Стохастические регрессоры

Рассмотрим модель

y t = a + b x t + e t (1)

Предположение:

y t и x t – стационарные временные ряды, т.е. случайные величины y t имеют одно и то же распределение (аналогично и x t ).

3 случая:

1.

2.

2.

Регрессоры x t и случайные члены e t Cov(x s , e t ) = 0  не коррелируют: s, t = 1, …,n.

Значения регрессоров x t моменты времени.

не коррелированы с e t ( т.е. в данный момент времени), но коррелируют с ошибками в более ранние Пример: y t = a + b 1 x t + b 2 y t-1 + Значения регрессоров x t e t коррелированы с ошибками e t .

Теорема

Пусть x t имеет конечное мат.ожидание и дисперсию. Тогда: оценки параметра b по методу наименьших квадратов являются: • в случае 1 – несмещёнными и состоятельными; • в случае 2 –состоятельными, но смещёнными; • в случае 3 – смещёнными и несостоятельными.

Замечание 1.

Для случая 2 в выборках большого объёма корреляция регрессора со случайным членом стремится к 0 и асимптотически есть несмещённость оценок.

Замечание 2.

Аналогичное утверждение верно и для множественной регрессии.

Причины коррелированности:

а) На случайный член и на регрессоры воздействуют одни и те же факторы; б) Ошибки при измерении регрессоров

Причина а): Вместо модели y x t t = a + b x t + g u t + n t = l + d рассматриваем модель u t + z t y t = a + b x t + e t Пример 1.

В пункте А производится сырьё двух видов. Сырьё перевозится в пункт В, где на заводе производится полуфабрикат, который продаётся на завод по цене x. На заводе изготавливается конечный продукт, который перевозится в пункт С и реализуется по цене y. Цены на сырьё меняются и образуют временные ряды z 1 и z 2 .

Причина б): Пусть мы имеем искажённые, а не истинные значения x Рассматриваем модель x t * = x t + u t y t = b x t + e t = b (x t * - u t ) + e t  Cov(x t * , ( e t – = b x t * b u t )) = b Cov(u t , u t )  + ( 0.

e t – b u t )

Оценивание моделей авторегрессии с распределёнными лагами

Модель: подставим y t y t y t-1 = a + b x t + g y t-1 = a + b x t-1 + g y + t-2 e t + e t-1  (2) в (2) y t = a(1+g) + b x t + bg x t-1  + g 2 y t-2 + e t + g e t –1 = a/(1-g) + b x t + b(g x t + g 2 x t-1 + g 3 x t-2 + … ) + ( e t + g e t –1 + g 2 e t –2 + … )

Вывод:

модель авторегрессии с распределёнными лагами (2) можно свести к модели Койка

Плюс:

устранена коррелированность регрессора с ошибками

Минус:

автокорреляция ошибок имеет сложную структуру

Далее:

применить нелинейный метод наименьших квадратов

1.

2.

3.

4.

Нелинейный метод наименьших квадратов

В множестве возможных значений g последовательность g h выбираем Для каждого g h x t h вычисляем = x t + (g h x t + g h 2 x t-1 + g h 3 x t-2 + … ) МНК оцениваем уравнение y t = a 1 + b x t h + u t Выбираем уравнение с наибольшим R 2 Получаем g , a, b.

Модель адаптивных ожиданий

y t



a

+

b



x t

 + 1 + e

t

где y t – фактическое значение результативного признака, x * t+1 – ожидаемое значение факторного признака.

Предположение: x * t+1 -x * t = a (x t -x * t ) или a – коэффициент ожиданий x * t+1 = a x t +(1 a )x * t

Утверждение.

Док-во: Модель адаптивных ожиданий сводится к модели авторегрессии.

1)

y t



a



a

+

b



x t

 + 1 + a 

b



x t

+ e

t



a

+

b

 ( a 

x t

+ ( 1 a ) 

b



x t

 + e

t

+ ( 1 a ) 

x t

 ) + e

t

 2)

y t

1 

a

+

b



x t

 + e

t

1 ( 1 a ) 

y t

1  ( 1 a ) 

a

+ ( 1 a ) 

b



x t

 + ( 1 a )  e

t

1 3) Вычитаем

y t

( 1 a ) 

y t

1 

a

( 1 a ) 

a

+

a



b



x t

+ e

t

( 1 a )  e

t

1 Или

y t

 a 

a

+ a 

b



x t

+ ( 1 a ) 

y t

1 +

u t

где

u t

 e

t

( 1 a )  e

t

1

Замечание

В полученной модели авторегрессии ADL(0,1) имеется корреляция между лаговой переменной y t-1 и случайным членом u t .

Дальнейший путь решения:

1) сделать обратное преобразование Койка, 2) применить нелинейный МНК

Пример.

Модель гиперинфляции Кейгана Y t = log (M t /P t ) M - номинальное количество денег в обращении, P - уровень цен, M/P - реальные денежные остатки, Y t d - спрос на реальные денежные остатки, x w - ожидаемый уровень инфляции

Предположение Кейгана:

Y t d  x = t+1 w a + b x t+1 w = l (x t - x t + w ) e t

Модель потребления Фридмена

• Изучается зависимость между потреблением и доходом индивидуумов • Y t = Y t p + Y t T Y t p С t - постоянный доход, = С t p + С t T Y t T – переменный доход С t p - постоянное потребление, С t T – переменное потребление • Предположение Фридмена: имеется пропорциональная зависимость между постоянными составляющими (постоянным доходом и постоянным потреблением) С t p = b Y t p • Метод инструментальных переменных: подбор новых переменных некоррелирующих со случайным членом Левиатан: использовать фактический доход и потребление на другом временном отрезке

Модель потребления Фридмена

• Модель адаптивных ожиданий Y t p = l Y t + (1 l ) Y t-1 p