Transcript ANOVA à 2 facteurs Motivation

ANOVA à 2 facteurs
Motivation : lorsqu’on réalise une Anova à un
facteur on peut se retrouver avec des
groupes hétérogènes. Cette hétérogénéité
peut occulter des différences potentielles
entre groupes.
Les données expérimentales
 On dispose d’un tableau à a lignes et b
colonnes.L’ensemble des lignes représente le
facteur 1 et l’ensemble des colonnes le facteur 2.
 On a ainsi ab cellules ; chaque cellule représente
un traitement.
 Chaque cellule peut contenir nij observations. Ce
cas est difficile à traiter (problème de maths). On
supposera dans la suite que toutes les cellules
contiennent le même nombre n d’obsevations.
F2
F1
…
1
1
X111
:
X11n
X 11.
:
i
:
a
Moyenne
X1j1
:
X1jn
:
:
:
:
Xa11
:
Xa1n
X .1 .
X a 1.
X ij.
Xaj1
:
Xajn
X aj.
X . j.
Moyenne
b
X1b1
:
X1bn
X1 j.
Xij1
:
Xijn
…
…
j
X 1b .
…
X 1..
X i ..
Xab1
:
Xabn
X ab.
X .b .
X a ..
X ...
Conditions théoriques et modèle
 Comme dans le cas de l’ANOVA à un facteur les
hypothèses sont résumées dans un modèle qui
est :
– Xijk =  + i + j + ij + ijk
où
i = 1, …, a
j = 1, …, b ; k = 1, …, n
 = moyenne commune, i = effet ligne i
j = effet colonne j,  ij = interaction ligneixcolonnej
ijk = erreur associée à l’observation Xijk.
Hypothèses à tester
 3 hypothèses à considérer :
- H0 : Y-a-t-il interaction (ij = 0 pour tous i, j) ?
- H0 : Y-a-t-il un effet ligne ou facteur A
(i = 0 pour tous i) ?
- H0 : Y-a-t-il un effet colonne ou facteur B
(j = 0 pour tous j) ?
Idée du test F de Fisher
(cas où n > 1)
 On procède de la même façon que pour l’ANOVA
à un facteur pour avoir les sommes de carrés des
écarts suivantes :
- SCEA = bn  X  X 
2
i ..
- SCEB = an  X
...
 X ... 
2
. j.
- SCEinteraction = n  X
 X i ..  X . j .  X ... 
2
. j.
Somme des carrés (suite)
- SCErésiduelle =
- SCEtotale =
 X  X
ijk
 X  X
ijk

2
ij .

2
...
De plus on a la relation importante suivante :
SCEtotale=SCEA+SCEB+SCEinteraction+SCErésiduelle
Table d’ANOVA
Source de
variation
d.d.l.
SCE
CME
F
Facteur A
(lignes)
a-1
SCEA
CMEA
FA = CMEA/CMErésid.
Facteur B
(colonnes)
b-1
SCEB
CMEB
FB = CMEB/CMErésid.
Interaction AxB
(a-1)(b-1)
SCEinteraction.
CMEinter.
Résiduelle
(erreur)
ab(n-1)
SCErésiduelle
CMErésid.
Totale
N-1
SCEtotale
Finter =
CMEinter./CMErésid.
Règles de décision
Interaction : il y une interaction significative si
Finteraction > C
Effet lignes : Il y a un effet ligne (facteur A) si
FA > C
Effets colonnes : il y a un effet colonne (facteur B) si
FB > C
Dans n’importe quel cas de figure on rejette H0 si :
-utilisateur > p-value.