbiamo assegnare a s = V, in modo
da rendere q → s vera. Se s è vera, allora r ∧ ¬ s sarà necessariamente falsa, quindi dovremmo
assegnare a p il valore F. Essendo p = F la disgiunta risulta falsa, rendendo falso il valore di P. Quindi,
Poiché P è falso e Q è falso, la loro implicazione è vera; pertanto la 3 risulta vera.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Tabelle di verità 1
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ⋀ q
V
F
F
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ∨ q
V
V
V
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p → q
V
F
V
V
Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo è
evidente: la congiunzione risulta vera solo se le
proposizioni sono vere; falsa negli altri casi. Il simbolo va
letto come “e”; quindi, nella fattispecie, “p e q”. Es:
“Napoleone è nato in Corsica ed è diventato imperatore”
Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo
corrisponde alla disgiunzione “o” inclusiva (vel in latino),
quindi “o questo o quello o entrambi”. Il simbolo va letto
come “o” Es: “ Al concorso si può accedere col diploma o
con la laurea”.
Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo
corrisponde alla subordinante “se … allora”. Il se precede
l’antecedente, l’allora il conseguente. Esso va letto come
“se … allora” o anche “… implica ….” Es: “Se piove, allora
rimango a casa”
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Tabelle di verità 2
p
V
V
F
F
p
V
F
p
V
V
F
F
p ↔ q
V
F
F
V
q
V
F
V
F
¬p
F
V
q
V
F
V
F
Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo
corrisponde alla locuzione “se e solo se”, ovvero a una
equivalenza dei valori di verità tra due (o più) proposizioni.
Es:“Odi un tuono se e solo se c’è un fulmine”.
Esso va letto come “se e solo se” oppure come
“…equivale a…”
Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo
corrisponde all’avverbio non, e rappresenta perciò la
negazione di una o più proposizioni. Es: “ Non ho
posteggiato fuori dagli spazi consentiti”. Esso va letto
come “non” oppure come “non è vero che…”
p ← q
V
F
F
V
Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo
corrisponde a “allora … se”. In pratica corrisponde a un q
implica p. Alla diapositiva 19 vengono forniti altri dettagli
sul funzionamento e il significato di questo connettivo
I protagonisti della logica predicativa
Tutti
 Alcuni
 Nessuno

I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Le leggi di De Morgan
1.
2.
¬ (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)
¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
Es. di 1: p = avere moglie ubriaca; q = avere la botte piena
Non è vero che si può avere la moglie ubriaca e la botte piena
equivale a
O non si ha la moglie ubriaca o non si ha la botte piena
Es di 2: p = si spende poco; q = ci si veste bene
Non è vero che o si spende poco o ci si veste bene
equivale a
È
vero che non si spende poco e non ci si veste bene
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
C’è chi pone e c’è chi toglie
1.
2.
(p → q) ∧ p → q Modus ponens
(p → q) ∧ ¬ q → ¬ p Modus tollens
Es. di 1: p = Carlo parte; q = andrà a Parigi
così si legge
Se Carlo parte andrà a Parigi; Carlo parte perciò andrà a Parigi
Es di 2: p = si spende molto; q = ci si veste bene
così si legge
Se si spende molto, allora ci si veste bene; ma non ci si veste bene, allora
non si spende molto
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Bisogna essere equivalenti
1.
2.
3.
(p → q) = ¬ p v q
(p → q) = ¬ (p ∧ ¬ q)
(p → q) = (¬ q → ¬ p)
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
A quali condizioni?
Tutti sappiamo che non bastano le nubi perché
piova. Però senza nubi non può piovere.
Quindi la presenza delle nuvole è necessaria o
sufficiente? Oppure necessaria e sufficiente?
Naturalmente, la risposta corretta è
I.I.S.Virgilio - Michele Morreale
Condizione sufficiente
Dati P e Q, P è condizione sufficiente di Q se ogni volta che
troviamo P troviamo anche Q.
Questo non esclude che si possa avere qualche Q senza P.
Ciò equivale a dire P→Q, data la tavola di verità della
implicazione.
Quindi, se P implica Q, possiamo anche dire che P ne è
condizione sufficiente.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
22
A quali condizioni?
Dati P e Q, P è condizione necessaria di Q se ogni volta che
troviamo Q troviamo anche P.
Questo non esclude che si possa avere qualche P senza Q.
Ciò equivale a dire Q→P; possiamo anche introdurre un
apposito connettivo, inverso della implicazione semplice, la
controimplicazione: P ← Q
C’è tra condizione necessaria e condizione sufficiente un rapporto
inverso:
•Se P è condizione sufficiente di Q, Q è condizione necessaria di P
•Se P è condizione necessaria di Q, Q è condizione sufficiente di P
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Necessaria e sufficiente
Dati P e Q, P è condizione necessaria e sufficiente di Q (e
viceversa) se ogni volta che troviamo P troviamo Q, e ogni volta
che troviamo Q troviamo anche P. Non è data la situazione in cui si
abbia l’uno senza avere l’altro.
Ciò equivale a dire P↔Q, data la tavola di verità dell’equivalenza
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24
Proposizioni categoriche 1
Proposizione categorica è quella che afferma l’appartenenza o la non
appartenenza di qualcosa o qualcuno a una classe o categoria. Una
proposizione categorica è o vera o falsa.
Es. – Nessun mammifero è un oviparo
Qualche studente ammira Pamela Anderson/(Brad Pitt)
Qualche studente non ama la filosofia
Tutti i professori sono intelligentissimi
Qualche professore è puntuale
Aristotele ha classificato tutte le proposizioni categoriche in quattro tipi,
che i logici medievali hanno denominato come segue
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Proposizioni categoriche 2
A – Universale positiva: Tutti gli S sono P
E – Universale negativa:
Nessun S è P
I – Particolare affermativa Qualche S è P
O – Particolare negativa Qualche S non è P
Esercizi
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Proposizioni categoriche 3
A partire dal ‘700 con metodi perfezionati poi nell’800, le proposizioni
categoriche sono state espresse con diagrammi insiemistici.
Apprendere questa tecnica permette di provare visivamente la correttezza
o la non correttezza dei ragionamenti sillogistici.
Pertanto, vediamo come visualizzare le proposizioni A, E, I, O.
A - Tutti gli S sono P
P
S
S
I – Qualche S è P
S
E -Nessun S è P
X
P
P
O – Qualche S non è P
S X
P
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Proposizioni categoriche 4
Il quadrato delle opposizioni è una introduzione dei logici medievali.
A - Tutti gli S sono P
contrarie
subcontrarie
superalternazione
subalternazione
superalternazione
subalternazione
I – Qualche S è P
E -Nessun S è P
O – Qualche S non è P
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Proposizioni categoriche 5- Inferenze
immediate
Le inferenze immediate del quadrato delle opposizioni sono così elencabili.
A ed E sono contrarie poiché non possano essere entrambe vere, sebbene
possono essere entrambe false. Le contrarie corrispondono a ¬ (p ∧ q)
Es. Tutti gli uomini sono generosi e Nessun uomo è generoso
risultano false quando c’è
Qualche uomo generoso assieme a Qualche uomo non generoso
I ed O sono subcontrarie poiché non possono essere entrambe false, sebbene
possano essere entrambe vere. Le subcontrarie corrispondono a (p ∨ q)
Es. Alcuni metalli sono preziosi e Alcuni metalli non sono preziosi
Questo è il quadro completo
A vera: E falsa, I vera, O falsa
E vera: A falsa, I falsa, O vera
I vera: E falsa, A e O indeterminate
O vera: A falsa, E e I indeterminate
A falsa: O vera, E e I indeterminate
E falsa: I vera, A e O indeterminate
I falsa: A falsa, E vera, O vera
O falsa: A vera, E falsa, I vera
Se questi specchietti sono difficili da ricordare, ricordate queste due regole fondamentali:
1. Se una contraria è vera,l’altra è falsa; se è falsa, l’altra è indeterminata
2. Se una subcontraria è vera, l’altra è indeterminata; se falsa,l’altra è vera
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Altre inferenze immediate 1
Un’ inferenza è immediata quando da una premessa si può
giungere a una conclusione.
Es. da Tutti i farmacisti sono contro le liberalizzazioni
a
Chiunque è a favore delle liberalizzazioni non è un farmacista
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Altre inferenze immediate 2
Oltre a quelli compresi nel quadrato delle opposizioni, ci
sono altre inferenze immediate,e, segnatamente quelle
ottenute per
•Conversione
•Obversione
•Contrapposizione
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Conversione
Una conversione consiste nel reciproco scambio delle
posizioni dei termini del soggetto e del predicato.
Es. Alcuni professori sono cretini
diventa per conversione
Alcuni cretini sono professori
Manca la conversione di O.
Es. Qualche pianta non è un albero
la conversa sarebbe
Qualche albero non è una pianta
Conversione
Convertendo
A – Ogni S è P
E – Nessun S è P
I – Qualche S è P
O – Qualche S non è P
Conversa
I – Qualche P è S
E – Nessun P è S
I – Qualche P è S
--------------------I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Obversione
Per spiegare questa inferenza è necessaria qualche delucidazione.
Ogni classe si definisce per una proprietà o predicato. Es. la classe
di tutti gli studenti è definibile come l’insieme di quelle cose che
studiano a scuola. La classe complemento degli studenti è quella
definibile per la proprietà di non essere studente.
Risulterà chiaro quindi il seguente schema:
Obversione
Obvertenda
A – Ogni S è P
E – Nessun S è P
I – Qualche S è P
O – Qualche S non è P
Obversa
E – Nessun S è non P
A – Ogni S è non P
O – Qualche S non è non P
I – Qualche S è non P
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Contrapposizione
Questa inferenza è la risultante combinate delle due precedenti. Per ottenere una
contrapposta si sostituisce S col complemento di P e al contempo si sostituisce P
col complemento di S. La contrapposta è dunque l’obversa della conversa
dell’obversa.
Avremo così
A - Ogni metallo è un buon conduttore
A - Ogni non buon conduttore è un non metallo
Manca la contrapposta di I. Infatti, posso ottenere la obversa di I che è O, ma
questa non ammette la conversa.
Premesse
A – Ogni S è P
E – Nessun S è P
I – Qualche S è P
O – Qualche S non è P
Contrapposte
A – Ogni non P è non S
O – Qualche non P non è non S
--------------------------------------O – Qualche non P non è non S
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 1
È una forma di ragionamento costituita da tre enunciati: due premesse e
una conclusione.
Ciascun enunciato contiene un soggetto (S) e un predicato (P) uniti da una
copula.
Es. Tutti i gli studenti del Virgilio sono intelligenti
Sigismondo è uno studente del Virgilio
Sigismondo è intelligente
In rosso il soggetto, verde il predicato. Come si nota la caratteristica di
soggetto o predicato dipende dalla posizione. Il soggetto precede la copula,
il predicato la segue.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 2
Se formalizziamo – ovvero traduciamo in simboli – il ragionamento
precedente diventa così:
Tutti gli S sono P
X è un S
Termine maggiore
X è un P
Termine minore
L’elemento presente in entrambe le premesse ma non nella
conclusione si chiama termine medio. Esso ha un ruolo
fondamentale che dobbiamo ben capire.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 3
Esercitiamoci col seguente sillogismo
Tutti gli italiani sono europei
Tutti i siciliani sono italiani
Tutti i siciliani sono europei
Termine maggiore = europei
Termine minore = siciliani
Termine medio = italiani
Chiameremo proposizione categorica ogni enunciato che costituisce il
sillogismo. L’aggettivo categorico si spiega poiché ogni enunciato è
un’asserzione intorno a una classe (o insieme).
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 4
Chiameremo premessa maggiore quella contenente il termine maggiore;
premessa minore quindi quella contenente il termine minore.
Il termine medio è comune alle due premesse. Se esso manca o non è
correttamente collocato, il sillogismo è invalido.
A seconda della posizione del termine medio, i sillogismi sono classificati
in quattro figure sillogistiche.
I Figura
II Figura
III Figura
IV Figura
M–P
S–M
S–P
P–M
S–M
S–P
M–P
M–S
S–P
P–M
M–S
S–P
Domanda: a quale figura appartiene il sillogismo precedente?
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 5
Ogni enunciato che costituisce il sillogismo – ovvero le due premesse e la
conclusione – può essere di quattro tipi.
I logici medievali hanno classificato questi quattro tipi rispettivamente con
la seguente denominazione: A – E – I – O.
Ora, combinando i quattro tipi per i modi di ciascuna figura otteniamo 256
possibili schemi di sillogismo, chiamati modi sillogistici.
Non tutti i modi sono però validi; anzi, i modi validi sono solo 24. cioè
ciascuna delle quattro figure ha solo sei modi sillogistici validi.
[In realtà bisognerebbe sottrarre al 24 cinque modi subalterni; ma di ciò
non ci preoccuperemo]
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 7
Questi diagrammi sono noti col
nome di Eulero-Venn.
Permettono una visione molto
intuitiva delle condizioni di verità
delle proposizioni A, E, I, O
mediante la rappresentazioni di
insiemi.
Verifichiamo facilmente che:
 A è vera in I e III; falsa nelle altre
 E è vera in V; falsa nelle altre
 I è vera in I, II,III, IV; falsa in V
 O è vera in II, IV, V; falsa in I e III
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 8
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma AAA-4
Tutti i siciliani sono italiani
Tutti gli italiani sono europei
Tutti i siciliani sono europei
S
I
E
La correttezza del ragionamento è evidente.
Invertendo le premesse , naturalmente il sillogismo
rimane valido. Perciò qualunque argomentazione di
questa forma è sempre valida, anche quando le
classi sono vuote. [Cfr. sillogismo 14]
Es. Tutti i blefardi sono lumardi
Tutti i lumardi sono semardi
Tutti i blefardi sono semardi
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 9
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma EAE-1
Nessun uomo è alto cinque metri
Tutti gli italiani sono uomini
Nessun italiano è alto cinque metri
I
U
A
Anche in questo caso la validità
del ragionamento è chiara.
Pertanto, ogni ragionamento di
questa forma è sempre vero.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 10
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma AOO-1
Tutte le rose hanno le spine
La margherita non è una rosa Nonostante le tre proposizioni siano
La margherita non ha le spine vere, la costruzione dei diagrammi ci
M
R
S
mostra che non c’è intersezione tra la
classe M e quella R. perciò la
conclusione non può essere inferita
dalle premesse. Quindi i sillogismi di
forma AOO-1 non sono validi.
La non validità dell’argomento ricalca
la fallacia della negazione
dell’antecedente
((p →q) ∧ ¬p) → ¬q.
Il canonico sillogismo su Socrate
mortale è invece una corretta
affermazione dell’antecedente.
I.I.S. Virgilio - Michele Morreale
Il sillogismo 11
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma AII-1
Tutti i metalli sono buoni conduttori
Qualche opera d’arte è di metallo
Qualche opera d’arte è un buon conduttore
O
x
M
C
Il sillogismo è corretto. Infatti,
l’intersezione tra la classe O e la M
permette di concludere O in C.
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Il sillogismo 12
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma EIO-1
Nessun tifoso è arbitro di qualche squadra
Qualche giornalista è tifoso
Qualche giornalista non è arbitro di qualche squadra
T
A
Il sillogismo è corretto. Infatti,
l’intersezione tra la classe T e la G non è
vuota, ma quella tra la G e la A è vuota.
Pertanto, la conclusione -non è arbitronon va segnata con la x.
G
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Il sillogismo 13
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma AII-2
Tutti gli studenti del Virgilio sono intelligenti
Qualche extraterrestre è intelligente
Qualche extraterrestre è studente del Virgilio
S
I
E
Il sillogismo non è corretto. Infatti,
l’intersezione tra la classe E e la I non è
vuota, ma da ciò non segue che la classe
E intersechi la S.
Anche in questo caso, tutti i sillogismi di
forma AII-2 sono scorretti.
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Il sillogismo 14
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma AAI-3
Tutti gli studenti del Virgilio sono intelligenti
Tutti gli studenti del Virgilio sono sexy
Qualche intelligente è sexy Malgrado le apparenze, il sillogismo non
I
I
SV
SV
x
S
S
è corretto, benché tradizionalmente
venisse annoverato fra quelli che lo
erano. Proviamo infatti a costruire un
ragionamento analogo ma falso.
Tutti i siciliani millenari sono alti
Tutti i siciliani millenari sono bassi
Qualche alto è basso.
Il sillogismo diventa corretto se si
assume la premessa aggiuntiva “ Esiste
qualche M” [M = termine medio]. A
questo sillogismo è stata attribuito il
nome mnemonico darapti
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Il sillogismo 15
Verifica di correttezza
Consideriamo il seguente sillogismo di forma III-1
Qualche bandito è di cuore nobile
Qualche politico è bandito
Qualche politico è di cuore nobile
B
x
C
Il sillogismo non è corretto. I diagrammi
infatti intersecano B e C, B e P, ma non P
e C.
Pertanto tutti i sillogismi di questa forma
non sono validi.
P
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Limiti dei diagrammi
Purtroppo ragioni di complessità e di tempo ci hanno
costretto ad adoperare un sistema semplificato dei
diagrammi Eulero-Venn. Anche quello completo ha
tuttavia dei limiti intrinseci che vanno comunque corretti
con alcune regole supplementari.
L’alternativa ideale sarebbe stata la trattazione del calcolo dei predicati, che,
però, presenta un livello di complessità non trattabile in questa sede.
Ci dobbiamo accontentare perciò di completare l’uso dei
diagrammi con otto regole integrative, seguendo le quali si
giunge alla formulazione di un sillogismo valido
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Le otto regole1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Un sillogismo deve contenere esattamente tre termini
Il soggetto e/o il predicato nella conclusione non possono avere
una estensione maggiore di quella che hanno nella premessa
Il termine medio non deve mai apparire nella conclusione
In almeno una delle premesse il termine medio deve essere
universale
Due premesse negative non consentono alcuna conclusione
Due premesse affermative non conducono a una conclusione
negativa
La conclusione deve contenere quantità e/o qualità in misura
minore delle premesse
Due premesse particolari non conducono ad alcuna conclusione
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Le otto regole 2.
Regola 2
Le regole contrassegnate coi numeri 1,3,5,6,8 non necessitano di particolari chiarimenti.
Analizziamo pertanto le tre rimanenti, che, al contrario, richiedono qualche delucidazione.
Regola 2: Il soggetto e/o il predicato nella conclusione non possono avere una estensione maggiore di
quella che hanno nella premessa.
Per intendere la 2 si tenga conto di quanto segue:
In
una qualsiasi proposizione, il predicato è sempre più esteso del soggetto. Inoltre, il
predicato in proposizioni A è di estensione minore rispetto a predicati in proposizioni di tipo E.
Premessa maggiore M – P
Tutti gli uomini sono animali
Premessa minore S – M
Tutti i mussomelesi sono uomini
Conclusione
Tutti i mussomelesi sono animali
S –P
Come si nota in questa figura, P è il termine esterno (o estremo) che, in quanto compare due volte
nella stessa posizione, sarà necessariamente più esteso di S.
Basterebbe d’altronde riprodurre coi diagrammi per rendersene visivamente conto
Premessa maggiore M – P
U
A
Conclusione S - P
M
A
Come si vede qui per il predicato e per il soggetto, l’estensione non è maggiore
di quanto hanno in premessa. Questo sillogismo è perciò corretto
Le otto regole 3.
Regola 2 bis
Proviamo a vedere cosa accade invece con sillogismo che non rispetta questa regola.
Premessa maggiore
Tutti i cani sono mammiferi
Premessa minore
Nessun gatto è un cane
Conclusione
Nessun gatto è un mammifero
Formalmente si tratta di un sillogismo identico al precedente. Tuttavia, in questo l’estensione di P in
conclusione è maggiore di P in premessa. Il sillogismo pertanto non è valido.
Premessa maggiore S- P
C
M
Conclusione S - P
G
M
Nel diagramma di sinistra la classe M è parzialmente occupata da quella dei cani, ed è
perciò meno estesa rispetto alla classe M del diagramma di destra. Ciò giustifica
quanto detto nella slide precedente, ovvero che nelle proposizioni di tipo A
l’estensione del predicato è minore rispetto al predicato in proposizioni di tipo E.
Le otto regole 4.
Regola 2 tris
Proviamo ancora a vedere cosa accade un altro sillogismo che non rispetta questa
regola.
Premessa maggiore
Tutti i filosofi sono saggi
Premessa minore
Tutti i filosofi sono uomini
Conclusione
Tutti gli uomini sono saggi
L’estensione di P nella conclusione non è maggiore di quella della premessa, ma il
predicato della seconda premessa ha estensione maggiore del soggetto della
conclusione
Premessa minore S- P
F
U
Conclusione S - P
U
M
Nel diagramma di sinistra la classe U è visivamente più estesa rispetto alla classe U
del diagramma di destra. Ciò giustifica quanto detto nella slide 45, ovvero che nelle
proposizioni l’estensione del soggetto è sempre minore dell’estensione del predicato.
Le otto regole 5.
Regola 4
Ricordiamo la regola in fattispecie.
Regola 4: In almeno una delle premesse il termine medio deve essere universale.
Questa regola impone che il termine medio abbia nelle due premesse una estensione
diversa, altrimenti il passaggio nella conclusione è non corretto.
Vediamolo con un esempio.
Premessa maggiore
Tutti i francesi sono europei
Premessa minore
Tutti gli italiani sono europei
Conclusione
Tutti gli italiani sono francesi
Poiché il termine medio ha in entrambe le premesse la posizione di predicato che, in proposizioni di
tipo A – come detto – ha un’estensione particolare, il sillogismo non rispetta la regola 4; quindi è
invalido.
F
E
I
Nel diagramma appare visivamente evidente che l’estensione del termine medio ha
uguale estensione, nella fattispecie particolare. Quindi il sillogismo è non corretto.
Lo studente provi a riprodurre dei diagrammi di sillogismi corretti; si renderà conto
osservando il termine medio che in almeno una premessa esso è universale.
Le otto regole 6.
Regola 7
Ricordiamo la regola in che ci interessa analizzare
Regola 7: La conclusione deve contenere quantità e/o qualità in misura minore delle
premesse.
Per comprendere questa regola, ricordiamo che per qualità si intende la proposizione
affermativa (A -I) o negativa (E – O); mentre per quantità l’essere universale (A-E) o
particolare (I-O). La regola perciò impone che per due premesse diverse in qualità e/o
quantità, la conclusione dovrà avere una misura qualitativa e quantitativa minore
rispetto alle premesse.
Con degli esempi vedremo che si possono verificare tre casi.
1)
Due premesse affermative, una universale e una particolare
affermativa particolare.
2)
Due premesse universali, una affermativa e una negativa
universale o particolare.
3)
Due premesse , una affermativa e una negativa, di cui una universale e una
particolare
conclusione negativa particolare.
Tutti gli altri casi rientrano nelle rimanenti regole.
Nelle slide successive seguiranno degli esempi
conclusione
conclusione negativa
Le otto regole 6.
Regola 7 bis
Caso 1- Due premesse affermative, una universale, l’altra particolare.
Premessa maggiore
Tutti gli uomini sono esseri parlanti
Premessa minore
Qualche essere vivente è un uomo
Conclusione
Qualche essere vivente è un essere parlante
A
I
I
Caso 2 - Premesse universali, una affermativa, una negativa.
Premessa maggiore Tutti i gatti sono animali
Nessun cerchio è un quadrato
Premessa minore
Nessun fiore è un animale
Tutti i cerchi sono figure piane
Conclusione
Nessun fiore è un gatto
Qualche figura piana non un quadrato
Caso 3 – Premesse una affermativa, una negativa di cui una universale l’altra particolare
Premessa maggiore Tutti gli uomini sono razionali
Nessun uomo è una pietra
Premessa minore
Qualche vivente non è razionale Qualche vivente è un uomo
Conclusione
Qualche vivente non è uomo
Qualche vivente non è una pietra
Logica e quiz vari 1
Ecco come applicare la logica per la soluzione di diversi indovinelli.
Due persone di sesso diverso: una bionda e una mora.
La mora: Io sono un uomo; la bionda dice: Io sono una
donna. Se almeno una delle due mente, quale delle
seguenti affermazioni è vera?
A) La donna è bionda, l’uomo moro
B) La donna è mora, l’uomo biondo
C) Solo l’uomo mente
D) Solo la donna mente
E) La bionda è donna
1.
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57
Logica e quiz vari 1- soluzione
Servendoci della logica proposizionale simbolizziamo così:
p = io sono uomo – q = io sono donna.
Poi ipotizziamo che p lo dica la bionda e q la mora. Inoltre, ricordiamo
il dato: almeno una delle due affermazioni era falsa.
Costruiamo una tabella di verità p ∧ q
p(bionda)
q(mora)
p∧q
V
V
Impossibile, direbbero entrambe il vero
V
F
Impossibile, risulterebbero entrambe bionde
F
V
Impossibile, risulterebbero entrambe more
F
F
Persona mora: donna – Persona bionda: uomo
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58
Il sillogismo 16
Verifica di correttezza
1)
Alcuni uomini sono santi
Tutti i criminali sono uomini
Tutti i criminali sono santi
Nessun santo è criminale
2)
Ogni pipistrello è un volatile
Ogni pipistrello è un mammifero
Qualche mammifero è un volatile
Qualche volatile non è un mammifero
3)
Tutti i cani sono mammiferi
Nessun gatto è un cane
Nessun gatto è un mammifero
3)
Tutte le sirene hanno la coda di pesce
Tutte le sirene hanno una voce melodiosa
Qualche voce melodiosa ha la coda di pesce
Qualche voce melodiosa non ha la coda di pesce
4)
Nessun matematico ha mai quadrato il cerchio
Nessun matematico ha mai guidato un dirigibile
Tutti coloro che hanno quadrato un cerchio non
sono matematici
Tutti coloro che non guidano i dirigibili sono
matematici
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Fallacie 1
Una fallacia è un errore di deduzione, che, spesso, si presenta in
apparenza come una forma corretta di ragionamento.
Es. 1) Tutti i mammiferi sono mortali
Tutti i cani sono mortali
Tutti i cani sono mammiferi
oppure
2)Se Carlo è colpevole, allora va condannato;
ma Carlo non è colpevole,
pertanto non va condannato.
Il compito che abbiamo davanti è perciò quello di capire come si
distingue la forma di ragionamento corretto (o valido) da quella
scorretta ( o non valida).
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Fallacie 2
Come si è notato la correttezza di un ragionamento non ha a che
vedere con la verità né con la persuasione.
Pertanto, possono esistere ragionamenti logicamente invalidi e tuttavia
persuasivi o veri.
Nella slide n° 19 l’esempio 2 si presenta persuasivo, e tuttavia invalido.
Ma come è possibile capire quando un argomento è non valido?
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Bibliografia essenziale
•E.J. Lemmon - Elementi di logica Ed. Laterza, Bari (1985)
•Copi I. M., Cohen C.-Introduzione alla logica, Ed. Il Mulino, Bologna (1999)
•D. Zambella - Elementi di logica www.dm.unito.it/personalpages/zambella/papers/elementi/e.pdf
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