Transcript Osa 2. Gravitaatio ja sähkömagnetismi

D-teoria - Solurakenteisen avaruuden malli
Osa   : Gravitaatio ja sähkömagnetismi
Hypoteesi:
Suuressa mittakaavassa fysikaalinen tila-avaruus on taustasta riippumaton neliulotteisen
hyperoktaedrin kolmiulotteinen, solurakenteinen pinta. Se on euklidiseen havainto-avaruuteen
verrattuna neliöllinen ja absoluuttinen. Suljetun pinnan sisä- ja ulkopuolella on määrätylle
etäisyydelle pinnasta ulottuva solurakenteinen kompleksiavaruus. Avaruudessa pätee
Manhattan-metriikka.
( Havaintoavaruus on absoluuttisen avaruuden emergentti ominaisuus. Se syntyy absoluuttisesta avaruudesta karkeistettujen havaintojen kautta jokaiselle havaitsijalle liiketilasta riippuen
erilaisena ja on neljällä ortonormeeratulla kantavektorilla viritetyn Riemannin hyperpallon
kolmiulotteinen pinta.)
Tiivistelmä:
Määritellään absoluuttisen avaruuden solumainen rakenne. Kuvataan havaintoavaruuden
syntyminen absoluuttisesta avaruudesta sen emergenttinä ominaisuutena. Avaruusmallin
perusteella saadaan Lorentzin muunnosyhtälöt. Osoitetaan, että makroskooppisen sauvan
rotaatiot ovat solurakenteisessa avaruudessa mitansäilyttäviä.
Esitetään ratkaisu kvanttimekaniikan mittausongelmaan. Esitetään uusi tulkinta aaltofunktion
romahtamiselle ja Bellin epäyhtälön rikkoutumiselle. Johdetaan avaruusmallista epätarkkuusperiaate ja hiukkasen aaltofunktion vaiheinvarianssi.
Määritellään 3D-pinnan ulkopuolella sijaitsevan kompleksiavaruuden rakenne ja rotaatiot.
Määritellään hiukkasen varaus ja spin ja symmetriaryhmät solurakenteisessa kompleksiavaruudessa. Kuvataan hienorannevakion geometrinen luonne. Kvantitetaan aika ja hiukkasen
liikemäärä. Kuvataan gravitaation merkitys havaintoavaruuden syntymisessä.
Määritellään geometrisesti nelikantainen atomimalli, sen elektronien kaikki kvanttiluvut ja
projektiot havainto-avaruudessa. Johdetaan geometrisesti tarkat arvot protonin halkaisijalle,
Rydbergin vakiolle ja vetyatomin elektroniratojen säteille.
Määritellään kvarkkien ja kolmen hiukkasperheen geometrinen rakenne.
Osoitetaan, että sähkömagneettiset kentät ovat kvantittuneen kompleksiavaruuden
ominaisuuksista syntyvä aaltomekaaninen ilmiö, joka tuottaa Maxwellin yhtälöt.
Versio V2.12 julkaistu 14.4.2014.
email: [email protected]
1
Sisällys, osa l l :
Havaitseminen absoluuttisessa avaruudessa
Solumaisen avaruuden potentiaali
Hilajonojen rakenne
Sähkökentän massa
Aaltofunktion synty
Perushiukkasen aaltofunktio
Seisova gravitaatioaalto
Kiihtyvyyskentän pitkittäinen aaltoliike
Aaltofunktio ja aika kiihtyvyyskentässä
Aaltofunktion eksentrisyys painovoimakentässä
Kaksosparadoksi
Elektronin aineaalto ja neljäs ulottuvuus
Massa ja liikemäärä kappaleen ominaisuutena 3D-avaruudessa
Suuri absoluuttinen säilymislaki
Kompleksiavaruuden hahmottaminen
Avaruuden laajeneminen
Massa, avaruus ja energia
Kappaleen liike-energian geometria
Absoluuttisen avaruuden perussuureet
Einsteinin väitteet eetteriä vastaan
Lisää symmetrioita
Atomin komponentit ja käänteisavaruudessa
Nelikantainen atomimalli
Atomin elektronien liikemäärämomentti
Hilan potentiaalit
Amperèn laki
Magneettisen voiman suunta
Hilan dynaamiset ominaisuudet
Sähkömotorinen voima
Faradyn lain mekaniikka eetterissä
Biot-Savartin laki
Entropia ja eetteri
Yhteenveto
Lähteet
3
9
12
13
15
19
26
31
32
35
38
39
40
41
43
45
47
48
49
50
51
52
53
55
57
59
60
61
62
63
65
65
66
68
2
Havaitseminen absoluuttisessa avaruudessa
Havaitsemme avaruuden kolmikantaisena isotrooppisena tilana. Neljättä kantaa emme pysty
hahmottamaan. Kannoilla on kullakin suuntansa ja ne ovat kaikki tasaisessa avaruudessa
kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tilaulottuvuudet eli kannat 1.D, 2.D ja 3.D ovat sulkeutuneita,
reunattomia ja äärellisiä ulottuvuuksia. Neljäs tilaulottuvuus 4.D on avoin ja reunallinen.
Koska avaruus tiedetään painovoiman ansiosta myös paikallisesti kaareutuneeksi, voidaan
olettaa, että avaruutta voidaan myös supistaa ja laajentaa ja avaruus itse välittää näitä voimia.
Avaruuden kautta välittyvät voimat ovat ainoastaan avaruutta supistavia tai laajentavia voimia.
Neljäs ulottuvuus ei siis ole ääretön, vaan sillä on reunat ja se rajoittuu Universumin sisälle. Kolmiulotteisen avaruuden jokaisessa pisteessä on myös neljäs avaruussuunta, eikä se lisää kolmiulotteisen avaruuden tilavuutta. Edellä määritellylle lineaariselle avaruudelle, hyperoktaedrille,
jonka euklidisen 3D-pinnan ominaiskaarevuus on suuressa mittakaavassa nolla, voidaan
kirjoittaa:
Havaitsemattomuuslaki euklidiselle pinnalle: Neljättä tilaulottuvuutta on mahdotonta havaita.
Samoin kappaleen asemaa, pituutta tai liikettä neljännen tilaulottuvuuden suunnassa on mahdotonta suoraan havaita.
Tästä laista saadaan useita havaitsemiseen liittyviä loogisia sääntöjä, jotka esitetään D-teorian
seuraavissa luvuissa.
Yksinkertaistettu kaaviokuva. Sulkeutuneen hyperpallon pinta on havaitsemamme kolmiulotteinen silmukka-avaruus. Säde R on neljännen tilaulottuvuuden suuntainen.
R
Kaikki havaitsemamme liikesuunnat ovat kohtisuorassa
neljättä ulottuvuutta vastaan. Levossa olevat kappaleet
kiertävät radallaan kohtisuoraan sädettä R vastaan, olipa
niiden suunta kolmiulotteisessa avaruudessa mikä tahansa.
Kappaleella on absoluuttinen nopeus kohtisuoraan sädettä
R vastaan ja säde on absoluuttisen lepokoordinaatiston
suuntainen. On olemasssa absoluuttinen liike, joka kuvataan mekaanisesti myöhemmin D-teoriassa.
Huom! Lepokoordinaatisto voidaan määritellä kahdella eri tavalla. Se voidaan määritellä ( 1 )
3D-pinnan solujen lepokoordinaatistoksi tai ( 2 ) valon lepokoordinaatistoksi. Valon lepokoordinaatisto liikkuu solujen suhteen kaikkialla vastakkaisiin suuntiin nopeudella, jolle havaitsija
aina mittaa kaikissa suunnissa saman arvon c riippumatta havaitsijan liikkeestä solumaisen
avaruuden suhteen. Seuraavassa tarkastellaan erityisesti valon lepokoordinaatistoa ja sen
mekaniikkaa. Tarkastelu tuottaa mm. Lorentzin muunnosyhtälöt ja ajan mekaanisen mallin.
Absoluuttinen yksiulotteinen valon lepokoordinaatisto on säteen R suuntainen. Tasainen
absoluuttinen liike tapahtuu kohtisuoraan lepokoordinaatistoa vastaan ja on aina keskeisliike.
3
Kun kappale liikkuu levossa mihin tahansa suuntaan 3D-avaruudessa, se voi periaatteessa
kiertää sulkeutuneen avaruuden ympäri ja palata takaisin lähtökohtaansa. Tällöin kappale on
liikkunut 3D-avaruudessa mutta ei kaarevuussäteen eli 4.D:n suunnassa.
Kun kappaleeseen kohdistuu voima, joka muuttaa kappaleen nopeuden, kappale siirtyy neljännen ulottuvuuden suunnassa. Voima tekee työtä 4.D:n suuntaista avaruuden potentiaalia W
vastaan. Potentiaalille pätee W  c²  R², missä R on kaarevuussäde ja c on valon nopeus.
Neliulotteisessa avaruudessa kappaleella on 4 koordinaatia. Ne ovat x,y,z ja w², missä w on
kappaleen absoluuttinen nopeus. (Aikaa ei tässä käytetä koordinaattina.) Kappaleeseen kohdistuva voima voi muuttaa näitä kaikkia. Neljäs ulottuvuus voidaan siis hahmottaa kappaleen
liikkeessä. Kun olemme ajatelleet lisäävämme kappaleen suhteellista nopeutta, olemmekin itse
asiassa saattaneet jarruttaa kappaleen absoluuttista nopeutta siten, että sen asema 4.D:n
suunnassa on alentunut.
Euklidisella 3D-pinnalla 4.D ei voi olla metrinen, mutta osoittautuu, että kappaleen nopeutta voidaan käyttää epäsuorasti kappaleen aseman ilmaisemiseen kyseisessä suunnassa. Suhteellisen nopeuden neliö v² on havaitsijan absoluuttisen nopeuden neliön c² ja kappaleiden
absoluuttisten nopeuksien neliöiden w² erotus
v²= c²- w²
( Huom! w ² = (c - v)(c + v) )
Suhteellinen vajoama:
Havaitsija H näkee kappaleiden A ja B
pakenevan siten, että B:n nopeus on suurin.
4.D
H
c2
w2
Kappaleen absoluuttinen nopeus voidaan
nähdä tässä koordinaatistossa 4.D-akselilla.
Suhteellinen nopeus on 3D-avaruuden
suuntainen. 3D-avaruus on tässä supistettu
yksiulotteiseksi.
A
B
3D-avaruus
Havaitsijan ja kappaleen A välinen suhteellinen nopeus v 2 = c 2 - w 2.
Huom! Avaruus, jossa kappaleen suhteellinen nopeus v edustaa yhtä avaruussuuntaa, on
fysiikassa nimeltään faasiavaruus. Faasiavaruuden avulla voidaan selittää kaikki fysiikan
makroskooppiset ilmiöt.
Havaitsijan nopeus valon lepokoordinaatiston suhteen on sama kuin havaitsijan itselleen mittaama valon nopeus eli näyttää olevan aina vakio. Koska kappaleen absoluuttinen nopeus c² on
verrannollinen kappaleen asemaan 4.D:ssä, seuraa havaitsemattomuuslaista sääntö 1:
On mahdotonta havaita eri suhteellisilla nopeuksilla liikkuvien kappaleiden absoluuttisia nopeuksia lepokoordinaatiston suhteen. Tiedetään, että kun v = 0, kappaleiden ja havaitsijan absoluuttisten nopeuksien neliöt ovat samat (= c² ).
Jos kappaleiden absoluuttiset nopeudet eli asema 4.D:ssä voitaisiin suoraan havaita, havaittaisiin samalla neljäs ulottuvuus.
4
Kun kaksi kappaletta eivät liiku toistensa suhteen, niiden absoluuttisen nopeuden neliöt ovat
samat. Kun voima sinkoaa kappaleet poispäin toisistaan, niiden kummankin absoluuttisen nopeuden neliö muuttuu, mutta ei voida tietää miten ne muuttuvat kullekin kappaleelle. Myöhemmin osoitetaan avaruusmalliin perustuen , että tämä teoreettinen muutos riippuu kappaleiden
liikesuunnista tavalla, jota ei ole mahdollista havaita.
Kaarevuussäteen suuntaista valon lepokoordinaatistoa ei voida havaita. Voimme kuitenkin tarkastella teoreettisesti, geometrian ja algebran avulla lepokoordinaatiston liikettä havaitsijan suhteen kolmiulotteisessa avaruudessa, kun havaitsija itse liikkuu jollakin absoluuttisella nopeudella.
Kolmiulotteisessa avaruudessa tarkasteltuna lepokoordinatisto liikkuu avaruuden pisteen kautta
siten, että se lähestyy pistettä kaikista 3D-avaruuden suunnista absoluuttisella nopeudella ja
ohitettuaan pisteen se pakenee pisteestä kaikkiin suuntiin.
Kaikki 3D-avaruuden pisteet ovat samassa asemassa. Kolmiulotteisessa avaruudessa havaitsijan on mahdotonta tietää näin liikkuvan lepokoordinaatiston liikkeen suuntaa. Suuntia voi olla
kaksi, eteen tai taakse. Jos suunta vaihtuisi, sitä ei voitaisi huomata. Lepokoordinaatisto ei silti
puristu kussakin avaruuden pisteessä kasaan. Lepokoordinaatisto liikkuu vain havaitsemattomien pääakseleiden suunnassa ja absoluuttinen avaruus on neliöllinen.
Edellä saimme suhteelliselle nopeudelle v² = c² - w². Suhteellinen nopeus v² ei riipu absoluuttisten nopeuksien w tai c etumerkistä ja siten absoluuttisen nopeuden suunta jää havaitsematta.
Geometria ja algebra tuottavat näin saman tuloksen.
5
Havaitsemattomuuslaista saadaan Sääntö 2:
Kaikki havaitsijat mittaavat valon nopeuden neliöksi aina saman c ². Muuten havaitsijat voisivat
määrittää oman asemansa 4.D:ssä ja se olisi vastoin havaitsemattomuuslakia. Omaa ja toisen
kappaleen todellisen absoluuttisen nopeuden neliötä eli asemaa 4.D:ssä ei voida tietää. Itselle
se on aina c² ja toiselle se on aina w ² = c ² - v ² eli suhteellinen nopeus määrää eron.
Kolmiulotteisessa avaruudessa havaittava suhteellinen nopeus ja neljännen ulottuvuuden suuntainen koordinaatti eli absoluuttisen nopeuden neliö ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Voimme piirtää niille kuvaajan, joka kaavan v ² + w ² = c ² mukaan on c-säteisen ympyrän kehä.
Kappaleet A ja B liikkuvat toisiinsa nähden suhteellisella nopeudella v.
A
c
A'
A: c
v
B: c'
v'
B'
v
v'
B
w
c'
w'

Molemmat kappaleet A ja B sijaitsevat omalla ympyränkehällään, joka vastaa niiden absoluuttista nopeutta ja molemmat mittaavat omaksi absoluuttiseksi nopeudekseen nopeuden c. Kappaleiden havaintokoordinaatistot kiertyvät aina kappaleiden oman liiketilan mukana.
Kappale A liikkuu absoluuttisella nopeudella c ja kappale B nopeudella c'. Molempien havaintokoordinaatistot ovat kiertyneet toistensa suhteen kulman  verran. A havaitsee, että B liikkuu
suhteellisella nopeudella v, ja B havaitsee, että A liikkuu suhteellisella nopeudella v'. Nopeudet v
ja v' havaitaan yhtäsuuriksi 3D-avaruudessa ja niiden välinen kulma on kiertymäkulman
suuruinen.
Havaintokoordinaatiston kiertymisestä johtuu, että havaitsija B laskee A:n absoluuttiseksi nopeudeksi w', mikä on pienempi kuin B:n oma absoluuttinen nopeus c'. Samalla A näyttää olevan
alempana 4.D:n suunnassa. Molemmat havaitsijat A ja B laskevat kaavasta w ² = c ² - v ² toisen liikkuvan itseään alemmalla absoluuttisella nopeudella ja olevan samalla alempana 4.D:n
suunnassa.
Koordinaatistojen kiertyminen kuvataan myöhemmin kaikkiin kappaleisiin liittyvän aaltofunktion
epäsymmetrisyyden eli eksentrisyyden avulla.
6
Myöhemmin osoitetaan, että Lorentz-muunnos toteutuu D-teorian avaruusmallissa. Avaruusmalli suorastaan vaatii sitä.
Havaintokoordinaatiston kiertymäkulmalle saadaan:
tan o = v/w =
v
ja w / c =
1 - v 2 / c2
c2 - v2
4.D
Yksinkertaistettu kuva suhteellisesta vajoamasta:
4.D
4.D
c²
w²
Kuvan avaruudessa 4.D ei ole metrinen,
mutta ei myöskään 3D-pinnan suunta.
Jokaisella kappaleella ja hiukkasella on olemassa 4Dkomponentti (kuvassa punainen nuoli).
Havaitsijat näkevät olevansa toistensa suhteen ylempänä 4.D:n suunnassa. Oma absoluuttinen nopeus
on c ja toisen w. Suhteellinen nopeus saa kappaleiden 4D-komponentin kiertymään 3D-pinnan ja toistensa suhteen. Molemmat 3D-koordinaatistot ovat
kohtisuorassa 4.D:tä vastaan tasaisessa liikkeessä.
Molemmat havaitsijat ovat samalla tasaisella 3Dpinnalla.
Suhteellinen nopeus synnyttää suhteellisen vajoaman, joka perustuu koordinaatistojen kiertymiseen. Havaitsijoiden 4.D-komponentit ovat kiertyneet toistensa suhteen, mutta 3D-avaruudet
ovat kohtisuorassa 4.D:tä vastaan. Molemmat havaitsijat, jotka liikkuvat toistensa suhteen, ovat
fysikaalisesti toistensa yläpuolella 4.D:n suunnassa. Tästä seuraa, että ne havaitsevat toistensa
ajan t kulkevan hitaammin, toistensa lepomassan m kasvaneen ja liikkeen suuntaisen pituuden
s lyhentyneen (näistä lisää myöhemmin).
Kaikki suureet eivät kuitenkaan tässä yhteydessä muutu. Tällaisia suureita ovat absoluuttisen
avaruuden invarianssit :
c²xt²
m²xc²
ja
c²/s²
Vakion c tilalla käytetään kappaleen absoluuttista nopeutta w, kun kyseessä on kappale, joka
liikkuu havaitsijan suhteen. Silloin saadaan esim. invarianssiyhtälö
c² t² = w² t' ² .
Nämä invarianssit kuvaavat avaruuden ja aineen perustavaa laatua olevia ominaisuuksia sekä
kolmea perussuuretta (aika, massa ja pituus) niin mikro- kuin makrokosmoksessakin. Samalla
ne neliöllisinä kuvaavat maailman symmetrisyyttä. Näistä invariansseista lisää myöhemmin.
Koordinaatiston kiertymisestä seuraa, että jokainen havaitsija uskoo olevansa neljännen ulottuvuuden ulkoreunalla. Neljäs tilaulottuvuus on reunallinen ja avaruuden kaartuessa sille voidaan määritellä sisä- ja ulkoreuna (tai ala- ja yläreuna).
Saadaan Sääntö 3.: Valon nopeus on suurin havaittava nopeus, sillä 4.D:n reunaa ei voi ylittää.
Tämä sääntö on verrattavissa edelliseen sääntöön 2. Se tekee kaikista havaitsijoista tasavertaisia oman 4.D-asemansa havaitsemisen suhteen.
7
Havaitsemattomuuslaista saadaan Sääntö 4.:
Avaruuden kaareutumista neljännen ulottuvuuden suuntaan ei voida havaita ja avaruus näyttää
aina laakealta. Ominaiskaarevuus on nolla! Kaikki kaarevuusmittaukset avaruuden suuren mittakaavan kaarevuuden havaitsemiseksi tuottavat tulokseksi aina laakean avaruuden. Jos kaarevuus havaittaisiin, havaittaisiin samalla neljäs tilaulottuvuus.
Havaitsijan oma asema 4.D:n suunnassa on aina c² ja avaruuden korkeus 4.D:n suunnassa on
verrannollinen nopeusalueeseen 0  c ² . Avaruuden korkeus tarkoittaa tässä aluetta, jolta on
mahdollista tehdä epäsuoria havaintoja. On mahdollista saada epäsuoria havaintoja vain rajalliselta alueelta 4.D:n suunnassa ja alueen metrinen määritteleminen on havaitsemattomuuslain
mukaan mahdotonta. Ilmiö, jonka kautta epäsuorat havainnot saadaan, rajoittuu tavalla tai toisella aina mainittuun alueeseen 0  c ². Suoria havaintoja tässä suunnassa ei ole mahdollista
tehdä. Tämä käy ilmi myöhemmin esitettävästä yksityiskohtaisemmasta avaruusmallista sekä
esim. atomimallista.
Valon nopeus c on suurin nopeus ja sitä käytetään D-teoriassa kuvaamaan epäsuorasti erilaisia
suureiden maksimiarvoja 4.D:n suunnassa.
Kun tarkastelemme 3D-avaruuden pisteen A kautta kulkevaa lepokoordinaatistoa, joka kulkee
absoluuttisella nopeudella c ja liikumme kohti pistettä A suhteellisella nopeudella v, saamme
vastaantulevan lepokoordinaatiston nopeudeksi aina v + c = c, koska valon absoluuttinen nopeus havaitaan aina samaksi. Tämä tarkoittaa, että pisteestä tuleva lepokoordinaatisto liikkuu
havaitsijaa kohti havaitsijan suhteellisesta nopeudesta riippumatta aina nopeudella c. Suhteellisella nopeudella ei siis ole 3D-avaruudessa mitään fysikaalista merkitystä suoraan vastaan
tulevan lepokoordinaatiston suhteen.
A
c
A
A
c
c
v
v+c=c
v
v+0=v
v
H
H
H
Kun käännämme tarkastelusuunnan kohtisuoraan pisteen A lepokoordistoa vastaan, ja liikumme nyt lepokoordinaatiston suhteen nopeudella v, huomaamme, että tässä liikkeen suunnassa
tarkasteltuna nopeus A:sta tulevan lepokoordinaatiston suhteen on 0 + v = v. Liikuttaessa kohtisuoraan pisteen lepokoordinaatistoa vastaan, nopeuksien summa on liikkeen suunnassa sama
kuin suhteellinen nopeus. Huomaamme, että suhteellinen nopeus on fysikaalisesti olemassa
pisteen lepokoordinaatiston suhteen vain kohtisuorassa suunnassa.
8
Solurakenteisen avaruuden potentiaali
Hilajonojen hahmojen nopeudella c tapahtuva kiertoliikke synnyttää keskeisvoiman ja pintaan
kohdistuvan potentiaalin W = c². Potentiaali on 4.D:n suuntainen.
Tasapainotilanteessa 3D-pinnalle tasaisesti jakaantuneet pinnan suuntaiset massat
synnyttävät pinnan suuntaisen ja sulkeutuneen avaruuden ympäri kiertävän vetovoiman. Kun
vetovoima kiertää pinnan ympäri, sillä on pintaa vastaan kohtisuora komponentti. Kohtisuoran
komponentin synnyttämä potentiaali on sama mutta vastakkaisuuntainen kuin hilajonojen
potentiaali W. Potentiaali aiheuttaa kaikille kappaleille inertian eli hitauden. (Kuva seur. sivulla)
3D-pinnalla sijaitsevat massan omaavat kappaleet eivät ole jakautuneet pinnalle tasaisesti ja
ne liikkuvat pinnalla eri nopeuksilla. Niinpä siellä, missä massaa on paikallisesti enemmän, on
tasapaino muuttunut siten, että potentiaalia on vähemmän eli on syntynyt potentiaalikuoppa eli
paikallinen kiihtyvyyskenttä. Potentiaalin muutos kuvataan kiihtyvyyskentän pakonopeuden ve
avulla siten, että potentiaali on
W = c² - ve² = w² .
Solurakenteinen avaruus voidaan kuvata yksikkövektoreiden avulla. Massalla on kyky
supistaa paikallisesti avaruutta. Kun kappaleen massa supistaa 3D-pinnan yksikkövektoreiden
paikallisia projektioita, kaareutuu pinta vastaavassa suhteessa. Se merkitsee paikallista
pinnan vajoamista kohti avaruuden keskipistettä. Vajoaminen puolestaan merkitsee, että pinta
on kallistunut 4.D:n suhteen. Vajonnut ja kallistunut pinta merkitsee aina kappaleelle
kiihtyvyyttä, sillä onhan pinnan korkeus verrannollinen kappaleen absoluuttiseen nopeuteen
w² = c² - ve² ( = W). Pinnan vajoama ei ole metrinen, vaan ilmaistaan parhaiten neliöllisen
pakonopeuden ve² avulla.
3D-avaruuden supistuminen kiihtyvyyskentässä tarkoittaa juuri horisontaalista paikallisten projektioiden lyhenemistä.
Tarkastellaan vielä lähemmin 3D-pinnan asemaa avaruudessa ja sen potentiaalia.
Fi
Fi = Fo
Massojen pinnan suuntainen vetovoima synnyttää voiman Fi kohti silmukan keskustaa.
Fo
Hilajonojen hahmojen kiertoliike nopeudella
c synnyttää keskipakoisvoiman Fo.
Voimien Fi ja Fo tasapaino ja tasapainon riippuvuus valon nopeudesta c johtavat siihen, että
gravitaatiokentän muutokset etenevät avaruudessa valon nopeudella. Silloin voidaan puhua
gravitaatioaalloista.
9
A
E = mc² =
Ac²
c²
Kappaleen kokonaisenergia E = mc² liittyy sen asemaan 4.D:n suunnassa. Massa m aiheuttaa 3D-avaruuden kaarevuuden, joka voidaan kuvata
efektiivisenä 3D-pinnan alana A. Energia E = mc²  Ac² on silloin nelikantainen kappaleen massasta riippuva efektiivinen tilavuus.
Kiihtyvyyskentässä kappaleen kohdalla 3D-pinta on vajonnut potentiaalikuopaksi V määrällä, joka ilmoitetaan kentän pakonopeuden ve² avulla eli
V = W - c² = -ve². Mitä tapahtuu kiihtyvyyskenttään joutuneen kappaleen
kokonaisenergialle?.
Kappale sijaitsee paikoillaan kiihtyvyyskentässä. Sen kentästä johtuva kasvanut massa on m' ja
pakonopeutta vastaava liike-energia on Ek. Silloin energia E = (m' - m)c² = Ek. Tämä pätee
vain suhteellisen pienillä pakonopeuksien arvoilla v<<c. Massalle m' pätee potentiaalissa
W = c² - v²
m' ² (c² - v²) = m² c²
( = massan invarianssiyhtälö ) eli
m' = m / 1 - v² / c² .
Liike-energialle, joka on samansuuruinen kuin massan muuttumiseen sisältyvä energia,
saadaan
Ek = m'c² - mc² = mc²
1
- 1
1 - v² / c²
, josta saadaan binomiteorian perusteella edelleen liike-energiaksi
Ek = mv² / 2.
Tämä osoitetaan myös geometrisesti avaruusmalliin perustuen myöhemmin D-teoriassa.
10
c
Rc
w
Rw
Lw
Lc
Kun kaikki pintaa kiertävät silmukat ovat samanpituiset ja kappaleen
asemaa sisemmällä radalla merkitään w², saadaan kehien yksikkövektoreiden projektioiden suhteeksi silmukassa nähtynä lineaarisesti
Lw = Lc w / c eli Lw² = Lc² w² / c² , missä Lw ja Lc ovat pituudet nopeuksilla w ja c . Kun avaruus näyttää kaikkialla samanlaiselta on
myös silmukan säteensuuntaisen yksikkövektorin projektion muututtava samassa suhteessa. Saadaan
Rw²= Rc² w² / c² , missä Rw ja Rc ovat projektioiden pituudet radoilla
w² ja c². Nämä yhtälöt kuvaavat silmukka-avaruuden yksikkövektoreiden suhteita.
Kun avaruus näyttää samalta kaikilla kiertonopeuksilla, tarkastellaan, mikä ajankulumisen pitää olla kiertonopeudella w. Oletetaan, että silmukan kehän pituus s on silmukassa nähtynä
kaikilla kiertonopeuksilla yhtä pitkä.
Kappaleiden nopeudet ovat c² ja w² ja kappaleiden aikavälit tapahtumille vastaavasti Tc ja Tw.
v = s / t eli w² = s² / Tw ² ja c² = s² / Tc² . Saadaan
w² Tw² = c² Tc² . Sijoitetaan tähän w² = c² - v² , missä v on suhteellinen nopeus.
Tw = Tc
1 - v² / c²
Saatu tulos kertoo ajankulumisen paikallisuuden, kun paikka määräytyy kappaleen
suhteellisen nopeuden perusteella.
Edellä saatiin jo kehän suuntaisille pituuksille Lw² = Lc² w² / c² . Kun tähän sijoitetaan
w² = c² - v² saadaan
Lw = Lc
1 - v² / c² .
Kehän suuntainen pituus määräytyy kappaleen suhteellisen nopeuden perusteella.
11
Hilajonojen rakenne
Tasaisessa avaruudessa kuoren ja antikuoren samaan suuntaan liikkuvat
vastakkaismerkkiset hilajonoparit muodostavat kuorelle yhdessä neliön,
joka on havaintoavaruudessa ympyrä. (D-teoria osa 1.) Huom! Kun antikuoren hilajono esitetään samassa kuvassa kuoren hilajonon kanssa, on
se invertoitava, jotta hilajonojen etumerkit vastaisivat toisiaan.
Kun 3D-pinta on kiihtyvyyskentässä kalteva, muuttuu myös hilajonojen kaltevuus pinnan suhteen. Edellisessä kuvassa esitetty neliö muuttuu vinoneliöksi ja ympyrä muuttuu ellipsiksi kuvaamaan kaltevan avaruuden epäsymmetrisyyttä. Samalla hilan vaihe kentässä muuttuu lokaalisti.
Ellipsin eksentrisyyttä kuvataan samoin kuin edelläkin eli no3D-pinta
peuksien avulla. Kaltevaan pintaan ja pinnan vajoaman potentiaaliin liittyy pakonopeus ja aina pinnan pitkittäisaalto. Ellipsin
w
polttopisteen sijainnin ellipsissä määrää pinnan kaltevuus ja se
4.D
ilmoitetaan pakonopeuden v² = c² - w² avulla. Kaltevuuden
c v
kasvaessa hilajonot muuttuvat yhä enemmän 3D-pinnan suuntaisiksi. Raja-arvona on mustanaukon tapahtumahorisontti,
jossa ne ovat kaikki samansuuntaisina 3D-pinnan suuntaisia.
Nopeusvektori c on kaltevassakin
avaruudessa aina 4.D:n suuntainen
ja v on aina 3D-pinnan suuntainen.
Kun hilajonot eivät kaltevasssa avaruudessa ole kohtisuorassa
toisiaan vastaan, niiden välille syntyy vuorovaikutus, joka pyrkii
vastustamaan pinnan vajoamista.
Schrödingerin aaltoyhtälö on globaalisti ja lokaalisti invariantti aaltofunktion (x) vaiheen muutoksille. Kuitenkin edellisen kuvan mukaan hilan ja samalla aaltofunktion (x) vaihe muuttuu
kiihtyvyyskentässä lokaalisti. Aaltoyhtälö saadaan kuitenkin toimimaan, kun siihen lisätään korjaustermi, joka muuttaa eli korjaa aaltofunktion vaihetta vastaavalla määrällä lokaalisti. Tämä
ns. Yangin ja Millsin korjaustermi kuvaa silloin kiihtyvyyskenttää kaikissa avaruuden pisteissä ja
on muotoa A(x) (x). Funktio A(x) on tässä kiihtyvyyskentän potentiaalienergiafunktio. Samankaltainen mutta vastakkaissuuntainen hilajonojen vaiheen muutos syntyy myös sähkökentässä
ja myös silloin vastaavanlainen potentiaalienergiafunktio A(x) voidaan kirjoittaa aaltoyhtälöön.
Kun A(x) voi kuvata eri kenttiä, kyseessä on ns. mittavapaus, joka on merkittävä käsite Standardimallissa.
Kuoren ja antikuoren kohdalla on aina yhden pääakselin suunnassa tarkasteltuna 4 hilajonoa,
joiden kunkin pituus on 137 solua. Yhdessä ne muodostavat ympyrän kehän seuraavan kuvan
esittämällä tavalla. Hilajono voidaan nyt ajatella ympyrän kehän osana, joka voi kiertyä ympyrän
kehällä kiertymiskulman mukana. Kiertyminen johtaa fotonin syntymiseen. Fotonin syntymisen
jälkeen kiertymistä ei enää tapahdu.

Hilajonojen koordinaatisto kiertyy 4.D:n suunnasta kulman  verran samoin
kuin kiihtyvässä liikkeessä olevan kappaleen 3D-koordinaatisto. Jos kappale
on sähköisesti varattu, se luovuttaa energiaa hilajonoille.
12
Sähkökentän massa
Elektronien e- ja e+ kokonaisenergia E on niiden sähkökentässä eli hilan rakenteessa. Kun
energiaan liittyy aina massa, vastaa hiukkasten e- ja e+ massa niiden energiaa E = mc² ja
näkyy 3D-pinnan kaareutumisena. Sähkökentän potentiaalienergia Ep voidaan laskea, kun
tiedetään elektronin säde, jota lähemmäksi potentiaalikentän keskustaa ei päästä. Käytetään
säteenä pituutta d = 2.82 fm, joka on myös elektronin klassinen säde. Coulombin lain mukaan
Ep = -ke² / r .
Lasketaan Ep yhden kuoren etäisyydellä ytimestä eli etäisyydellä r = d, missä d = 2.82 fm.
Saadaan
Ep = -ke² / r = -ke² / d.
Sijoitetaan edelliseen kaavaan Bohrin atomimallista tuttu lauseke
ke² = ħ c / 137
ja saadaan
Ep = -ke² / d = - ħ c / 137d.
Massan energia E saadaan tutusta kaavasta ħ = 137dmc kertomalla se nopeudella c eli
ħ c = 137d mc² = 137d E
E = ħ c / 137d .
, missä mc² = E. Energialle saadaan
Näin saadaan
Ep = - ħ c / 137d = -mc² = -E .
Siten voidaan todeta, että etäisyydellä d varauksesta e oleva potentiaalienergia on sama kuin
elektronin massan kokonaisenergia Ep = -E . Elektronin kokonaisenergia siis koostuu hilan
sähkökentästä ja 3D-pinnan kaareutumisesta, mutta ei mistään muusta.
Edellä on jo esitetty, kuinka protonin massa saa 3D-pinnan kaareutumaan 4.D:n suunnassa
ylös ja alas. Myös elektronien e- ja e+ massat saavat 3D-pinnan kaareutumaan, mutta ei 4.D:n
suuntaan. Elektronit eivät sijaitse 3D-pinnalla kuten protoni, jolloin ne eivät voi kaareutta pintaa
samalla tavalla. Tarkastellaan seuraavaksi tapaa, jolla 3D-pinta kaareutuu elektronien ja muiden sähköisesti varattujen eli 4.D-komponentin omaavien hiukkasten kohdalla.
3D-pinta voi kaareutua myös 3D-pinnan suunnassa, jolloin puhutaan myös pinnan kiertymisestä. Kiertymisen hetkellinen suunta on yhteydessä hilavirran suuntaan.
X
e-
X
e+
Y
Kuvassa elektroni e- saa X-akselin kiertymään myötäpäivään ja e+
vastapäivään, jolloin 3D-pinta kiertyy ja samalla supistuu. Pintaan syntyy X-akselin suuntainen pitkittäisaalto eli pinta liikkuu hilajonojen suhteen. Seuraavassa vaiheessa X-akseli oikenee ja kiertyy sitten uudelleen samaan suuntaan. Myös Y- ja Z-akselit kiertyvät vastaavalla tavalla. Avaruudesta tulee epäsymmetrinen samaan tapaan kuin varauksettomankin massan ympärillä. Syntyy massan aiheuttama kiihtyvyyskenttä.
Elektronin massa ei aiheuta 3D-pinnan vajoamaa, kuten varaukseton
massa, vaan pinta on tasainen 4.D:n suunnassa.
13
Elektronit e- ja e+ kiertävät 3D-pintaa vastakkaisiin suuntiin. Kun elektronit e- ja e+ sijaitsevat
avaruudessa vierekkäin, niiden massat eivät kumoa toisiaan. 3D-pintaan syntyvän pitkittäisaaltojen summa vastaa kahden elektronin massaa.
Kun tarkastellaan elektronin aiheuttamaa hilavirtaa X-akselin suhteen, huomataan, että hilavirrat ovat vastakkaissuuntaiset elektronin eri puolilla. Vastaavasti avaruuden kiertymisen suunta
on vastakkainen elektronin eri puolilla.
e-
X-akseli
Y-akseli
3D-pinnan kiertymissuunta Xakselilla
X-akseli
Kun edellä johdettiin elektronin ja protonin massat, huomioitiin elektronin projektion rengasmainen rakenne 3D-pinnalla. Rakenne liittyy 3D-pinnan kaareutumiseen kiertymällä. Protonin 3
kvarkkia sensijaan eivät sulkeudu kehäksi ja siksi protonin massa näkyy 3D-pinnan vajoamana
4.D:n suunnassa, kuten myöhemmin tarkemmin kuvataan.
Vaikka elektronien massat syntyvätkin eri tavalla kuin esim. protonien paljon suuremmat massat, ovat ne ominaisuuksiltaan samanarvoiset. Molempiin liittyy 3D-pinnan potkittäisaalto ja
avaruuden epäsymmetrisyys, joka luo kiihtyvyyskentän.
Elektronien massat ovat pieniä verrattuna protonien ja neutronien massoihin. Myöhemmin Dteorian 2. osassa tarkastellaan lähemmin massojen synnyttämää kiihtyvyyskenttää ja sen
rakennetta 3D-pinnalla.
14
Aaltofunktion synty
D-teorian 1. osassa protonin ja neutronin kaltainen hiukkanen kuvattiin jaksollisesti supistelevaksi oktaedriksi tai antioktaedriksi, joka sisältää yhden hilajonon suuntaisen 4.D-komponentin.
Näin värähtelevä hiukkanen kaareuttaa ympärillään olevaa avaruutta ja värähtely luo sille
massan. Massa antaa hiukkaselle liikemäärän, joka säilyy. Liikemäärä saa hiukkasen
etenemään aaltona suoraviivaisesti solurakenteisessa avaruudessa. Tarkastellaan seuraavaksi
hiukkasen rakennetta nelikantaisessa avaruudessa.
Kuvassa hiukkanen on kuvattu neljässä eri vaiheessa. 3Dpinta värähtelee 4.D:n suunnassa.
4.D
1.
2.
3D-pinta
3.
Solu
4.
Pinnan
pitkittäisaalto
Solu supistuu
kaareutumalla
Hiukkasen värähtely perustuu sen 4D-komponenttiin. Hetkellä, jolloin 3D-pinta ei ole supistunut,
hiukkasen koko energia on sen 4D-komponentin kohtisuorassa liikkeessä 3D-pintaa vastaan.
Hiukkasen massa ja samalla energia määräytyvät yhteisesti 3D-pinnan ja sen 4D-komponentin
ominaisuuksista. Massa määräytyy aallon amplitudista ja on vakio vain inertiaalikoordinatistossa (kuvassa) nähtynä. Hiukkasen koko on yksi solu.
4.D
0 astetta
E = mc²(sin t + i cos t)
90 astetta
3D-pinta
c²
c²
0
c²
Hiukkasen ollessa täysin tasaisen 3D-pinnan suuntainen pinnan pitkittäisnopeus on sama kuin
hilajonojen nopeus c vaihtuen +c  -c ja on neliöllisenä c². Siirrettynä 90 astetta hiukkanen on
täysin kadonnut havaintoavaruudesta ja on 4.D:n suuntainen. Hiukkasen pituutta kuvataan nyt
epäsuorasti neliöllisellä nopeudella c². Valon nopeus c on suurin nopeus ja sitä käytetään Dteoriassa kuvaamaan epäsuorasti erilaisten suureiden maksimiarvoja 4.D:n suunnassa.
Käytetään hiukkasen massaa m kertoimena pelkästään makroskooppisten suureiden yhteensovittamiseksi. Saadaan hiukkaselle suure E = mc², joka kuvaa hiukkasen suuruuden sen eri vaiheissa. Kuvataan hiukkanen imaginäärisenä 4.D:n suunnassa, jolloin saadaan
E = mc²(sin t + i cos t)
, missä  on kulmataajuus.
Hiukkanen voidaan näin kuvata kahtena kompleksitasossa pyörivänä vektorina. Niiden ajat
kulkevat vastakkaisiin suuntiin (vrt. hilajonojen nopeudet w1 ja -w2).
15
w1
w2
0
c²
w1 = c + v
w2 = c - v
Vektorien nopeuksien
vaihto
Vektorien nopeuksien
vaihto
Kun vektorien kiertonopeudet poikkeavat toisistaan eli hilajonoille  w1   w2, hiukkanen on
epäsymmetrinen. Vektorit kuitenkin vaihtavat nopeuksiaan keskenään, kun hiukkasen 4.Dkomponentti vaihtaa kuorella sijaintinsa vastakkaiseen suuntaan kulkevien hilajonojen puolelle,
mutta ei kuitenkaan vaihda sijaintiansa vielä silloin 3D-pinnan yli. Epäsymmetrinen hiukkanen
on elliptinen. Ellipsille saadaan yleisesti:
f² = a² - b² , kun a  b ja
P
b
PF + PF' = 2a.
Nopeuksille saadaan vastaavasti
F
F'
v² = c² - w², kun c  w ja
w1 + w2 = 2c. Silloin
a
a c ja bw ja fv ja PFw1 ja PF'w2.
f
Ellipsi kuvaa hiukkasen nopeuskomponenttien suhteita.
Kiertävät vektorit määritellään kullekin pääakselien suunnalle erikseen. Silloin kukin vektoripari
kuvaa yhtä hiukkasen kolmesta kvarkista.
Kun hiukkanen on tasaisen 3D-pinnan suuntainen, vaihtaa hiukkasen 4D-komponentti sijaintinsa pinnan yli.
Hiukkasen ollessa ääriasennossaan supistuneena pisteeksi, hiukkasella on kuitenkin säde, joka
on suurempi kuin nolla. Syynä on, että kaikki oktaedrin lävistajät ovat kääntyneet hiukkasen
kohdalla keskipisteestään samansuuntaisiksi ja sjaitsevat vierekkäin äärellisen matkan päässä
toisistaan. Tätä hiukkasen sädettä kutsutaan nimellä Planckin pituus. Planckin pituutta voidaankin pitää solurakenteisen avaruuden pienimpään mahdolliseen kokoon supistuneena pituutena.
Pituus vastaa hiukkasen Comptonin aallonpituuden c = ħ/mc supistumista eli kaareutumista
Schwarzschildin säteen 2Gm/c² suuruiseksi.
Planckin pituus on  = √ Għ / c³ = 1,6 · 10-35 m eli se on tavattoman
pieni protonin kokoon verrattuna. Näin saadaan myös gravitaatiovakio G
liitetyksi avaruuden geometriaan.
c²
2
Oktaedrin lävistäjät
16
Edellä D-teorian osassa 1. on jo todettu, että solumaisen avaruuden solujen koko ei muutu venymällä. Hiukkasen kohdalla tapahtuva yhteen soluun kohdistuva pinnan aaltoliike supistaa
hiukkasen paikallisen projektion keskimääräisen koon. Kun avaruus on hiukkasen kohdalla
keskimäärin supistunut, vajoaa 3D-pinta potentiaalin V verran ja samalla pinta hiukkasen ulkopuolella kallistuu. Myös kallistuneen pinnan paikallinen projektio pienenee eli avaruus supistuu
myös hiukkasen ympärillä. Kallistuneen avaruuden pinnan neliöllinen pituus muuttuu lineaarisesti pinnan korkeuden eli (pako)nopeuden v² mukana.
Vajoama V
Kallistunut pinta ja sen
projektio lineaarisessa
avaruudessa
Kallistunut pinta
Huomataan, että hiukkanen ei ole muuta kuin avaruuteen syntynyt vaimenematon nelikantainen
aalto. Aallon energia ei karkaa ympäröivään avaruuteen, sillä ainoastaan kiihtyvässä liikkeessä
oleva kappale voi synnyttää etenevän aallon.
17
Invarianssiyhtälöt
m²c² = m'²w²
ja
t²c² = t'²w²
sekä c²/s² = w²/s'²
,missä w² = c² - v², koskevat kaikkia kappaleita ja kuvaavat lineaarista avaruutta neliöllisten nopeuksien avulla. Ensimmäisestä ja kolmannesta invarianssiyhtälöstä saadaan yhdistämällä:
m'² s'² = m² s² = vakio.
Silloin massan m kasvaminen eli 3D-pinnan suurempi amplitudi eri suunnissa, myös 4D:n suunnassa, saa kappaleen paikallisen projektion pituuden s lyhenemään eli kappale vajoaa.
Hiukkanen supistuu eli lyhenee mm. massiivisen kappaleen sisällä, kun lukuisat hiukkaset yhdessä supistavat ympärillään olevan avaruuden ja kappale vajoaa 4.D:n suunnassa.
Useiden kappaleiden yhtyminen lisää massaa ja saa vajoaman edelleen kasvamaan. Makroskooppisen pituuden lyheneminen kiihtyvyyskentässä johtuu lukuisten hiukkasten kohdalla erikseen tapahtuvasta avaruuden keskimääräisestä supistumisesta (reduktionismi). Useiden hiukkasten muodostaman systeemin värähtely on koherenttia. Vajoamasta ja makroskooppisesta
kiihtyvyyskentästä lisää myöhemmin D-teorian osassa 2.
Makroskooppinen pituus s on
makroskooppisen kappaleen sisällä
keskimäärin lyhentynyt. Hiukkasten
tiheys määrää pituuden.
s
Systeemin eli lukuisten hiukkasten muodostaman makroskooppisen kappaleen värähtely on
koherenttia, sillä systeemin aaltofunktion vaihe on globaalisti sama kaikkialla. Ilmiöstä kaytetään
nimitystä mittaperiaate. Koherentti värähtely luo makroskooppisen kappaleen ympärille seisovan gravitaatioaallon. Aallolla on pitkittäis- ja poikittaiskomponentti ja ne synnyttävät kiihtyvyyskentässä havaittavat kolmea perussuuretta koskevat ilmiöt kuten esim. ajankulumisen hidastumisen.
Kun hiukkanen liikkuu pinnan solujen suhteen jollakin absoluuttisella nopeudella w, hiukkanen
on absoluuttisesti epäsymmetrinen. Epäsymmetrisyyttä on mahdotonta havaita, koska absoluuttisia nopeuksia ei voida havaita. Lisäksi havaitsija itsekin voi olla absoluuttisesti epäsymmetrinen oman absoluuttisen nopeutensa vuoksi. Epäsymmetrian suhteelliset erot sensijaan
voidaan havaita perussuureiden muuttumisen avulla (esim. pituuskontraktio), D-teorian 1. osa.
18
Perushiukkasen aaltofunktio
Kuten edellä on esitetty, hiukkanen on avaruuteen muodostunut kolmiulotteinen aalto.
v
c
t1

t2
x
c
t3
U
t4
vetovoima F
F = -kx = -k cos t
v = c sin t
x =  cos t
t1 t2 t3 t4
c = valon nopeus
t = aika
k = vakio
 = aallonpituus
 = kulmanopeus
U = potentiaali
Avaruusviiva on kuvitteellinen ulottuvuuden suuntaan piirretty viiva.
Hetkellä t1 ja t3 massan omaava hiukkanen vetää avaruusviivaa siten, että se supistuu kohti
massakeskipistettä. Vetovoima on avaruuden perusvoima ja on suuruudeltaan suoraan verrannollinen etäisyyteen x massakeskipisteestä eli F = -kx. Hiukkanen vetää avaruusviivaa samanaikaisesti molemmista vastakkaisista suuunnista, jolloin viivaan tulee jaksollinen veto. Vetovoima välittyy avaruuden kautta hiukkasen ympäristöön potentiaalina U = -G/x, missä G on vakio
ja x on etäisyys hiukkasesta.
Hiukkasta voidaan kuvata aaltofunktiolla nopeuden ja paikan parametriesityksenä:
v = c sin t
x =  cos t
(nopeus-osa)
(potentiaali-osa)
tai funktiona G(t) =  cos t + ic sin t , missä i =
-1 .
Funktio muistuttaa muodoltaan Scrödingerin aaltofunktiota vapaalle hiukkaselle ja aiheuttaa voiman F(t) = -k  cos t. Tämän aaltofunktion avulla voimme tarkastella hiukkasen liikettä ensin
3D-avaruudessa havaitsijan suhteen ja sitten gravitaatio- eli kiihtyvyyskentässä.
19
Tarkastellaan hiukkasen jaksottaista liikettä kohtisuoraan hiukkasen etenemissuuntaa vastaan.
Havaitsijan ja pitkittäisaallon välinen suhteellinen nopeus on v. Aaltofunktio havaitaan epäsymmetrisenä. Ilmiö johtuu kahdesta syystä; Aalto liikkuu liikesuuntaansa pidemmän matkan kuin
vastakkaiseen suuntaan. Lisäksi aallon heilahdusnopeuden maksimin neliö molempiin suuntiin
on havaitsijan koordinaatistossa aina w ² = c ² - v ² ja aallon omassa koordinaatistossa c ².
nopeus
0
w

Kiertynyt
havaintoavaruus
w
c
v
c
t1
aika t
t
to
Epäsymmetrinen aaltofunktio, kun
suhteellinen nopeus v > 0.
0
Aallon koordinaatisto on kiertynyt kulman  verran suhteessa havaitsijan koordinaatistoon.
Hetkellä to aallon nopeus on w ja silloin ajan kulumisella t ja suhteellisella nopeudella v on yhteys. Kuvasta havaitaan, että aallon jaksonaika on kasvanut. Aallon jaksonaika t säilyy sen
omassa koordinaatistossa ja on suurempi eli t1 havaitsijan koordinaatistossa eli t1 > t ja
t1 / t = c / w.
Havaintokoordinaatiston kiertymäkulmalle saadaan kuten jo edelläkin on esitetty:
tan  = v/w = v
ja
c²- v²
ajalle saadaan t1 = t c / w =
t
1 - v²/c²
Tästä saadaan
t1 ² w ² = t ² c ² = vakio eli voidaan todeta, että
suure c ² t ² säilyy koordinaatiston kierrossa.
Havaitsijan oma aaltofunktio voi myös olla absoluuttisesti epäsymmetrinen, mutta ainoastaan
aaltofunktioiden symmetrisyyden erot on mahdollista havaita. Siksi aaltofunktion epäsymmetrisyys havaitaan aina suhteellisena.
20
Hiukkasen aaltofunktio voidaan esittää kartioleikkauksen avulla. Kun suhteellinen nopeus v = 0,
on leikkaus c-säteinen ympyrä. Suhteellisella nopeudella v > 0 saadaan aaltofunktion kuvaajaksi ellipsi, jossa polttopisteiden väli on 2v. (Suhteellisella nopeudella v = c saadaan rajaarvona parabeli. )
w
w
c
Ø
v
E
c
Huom! Kun kulma Ø = 0 ja nopeus v  c, saa
paikanfunktio r(Ø) arvokseen äärettömän ja
samalla aaltofunktion synnyttämä vetovoima eli
massa on myös ääretön.
v>0
Aaltofunktiota voidaan kuvata nyt paikanfunktiolla, kun polttopiste on origossa:
r²(Ø) =
a(1-e²)
, missä e = v / c ja e < 1
1 - e cos Ø
ja Ø on aaltofunktion kiertokulma. Ellipsin isoakselin pituus on 2c ja lyhyemmän akselin pituus
on 2w. Hiukkasen energia voidaan jakaa liike- ja potentiaalienergian komponentteihin. Potentiaalienergia on esitetty kuvassa. Se on myös epäsymmetrinen. Hiukkasen eksentrisyys
e = v/c.
Hiukkanen vetää ympäröivää avaruutta kiertäessään ellipsin kehällä. Samalla 3D-pinta liikkuu
jaksollisesti pitkittäisaaltona ympäröivän hilan suhteen. Vetovoiman suuruus on suoraan verrannollinen hiukkasen etäisyyteen toisesta polttopisteestä. Vetovoima puolestaan aiheuttaa avaruuden kaareutumisen eli potentiaalin U (kaltevuuden). Potentiaali on samalla massan avaruuteen aiheuttama paikallinen avaruuden homogeenisuuden muutos eli ominaiskaarevuuden
muutos.
Määritellään aaltofunktion massalle yleisesti:
m =  F(x,t) dx eli massa on aaltofunktion aiheuttaman vetovoiman integraali, missä
F(x,t) = - k x cos t.
Massa m on aaltofunktion vetovoiman F(x,t) positiivinen tasakomponentti.
Huom! Massan on oltava neliöity aina, kun massan sijainti 4.D:n suunnassa voi muuttua. Tämä
osoitetaan myöhemmin D-teoriassa. Myös kappaleen 4.D:n suuntainen koordinaatti c ² on aina
neliöllinen. Sekä massa m että absoluuttinen nopeus c voivat saada negatiivisen arvon kaksisuuntaisessa simukka-avaruudessa. Sensijaan 3D-avaruudessa, kun c on vakio, sekä lepomassa m että sen nopeus v ovat neliöimättömiä. Jos kirjoitamme E = mc ², oletamme, että c = vakio
ja m = vakio. Tarkastellaan seuraavassa aaltohiukkasen massaa erilaisissa kartioleikkauksissa.
21
Ellipsi on kartioleikkaus ja kartiona on asymptoottinen eli suorasivuinen kartio. Absoluuttinen
avaruus on neliöllinen havaintoavaruuteen verrattuna, joten korvataan asymptoottinen kartio
toisella neliöllisellä kartiolla, jonka sivut ovat parabeleita.
D-teorian avaruusmallissa absoluutiset perussuureet pituus, massa ja aika ovat neliöllisiä.
Niinpä avaruusmallin parabeleihin perustuva neliöllinen kartio tuottaa vetovoiman F
integraalille lausekkeen (johdetaan seuraavalla sivulla):
(  F ) ² = k / (1 - e ² ) , missä k on hiukkaselle ominainen vakio k = m ² ja e = v / c.
Saadaan (  F ) ² = m ² , kun v = 0.
D-teoriassa kartion sivut ovat parabeleja. Valonnopeus on kappaleen absoluuttisen nopeuden
maksimi ja se vastaa parabelin huippua.
y (=4.D)
c2
y
y = - kv
y = kv
y = -kv
v
Asymptoottinen kartioleikkaus
2
v
Absoluuttisen avaruuden kartioleikkaus
Merkitään vetovoiman integraali yhtäsuureksi kuin hiukkasen absoluuttinen massa m1 ² eli
(  F ) ² = m1 ² = k / ( 1 - e ² ) , missä e = v / c. Tästä saadaan m1 ² = k / ( 1 - v ² / c ² ) ja
asettamalla v ² = c ² - w ²
saadaan m1 ² = k c ² / w ² .
Kappaleelle nopeudella v = 0 eli w = c, saadaan m ² = k c ² / c ² = k eli voidaan kirjoittaa
m1 ² w ² = m ² c ²
t1 =
t
Vastaavasti hiukkasen ajalle voidaan kirjoittaa invarianssiyhtälö
, kun e = v / c.
1- e²
22
Kartio muodostuu kahdesta parabelista, joilla korvataan Newtonin mekaniikassa käytetty suorasivuinen kartio. Kartion korkeus vastaa valonnopeuden c neliötä. Tällaisessa leikkauksessa ympyrän tai ellipsin muotoisen aaltofunktion massa voidaan ajatella keskittyneeksi liikesuunnasta
riippuen sen toiseen polttopisteeseen, joka pysyy kartion keskiviivalla.
Massan suuruus eli  F on leikkauksessa kääntäen verrannollinen sen etäisyyteen h kartion
pohjalta. (Tätä ei D-teoriassa erikseen todisteta.) Kartioleikkaus hiukkasen suhteellisella nopeudella v = 0 on ympyrä A-P kartion yläosassa ja sen lepomassa on m.
Kuvan abstraktiossa kartioleikkaus
kuvaa ellipsin eksentrisyyden e vaikutusta aaltofunktion massaan.
Hiukkasen massan kasvu kääntäen
verrannollisena korkeuteen h johtuu
eksentrisyyden e kasvusta.
c
m
A
P
v²
e = v / c.
m1 ²
c
B
h²
w
v
w²
c
c²
y= -m² x²
m² / m1² = h ² / c ² , missä
h = w, ja w on hiukkasen
absoluuttinen nopeus.
y1= -m1² x ²
C
Kun hiukkasen suhteellinen nopeus on v, muuttuu aaltofunktio ympyrästä ellipsiksi kuvan
osoittamalla tavalla. Ellipsillä on kuvassa parabelin profiili siten, että ellipsi on painopisteineen
parabelilla P-B (= y1) ja painopisteessä massa on m1. Aaltofunktion massalle saadaan invarianssiyhtälö, kun massa on kääntäen verrannollinen korkeuteen h:
m1 ² = m ² c ² / w ² = m ² c ² / (c ² - v ² ) = m ² / (1 - v ² / c ² ) = m ² / (1 - e ² )
Kun hiukkasen suhteellinen nopeus kasvaa kohti valonnopeutta, lähestyy ellipsin profiili rajaarvonaan parabelia P-C ja sen massa m1 lähestyy ääretöntä ja eksentrisyys e ( = v/c) arvoa 1.
Huom! Aaltofunktion käyttäytyminen on massan ja energian osalta verrattavissa planeetan
keskeisliikkeeseen ellipsiradalla, jota on kuvattu Keplerin kolmessa laissa. Eksentrisyyden
kasvu lisää aaltofunktion massaa ja toisaalta planeetan energiaa. Erona on käytetty kartio.
Nopeuksien lähestyessä valonnopeutta Keplerin lait eivät enää päde. Raja-arvona on planeetan pako mustan aukon tapahtumahorisontista valonnopeudella, jolloin saadaan radaksi
em. parabeli.
23
Tarkastellaan hiukkasen paikkaa avaruudessa ajan funktiona. Kun hiukkasen nopeus havaitsijan suhteen on v, saadaan liikeradasta kuvan mukainen.
paikka

c
w
aika
1

Havaitsijan koordinaatistosta nähtynä hiukkasen aallonpituus saadaan projisoimalla liike kuvan
paikka-akselille. Aallonpituus on epäsymmetrian vuoksi pienentynyt ja on
1 =  w/c = 
1 - v ² / c ². = 
1-e²
. Tästä saadaan invarianssiyhtälö
c ² /  ² = w ² / 1 ²
Oletetaan seuraavat vastaavuudet:
massa  aallon amplitudin eli vetovoiman integraali
aika
 aallon jaksonaika
pituus  aallon pituus
On voitu osoittaa, että seuraavat suureet ovat kappaleelle muuttumattomia koordinaatiston
kierrossa neliuloteisessa absoluuttisessa avarudessa:
c ² m ² = vakio , c ² t ² = vakio ja c ² /  ² = vakio.
Huom! Vakion c tilalla voidaan käyttää kappaleen absoluuttista nopeutta w, kun kyseessä on
kappale, joka liikkuu havaitsijan suhteen. Nämä voidaan kirjoittaa myös muotoon:
c ² m ² = w ² m' ² = vakio jne.
24
Kappaleen liikkuessa havaitsijan suhteen nopeudella v muuttuu kappaleen aaltofunktio elliptiseksi ja kappaleen koordinaatisto kiertyy kulman  verran havaitsijan koordinaatistoon verrattuna.
Kappaleen
3D-pinta
4.D
w

c

v
Koordinaatiston kiertymän kulmakerroin on v/w ja v  w.
Kun aina kaikilla v:n arvoilla pätee c² = v² + w², on nopeusvektori c myös kappaleen koordinaatistossa aina kohtisuorassa havaitsijan 3D-pintaa vastaan. Siten nopeusvektori c
osoittaa molemmissa koordinaatistoissa 4.D:n suunnan.
Havaitsijan
3D-pinta
Edellä on tarkasteltu suhteellisen liikkeen aiheuttamaa 3D-koordinaatistojen kiertymistä. Kiihtyvyyskentässä 3D-pinta kallistuu 4.D:n suhteen ja kappaleiden 3D-koordinaatistot kallistuvat
pinnan mukana. Kappaleen 3D-koordinaatisto kiertyy 4.D:n suhteen vain kiihtyvässä liikkeessä. Myös kiihtyvyyskentässä nopeusvektori c säilyttää suuntansa ja nopeuksille pätee edelleen
c² = v² + w².
Suhteellisuusteoriassa aika on neljäs ulottuvuus. Kun aika syntyy valonnopeudesta c, joka on
aina 4.D:n suuntainen nopeusvektori, ovat Suhteellisuusteorian käyttämä aika-käsite ja sen
suunta ymmärrettäviä.
Suhteellisessa liikkeessä tasaisella nopeudella kappaleet ja havaitsija liikkuvat 3D-pinnalla
epäsymmetrisinä. Kiihtyvyyskentässä kaltevalla 3D-pinnalla sensijaan koko 3D-pinta kappaleineen liikkuu edestakaisin hilan suhteen nopeudella v ( = pakonopeus). Liikettä kutsutan 3Dpinnan pitkittäisaalloksi. Myöhemmin D-teorian 2. osassa tarkastellaan 3D-pinnan aaltoilua ja
siihen liittyvää energiaa.
4.D
Hilajono
w
c v
c
D-teorian 1. osassa kuvattiin hilajonojen kulman kääntyminen
sähköisesti varatun hiukkasen ympärillä. Hilajonojen ympärille
voidaan piirtää viereisen kuvan mukaan ellipsi. Myös tässä tapauksessa suure c on oheisen kuvan mukaan neljännen ulottuvuuden suuntainen. Ellipsin isoakselin puolikas on suuruudeltan c. Ilman sähköistä kenttää hilajonojen kulma olisi 45º ja
kyseessä olisi ympyrä.
Nopeus v kuvaa sähköisen kentän pakonopeutta kyseisessä
avaruuden pisteessä. Myös painovoiman kuvauksessa kaltevalle 3D-pinnalle voidaan todeta, kuten pian osoitetaan, sama
sääntö:
Nopeusyhtälön c² = v² + w² suuretta c vastaava vektori c on
aina neljännen ulottuvuuden suuntainen.
25
Seisova gravitaatioaalto
Seuraavassa kuvassa kappale, jonka halkaisija on L emittoi gravitaatioaaltoa oikealle ja
vasemmalle. Kuvan liikkuvat pisteet kuvaavat 3D-pinnan yksittäisiä soluja. Solut liikkuvat
kappaleen inertiaalikoordinaatistossa ympyrän tai ellipsin kaltaista rataa. Radan elliptisyys
johtuu ympyräradan tarkastelukulmasta. Kappaleen koko muuttuu avaruuden supistumisen ja
laajenemisen myötä tasaisen avaruuden suhteen. Koko L on keskiarvo. Kappaleen solut
liikkuvat gravitaatioallossa 3D-pinnan ja 4.D:n suunnassa. Jos kappaletta tarkastellaan
pelkästään 3-ulotteisessa avaruudessa, se laajenisi ja supistuisi kohti keskipistettä olevassa
suunnassa tasaisen Manhattan-avaruuden suhteen.
4.D
Kappale
Aallon etenemissuunta
L
Animaation ajamiseksi käytä PageUp- ja PageDown- painikkeita SlideShow-tilassa (F5).
Gravitaatioaalto koostuu poikittaisesta ja pitkittäisestä komponentista. Aalto on
komponenttiensa summa. Kappale, joka on levossa absoluuttisen Manhattan-metriikan
suhteen, emittoi symmetristä gravitaatioaaltoa, jonka molemmat komponentit ovat 180 asteen
vaiheessa toisiinsa nähden. Tällaisessa aallossa sijaitseva absoluuttisen avaruuden piste
liikkuu ellipsin kehän muotoista rataa avaruuden aaltoilun mukana.
4.D
Kappale
Kappaleen emittoiman gravitaatioaallon liikesuunta kappaleen vastakkaisilla puolilla on vastakkainen. On
huomattava, että staattisen gravitaatiokentän aalto ei kuljeta mukanaan energiaa. Aallon osat ovat
vuorovaikutuskentän bosoneja kuten esim. virtuaaliset fotonit sähkökentässä. Kuvassa aaltoileva pinta on 3ulotteinen.
26
Kun avaruuteen voi syntyä aalto, siihen voi syntyä myös seisova aalto. Ajatellaan avaruuteen
kappale, joka supistelee jaksollisesti siten, että molemmat puolijaksot synnyttävät avaruuden
3D-pintaan vedon vastakkaisista suunnista kohti kappaleen keskipistettä. Kappaleen vetäessä
avaruutta kappaleelle ominaisella voimalla, syntyy avaruuteen kappaleen ympärille ja sisäpuolelle seisova aalto. Aallossa kappaleen sisällä avaruus supistuu yhdessä suunnassa amplitudin
A verran. Avaruus supistuu vain kappaleen sisällä ja aluetta kutsutaan nimellä supistumisalue.
Sen ympärillä avaruus muuttuu kaltevaksi kappaleen vajoamisen vuoksi. Eniten supistuu
avaruus kappaleen keskellä ja vastaa-vasti se laajenee eniten vedon jälkeen. Samalla sen
asema 4.D:n suunnassa invarianssyhtälöiden mukaan laskee ja nousee. Aallolla on aina
amplitudin neliöön A² liittyvä energia, jota potentiaali V kuvaa.
Avaruuteen syntyy sinimäinen puolijakso, joka supistaa
avaruutta samanaikaisesti kahdesta vastakkaisesta
suunnasta ja joiden amplitudien neliöllisenä tehollisarvona saadaan
A
A
A/ 2
V = (A / √ 2 )² = A²/2.
Potentiaali V kuvaa keskimääräistä avaruuden supistumiseen liittyvää vajoamista kappaleen kohdalla. Seisovan aallon neliöllinen amplitudi on
x
A² sin² kx + v² cos² kx = A², kun v = A.
Aallossa on potentiaaliosa A, joka kuvaa pituuden muutosta, ja pinnan suuntainen nopeusosa v.
ve² / 2
ve² / 2
Keskimääräinen
kappale
Tarkastellaan seisovaa aaltoa aluksi olettamalla, että aalto on symmetrinen siten, että seisovan aallon molemmat
puolijaksot ovat identtiset. Tämä tarkastelu johtaa samaan tulokseen kuin Newtonin mekaniikka.
Symmetrinen seisova aalto
Kun 4.D:n suuntainen pituus on avaruusmallin mukaan verrannollinen nopeuden neliöön v²,
ilmaistaan potentiaali eli vajoama  nopeuden neliönä  = V = A² = v². Kappaleen ulkopuolella
potentiaaliin V liittyy pakonopeus (escape) ve, sillä potentiaalienergian E = mV yhtälöstä
½mve² = mV
saadaan ve² = 2V eli V = ve² / 2 = v². Pakonopeuden arvolla ve = c saadaan potentiaalille
V = c² / 2.
27
Edellä on aaltofunktion yhteydessä osoitettu, että aalto muuttuu epäsymmetriseksi aina nopeuden kasvaessa. Niin tapahtuu myös seisovalle gravitaatioaallolle. Pituus nimittäin muuttuu
aallon puolijaksoissa suhteellisesti saman verran, jolloin poikittaisaallon puolijaksot eivät ole
enää samankorkuiset.
Epäsymmetrinen aalto on kuvan mukainen. Puolijaksojen
korkeuksille eli nopeuksille pätee
V = ve²
vn²
= ve²
c² - ve²
c²
vn²
c²
eli
vn² = ve² (1 - ve² )
c²
Huomataan, että seisovan aallon alempi puolijakso on
nopeudella mitattuna pienempi kuin ylempi puolijakso.
vn² = 1 - ve² = 1 - e²
ve²
c²
Epäsymmetrinen seisova
gravitaatioaalto
Suure 1 - e² kuvaa epäsymmetrisyyden vaikutusta perussuureisiin niin kiihtyvyyskentässä kuin suhteellisessa liikkeessäkin.
Kun olemme aiemmin jo tottuneet kuvaamaan hiukkasen epäsymmetrisyyttä e suhteellisen nopeuden v avulla eli e² = v² / c², voimme nyt todeta, että kiihtyvyyskentässä pakonopeuden epäsymmetrisyys ve² / c² vastaa kiihtyvyyskentän pitkittäisaallon epäsymmetrisyyttä.
Schwarzschildin metriikka kuvaa avaruutta, joka on kallistunut kiihtyvyyskentässä supistumisalueen ulkopuolella. Metriikan avulla saadaan kentän pakonopeudeksi
ve² = 2GM / r .
Sama tulos saadaan myös Newtonin mekaniikasta, kun massa m supistuu pois:
½mve² = mV = m GM/r
½ve² = GM/r.
Tarkastellaan seuraavaksi epäsymmetristä seisovaa aaltoa ja sen vaikutusta kappaleen ajankulumisen nopeuteen.
28
Kiihtyvyyskentässä esiintyy 3D-pinnan seisova aalto, joka heilahtelee 4.D:n suunnassa kappaleen kohdalla. Kappale sijaitsee joka hetki tällä "pilkkivällä" pinnalla. Tuloksena on potentiaalin
suuruinen vajoama  = ve²/2, sillä supistumisalueen ulkopuolella oleva pinta kallistuu, ja sen
paikallinen projektio horisontaalisella tasolla samalla lyhenee.
Supistumisalue
Kappaleen sisäinen massan jakautuminen määrää millainen potentiaalista muodostuu kappaleen sisällä.
3Dpinta
Poikittaisaaltoon liittyy aina pitkittäisaalto, joka liikkuu
kaltevan 3D-pinnan suunnassa edestakaisin.
Pitkittäisaalto on nolla kappaleen painopisteen kohdalla
(x=0), jossa potentiaalin derivatta eli paikallinen
kiihtyvyys on myös nolla. Kappaleen ulkopuolella
epäsymmetrisen pitkittäisaallon maksiminopeus on sama
kuin kentän pakonopeus ve. Pitkittäisaalto saa
maksiminsa kentän synnyttävän kappaleen pinnalla,
jossa se vaikuttaa eniten ajankulumiseen.
V = ve²/2
Pinnan
keskiarvo
kappaleen
sisällä
Avaruuden
supistuminen
3D-pinta
pitkittäisaalto
ve²
Huom! Pakonopeus ve² kuvaa pitkittäisaaltoa vain kentän
supistumisalueen ulkopuolella.
x
0
Edellä esitetyn aaltofunktion mallin mukaan ajankulumisen hidastuminen niin suhteellisessa liikkeessä kuin kiihtyvyyskentässäkin on verrannollinen nopeuteen ja epäsymmetrisyyteen. Ajan
hidastumiselle eli aikavälien pitenemiselle saadaan kiihtyvyyskentässä supistumisalueen ulkopuolella pakonopeuden avulla
t' ² = t² (1 - ve² / c²) = t² / (1 - 2V / c²).
29
ve
c
w
Pakonopeus ve on 3D-pinnalla kohtisuorassa hidastunutta valon nopeutta
w vastaan eli ve² + w² = c². (Lisäksi nopeusvektori c on aina kohtisuorassa
horisontaalitasoa vastaan eli ve on aina pinnan suuntainen ja w on sitä
vastaan kohtisuorassa.)
Valon nopeus kiihtyvyyskentässä vähenee pakonopeuden verran eli w² = c² - ve². Kun
pakonopeudelle v saadaan
ve = √ 2MG / r
, saadaan valon nopeuden hidastumiselle yksinkertaisesti
w² = c² - ve² = c² - 2MG / r = c² ( 1 - 2MG / r c² ).
Kiihtyvyyskentässä pituus supistuu 4D-avaruuden kaikissa suunnissa ja avaruus on epäsymmetrinen kiihtyvyyskentän suunnassa.
Seisova aalto muuttuu mustaksi aukoksi, kun kentän pakonopeus ve = c.
Mustan aukon potentiaali aukon ulkopuolella on
Vmax = 2GM / r,
c²
missä M on massa, G on gravitaatiovakio ja r on etäisyys massan keskipisteestä. Potentiaali saa mustan
aukon tapahtumahorisontissa arvon Vmax = c², jolloin
säteelle r saadaan
r = 2GM / c² ,
joka on ns. Schwarzschildin säde.
30
Kiihtyvyyskentän pitkittäinen aaltoliike
Edellä on todettu hiukkasen aiheuttavan avaruuteen vetovoiman, joka saa
solurakenteisen 3D-pinnan supistumaan ja kaareutumaan. Hiukkanen vetää avaruutta
puolijaksoilla samanaikaisesti vastakkaisista suunnista. Kun kiihtyvyyskentässä hiukkaset
vetävät hetkellisesti avaruutta kentän suuntaan, syntyy 3D-pintaan edestakainen liike.
Tämä liike tapahtuu pitkittäisaaltona suhteessa hilajonoihin, jotka sijaitsevat 3D-pinnan
ulkopuolella.
Kappale luo avaruuteen ympärilleen seisovan gravitaatioaallon,
jossa 3D-avaruus liikkuu edestakaisin kentän säteen suuntaisesti. Koska pinnan kappaleet ovat osa pintaa, ne liikkuvat pinnan mukana ilman, että hitausvoimat vaikuttaisivat. Hitausvoimat
liittyvät vain kappaleiden liikkeeseen pinnan solujen suhteen.
Kappaleen keskipisteessä, jossa kentän kiihtyvyys on nolla, pitkittäisliikettä ei tapahdu.
Jos kappale pyörii keskipisteensä ympäri, ovat kappaleen sisältämät hiukkaset epäsymmetrisiä. Silloin pitkittäisaalto ei suuntaudu suoraan kappaleen keskipisteen suuntaan vaan myös liikkeen suuntaan, jolloin pyörivä kappale näyttää kiertävän ympäröivää avaruutta mukanaan eli avaruus kappaleen ympärillä kiertyy liikkeen mukana.
Pitkittäisliikkeen aallon nopeus on kappaleen ulkopuolella verrannollinen kiihtyvyyskentän potentiaaliin ja se on suurin kappaleen pinnalla. 3D-pinnan paikallinen nopeus hilan suhteen on
ve², kun ve on sekä pakonopeus kentän pisteessä että jaksollisen aallon amplitudi. Niinpä nopeus ve on lisättävä kaikkien kappaleiden kentän säteen suuntaisiin suhteellisiin nopeuksiin v r.
Nopeuksien yhteenlaskukaavasta saadaan
u=
vr + ve
1 + vr ve / c²
31
Kun kappale on paikoillaan kiihtyvyskentässä eli vr = 0, u² = ve² eli kappaleen ajankulumisen
nopeus lasketaan nyt kentän pakonopeuden ve avulla. Ajan kuluminen hidastuu määrällä
t' ² =
t²
1 - ve² / c²
=
c² t²
c² - ve²
Kun pakonopeus ve = √ 2MG / r , saadaan ajan hidastumiselle kiihtyvyyskentässä, kun t on
aika kentän ulkopuolella
t' ² = c² t²
c² - 2MG / r
=
t²
1 - 2MG / r c²
Invarianssiyhtälöiden mukaan hiukkasen suhteellisen nopeuden on muututtava suuremmaksi,
kun hiukkanen joutuu pienempään tilaan eli supistuneeseen avaruuteen. Niinpä hiukkasen suhteellinen nopeus kasvaa sen pudotessa vapaasti kiihtyvyyskentässä. Tällöin hiukkasen ajankulumisen nopeus määräytyy sekä suhteellisen nopeuden että 3D-pinnan pitkittäisaallon nopeuden perusteella.
Tarkastellaan kiihtyvyyskentässä paikoillaan olevaa kappaletta, joka kuitenkiin liikkuu hilan suhteen pitkittäisaallon vr = ve sin t mukana edestakaisin kentän suunnassa. Liikkukoon sama
kappale myös edestakaisin jossakin kohtisuorassa suunnassa kenttää vastaan samalla nopeudella vt = ve cos t. Tällöin hiukkasen painopiste tulee kiertäneeksi paikallista ympyrärataa ja
hiukkanen pysyy kentässä samalla korkeudella, sillä tangentiaalinen keskimääräinen nopeus on
vt² = ve² / 2, joka on sama kuin kappaleen ratanopeus kiihtyvyyskentän ympyräradalla. Jos
hiukkasen tangentiaalinen keskimääräinen nopeus pidetään ennallaan, mutta hiukkanen liikkuu
vain yhteen suuntaan tasaisella nopeudella, se pysyy edelleen samalla korkeudella kentässä.
vr
vt
Kentän
suunta
Kuvassa vertikaalinen liike tapahtuu vain hilan suhteen. Horisontaalinen liike tapahtuu
3D-pinnan suhteen.
Aaltofunktio ja aika kiihtyvyyskentässä
Edellä aika oli määritelty jatkuvaksi sarjaksi tapahtumia, jotka ovat hilajonojen siirtymiä 3D-pinnan solujen ohi. Aika laskettiin hiukkaselle kahden vierekkäisen silmukan solusiirtymien geometrisena keskiarvona. Toisaalta hiukkasen aika määritellään aaltofunktion eksentrisyydestä
riippuvaksi. Tarkennetaan nyt hiukkasen aikakäsitettä.
32
Solusiirtymien avulla saatiin edellä kappaleen ajankulumiselle T² = (n - k)(n + k) = n ² - k ², kun
havaitsijan aikaa kuluu määrä Th² = n². Toisaalta suureiden k² ja n² suhde on sama kuin
hiukkasen eksentrisyyden neliö e ² = v ² / c ² = k ² / n ². Hiukkasen ajan kulumista havaitsijan
ajan kulumisen suhteen kuvaa siis myös hiukkasen aaltofunktion eksentrisyys e
T² / Th² = (n ² - k ²) / n ² = 1 - k ² / n ² = 1 - e ² , missä n ²  c ²
Kun tapahtumien määrä on vähentynyt ja ajan kuluminen on hidastunut, on ajan pituus t' eli
tapahtumien väli havaitsijalle käänteinen eli tapahtumien välinen aika on kasvanut määrällä
t' ² = t ² / (1 - e ²).
Hiukkanen on epäsymmetrinen myös kiihtyvyyskentässä, vaikka se ei liiku kaukana olevan
havaitsijan suhteen.
Miksi hiukkanen ei pudotettaessa lähde kiihtyvyyskentässä välittömästi putoamaan pakonopeudella? Hiukkasen ja samalla avaruuden ominaisuuksista johtuu, että niin ei pääse tapahtumaan.
Ominaisuutta kutsutaan hitaudeksi. Pudotuksen yhteydessä hiukkanen ei koskaan saavuta
kentän suuntaista pakonopeutta. Tarkastellaan seuraavaksi tarkemmin hiukkasen
käyttäytymistä kiihtyvyyskentässä.
Hiukkasen lähtiessä putoamaan jostakin kiihtyvyyskentän pisteestä sen nopeus kentän suhteen
on aluksi nolla. Invarianssiyhtälöiden mukaan avaruuden supistumisen määrä suhteessa
lähtöpisteeseen määrää hiukkasen nopeuden muutoksen.
Hiukkasen pakollisuus liikkua kiihtyvyyskentässä epäsymmetrisenä synnyttää konservatiivisen
painovoimakentän massakeskittymien ympärille. Ilmiötä voidaan verrata hiukkasen sulkemiseen
suljettuun tilaan, jolloin aaltoteorian mukaan tilaa edelleen pienentämällä hiukkasen suhteellinen
nopeus kasvaa. Kiihtyvyyskentässä hiukkanen kohdistaa voiman epäsymmetrisesti tilan yhteen
seinään, mutta tasaisessa avaruudessa voima on symmetrinen seinien suhteen.
Kun hiukkasen aika hidastuu painovoimakentässä, on myös pituuden muututtava lyhyemmäksi.
Sitä avaruuden supistuminen juuri tarkoittaakin. Pituus lyhenee, kuten seuraavalla sivulla
tarkemmin osoitetaan. Hiukkasen epäsymmetria tarkoittaa myös massan kasvamista hiukkasen
vajotessa kiihtyvyyskentässä. Perussuureiden muutokset kiihtyvyyskentässä ovat samat kuin
kappaleen suhteellisen nopeuden muuttuessa voiman vaikutuksesta. Yhteinen tekijä on
hiukkasen muuttuminen epäsymmetriseksi.
33
Esimerkki epäsymmetrisen aaltofunktion käyttäytymisestä:
V
Epäsymmetrinen aaltofunktio lineaarisessa
potentiaalikuopassa V = ax

Aallon pituus ja amplitudi riippuvat potentiaalista.
Potentiaalikuopassa sijaitseva kappale
saa
kiihtyvyyden kohti potentiaalikuopan pohjaa.
Lähde:
Weidner, Sells: Elementary Modern Physics
x
Kun kappaleeseen kohdistuu voima tasaisessa avaruudessa, kappale kallistuu kuvan
osoittamalla tavalla omassa kiihtyvyyskentässään eli omassa seisovassa gravitaatioaallossaan.
Kappale saa kiihtyvyyden ja sen etuosa voiman suhteen on silloin aina 4.D:n suunnassa
ylempänä ja lyhyempi pitkittäisaalto vaikuttaa siinä ajan kulumiseen vähemmän kuin alempana
olevassa takaosassa. Silloin esim. kello käy nopeammin kappaleen etuosassa ylempänä 4.D:n
suunnassa.
4.D
F
F
Kiihtyvässä liikkeessä oleva kappale kallistuu omassa kiihtyvyyskentässään. Kappaleen
etuosassa pitkittäisaalto on lyhyempi ja siellä aika kulkee nopeammin.
34
Aaltofunktion eksentrisyys painovoimakentässä
Kiihtyvyyskentässä hiukkasen aaltofunktio muuttuu epäsymmetriseksi, sillä avaruus ei ole
tasainen vaan kalteva. Epäsymmetrisyys merkitsee suhteellista liikettä kiihtyvyyskentän
aiheuttajan suhteen ja hiukkanen lähtee liikkeelle kohti pienempää potentiaalia. Kentän
potentiaali on Newtonin mekaniikan mukaan etäisyyden r funktio V(r) = -MG / r. Kappaleen
kiihtyvyys potentiaalikentässä on
dV(r) / dr = MG / r² .
Hiukkasen epäsymmetriaa kuvaa aaltofunktion eksentrisyys e = v/c. Kiihtyvyyskentän jossakin
pisteessä eksentrisyys saadaan laskemalla kentän pakonopeus v' ko. pisteessä
v' = √ 2MG / r
eli v' ² = 2 V(r).
, missä M on kiihtyvyyskentän aiheuttajan massa ja G on gravitaatiovakio ja r on etäisyys
massan keskipisteestä. Eksentrisyys on nyt (vrt. Schwarzschildin metriikka)
e = v' / c
eli e²
= 2MG / r c² .
Maan painovoimakentässä pakonopeus maan pinnalta on v' = 12 km/s ja e = 0.00004. Mustan
aukon tapahtumahorisontissa e = c / c = 1 eli aaltofunktio on parabeli.
Kun kentän pakonopeuden halutaan lähestyvän valon nopeutta c, on kentän aiheuttavan
massan säteen r oltava hyvin lyhyt. Kriittiselle säteelle R saadaan, kun e = c / c = 1.
R = 2MG / c²
Kiihtyvyyskentässä syntyvä epäsymmetria eli eksentrisyys on kaikille avaruuden kappaleille
kentän pisteessä sama. Siten kaikki kappaleet saavat kiihtyvyyskentässä saman kiihtyvyyden ja
pakonopeus on kaikille kappaleille sama. Pakonopeutta v' voidaan nyt käyttää kuvaamaan
kappaleen kiihtyvyyskenttää ja sen avulla voidaan määritellä kentän absoluuttinen vajoama .
 = v' ² / c ² = e ² ,
0 <=  <= 1 .
Vajoama  kertoo kappaleen vajoaman 4.D:n suunnassa.
Pakonopeus v' voidaan korvata yleisemmällä suhteellisella nopeudella v ja todeta, että kaikilla
nopeudella v liikkuville kappaleille syntyy avaruudessa vajoama
 = v² / c² , joka lasketaan aina suhteessa havaitsijaan.
Avaruuden supistumiselle gravitaatiokentässä saadaan invarianssiyhtälöstä
² = o² (1 - e² ) = o² 1 - 2V(r)
c²
35
Edellä käsiteltiin suhteellista liikettä ja siihen liittyvää koordinaatiston kiertymistä ja aaltofunktion
eksentrisyyttä e. Koska eksentrisyys ja koordinatiston kierto liittyvät myös kiihtyvään
liikkkeeseen, tarkastellaan seuraavassa vertailun vuoksi molempia asioita.
4.D
4.D
3D-avaruus
3Davaruus
Suhteellinen vajoama
avaruudessa
A: Suhteellisessa liikkeessä kappaleiden
koordinaatistot ovat kiertyneet toistensa suhteen. Silti
niiden 3D-avaruus on aina kohtisuorassa 4.D:tä
vastaan ja havaitsija uskoo olevansa absoluuttisessa
avaruudessa muita ylempänä. Syntyy suhteellinen
vajoama  eikä voida tietää kappaleiden todellisia
absoluuttisia korkeuseroja 4.D:n suunnassa. Se
tiedetään, että kiihdytyksessä kappaleen asema 4.D:n
suunnassa muuttuu absoluuttisesti.
B: Kiihtyvyyskentässä kappaleen 3D-koordinaatisto kiertyy 4.D:n suhteen. Kiihtyvyyskentässä
syntyy absoluuttinen vajoama '.
4.D
3D-avaruus
Absoluuttinen vajoama
avaruudessa
Kiihtyvyyskentässä aaltofunktion eksentrisyys e' syntyy 3D-pinnan kaltevuudesta, kuten edellä
esitettiin. Siten tapauksissa A ja B aaltofunktiolla on eksentrisyydet e ja e'. Voidaan osoittaa,
että molemmissa tapauksissa eksentrisyys merkitsee vajoamaa
 = ' = v ² / c ² = e ² , missä v on suhteellinen nopeus tai pakonopeus.
Suhteelliseen nopeuteen liittyvät vajoama  ja eksentrisyys e ovat aina suhteellisia suureita
mutta kiihtyvyyskentän suureet ' ja e' ovat absoluuttisia.
Kuten edellä on jo esitetty, inertia perustuu avaruuden 4.D:n suuntaiseen potentialiin V = c ²
eli V  R, missä R on 4-kantaisen avaruuden säde. Potentiaalin muutos V voi siis syntyä
kappaleen nopeuden muutoksesta tai aseman muutoksesta kiihtyvyyskentässä. Potentiaalin
muutos V on siten aina verrannollinen nopeuden muutokseen eli V  v, jossa v on joko
suhteellinen nopeus tai pakonopeus. Molemmissa muutoksissa syntyvä vastavoima F=ma on
verrannollinen kappaleen massaan siten, että m = m', kun  = '. Koska vajoamat  ja ' ovat
nopeuksien avulla kuvattuna samat eli  = ', merkitsee se, että kappaleen inertiamassa m ja
gravitaatiomassa m' ovat samanarvoisia.
Vajoamat  ja ' ovat merkittäviä siten, että vajoamassa havaitsijan aika kuluu hitaammin ja
kappaleiden massa on kasvanut eli vajoama havaitaan näin epäsuorasti. Tapauksissa A ja B
ajan kuluminen hidastuu saman verran vajoamien  ja ' mukana.
36
Kuten edellä on esitetty, perushiukkasten synnyttämä avaruuteen kohdistuva vetovoiman
tasakomponentti vaimenee etäisyyden mukana F = k / x. Siten M-massainen kappale vajoaa
avaruudessa 4.D:n suunnassa aiheuttamaansa avaruuden supistumista vastaavalle tasolle.
Vajoamiskäyrä, joka noudattaa avaruuden supistumista, on samoin muotoa f(x) = -k / x. On
syntynyt potentiaalikuoppa.
F
F(x) = k / x
0
x
f(x) = -k / x
M
4.D-vajoama
Kappaleen lähellä sen painovoimakentässä oleva havaitsija on kiihtyvyyskentässä ja samalla
kallellaan 4.D:n suhteen. Kaltevuus 4.D:n suunnassa merkitsee kiihtyvyyttä.
Kaltevuus eli kiihtyvyys on vajoamiskäyrän 1. derivaatta g = GM * 1 / x² . Tästä saadaan
kiihtyvyyskentän m-massaiseen kappaleeseen aiheuttama painovoima Fg:
Fg = -GMm * 1 / x²
, missä G on gravitaatiovakio.
Vajoamiskäyrän derivatta eli kaltevuuden muutos on
df/dx = GM * 1 / x²
ja se merkitsee samalla kiihtyvyyttä g.
Jotta tämä kaava toimisi myös suurilla etäisyyksillä x, pitäisi avaruuden olla äärettömän suuri.
Näin ei kuitenkaan ole. Avaruus on suljettu rakenne ja siten äärellinen.
Kun avaruus supistuu kiihtyvyyskentässä, sen on vastaavasti venyttävä jossakin muualla.
Avaruuden rajallisen koon vuoksi edellinen kaava ei suurilla etäisyyksillä silloin voi pitää
paikkaansa. Avaruuden venymisen vuoksi painovoima ei pienene suurilla etäisyyksillä niin
paljon kuin edellinen kaava vaatii. Onkin olemassa havaintoja, jotka tukevat tätä käsitystä.
37
Kaksosparadoksi
Esimerkkinä on kahden kappaleen järjestelmä, jossa kappaleiden väliin on asetettu jännitetty
jousi. Olkoot kappaleiden massat aluksi täsmälleen samat m = m'. Kun jousi sinkoaa
kappaleet erilleen, ne saavat saman kiihtyvyyden ja niiden molempien absoluuttiset nopeudet
muuttuvat saman verran. Ei kuitenkaan voida tietää kuinka. Oletetaan, että kappaleet siirtyvät
kiihdytyksen seurauksena alaspäin saman verran 4.D:n suunnassa. Samalla kappaleiden 3Dkoordinaatistot kiertyvät toistensa suhteen. Kiertymisen seurauksena molemmat näkevät
toistensa ajan hidastuvan ja massan kasvavan.
m
m'
Molempien kappaleiden absoluuttinen nopeus jousen suhteen on w 2 = c 2 - v 2 , missä v on
suhteellinen nopeus. Kun jousi hetken kuluttua pysäyttää kappaleet, ne palaavat
hidastuessaan alkuperäiselle tasolleen 4.D:n suunnassa.
Ajan kuluminen hidastuu nopeuden w mukana
c2
w2
t 2 = t 02 c 2 / w2
eli
t = t0
√ 1 - v² / c²
, missä t 0 on jousen koordinaatistossa mitattu
aika ja v kappaleiden nopeus jousen suhteen.
Jousi kiihdyttää kappaleet uudelleen nyt vastakkaiseen suuntaan ja kappaleet palaavat samaa
reittiä takaisin alkutilanteeseen.
Kun toinen kappaleista on paljon massiivisempi m << m', saa toinen kappaleista paljon
suuremman kiihtyvyyden. Tällöin vain toinen kappale m, siirtyy merkittävästi 4.D:n suunnassa
ja sen aika hidastuu kappaleen kulkiessa alemmalla absoluuttisella nopeudella w.
c2
m'
w2
m
c2
w2
s'
s
Pienemmällä absoluuttisella nopeudella kuljettu
matka s on lyhyempi kuin s'. Kun s  t, myös
kulunut aika on pienempi. Matkojen eroa s' - s ei
ole suoraan mahdollista havaita.
Kaksosparadoksin kannalta tämä merkitsee, että kappale, joka kokee kiihtyvyyden ja samalla
siirtyy 4.D:n suunnassa suhteellisesti alemmaksi, vanhenee hitaammin. Matkan aikana
kappaleiden koordinaatistot ovat kiertyneet saman määrän toistensa suhteen, eikä siitä voida
tietää kumpi on alempana. Molemmat näkevät toistensa ajan hidastuneen ja massan
kasvaneen samalla tavalla.
38
Elektronin aineaalto ja neljäs ulottuvuus
Kolmiulotteisessa avaruudessa havaitsemme, että kappaleen liikkuessa sen koko näyttää
muuttuvan. Etääntyvä kappale näyttää pienenevän. Kappaleen pituus näyttää puolittuvan,
kun etäisyys kasvaa kaksinkertaiseksi.
H
Havaitsemattomuuslain mukaan emme voi havaita suoraan neljättä ulottuvuutta etäisyytenä.
Kuitenkin kappale, jolla on suhteellinen nopeus v havaitsijan suhteen, on 4.D:n suunnassa
tietyllä etäisyydellä havaitsijasta. Emme havaitse kolmiulotteisen kappaleen tällöin pienenevän
4.D:n suunnassa.
Jos tarkastelemme elektronia, joka liikkuu havaitsijan suhteen nopeudella v, havaitsemme
elektronin aallonpituuden pienenevän puolella, kun sen nopeus muuttuu kaksinkertaiseksi.
Elektronille voidaan kirjoittaa de Broglien hypoteesin mukaan aallonpituus:
 = h / mev ,
missä h on Plackin vakio, me on elektronin lepomassa ja v on suhteellinen nopeus.
D-teorian mukaan aallonpituuden muutos syntyy elektronin etääntymisestä 4.D:n suunnassa
siten, että elektroni näyttää aallonpituudella mitattuna lyhyemmältä. Havainto on epäsuora
emmekä voi laskea elektronin absoluuttista metristä etäisyyttä 4.D:n suunnassa.
Elektroni ja positroni ovat molemmat neljännen ulottuvuuden suuntaisia hiukkasia. Niiden
etääntyminen 4.D:n suunnassa voidaan huomata aallonpituuden lyhenemisenä suhteellisen
nopeuden kasvaessa. Ei ole merkitystä sillä kiihdytetäänkö hiukkasen nopeutta vai havaitsijan
nopeutta, sillä etäisyys kasvaa molemmissa tapauksissa ja havainto on sama. Sellaiset hiukkaset kuten protoni ja neutroni sisältävät myös 4.D:n suuntaisen komponentin. Näiden
hiukkasten projektiota 3D-pinnalla solumaisessa nelikantaisessa avaruudessa käsitellään
yksityskohtaisemmin D-teorian 1.-osassa.
de Broglien hypoteesin mukaan aallonpituus riippuu myös hiukkasen massasta. Hiukkasen
massa aiheuttaa hiukkaselle absoluuttisen vajoaman ', jolloin hiukkasen etäisyys havaitsijasta
kasvaa ja aallonpituus pienenee massasta riippuen.
Elektronin projektiosta lisää D-teorian 1.-osassa.
39
Massa ja liikemäärä kappaleen ominaisuutena 3D-avaruudessa
Pistemäinen massa aiheuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa kiihtyvyyskentän ja siihen liittyvän
vetovoiman.
H
z
y
F
m
x
Havaitsijan suhteen levossa olevan kappaleen
kiihtyvyyskenttä on isotrooppinen. Vetovoimaa
voidaan kuvata vektorilla F(x,y,z), missä kolmen
ulottuvuuden suuntaiset x,y ja z ovat vektoreita.
Voiman suuruus riippuu gravitaatiolain mukaan
etäisyydestä massakeskipisteestä ja massan m
suuruudesta.
Asetetaan etäisyydeksi yksi pituusyksikkö, jolloin voima on suoraan verrannollinen massan
suuruuteen. Pythagoraan lauseen mukaan voidaan kirjoittaa:
F(x,y,z) <=> m ² = m(x) ² + m(y) ² + m(z) ², missä m(x),m(y) ja m(z) ovat keskenään kohtisuorien vektoreiden pituudet. Kolmiulotteisessa avaruudessa kappaleen massa m(x,y,z) on
kolmiulotteinen. Koska massa on ulottuvuuksien suhteen symmetrinen eli isotrooppinen,
voidaan massa supistaa matemaattisesti yksiulotteiseksi eli m=m(x) asettamalla havaitsija H
suoraan x-akselille. Usein kappaleen massa voidaan olettaa vakioksi.
Lisäämällä massaan neliöimällä neljännen ulottuvuuden 4.D-komponentti saadaan:
m ² = m(x) ² + m(y) ² + m(z) ² + m(4.D) ² .
Kun 4.D havaitaan kappaleen nopeuden neliönä v² ja yksiulotteiseen massaan m(x) lisätään
neljäs ulottuvuus, saadaan m ² (x,v ²) eli massa on kappaleen nopeudesta riippuva suure.
Matemaattisesti massa on nyt kaksiulotteinen ja neliöity.
Minkä tahansa voiman kappaleelle aiheuttama kiihtyvyys kallistaa ja siirtää kappaletta 4.D:n
suunnassa siten, että kiihtyvällä kappaleella on pituus ja liike myös neljännen ulottuvuuden
suunnassa.
Kiihtyvässä liikkeessä olevalla kappaleella on pituus ja liikesuunta neljännen ulottuvuuden
suunnassa. Samalla kappaleen 3D-koordinaatisto on kiertynyt 4.D:n suhteen. Kappaleen 4.Dkaltevuus on verrannollinen kappaleen havaittuun kiihtyvyyteen. Kiihtyvä kappale on siis
kääntynyt avaruudessa 4.D:n suuntaan, mutta sitä emme voi hahmottaa. Samoin
painopisteensä ympäri pyörivällä kappaleella on mitta 4.D:n sunnassa. Kappaleen
kaltevuudesta 4.D:n suunnassa seuraa suoraan ekvivalenssiperiaate eli kiihtyvyyden ja
gravitaation erottamattomuus.
4.D
3D-avaruus
Kuva. Painopisteensä ympäri pyörivä
kappale on kallistunut 4.D:n suuntaan.
Samalla sen koordinaatisto on kiertynyt
eri tavoin eri kohdissa.
40
Suuri absoluuttinen säilymislaki
Havaitsija, joka liikkuu absoluuttisessa avaruudessa absoluuttisella nopeudella c ², mittaa
mukanaan liikkuvan kappaleen absoluuttiseksi liikemääräksi P = (mc)² (uusi suure).
Samalle kappaleelle, joka liikkuu eri nopeudella w ², havaitsija mittaa absoluuttiseksi
liikemääräksi P = (m1 * w) ².
Absoluuttisessa avaruudessa kappaleen absoluuttinen liikemäärä on muuttumaton.
Saadaan suuri säilymislaki eli ensimmäinen invarianssiyhtälö
m1² w² = m² c² = vakio
Fysiikassa P = m²c² on neliöllinen neliliikemäärä lepokoordinaatistossa, joka on invariantti
suure kaikissa koordinaatistoissa.
Pienillä nopeuksilla m = vakio, jolloin edellinen kaava voidaan kirjoittaa muotoon
m² w² = m² (c² - v²) = vakio , josta saadaan edelleen, kun c = vakio,
m² v² = vakio.
Siirretään edellinen absoluuttisesta avaruudesta kolmiulotteiseen avaruuteen ottamalla
neliöjuuri, jolloin saadaan mv = vakio. Nopeus muuttui neliöllisestä suhteelliseksi vektorisuureeksi, jolla on suunta. Näin kolmiulotteisen avaruuden liikemäärän säilymislaki voidaan
yhdistää absoluuttisen liikemäärän säilymislakiin. Liikkuville kappaleille on siis olemassa
vain yksi ainoa säilymislaki.
Kirjoitetaan m² c² = vakio kappaleelle, jonka absoluuttinen nopeus valon lepokoordinaatiston
suhteen on c. Muutetaan tässä ainoastaan massa kolmiulotteiseksi, jolloin saadaan
mc² = vakio ja saadaan kolmiulotteisen avaruuden energian säilymislaki. Laki antaa samalla
kappaleen kokonaisenergian ja edellyttää, että massa m ei liiku 4.D:n suunnassa eli on
vakiosuuruinen lepomassa ja että c² on vakio. Suure c² on samalla kappaleen potentiaali
4.D:n suunnassa.
Jos kappaleella on rakenneosia, sen energia koostuu osasten lepomassasta, liikeenergiasta ja osasten keskinäisestä potentiaalienergiasta. Kaikki energialajit ovat pohjaltaan
mekaanisia (, kuten kaikki luonnonilmiötkin sähköisiä kenttiä myöten). Kaikki energialajit
kattava energian säilymislaki siis voidaan kirjoittaa muotoon; liike- ja potentiaalienergian
summa on vakio.
Seuraavaksi johdetaan kappaleen massan paikallisuus eli kolmiulotteisen avaruuden
massan suhteellisuus.
41
Absoluuttisen avaruuden säilymislaki:
m1² w² = m² c²
Voidaan kirjoittaa:
m1² ( c ² - ( c ² - w ² )) = m ² c ²
Suhteellinen nopeus saadaan absoluuttisista eli v² = c² - w²
nyt m1² ( c² - v² ) = m² c²
josta saadaan m1² =
m² c² .
Muutetaan 3D-avaruuteen, jolloin
c² - v²
kappaleen massa suhteellisella nopeudella v on
m1 =
m
√ 1 - v ²/ c²
Tästä huomataan, että massan paikallisuus tarkoittaa massan riippuvuuta kappaleen
nopeudesta. Koska olemme valinneet nopeuden neliön neljännen ulottuvuuden
paikkakoordinaatiksi, voimme todeta:
Tasaisessa avaruudessa massan paikallisuus on vain neljännen ulottuvuuden suunnassa
havaittava ilmiö.
Siksi neljännen ulottuvuuden lisääminen massaan oli välttämätöntä lepomassan paikallisuuden
havaitsemiseksi. Se ei kuitenkaan merkitse liikemäärää 4.D:n suunnassa. Kun kappale voi
liikkua 4.D:n suunnassa, on sen massa m esitettävä neliöllisenä m². Tämä näyttäisi pätevän
kaikille muillekin suureille, joilla on imaginääriakselin suuntainen komponentti ja suureeseen
liittyy nopeuden muutos eli liike 4.D:n suunnassa.
(Matemaattisesti voidaan sanoa, että absoluuttisessa avaruudessa itse asiassa tarkastelimme
2-ulotteista massaa, jonka toinen ulottuvuus on 4.D. Käyttämällä tätä neliöllistä massaa kirjoitamme kattavan liikemäärän säilymislain. Tämä tarkastelu tuottaa neljännen ulottuvuuden
komponentin eli paikallisuuden kappaleen massalle. Tulos vastaa myös havaintoja. Massan
3D-symmetrisyyden vuoksi tässä ei tehdä luonnolle väkivaltaa.)
42
Kompleksiavaruuden hahmottaminen 3D-pinnalla
Silmukan kiertäminen merkitsee siirtymistä pisteestä toiseen. Nelikantaisessa avaruudessa siirrytään pallosta toiseen palloon. Nelikantaista avaruutta voidaan pisteen kannalta kuvata valon
lepokoordinaatistoon asetettavalla avaruuden sulkevalla pallolla ja antamalla sitten pisteen kiertää avaruuden ympäri suhteessa palloon. Tarkastellaan nelikantaista avaruutta 3D-pinnalla.
Lähtöpisteessä hetkellä t=0 pallon säde R=0. Säde R tarkoittaa havaitsijalle etäisyyttä radan sulkevaan palloon. Havaitsija liikkuu valon lepokoordinaatisto suhteen nopeudella c, jolloin lepokoordinaatisto liikkuu laajenevana pallopintana, jonka säde R = -ct. Voimme ajatella , että lepokoordinaatistoon jäänyt lähtöpiste sijaitsee nyt pallopinnan kaikissa pisteissä. Kun puolet matkasta avaruudessa on kuljettu, R = -cT/2, missä T on koko kierrokseen tarvittava aika. Tällöin
lähtöpiste on kauimpana avaruudessa ja R-säteinen pallo edustaa kierrettävän 3D-avaruuden
puolikasta. Käännetään katse eteenpäin ja nähdään, että lähtöpisteeseen on matkaa R=+cT/2.
Matkan edetessä yli puolivälin alkaa lähtöpiste lähestyä vastakkaisesta suunnasta pallopintana.
Pallopinta lähestyy havaitsijaa nyt eri puolelta eli tavallaan nurjalta puolelta. Säde R pienenee ja
R=0, kun on palattu lähtöpisteeseen.
R= -cT/2
t=0
R=+cT/2
t=T
Pallopinnan kaikki pisteet P voidaan määritellä koordinaateilla P(x,y,z,w). Matkalla vain P:n
koordinaatit x,y ja z ovat muuttuneet. Koska matka on voitu tehdä kaikkiin 3D-avaruuden suuntiin, pisteen P koordinaatit x,y ja z ovat voineet saada mitkä tahansa 3D avaruuden arvot matkan aikana. Koordinaatti w on ollut vakio.
Voidaan tehdä sama kierros uudelleen siten, että havaitsija levittää avaruuteen aikana 0<t<T/2
valkeaa savua ja aikana T/2 <t <T mustaa savua. Savu on imaginääristä ja jää lepokoordinaatistoon paikoilleen. Aluksi nähdään lepokoordinaatiston eli pallopinnan etääntyvän ja avaruuden
täyttyvän valkoisella savulla. Puolivälin jälkeen levitetään mustaa savua ja savujen rajapinta
laajenee pallopintana. Vastaavasti valkoisen savun eturintama lähestyy pallopintana. Kierroksen
jälkeen pallomainen avaruus näyttää olevan kokonaan sekottuneiden valkoisen ja mustan savun
täyttämä. Kuitenkin valkoinen ja musta savu ovat avaruuden eri osissa eivätkä samassa paikassa eli kaikkialla pallossa kuten näyttää.
Avaruus kaksiosainen eli on olemassa avaruus ja sen antiavaruus, jotka lomittuvat toisiinsa
solurakenteisena muodostaen yhdessä kompleksiavaruuden.
43
Näemme siis samanaikaisesti päällekkäin avaruuden molemmat puoliskot emmekä voi tietää
kumpaan puoliskoon jokin hiukkanen kuuluu. Seuraavassa kuvassa on esitetty sama avaruus
kolmessa eri esitysmuodossa:
havaitsija
P
+P
i
-P
P
-P
Renkaan kaltainen
avaruus
Kaksi erillistä
kompleksiavaruutta
eli palloa
Yhtenäinen
kompleksiavaruus
Määritellään avaruuteen vektori. Vektorin kärkipiste P esitetään muodossa P(x,y,z,n ²), missä
x,y,z ja n ² ovat pisteen koordinaatit. Koska 4.D:n yksikkövektori i on imaginäärinen, saadaan
pisteelle P kaksi erillistä pistettä +P ja -P eli +P(x,y,z,n) ja -P(x,y,z,-n). Pisteet +P ja -P ovat
todellisia avaruuden pisteitä, jotka havaitaan yhtenäisessä kompleksiavaruudessa yhtenä pisteenä P(x,y,z,n ² ). Silmukka-avaruuden säde on 4.D:n yksikkövektorin i suuntainen. Siten luku
n ² määrää pisteiden +P ja -P aseman säteen sunnassa.
Yhtenäisessä kompleksiavaruudessa erimerkkiset pisteet +P ja -P kongretisoidaan esim. positiivista ja negatiivista materiaa edustaviksi kahdeksi protoniksi, jotka sijaitsevat avaruudessa ja
antiavaruudessa. Yhtenäisessä kompleksiavaruudessa molemmat protonit havaitaan etumerkittömänä materiana muodossa P(x,y,z,n ² ) eli protoneilla ei ole mitään eroa (paitsi epäsuorasti havaittava spinin suunta).
Absoluuttinen avaruus on "neliöllinen avaruus", jossa perussuureet voivat olla negatiivisia tai
positiivisia. Tällaisen avaruuden liikeyhtälöiden on oltava neliöllisiä. Kaikki liikeyhtälöt voidaankin johtaa kolmesta kullekin neliöidylle perussuureelle kirjoitetusta invarianssiyhtälöstä.
44
Kun tarkastellaan avaruutta havaitsijan näkökulmasta, näkevät kaikki havaitsijat aina olevansa
avaruuden muodostaman pallon keskipisteessä. Samoin kaikki liikkuvat havaitsijat näkevät
lepokoordinaatiston tulevan kohti ja poistuvan pallopintana, jonka keskipisteessä he itse ovat.
Yhtenäisessä kompleksiavaruudessa lepokoordinaatistossa sijaitseva "savu" voidaan ymmärtää valoksi. Pakenevan lepokoordinaatiston mukana kulkeva valo voidaan "tartuttaa" peilin
avulla kohti tulevaan lepokoordinaatistoon eli saadaan aikaan heijastuminen. Päällekkäiset
avaruudet ovat siis kappaleen (eli nelikantaisen atomin) kautta fysikaalisesti yhteydessä toisiinsa imaginääriakselin suunnassa, kuten myöhemmin atomimallin yhteydessä osoitetaan.
Tarkastelimme edellä renkaankaltaisen avaruuden pientä osaa eli kuljimme avaruudessa tietyllä etäisyydellä sen keskipisteestä. Jos toinen havaitsija liikkuu avaruudessa saamaan suuntaan eri korkeudella ja myös eri nopeudella, hän näkee saman avaruuden, mutta hänen avaruutensa on kiertynyt edelliseen verrattuna. Valosta ja koordinaatiston kiertymisestä lisää
myöhemmin D-teoriassa.
Avaruuden laajeneminen
Edellisessä tarkastelussa ei huomioitu avaruuden laajenemista siten, että 4.D:n suuntaisen
avaruuden yksikkösolujen lukumäärä kasvaa mutta 3D-pinnan yksikkösolujen määrä ei muutu.
Tarkastellaan yksiulotteisen silmukan tapausta, kun avaruus laajenee.
Avaruus laajenee kaikissa sen pisteissä samalla nopeudella siten, että kaikki havaitsijat näkevät laajenemisen samanlaisena. Edellä saatiin 4.D:n suuntaisille yksikkövektoreille:
Rw ² = Rc ² w ² / c ² , missä Rw ja Rc ovat yksikkövektorien pituudet radoilla w ² ja c ². Kun kappaleet kiertävät avaruutta radoillaan kiertokulmalla , saadaan R² /   = a, missä a = vakio
kaikkialla. Vakio a on ns. kosmologinen kerroin. Kerroin a kertoo suhteellisen laajenemisnopeuden eli kuinka nopeasti 4.D:n suuntainen avaruus laajenee 3D-pinnan suhteen.

Kertoimella a = 0 avaruus on stabiili.
Kertoimella a > 0 4.D:n suuntainen avaruus laajenee.
r2
Tarkastellaan niiden pisteiden laajenevaa käyrää, joihin havaitsija törmää kiertäessään ympyrän kehää valon lepokoordinaatiston suhteen nopeudella c. Käyrää kutsutaan nimellä
"Arkhimedeen spiraali"
r 2 = a  ja d (r2 ) / d  = a
, missä a  0 on kosmologinen kerroin.
Käyrä edustaa näkymää neliölliseen laajenevaan avaruuteen, kun oletetaan, että valo on kappaleiden valon lepokoordinaatistoon laajenevassa avaruudessa jättämä jälki, johon havaitsija
kiertoradallaan törmää.
45
Kosmologisen kertoimen arvoa eli laajenemisnopeutta ei tiedetä. Havaitsemattomuuslain
mukaan sitä ei ole periaatteessa mahdollista suoraan havaita, sillä laajenemisnopeus on 4.D:n
suuntainen. Käsitellään seuraavaksi kahta eri tapausta, joissa kerroin saa eri arvot.
Tapauksessa A kerroin a > R /  ja tapauksessa B kerroin a < R / , missä R on
kaarevuussäteen pituus havaitsijan kohdalla. Säteen R suuruutta ei tiedetä.
Kuvassa on piirretty esiin spiraalit havaitsijan molempia
kiertosuuntia varten valon lepokoordinaatiston suhteen.
Havaitsija kohtaa kiertoradallaan spiraalilla olevan
laajenevan valojäljen, jonka ympyrän muotoisilla
radoillaan liikkuvat kappaleet ovat spiraalin pisteisiin
jättäneet. Jälki siirtyy avaruuden laajetessa ympyrän
kehän mukana ja havaitaan siellä. Spiraalit päättyvät
avaruuden keskipisteeseen, jonka lähellä kappaleiden
aika on hidastunut edellä esitetyllä tavalla. Keskipiste
muodostaa rajan havaitsemiselle.
A
R
C
R
B
Spiraaleilla ei tapauksessa A ole yhteistä pistettä muualla
kuin pisteessä A. Tapauksessa B laajenemisnopeus eli
kosmologinen kerroin a alittaa arvon R /  ja spiraalit
leikkaavat pisteessä C. Tällöin molemmilla
kompleksiavaruuksilla nähdään olevan yhteinen piste.
Valojälki spiraalilla synnyttää vaikutelman, että käyrän
pisteet liikkuvat todellista nopeammin toistensa suhteen.
Mitä kauempana kappale on havaitsijasta, sitä
nopeammin se näyttää valojäljen perusteella
(punasiirtymä) pakenevan poispäin. Punasiirtymä syntyy
siitä, että kappaleiden aika sisemmillä radoilla kulkee
hitaammin. Ilmiö ei siis kuvaa todellista
etääntymisnopeutta.
Tällaisessa avaruudessa havaitsijalle syntyy vaikutelma, että hän on laajenevassa 3Davaruudessa sen keskipisteessä. Lisäksi havaitsijalle syntyy vaikutelma, että hän on ylimmällä
kiertoradalla eli avaruussuunnan 4.D huipulla ja kaikki muut ovat alempana ja muiden liikkuvien
kappaleiden aika kuluu hitaammin.
Oletetaan, että 4.D:n suuntaiset 1-ulotteiset yksikkösolut ovat pidempiä kuin 3-ulotteiset 3Dpinnan suuntaiset yksikkösolut. Laajenemisen syy on 4.D:n suuntaisten solujen lukumäärän
kasvu, mikä tarkoittaa väistämättä niiden pituuden lyhenemistä suhteessa 3D-pinnan
yksikkösoluihin. Ei nimittäin ole olemassa mitään ulkopuolista tilaa, jonne avaruus laajenisi,
jolloin laajeneminen on vain suhteellista eri suuntien välillä. Mitä tapahtuu, kun 4.D:n suuntaiset
solut ovat saman pituisia kuin 3D-pinnan solut? Sulkeutuuko 4.D ja lisätäänkö avaruuteen
jälleen uusi ulottuvuus?
46
Massa, avaruus ja energia
Olemme aikaisemmin todenneet, että kolmiulotteisilla kappaleilla ei ole liikemäärää neljännen
ulottuvuuden suunnassa. Mikä saa kappaleen vajoamaan avaruudesssa? Kappaleilla on 4.D:n
suunnassa potentiaali W = c² .
Avaruuden supistaminen vaatii energiaa. Positiivinen massa ja avaruuden tiheys ovat
ekvivalentteja. Kappaleen massaa vastaavan energian E = mc ² voidaan ajatella olevan
kokonaan sen supistamassa kolmiulotteisen avaruuden tiheydessä. Kappale on aiheuttanut
energiaansa vastaavan muutoksen avaruuden tiheyteen. Tiheydellä tarkoitetaan tässä
avaruuden yksikkövektoreiden keskinäistä suhdetta.
Kun tarkastelemme perushiukkasta aaltopakettina ja pienennämme aaltopaketin tilavuutta, on
se sama asia kuin kasvattaisimme perushiukkasen massaa avaruutta supistamalla.
Absoluuttisen säilymislain mukaan hiukkasen absoluuttisen nopeuden on silloin muututtava
vastaavasti pienemmäksi ja suhteellisen nopeuden suuremmaksi. Olemme aikaisemmin
todenneet, että hiukkasen massa kasvaa suhteellisen nopeuden kasvaessa. Tämä toimii myös
toisinpäin eli hiukkasen massan kasvattaminen tilavuutta pienentämällä lisää hiukkasen
suhteellista nopeutta.
Suuri säilymislaki voidaan lausua mikrokosmosta varten: Hiukkasen liikkeen suuntaisen
pituuden pienentäminen pienentää vastaavasti hiukkasen absoluuttisen nopeuden eli
w² / s² = vakio,
missä s on hiukkasen liikkeensuuntainen pituus ja w on absoluuttinen nopeus. Tämä yhtälö on
toinen invarianssiyhtälö.
Ensimmäisestä ja toisesta invarianssiyhtälöstä saadaan yhdistämällä:
m1² s1² = m² s² = vakio
, eli kappaleen massa muuttuu edellä kuvatulla tavalla liikkeen suuntaisen pituuden mukana.
Toisesta invarianssiyhtälöstä saadaan matkalle:
w² / s1² = c² / s² , josta saadaan edelleen kun v² = c² - w²
s1 =
s √ 1 - v² / c²
47
Kappaleen liike-energian geometria
Kuten edellä osoitettiin massa ja avaruuden supistuminen ovat ekvivalentteja. Saimme massan
paikallisuudelle lausekkeen:
m1 =
m
√1- v² /c²
Tästä lauseesta saadaan binomiteoreeman avulla likimääräisesti:
m1 = m + 1/2 m (v / c) ² . Jälkimmäinen termi kuvaa kappaleen massaksi keräytynyttä liikeenergiaa. Mitä tämä kummallinen lauseke tarkoittaa geometrisesti?
Otetaan kuutiollinen kappaletta ympäröivää 3D-avaruutta ja annetaan sen supistua kappaleen
liikkeen suunnassa luonteenomaiseen muotoonsa. Tarkastellaan kuutiota 3D-pintana A.
d
Liikesuunta
A=m
c
Vm
v2
A1 = m1
4.D
c2
Vv
Kaaviokuva.
Lepomassa m supistaa 3D-pintaa A. Kappaleen kiihtyessä suhteelliseen nopeuteen
v pinta A supistuu pinnaksi A1 ja m1> m.
Suppeneva tilavuus Vm muodostaa kappaleen lepomassan osuuden kokonaisenergiasta. Kuution sisään jäävä muu tila
Vv vastaa kappaleen liike-energiaa. Siten
kuutio edustaa kappaleen kokonaisenergiaa E = mc ². Kappaleen pituus d supistuu lähes lineaarisesti liikesuunnassa pienillä nopeuksilla v. Kun kappaleen nopeus
v on kasvanut lähes arvoon c, liikeenergian tilavuus Vv on noin puolet kokonaisenergiasta.
Geometrian mukaan nopeuden v kasvaessa energian muutoksesta puolet muuttuu liike-energiaksi eli kun dE = mv ² , saadaan liike-energiaksi dEv = 1/2 m v ².
Kuvasta saadaan liike-energian tilavuudeksi Vv = 1/2 mc ² * (v / c) ² ja edelleen
E = Vm + Vv = mc ² + 1/2 mv ², missä m on lepomassa nopeudella v = 0 ja massan paikallisuutta ei huomioida, kun v on pieni. Voimme siis todeta, että absoluuttisessa avaruudessa
kappaleen liike-energia ja inertia syntyvät avaruuden geometriasta.
Suuremmilla nopeuksilla 3D-avaruus alkaa ilmeisesti supistua myös kohtisuorasti liikesuuntaa
vastaan ja liike-energian kasvu suhteessa nopeuden neliöön ei ole enää lineaarinen.
48
Absoluuttisen avaruuden perussuureet
Ajan mittayksiköksi "sekunniksi" voidaan valita esim. N kappaletta tietyn stabiilin sähkömagneettisen värähtelijän jaksoja. Silloin valon nopeus c voidaan ilmoittaa valon kulkemana matkana d yhtä sekuntia tai N:ää jaksoa kohti. D-teorian mukaan valo on "jälki" absoluuttisessa
lepokoordinaatistossa, jonka halki havaitsija liikkuu absoluuttisessa liikkeessä ja silloin N jaksoa muodostavat avaruudessa matkan S. Aika voidaan ilmoittaa matkana S. Valon absoluuttinen nopeus voidaan nyt ilmoittaa itsensä avulla siten, että valon sekunnissa kulkema matka d
jaetaan aikaa edustavalla matkalla S ja tulokseksi saadaan suhdeluku d/S = 1.
Havaitsemattomuuslain mukaan kappaleen asemaa 4.D:n suunnassa ei voida mitenkään havaita, joten valon nopeus c joudutaan aina lopulta ilmoittamaan itsensä avulla ja se on 3D-avaruuden havaitsijalle suhdeluku.
Edellä on jo määritelty 3 kaikkea liikettä hallitsevaa invarianssiyhtälöä:
m² * w² = vakio,
t² * w² = vakio ja w² / s² = vakio
, missä w on absoluuttinen nopeus, joka voidaan korvata valon nopeudella c. Näissä esiintyvät
perussuureet massa, aika ja pituus ovat osoittautuneet paikallisiksi 4.D:n suunnassa eli 3Davaruudessa nähtynä suhteellisiksi. Ne ovat suhteellisia samassa mielessä kuin kaikki liike on
suhteellista. Havaitsemattomuuslain mukaan näille suureille ei ole mahdollista antaa absoluuttista mittayksikköä kuten ei valon nopeudellekaan. Siten 3D-avaruudessa on määriteltävä näille kolmelle suureelle mittanormaalit havaitsijan inertiaalikoordinaatistossa. Niiden ja mitatun
valon nopeuden c avulla voidaan sitten esittää kaikki muut fysiikan suureet.
Kun kappaleen absoluuttinen nopeus voidaan nähdä suhdelukuna 1 kaikilla korkeuksilla 4.D:n
suunnassa, voidaan samanlaisina suhdelukuina ilmoittaa näin määritellyssä avaruudessa myös
kappaleen massa, kappaleen ajan kuluminen ja liikkeen suuntainen pituus.
Eli kun invarianssiyhtälöihin sijoitetaan nopeudeksi w = 1, saadaan:
m² = vakio, t² = vakio ja 1 / s² = vakio.
Kun fysiikan kaikki suureet voidaan johtaa suureisiin massa, aika ja pituus, saadaan loogisesti
kaikille koordinaatistoille:
Ekvivalenssiperiaate:
Luonnonlakien on oltava samat kaikissa tasaisesti liikkuvissa koordinaatistoissa.
Invariansseja ja perussuureita on kolme, koska sulkeutuneita ulottuvuuksia on kolme. N-ulotteisessa avaruudessa on mahdollista havaita N-1 ulottuvuutta. Uusin ulottuvuus on aina avoin.
49
Einsteinin väitteet eetteriä vastaan
Albert Einstein on kirjassaan "Fysiikan kehitys" esittänyt
kaksi väitettä eetterin olemassaoloa vastaan. Eetterin tilalle
hän esittää kenttää, joka olisi oma substanssinsa. (Substanssilla tarkoitetaan asiaa tai peruskäsitettä, jota ei voi tai
tarvitse selittää muilla käsitteillä.)
Väite 1. Eetteriä ei voi olla olemassa, koska
väliaine aiheuttaisi kitkaa eikä sellaista ole
havaittu.
Väite 2. Jos eetteri ei vaikuta aineen
liikkumiseen, ei voi olla mitään vuorovaikutusta
eetterin ja ainehiukkasten välillä.
Avaruushila eli eetteri ei ole atomeista koostuvaa ainetta. Se koostuu elektroneista ja
positroneista. Kitka syntyy atomien ja molekyylien välille. Avaruushila ei aiheuta kitkaa.
Hila on neljännen ulottuvuuden suuntainen
ja kappale liikkuu hilan suuntaisesti ainoastaan kiihtyvässä liikkeessä, jolloin varattu
kappale emittoi energiaa hilaan. Hilan nopeudeksi kappaleiden suhteen mitataan
aina sama valonnopeus kaikissa suunnissa
(Michelson-Morleyn koe).
Vuorovaikutusta voi olla vain kappaleilla ja hiukkasilla, jotka sisältävät neljännen ulottuvuuden
suuntaisia hiukkasia, elektroneja tai positroneja.
Vuorovaikutus synnyttää mm. sähkö- ja magneettikentän sekä sähkömag-neettisen aallon.
Tämä kaikki edellyttää, että hiukkaset (kvarkit)
jaetaan ulottuvuuksien suuntaisesti samoin niiden aiheuttamat voimat. Neljäs ulottuvuus poikkeaa muista. Se ja hila synnyttävät yhdessä
kaikki sähköiset ilmiöt.
Lopuksi Einstein vielä lisää: " Olisiko näin ollen eetterin ja aineen välillä mahdollisesti olemassa
vuorovaikutusta vain optisissa, mutta ei mekaanisissa tapahtumissa?! Se olisi kuitenkin jo varsin paradoksaalinen johtopäätös! "
D-teoria osoittaa, että vuorovaikutus on juuri optista eli sähkömagneettista ja lisäksi, että sähkömagneettiset tapahtumat ovat luonteeltaan mekaanisia. Niillä on avaruudessa oma suuntansa
erotuksena Einsteinin tarkoittamista muista mekaanisista tapahtumista.
Einsteinin väitteet ovat vakavasti horjuttaneet eetteri-käsitteen kehittämistä. Ne ovat johtaneet
mm. siihen, että Paul Diracin luomaa "Diracin-kenttää" eli "reikäteoriaa" ei ole otettu fysikaalisena tosiasiana.
50
Lisää symmetrioita
Havaitsemattomuuslain mukaan avaruuden sädettä 4.D ei ole mahdollista mitenkään havaita.
Olemme käsitelleet asiaa teoreettisesti ja ajatelleet, että 4.D:n suunnassa on olemassa suunnat
ylös ja alas. Emme kuitenkaan voi tietää missä suunnassa on 3D-pinnan ylä- tai alapuoli. Sekä
ylä- että alapuoli ovat neliöllisen avaruuden havaitsijalle symmetriset.
Kun tarkastelemme asiaa joko positiivisen tai negatiivisen hiukkasen kannalta, tilanne muuttuu.
Hiukkasten etumerkki määrää, kumpi 3D-pinnan puoli on ylä- ja alapuoli. Kun vielä huomioidaan, että avaruudessa vastakkaisiin suuntiin valon nopeudella kiertävien hilajonojen koordinaatistot ovat kiertyneet toistensa suhteen 180º, saadaan periaatteellinen kuva atomin symmetriasta.
Neliöllinen avaruus voidaan "avata" matemaattisesti ottamalla siitä neliöjuuri, jolloin saadaan
positiivinen ja negatiivinen avaruus, kuten seuraavassa esitetään.
4.D
Käänteisavaruus
Avaruus jaetaan normaaliavaruuteen sekä käänteisavaruuteen kuvan esittämällä tavalla. Käänteisavaruudessa
3D-avaruus absoluuttiset nopeudet w korvataan nopeudella 1/w.
c2
0
Neliöllisessä avaruudessa perushiukkasten polarisoitumista positiivisiksi ja negatiivisiksi hiukkasiksi ei voida havaita kuin epäsuorasti niiden spinistä.
Havaitsija voi teoreettisesti päätellä avaruushilan, joka
koostuu positiivisten ja negatiivisisten hiukkasten jonoista.
Jonot ovat limittyneet hilarakenteeksi ja sijaitsevat fyysisesti vierekkäin.
Normaaliavaruus
Avaruus voidaan "avata" matemaattisesti siten, että hiukkasten etumerkit erottuvat. Hiukkaset ovat joko positiivisia
tai negatiivisia riippuen siitä, sijaitsevatko ne kuorella vai
antikuorella. 3D-pinta muodostaa avatulle avaruudelle
symmetria-akselin, jonka molemmin puolin on joko käänteisavaruus (kuvassa), jota käsitellään seuraavaksi tarkemmin, tai normaaliavaruus.
+4.D
c
3D-avaruus
Käänteisavaruudessa rakentuu atomimalli, jossa osa
hiukkasista liikkuu kuorella, osa antikuorella. Symmetrinen malli selittää Paulin kieltosäännön elektronien
kvanttiradoille.
+4.D
Käänteisavaruudet avattuna positiiviseksi ja
negatiiviseksi avaruudeksi.
51
Atomin komponentit käänteisavaruudessa
Edellä esitellyistä komponenteista, protoneista , neutroneista ja elektroneista muodostuu solumaisessa käänteisavaruudessa kokonaisuus nimeltään atomi. Yksinkertaisin atomi on yhden
protonin ja yhden elektronin muodostama vetyatomi. Atomissa 3D-pinnalla sijaitseva protoni
sitoo hilajonojen avulla elektronin itseensä. Elektroni liikkuu enimmäkseen kuoren etäisyydellä
protonista 4.D:n suunnassa. Se ei kierrä ydintä vaan liikkuu ytimen mukana 3D-pinnan suuntaisesti. Elektroni on 3D-pinnalta katsoen potentiaalikuopassa ja siitä havaitaan avaruusmallin
mukainen projektio ytimen ympärillä.
Tarkastellaan seuraavaksi atomin rakennetta avaruusmalliin perustuen ja tarkastellaan samalla
lähemmin elektonin spiniä ja johdetaan elektronin massa.
Kuvassa on avatussa käänteisavaruudessa esitettynä kaavio atomin positiivisesta ja negatiivisesta puolikkaasta kuorella ja sen antikuorella. Puolikkaat ovat 3D-avaruuden suhteen symmetrisiä. Atomin ytimessä on yhteensä 4 protonia, 4 neutronia, (neutroneita ei ole piirretty kuvaan,)
ja hilassa 3D-pinnan ulkopuolella kulkee 4 elektronia. Kuvassa positiiviset hiukkaset ovat vihreitä ja negatiiviset ovat punaisia. Hiukkasen spinin etumerkki määräytyy kuoren mukaan. Kuorella
etumerkki on positiivinen ja antikuorella negatiivinen. Puoliskojen 3D-koordinaatistot ovat kiertyneet toisiinsa nähden 180º.
Käänteisavaruus
e-
Kuori
e+
Käänteisavaruus
e-
Antikuori
e+
Hilajonot liikkuvat protonien ja neutronien muodostaman ytimen ohi oikealle ja vasemmalle.
Kuvan elektronit e- liikkuvat hilassa ytimen mukana omilla kuorillaan ja samalla nopeudella ytimen kanssa. Protonien 4D-komponentit ja
elektronit e- liikkuvat kuorillaan 4-vaiheisesti.
Kuvassa positiivisen protonin yläpuolella oleva
negatiivinen elektroni tuntee hilan pyrkimyksen
yhdistää erimerkkiset hiukkaset 4.D:n suunnassa ja pudottaa elektroni mahdollisimman lähelle
3D-pintaa. Lisäksi 3D-avaruuden suunnassa
ytimen sähkökenttä pitää elektronin e- ytimen
kohdalla.
Atomin puoliskot kuorella ja antikuorella ovat
symmetriset. Hiukkasten spinit ovat vastakkaiset.
Myös elektronit e- polarisoivat hilaa, joten atomi on
sähköisesti neutraali.
Olemme määritelleet ytimessä olevan protonin sähköisesti positiiviseksi ja kuorella olevan elektronin sähköisesti negatiiviseksi. Atomi on silloin polarisoitunut sähköisesti.
52
Nelikantainen atomimalli
Tarkastellaan nelikantaisessa avaruudessa atomia, jonka elektronikuoret ovat täyttyneet. Tarkastellaan aluksi avatussa käänteisavaruudessa vain atomin ylempää eli positiivista puolikasta.
Kuva esittää vetyä paljon raskaamman atomin puolikkaan täysiä elektonikuoria, joilla kaikilla
elektronien spinit ovat saman suuntaiset.
4.D
Atomin profiili avatussa 4kantaisessa käänteisavaruudessa
f
d
N
+4.D
p
s
d
p
M
3D-pinta
s
n=1
p L
s
s K
+4.D
Kun atomin puolikkaan elektronien pinoa katsotaan alhaalta 4.D:n suunnasta ja kuoret ajatellaan 3D-avaruuden suuntaisiksi tasoiksi, saadaan kuorilla olevat elektronit jaetuksi tasoille
kehiksi kuvan mukaan. Jokainen kuori vastaa yhtä tasoa eli 3D-avaruuden suuntaista pintaa.
Pinnat sijaitsevat 3D-avaruuden ulkopuolella.
Ydin sijaitsee 3D-pinnalla ja jokaista elektronia kohti ytimessä on yksi protoni. Ytimen puolikkaassa protonit sijaitsevat vastaavalla tavalla eri 3D-pinnan kuorilla. Kuoret ovat 3Davaruuden sisäkkäisiä palloja. Kuorilla protonien määrä kasvaa pallon säteen mukana
1,4,9,16,25... Määrät kertovat solumaisen avaruuden puolikkaan rakenteesta.
Atomin negatiivinen puolikas sijaitsee nelikantaisessa avaruudessa samankeskisten nurin
käännettyjen pallojen pinnalla eikä sitä voi erottaa positiivisesta puoliskosta muusta kuin
spinien etumerkistä. Mallissa sivukvanttilukujen mekaaninen rakenne tulee esiin.
Sivukvanttiluku kuvaa elektronin etäisyyttä atomin 4.D:n suuntaiselta pystyakselilta 3Davaruuden suunnassa. Sivukvanttilukuja l = 0,1,2 on merkitty kirjaimilla s,p,d,f.
Pääkvanttiluku n kuvaa etäisyyttä 4.D:n suunnassa.
Tiedetään, että kiihtyvässä liikkeessä oleva eli 4.D:n suuntaisesti liikkuva sähkövaraus
synnyttää sähkömagneettista säteilyä. Elektronit ovat atomissa 4.D:n suunnassa paikoillaan
ja 3D-pinnan ulkopuolella, joten atomin elektronit eivät synnytä sähkömagneettista säteilyä.
Säteilyn absorptio tai emissio voi syntyä vain, jos atomin elektroni liikkuu 4.D:n suunnassa.
53
Edellä on jo määritelty atomin elektronien kolme kvanttilukua. Ne ovat spin, pääkvanttiluku ja
sivukvanttiluku. Ne kaikki määrittävät elektronin paikan nelikantaisessa atomissa. Spinin etumerkki määrää atomin puoliskon, pääkvanttiluku määrää elektronin etäisyyden 3D-pinnasta ja
sivukvanttiluku määrää etäisyyden atomin pystyakselista ja samalla elektronien kehän säteen
pystyakselin ympärillä. Kehä on solurakenteinen ja koostuu yksiulotteisista soluista.
Kun nämä kaikki on määrätty, jää vielä jäljelle elektronin paikka atomin pystyakselia ympäröivällä kehällä. Paikat ovat keskenään kaikki samanarvoisia pystyakselin suhteen, mutta niillä on
jokaisella oma 3D-avaruuden suuntansa atomin keskipisteen suhteen. Kun valitaan jokin 3Davaruuden suunta z atomin ytimen ympäriltä, paikat eivät ole samanarvoisia tämän suunnan
suhteen. Lisäksi suunnat ovat kvantittuneet. Elektronin paikkaa kehällä jonkin suunnan z suhteen kuvataan magneettisella kvanttiluvulla m.
Kehällä olevien elektronien lukumäärä on 2l +1, missä l on kehän määrittelevä sivukvanttiluku.
Magneettinen kvanttiluku m saa yhtä monta arvoa kuin kehällä on elektroneja. Se saa arvot
m = 0, ±1, ±2, ±3, ... jne sivukvanttilukuun ± l saakka.
Paulin kieltosäännön mukaan atomin kahden elektronin kvanttiluvut eivät voi olla samat. Kun
kvanttiluvut määrittävät elektronin paikan nelikantaisessa atomissa, sääntö varsinaisesti ilmaisee, että kaksi elektronia ei voi samaan aikaan olla samassa paikassa absoluuttisessa avaruudessa. Elektronin paikka tarkoittaa tässä yhteydessä 4.D:n suuntaisen elektronin todellista paikkaa eikä elektronin projektion paikkaa 3D-pinnalla. Samoin kvanttifysiikassa käytetty hiukkasen
tilakäsite voidaan ymmärtää hiukkasen paikaksi nelikantaisessa solurakenteisessa avaruudessa. Hiukkanen siirtyy tilasta toiseen eli solurakenteisen avaruuden solusta toiseen.
Atomin pystyakeli
m=1
m=2
m=0
m = -1
Kun N = 3 ja l = 2, on pystyakselia ympäröivällä atomin kehällä 2l + 1 = 5 elektronia.
Niiden magneettiset kvanttiluvut saavat arvot
m = 0, ±1, ±2 eli yhteensä 5 eri arvoa. Kvanttiluku m määrää elektronien paikat kehällä,
kun suunta z on valittu 3D-pinnalla.
m = -2
z
3D-pinta
Voidaan siis todeta, että kaikki atomin elektronien kvanttiluvut voidaan kuvata geometrisesti
nelikantaisessa atomimallissa. Kukin kvanttiluku liittyy yksikäsitteisesti elektronin paikkaan.
54
Atomin elektronien liikemäärämomentti
Atomilla on kahden yksikkösolun paksuinen pystyakseli 4.D:n suunnassa. Pystyakseli sijaitsee
3D-avaruudessa nähtynä pallomaisen atomin keskipisteessä. Atomin elektronit ovat ryhmittyneet symmetrisesti pystyakselille ja sen ympärille. Atomin kiertomomentti riippuu siitä, kuinka
sen elektronit ovat ryhmittyneet. Jokaisella elektronilla on oma liikemäärämomenttinsa ja atomin
kiertomomentti on niiden summa.
Pystyakselilla, joka on 3D-avaruudessa nähtynä atomin keskipisteessä, ei ole liikemäärämomenttia. Kaikki sivukvanttilukua ℓ = 0 edustavat elektronin sijaintipaikat saavat liikemäärämomentiksi L = 0.
r
d
s
Pystyakseli
L
L
ℓ = 0 ℓ =1 ℓ =2
s
p
d
n=3
n=2
n=1
r
Liikemäärämomentin L suunta on
hilajonojen suunta ja dimensio on [Js]
Ydin
Kaaviokuva. Atomin molempien puolikkaiden pää- ja
sivukvanttiluvut pystyakselin suhteen
Solumaisessa neliöllisessä avaruudessa etäisyys r kirjoitetaan (D-teoria, osa l )
r 2 = ds
eli
r = √ ds = √ s (s+1)
, missä d ja s ovat matkaa merkitseviä kokonaislukuja ja d = s +1.
Liikemäärämomentti pystyakselin suhteen lasketaan etäisyyden ja yhteen kuoreen liittyvän vaikutuskvantin ħ tulona. (Vaikutuskvantista lisää myöhemmin D-teoriassa.) Elektronin etäisyys
pystyakselista ilmaistaan kuorien lukumääränä. Kun atomissa sivukvanttiluku ℓ merkitsee etäisyyttä pystyakselista, saadaan liikemäärämomentin itseisarvoksi
L = r ħ = √ ds ħ = √ ℓ (ℓ +1) ħ
, missä ℓ on sivukvanttiluku ja ℓ = 0,1,2,3...(n-1). Liikemäärämomentti lähestyy de Broglien atomimallin tuottamaa liikemäärämomenttia
L = mvr = n ħ , kun sivukvanttiluku ℓ on suuri. Tässä ħ = h / 2.
55
Magneettinen kvanttiluku m määrää liikemäärämomentin suunnan z kvantittumisen. Liikemäärämomentin komponentille Lz saadaan
Lz = m h, missä m = ℓ, ℓ -1, ℓ -2, ... 0,... - ℓ
Lz = 2 ħ
Lz = ħ
Lz = 0
Lz = -2 ħ
Lz = - ħ
z
Atomin elektronin liikemäärämomenttia kuvaava vektori on kvantittunut
suunnan z suhteen. Kuvassa N = 3 ja ℓ = 2.
Elektronin laskennallinen projektio 3D-pinnalla, kun ℓ = 4 ja m = 1.
56
Hilan potentiaalit
Hilan sisäinen voima Fi pyrkii pitämään hilan homogeenisena kaikissa avaruuden suunnissa.
Homogeenisessa hilassa Fi on kaikkialla vakio ja hilan potentiaali on nolla. Kun hilaan tuodaan
esimerkiksi ylimäärä sähköisesti positiivisia hiukkasia eli positiivinen varaus, syntyy hilaan potentiaali. Potentiaali voidaan jakaa kahteen komponenttiin:
Pystypotentiaali on 4.D:n suuntainen komponentti ja se aiheuttaa
mm. magnettikentän.
4.D
+q 3Davaruus
V
r
Vaakapotentiaali on kaikkien isotrooppisten 3D-avaruuden suuntien suuntainen komponentti ja se aiheuttaa sähkökentän.
Sähkömagneettinen kenttä tarkoittaa kenttää, joka on pysty- ja
vaakapotentiaalien synnyttämien voimakenttien summa. Varauksen vaaka- ja pystypotentiaalit vaimenevat 3D-avaruudessa
samalla tavalla. Vaakapotentiaali ei aiheuta hilaan virtaa potentiaalin suunnassa.
Hilaan syntyy varauksen kohdalle vaakapotentiaali, jonka suuruus riippuu varauksen suuruudesta.
V = - k q / r , missä q on varaus ja r on etäisyys varauksesta
3D-avaruudessa. Skaalauskerroin k on vakio.
Määritellään sähkökenttä E siten, että sähkökenttä on hilan vaakapotentiaalin derivaatta etäisyydellä r kaikkiin 3D-avaruuden suuntiin varauksesta q.
E = q / ( 4 r ²  ), missä  = 8.85 10 (exp -12) [F/m] on sähkövakio.
Varaukset ovat siten potentialin ja sähkökentän lähteitä (Maxwellin 1. laki).
Potentiaalien syntymistä hilassa on kuvattu yksityiskohtaisemmin D-teorian osassa 2.
Hilan vaakapotentiaalia sähkökentässä varauksen ympärillä kuvaa sähkövuo  suljetun
pinnan S läpi:
=
 E dS = q / .
Sähkövarausten Q1 ja Q2 välinen voima syntyy hilan pyrkimyksestä homogeeniseksi. Hila vetää erilleen samanmerkkisiä varauksia ja pyrkii yhdistämään erimerkkisiä varauksia. Voiman
suuruus riippuu varausten synnyttämien potentiaalien suuruudesta ja välimatkasta. Voima on
potentiaalin derivaatta etäisyyden suhteen.
F = q dV / dx eli F = Q1 Q2 / ( 4 r ²  )
( Coulombin laki )
57
c
Hilajono voi siirtyä kuvan osoittamalla tavalla muuttuvassa
voimakentässä hilavirtana ja samalla polarisoida hilan eli
eetterin. Hilavirran seurauksena kumuloituu hilavaraus Qi.
Hilavarauksella on potentiaali V, jonka projektio 3D-pinnalla on magneettikenttä. Hilavaraus Qi on yhtä suuri kuin
sen synnyttävä varaus q 3D-pinnalla. Qi:n potentiaali V
havaitaan kokonaisuudessaan vasta, kun havaitsijan nopeus varauksen q suhteen on c.
V
+q
M
Vektorit M eivät lävistä 3D-pintaa,
joten pinnalla

M ·dS
Hila polarisoituu 4.D:n suunnassa. Kumuloituvan varauksen suuruus lasketaan 3D-pinnalta poispäin ja sen suuruuden on oltava sama kuin varaus +q eli Qi = +q. Silloin hilan
pyrkimys homogeeniseksi on toteutunut.
Saadaan Qi = q v/c , missä v on potentiaalin aiheuttajan
suhteellinen nopeus 3D-avaruuden pisteen suhteen ja on
verrannollinen etäisyyteen 3D-pinnasta. Nähdään, että nopeudella v = c hilavaraus Qi = q ja nopeudella v = 0
Qi = 0.
=0
Pystypotentiaalin synnyttämä kumuloitunut hilavaraus Qi aiheuttaa hilaan voimakentän eli pystykentän M. Hilavirran kumuloitumisen vuoksi pystykenttä on sitä suurempi, mitä kauempana
kentän piste on varauksesta 4.D:n eli hilan suunnassa. Tarkastellaan kahden varauksen +q ja
+q välistä voimaa kentässä M, kun molemmat synnyttävät hilavarauksen Qi. Voima on samaa
muotoa kuin sähkökentän voima ( Coulombin laki ) :
Fm = Qi ² / ( 4 r ² ) = q ² v ² / (c ²  4 r ² ). Kun valitaan µ = 1 /  c ² , saadaan
Fm = µ q ² v ² / 4 r ², missä µ on magneettinen permeabiliteetti.
Määritellään nyt voiman Fm perusteella kenttä M yhdelle varaukselle +q siten, että M on
varauksen +q synnyttämän hilavarauksen Qi voimakenttä
M = µ q v / 4 r ²
ja nyt Fm = qv M
Hila pyrkii homogeeniseksi myös 4.D:n suunnassa. On huomattava, että kenttä M ei ole pystypotentiaalin suoraan aiheuttama kenttä, vaan potentiaalin synnyttämästä hilavirrasta kumuloituneen hilavarauksen aiheuttama voimakenttä. Kentän M voi huomata vain toinen varaus, jonka potentiaali synnyttää avaruuteen hilavirran ja vastaavan voimakentän. Kentällä M on lähde
ja se on pyörteetön. Kenttää M kutsutaankin tästä eteenpäin nimellä hilavarauksen pystykenttä.
Magneettikentäksi kutsutaan 3D-avaruuden kenttää B, joka on lähteetön ja pyörteinen. Pyörteisyys ja lähteettömyys tekevät siitä "pseudokentän". Kenttä B on "kenttä", jonka suuntaisesti
kaikki magneettiset dipolit magneettikentässä kääntyvät. Magneettikenttä B onkin voimakentän
M projektio 3D-pinnalla. Projektiolla on oltava keskinormaali. Se on sähkövirta ja sen suunta.
58
Kentälle B saadaan:
B = µ qv u / 4  r 2 , missä u on tulon v x r suuntainen yksikkövektori.
Hilavarauksen Qi derivaatta Id eli hilavirta havaitaan samoin 3D-avaruudessa pyörteisenä ja
lähtettömänä sähkömotorisena voimana , kuten myöhemmin osoitetaan. Johtopäätös: Hilan
suuntaisten voimakentän M ja hilavirran Id projektiot 3D-avaruudessa ovat pyörteisiä ja lähteettömiä.
Amperèn laki
Tarkastellaan nopeudella v liikkuvan pistemäisen varauksen +q synnyttämää hilavirtaaa pinnalla dS.
dS
+q
v

 = q dS . Virranjakauma J = (r) v(r,t) = q/2 dr
2 S
r
dt
r
V
Id
Varauksen pystypotentiaali q/r pinnalla dS synnyttää hilavirran
Id, joka kumuloituu hilavaraukseksi Qi. Pinta dS on varausta
ympäröivällä puolipallolla S ja vuo sen läpi on
Qi
Sähkövuon  muuttuessa saadaan ns siirtymävirta i:
i = q/2 dr dS = qv dS =  d / dt = Id
r dt S
2r S
Magneettikentälle B pinnan dS kehällä saadaan, kun  = 90 astetta
M = µ i sin  / 2  r = µ q v / (4  r 2 ) .
Voidaan kirjoittaa

B ·dl = µ  d /dt, missä B on magneettivuon tiheys.
Syntyy magneettikenttä sähkövuon muutoksesta d /dt. Pinnan dS läpi ei kulje sähkövirtaa.
Staattisessa tilanteessa vakiomäärä varauksenkuljettajia kulkee pinnan dS läpi ja pinnan dS
lävistävä sähkövuo  = 0. Vakiovirta i vastaa kumuloitunutta hilavarausta Qi = q v/c. Hilavaraus Qi on staattisessa tilanteessa vakio ja myös magneettikenttä B on vakio, joten magneettikentälle voidaan kirjoittaa

B ·dl = µ i , missä i = vakiovirta. Siten siitymävirran ja vakiovirran summana saadan

B ·dl = µ ( i +  d /dt). Tämä on Ampere'n laki.
Yleistäen voidaan sanoa, että siellä missä sähkövuo muuttuu, syntyy hilavirta ja on olemassa
magneettikenttä. Kun d /dt = vakio, niin magneettikenttä on vakio.
Johtimen katkaisevassa kondensaattorissa on levyjen välissä imaginäärisen hilavirran Id
synnyttämä magneettikenttä, vaikka siellä virta i = 0. Magneettikenttää pitävät yllä levyille
nopeudella v saapuvat varaukset q, jotka pitävät yllä hilavarausta Qi = q v/c.
59
Magneettisen voiman suunta
Tarkastellaan pistemäistä varausta kolmikantaisessa koordinaatistossa 1.D, 2.D ja 4.D. Koordinaatistosta on poistettu suunta 3.D. Hilassa nopeudella v liikkuva varaus +q luo ympärilleen
potentiaalin. Pystypotentiaali synnyttää hilavirran kautta hilavarauksen ja pystykentän M.
Varaus -q on kuvassa paikoillaan eli sen nopeus +q:n suhteen on u= -v ja etäisyys kuvataan
paikkavektorilla r.
Kenttä M on aina 4.D:n suuntainen riippumatta vektoreista v ja r. Määritellään 3D-avaruuteen
pyörteinen ja lähteetön pseudovektori
B=vxr qµ/4r²,
joka on kentän M projektio 3D-avaruudesa. Kentän M suuntainen voima merkitsee varaukselle
-q kiihtyvyyttä, joka määritellään pseudovektorin B avulla.
F = -q u x B = q v x B = q v x (v x r q µ / 4  r ² )
(B)
1.D
M
4.D (3.D)
-q
F
v
u
r
F
2.D
v
+q
2.D
v2
-q
r
+q
1.D
Matka kentän M suunnassa merkitsee absoluuttisen nopeuden neliön muutosta eli kiihtyvyyttä
3D-avaruudessa. Voimakentällä M on 3D-avaruudessa kohtisuora projektio, joka määrää varatun kappaleen kiihtyvyyden suunnan. (Vuovektorin projektio ja sen keskinormaali on määritelty
D-teorian osassa l.)
Kun kentän M projektio syntyy vektoreista v ja r siten, että v  M ja r  M, ei M:n projektiolle
jää muuta suuntaa 3D-avaruudessa kuin pseudovektorin B suunta v x r. Silloin avaruuden paikassa r suuntaan v liikkuvaan varaukseen kohdistuu magneettinen voima suuntaan
f = v x B = v x (v x r). Havaitsemattomuuslain mukaan suunta M ei voi olla mukana f:n lausekkeessa, vaan tarvitaan projektio B. Saman lain mukaan kentän M projektion B on oltava
lähteetön ja pyörteinen, sillä muuten 4.D:n suunta havaittaisiin.
Voimakentän M projektio 3D-avaruudessa on magneettikenttä B. Vektori v sijaitsee projektion
keskinormaalilla.
Projektion määrittelyn mukaan kenttällä M on oltava keskinormaali 3D-avaruudessa eli tässä
tapauksessa nopeusvektori v. Kentän M projektio on havaittavissa 3D-avaruudessa vain, jos
havaitsija liikkuu sen aiheuttajan suhteen eli siirtyy 4.D:n suunnassa hilavarauksen Qi alueelle.
60
Hilan dynaamiset ominaisuudet
Tarkastellaan homogeenista hilaa synnyttämällä siihen positiivisen varauksen avulla hilavirta.
Varaus ei tuo hilaan lisää hiukkasia vaan ainoastaan polarisoivan voiman. Hila pyrkii hilavirran
avulla homogeeniseksi.
Positiivisen varauksen luomassa 4.D:n suuntaisessa hilavirrassa negatiivisten hiukkasten jonossa hiukkaset liikkuvat positiivista varausta kohti. Positiivisten hiukkasten jonossa hiukkaset
liikkuvat päivastaiseen suuntaan. Hilavirran seurauksena hilaan muodostuu sisäinen hilavaraus
ja hila polarisoituu.
Hilavirta syntyy aina, kun hilan potentiaali muuttuu. Edellä on tarkasteltu hilassa paikoillaan
olevaa muuttuvaa potentiaalia. Kun potentiaalin aiheuttava varaus liikkuu kohtisuoraan hilaa
vastaan jollakin absoluuttisella nopeudella, syntyy avaruuden pisteeseen potentiaalin muutos ja
hilavirta. Tarkastellaaan avaruudessa liikkuvaa pitkää varausta.
V
Nuolet kuvaavat pystypotentiaalia V,
joka kohdistuu hilan positiivisten hiukkasten jonoihin hilan pyrkiessä homogeeniseksi. Kuvassa potentiaali V sijaitsee etäisyydellä v (= suht. nopeus)
varauksesta +q 4.D:n suunnassa.
P
v
+q
Id
Alemmassa kuvassa on varauksen liikkeen synnyttämä positiivisten hiukkasten hilavirta Id ja -Id sekä kumuloitunut
hilavaraus Q etäisyydellä v varauksesta.
-Qi
-Id
Hilan hiukkasjonoihin syntyy kumuloitunut hilavaraus Qi =  Id dt = q v/c , missä v on pisteen
P hilan suuntainen etäisyys varauksesta ja samalla P:n suhteellinen nopeus varauksen suhteen. Hilavaraus on nolla, kun v=0 eli hilan suuntainen etäisyys on nolla. Tämä merkitsee,
että varauksen mukana liikkuva havaitsija ei voi huomata hilavirtaa eikä hilavarausta Qi. Vasta valon nopeudella c liikkuva havaitsija voi havaita hilavarauksen Qi täyden arvon
Qi = q. Sähkökentän ja magneettikentän synnyttämät voimat havaitaan silloin yhtäsuurina:
Fe = Fm =>
q²
4r²
=
q²v²µ
4r²
eli v ² = 1
µ
= c ² ja
Fm = Qi ² = v ²
Fe
q²
c²
Kumuloitunut hilavaraus Qi aiheuttaa voimakentän eli magneettikentän. Voimakenttä on kuvan
pitkän varauksen päiden välillä vakio eli homogeeninen, kun varaus +q ja sen potentiaali eivät
muutu. Varauksen kuljettua ohi purkautuu hilavaraus Qi hilavirran -Id kautta ja magneettikenttä
katoaa. Hila palaa homogeeniseksi eikä siihen jää mitään jälkeä ohituksesta, kun nopeus v on
kohtisuorassa hilaa vastaan eli varaus ei ole kiihtyvässä liikkeessä.
61
Sähkömotorinen voima
Hilavirta Id on hilavarauksen Qi derivaatta ja sen vaihe on aina kohtisuorassa hilavarausta
vastaan
Id = d (Qi) / dt .
Kun hilavaraus kuvataan vuovektorilla Qi, kuvataan hilavirta derivaattavuovektorina Id. Tarkastellaan näiden 4.D:n suuntaisten vektoreiden projektioita 3D-avaruudessa.
Hilavaraus Qi projisoituu pyörteiseksi ja lähteettömäksi magneettikentäksi B. Sen derivaatta
hilavirta Id projisoituu magneettikenttää vastaan kohtisuoraksi sähkömotoriseksi voimaksi .
B (=  Qi)
B (= Qi )
S
smv  (= Id)
Kuvassa magneettivuontiheys B muuttuu pinnalla S ja
pinnalle syntyy pyörteinen smv  eli hilavarauksen Qi
tiheys avaruudessa muuttuu ja syntyy hilavirta Id, joka
projisoituu 3D-avaruuteen kuvan esittämällä tavalla.
Kuvassa sekä Qi että Id ovat projektioita B ja .
Hilavarauksen Qi projektion keskinormaali on sähkövirta,
joka ei näy kuvassa, ja Id:n projektion keskinormaali on
magneettivuontiheys B.
Faradyn lain mekaniikka eetterissä
Faradyn laki kirjoitetaan muotoon:
 E · dl
= - d/dt , missä magneettivuo  =  B · dS.
Magneettivuon  muutos synnyttää pinnalle dS sähkömotorisen voiman  eli sähkökentän E.
 = - d/dt.
Faradyn laki kuvaa muuttuvan hilavarauksen Qi ja hilavirran Id projektioita 3D-avaruudessa!
Hilavirta Id voi tehdä työtä kuten mikä tahansa virta. Sähkövarauksen pystypotentiaali synnyttää
hilavirran ja hilavirta luovuttaa energiaa sähkömotorisen voiman kautta. Kun muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka, generoituu silmukkaan smv ja sähkövirta. Sähkövirta
puolestaan tekee työtä.
Kun hilavirta Id on kumuloitunut hilavaraukseksi Qi, täytyy hilavarauksen sisältää hilavirran tekemä työ. Hilavirran voidaan ajatella tekevän työtä hilan sisäistä voimaa Fi vastaan. Työ projektoituu magneettikentän sisältämäksi energiaksi, joka on luonteeltaan potentiaalienergiaa.
62
Kuten edellä on kiihtyvyyskentän eli gravitaationkentän yhteydessä esitetty, aiheuttaa nopeuden muutos eli kiihdytys kappaleen kallistumisen 4.D:n suuntaan. Kiihtyvyys on verrannollinen
kallistumiskulmaan. Tarkastellaan seuraavassa erikseen havaitsijan kallistumista virrankuljettajien suhteen sekä virrankuljettajien kallistumista havaitsijan suhteen.
Havaitsijalla on pinta dS, joka sijaitsee tasavirran i synnyttämässä magneettikentässä. Avaruudessa on tällöin hilavaraus Qi ja sen pystykenttä M. Pinta dS on kohtisuorassa 4.D:tä vastaan,
kun pinta liikkuu avaruudessa tasaisella nopeudella. Annetaan pinnalle dS kiihtyvyys, jolloin
pinta kallistuu magneettikentässä 4.D:n suuntaan. Kallistumisen yhteydessä pinnalla dS
havaitaan nyt myös hilavirta Id, sillä pinta dS liikkuu hilavarauksen sunnassa eli hilavaraus
Qi = qv/c muuttuu. Hilavirta Id havaitaan vain niin kauan kuin pinta on kallellaan kiihtyvässä
liikkeessä.
4.D
M
dS
Qi
h
+
i
Sähkömotorisen voiman yhteydessä esiintyy aina hilavirta Id,
sillä Qi =  Id dt = q v/c muuttuu pinnan dS nopeuden muuttuessa.
4.D
dS
-
h
Qi
i
Kun kiihtyvyyden suunta lisää pinnan dS ja virran i välistä etäisyyttä dx, on kallistumisen suunta kuten kuvassa eli pinta siirtyy kauemmaksi virrasta 4.D:n suunnassa. Hilavirran Id lisäksi
havaitaan, että pystymagneettikenttä M on kasvanut, koska
4.D:n suuntainen etäisyys h on kasvanut. Tästä seuraa Faradyn laki eli magneettikentän (M:n projektio) muutos näkyy pinnalla pyörteisenä sähkökenttänä eli sähkömotorisena voimana
.
+
3D-avaruus
Koska kiihtyvyys on absoluuttista, tarkastellaan erikseen myös
virran i nopeuden muutosta.
Olkoon virta i suuritaajuinen vaihtovirta, jonka varauksen kuljettajat ovat kiihtyvässä liikkeessä. Sähkövirran mukana kallistuu sen hilavarauksen potentiaali ja etäisyys h muuttuu kuten kuvassa. Pinnalla havaitaan jälleen hilavirta Id. Se näkyy
pinnalla pyörteisenä sähkökenttänä eli sähkömotorisena voimana .
Olkoon johtimen varauksenkuljettajia siirtävä sähkökenttä E = E cos t. Varauksenkuljettajien nopeus on verrannollinen E:hen. Sähkövuontiheys on D =  E =  E cos t, jolloin
D / t = -   E sin t. Derivaatta kuvaa varausten kiihtyvyyttä, kallistumisen määrää ja
havaittua sähkömotorista voimaa.
63
Ei ole merkitystä sillä, onko pinta dS kiihtyvässä liikkeessä vai ovatko magneettikentän synnyttävät varaukset kiihtyvässä liikeessä. Molemmissa tilanteissa havaitaan sähkömotorinen
voima  eli hilavirta Id.
Varauksen potentiaalin tai havaitsijan kallistuminen toistensa suhteen hilassa luovat perustan
sähkömagneettisille ilmiöille. Varauksen kallistuminen luo perustan sähkömagneettisen aaltoliikkeen syntymiselle. Varauksen jatkuva säännöllinen kallistelu havaitaan jatkuvana aaltoliikkeenä.
Hila eli eetteri ei kuitenkaan itsessään aaltoile vaan kallistuva varaus luovuttaa energiaa kallistumista vastustavalle hilalle. Hilan rakenteesta johtuen hilavirta on palautuva vain, jos se on
hilan suuntainen. Poikittaisen hilavirran syntyminen vaatii energiaa, luo hilaan epäjärjestyksen
(entropian) ja on palautumaton. Muutos jää hilaan ja muuttunut hila liikkuu valonnopeudella
varaukseta poispäin absoluuttisessa liikkeessä. Varaus emittoi sähkömagneettista säteilyä.
64
Biot-Savartin laki
Aikaisemmin olemme todenneet, että tarkasteltaessa suhteellista liikettä lepokoordinaatiston
suhteen ainoastaan lepokoordinaatistoa vastaan kohtisuoralla nopeudella on havaitsijalle fysikaalista merkitystä.
Tälle seikalle löydetään kongreettinen merkitys, kun tarkastellaan magneettikentän voimakkuutta pistemäisen liikkuvan varauksen ympärillä. Biot-Savartin laki kuvaa kentän voimakkuutta havaitsijan liikkuessa eri suunnissa. Huomataan, että kentän voimakkuus riippuuu suhteellisen
liikkeen suunnasta.
Biot-Savartin laki:
B
E
v
B
B = u q v sin Ø
4r
+q
r
Ø
2
missä B on magneettikentän
voimakkuus, q on varaus, v on
varauksen nopeus ja u on v x r:n
suuntainen yksikkövektori.
Biot-Savartin laista nähdään, että havaitsijan lähestyessä varausta törmäyssuunnassa ei magneettikenttää havaita. Se on nolla, kun suhteellinen nopeus v on varauksen lepokoordinaatiston
liikkeen suuntainen. Huomataan, että magneettikentän voimakkuus riippuu suhteellisen nopeuden kohtisuorasta komponentista varauksesta lähtevän lepokoordinatiston suhteen. Suurimmillaan magneettikenttä havaitaan, kun liikutaan kohtisuoraan varauksen lepokoordinaatistoa
vastaan. Sähkökenttä sensijaan havaitaan hilan rakenteesta johtuen kaikilla nopeuksilla aina
samanlaisena, kuten aiemmin on jo esitetty.
Entropia ja eetteri
Universumi on syntynyt ulottuvuus kerrallaan ja uusin sulkeutumaton ulottuvuus on aina sisältänyt säännöllisen positiivisesta ja negatiivisesta materiasta koostuvan avaruushilan. Uuden
ulottuvuuden synnyttyä on alkanut uusi aika, joka on päättynyt ulottuvuuden sulkeutumiseen.
Epäjärjestys eli entropia kasvaa ajan mukana. Kun nykyisen Universumin neljäs ulottuvuus
aikanaan sulkeutuu ja uusi 5-ulotteisen avaruuden aika alkaa, tapahtuu havaitsemamme
Universumin entropiassa suuri muutos. Avaruushila on hyvin järjestäytynyt ja sen entropia on
pieni. Uuden ajan alkaessa avaruushila eli eetteri liittyy osaksi nykyistä kolmiulotteista materiaa.
Tällöin entropia saa mahdollisuuden jälleen kasvaa. Ennustettu maailman lämpökuolema ei
olekaan totta. Samankaltainen muutos entropian määrässä on tapahtunut viimeksi, kun 3.Dulottuvuus sulkeutui ja 4.D-ulottuvuus syntyi.
Rengasmaisessa silmukka-avaruudessa ajalla ei ole varsinaista alkupistettä. Ajan voidaan
ajatella alkavan ulottuvuuden syntymisestä ja päättyvän ulottuvuuden sulkeutumiseen. Ajan
päättyessä alkaa uusi aika, jolloin maailmassa on yksi ulottuvuus enemmän.
65
Yhteenveto
Aikoinaan filosofi Platon uskoi säännöllisillä monitahokkailla olevan maailmassa perustavaa laatua oleva merkitys. Lisäksi hän ajatteli luolavertauksessaan, että havaitsemme todellisuudesta
vain projektion eli varjoja luolan seinällä. Toinen paljon myöhemmin elänyt filosofi Baruch de
Spinoza ajatteli, että maailmassa on olemassa vain yksi substanssi eli todellisuuden perusta.
Nämä vanhat ideat ovat saaneet paikan D-teoriassa ja ovat samalla teorian keskeisiä asioita.
Uudella ajalla matematiikan kehitys on tarjonnut mahdollisuuden fysikaalisen maailmankuvan
kehittämiseen. Suhteellisuusteoria ja abstrakti kvanttiteoria ovat tärkeimmät uudet mallit. Albert
Einsteinin kirjoittaa yhteenvedossaan kirjassa "Fysiikan kehitys“:
"Millaista on sitten väliaine, jossa valo etenee? Ennen kuin tämä kysymys on ratkaistu ei ole mitään toivoa siitä, että optiset ilmiöt voidaan selittää mekaanisten ilmiöiden perusteella. Tämän
probleeman ratkaisemiseen liittyvät vaikeudet ovat kuitenkin niin suuria, että meidän täytyy luopua koko yrityksestä ja näin ollen koko mekaanisesta ajatustavasta."
Einsteinin aikana eetteriä yritettiin sijoittaa kolmiulotteiseen tila-avaruuteen ja uskottiin, että väliaine siirtää mekaanisesti aaltoja. Valo todettiin poikittaiseksi aaltoliikkeeksi ja väliaineen määritteleminen kävi vaikeaksi. Otettiin mielummin pakon edessä käyttöön uusi substanssi; kenttä.
D-teorian lähtökohdat ovat toiset. Avaruus ja sen solumainen rakenne ovat kaikissa fysiikan ilmiöissä keskeinen tekijä. Huomataan, että havaitsemamme avaruus syntyykin karkeistamalla absoluutisesta avaruudesta ja on sen emergentti ominaisuus. Einsteinin kritisoima kvanttifysiikan
todennäköisyysaalto voidaan lopultakin korvata hiukkasen projektiolla epälineaarisessa absoluuttisessa avaruudessa ja näin saadaan edistyksellisempi hiukkasmalli. Determinismi palaa fysiikkaan jopa kvantti-ilmiöiden tasolle ja sattuma voidaan unohtaa. Myös Einsteinin kritiikki
kvanttimekaniikan aavemaista kaukovaikutusta kohtaan osoittautuu aiheelliseksi.
Einsteinin Suhteellisuusteoria kiistää absoluuttisen avaruuden. Kuitenkin juuri absoluuttinen avaruus tuottaa Lorentzin muunnosyhtälöt. D-teoria osoittaa monin tavoin, että absoluuttinen liike ja
lepokoordinaatisto ovat teoreettisesti käyttökelpoisia käsitteitä eri ilmiöiden selittämiseksi. Näin
ollen voidaan ennustaa, että D-teoriassa luotu paljon yksinkertaisempi ja selkeämpi absoluuttisen avaruuden malli tulee aikanaan korvaamaan Einstein-Minkowskin aika-avaruusmallin.
Solurakenteinen absoluuttinen avaruus, joka ei ole havaitsijalle lineaarinen, selittää monet
kvanttimekaniikkaan liittyvät tulkintaongelmat. Edellä kuvattiin niistä tarkeimmät; havaitsijan tietoisuuden vaikutus mittaustapahtumaan, aaltofunktion romahtaminen ja ei-lokaalisuus, jota käsitellään kvanttikorrelaation avulla. Nämä kaikki ongelmat saavat selityksensä yhden ja saman
geometrisen avaruusmallin kautta.
Teorian, joka kuvaa fysikaalisen maailman, on kuvattava myös matematiikan perusteet, sillä
matematiikka on maailman abstrakti ominaisuus. Avaruus, maailman perusta, on myös matemaattinen käsite. Avaruuden avulla fysikaalinen teoria antaa merkityksen ja perusteet matematiikalle.
66
D-teoria ei ole vielä tieteellinen teoria. Lukija ei voi olla huomaamatta, että malli on vielä keskeneräinen. Monet solurakenteiset avaruuden ominaisuudet ovat vielä avoimia kysymyksiä. Silti kysymykseen “Mitä kaikki on?” voidaan jo vastata, että vastausta ei ole mahdollista löytää. Kun
maailmaa tarkastellaan sisältäpäin, jää aina yksi abstraktio jäljelle.
Syntynyt malli näyttää toimivalta ja jo pelkästään siitä voi vetää tiettyjä johtopäätöksiä. Ne jätän
lukijan omalle vastuulle.
Pekka Virtanen
67
Lähteet:
W. R. Fuchs:
Fysiikka
B. K. Ridley:
Aika, avaruus ja asiat
Albert Einstein, Leopold Infeld:
Fysiikan kehitys
Richard Feynman:
QED - Valon ja aineen ihmeellinen teoria
R.T. Weidner, R.L. Sells:
Elementary modern physics
H. C. von Baeyer:
Maxwellin Demoni
Jukka Maalampi, Tapani Perko:
Lyhyt modernin fysiikan johdatus
Raimo Lehti:
A. Einstein - Erityisestä ja yleisestä suhteellisuusteoriasta
Malcolm E. Lines
Jättiläisen harteilla
P.C.W. Davies, J.R. Brown
Atomien haamu
Wikipedia
PS. Kaikki maailman ulottuvuudet löytyvät jatsista!
68