Transcript O mundo da simetria

O “mundo” da simetria
Reflectindo sobre desafios do PMEB
Ana Maria Roque Boavida
[email protected]
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte
Tópicos
Objectivos(extractos)
1º ciclo: Reflexão
• Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no
plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º
anos)
• Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e
identificar simetrias (3º e 4º anos).
Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas
através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como
simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação,
reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta)
2º ciclo: Reflexão,
Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o
transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma
composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e
rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões
geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e
rosáceas; construir frisos e rosáceas.
rotação e translação
Noção e propriedades;
simetrias axial e
rotacional
3º ciclo: Isometrias
Translação associada a
um vector; propriedades
das isometrias
• Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar
translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor
translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 2
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ESE/IPS
Que imagens têm ou não têm simetria?
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ESE/IPS
Simetria: Que significado?
Serão as mãos simétricas?
Será a nossa cara simétrica?
Serão os bonecos simétricos?
Afinal, de que falamos quando falamos em simetria?
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ESE/IPS
Simetria: Que significado?
 A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não
é exclusiva deste campo
Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos
para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra,
1993, p. 304, cit. Weyl)
A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas
artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a
Física. (Oliveira, 1997, p. 70)
 Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias
Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente
da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem
simetria. (Serra, 1993)
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ESE/IPS
Simetria: Estabilizando um significado
 Falar de simetria é falar de simetria de uma figura.
Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do
espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho
artístico,...
(Bastos, 2006)
 Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são
simétricas...
... embora possa perguntar-se se a boneca
tem simetria.
(uma figura)
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ESE/IPS
Simetria de uma figura: Estabilizando um significado
Focando-nos nas figuras do plano
 Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma
figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais
Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que
existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal
que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006)
 Invariante significa globalmente invariante
Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura,
como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182)
 Manutenção da congruência e da posição
O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original:
as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição
no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens.
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
 Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há
isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante
 Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias;
as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente
iguais.
 Quatro tipos fundamentais de isometrias:
— Rotação
— Translação
— Reflexão
— Reflexão deslizante
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
.O
Rotação
75º
O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do
relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e
amplitude 75 graus.
Rotação de centro O e amplitude 750
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
.O
Rotação
75º
Centro de rotação: pode ser
um ponto da figura
Centro de rotação:
pode ser um ponto
que não pertence
à figura
.O
2700
750
.O
1800 (meia volta)
.O
.O
3600
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Rotação
Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que:
•qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância
de O à imagem de P (P’ );
•a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α.
Rotação de centro O e amplitude 900
F
F
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Translação
Translação associada ao vector v
Translação associada ao vector u

v

u

Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na
mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância.

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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Translação

Translação associada ao vector u
é uma transformação geométrica
em que cada ponto O do plano é transformado
num outro ponto O’

(imagem de O) em que O’ = O +
u

u
 Translação da figura F associada

ao vector u
F
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão
Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em
comum com a(s) figura(s)
eixo de reflexão
Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta
perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.
É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão
Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a
cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que:
•a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou
s é a mediatriz de [O O’];
•se O pertence a s, a sua imagem coincide com O.
F
 Reflexão da figura F de de eixo s
s
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão deslizante
Transformação geométrica que
resulta da composição de uma
reflexão de eixo s com uma
translação cujo vector tem direcção
paralela a s.
F

u
s
O’’ imagem de O através da reflexão

deslizante associada a s e ao vector u
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Retomando a ideia de simetria de uma figura
De entre as aplicações mais interessantes das transformações
e grupos de transformações estão as relacionadas com
questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias
no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187)
Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias
referidos. (Serra, 1993, p. 305)
— Simetria de reflexão (ou simetria axial)
— Simetria de rotação (ou simetria rotacional)
—Simetria de translação
—Simetria de reflexão deslizante
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Simetria de reflexão de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos? Várias hipóteses...
 Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as
duas partes obtidas se sobreponham exactamente;
 Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a
figura de modo a que a junção da parte reflectida com a
não reflectida seja exactamente igual à figura toda;
 Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher
exactamente o buraco que fica na folha com a parte
recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo
do papel virada para cima);
 ...
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Simetria de reflexão de uma figura
 Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo
de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de
simetria. (Serra, 1993, p. 305)
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria
? eixos de simetria
? eixos de simetria
? eixos de simetria
? eixos de simetria
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ESE/IPS
Simetria de reflexão de uma figura
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria
2 eixos de simetria
6 eixos de simetria
0 eixos de simetria
4 eixos de simetria
Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se
faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao
meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra
metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
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ESE/IPS
Simetria rotacional de uma figura
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00
e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só
neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a
um ângulo de 3600.
Como a reconhecemos?
Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a
imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.
Figura com simetria rotacional
Figura sem simetria rotacional
(ou qualquer outro tipo de simetria)
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Simetria rotacional de uma figura
Que simetrias rotacionais tem a figura?
C: Centro da simetria rotacional (ponto
em torno do qual a figura “roda”)
C
Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o
“movimento” da figura.
Um quarto de volta
(90º)
Meia volta
(180º)
Três quartos de volta
(270º)
Uma volta inteira
(360º)
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ESE/IPS
Simetria de translação de uma figura
Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos?
 Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e
uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de
tal modo que o seu transformado coincide com a figura original
 Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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ESE/IPS
Simetria de reflexão deslizante de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos?
 Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de
virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o
deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o
transformado da figura coincida com a figura original.
 Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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ESE/IPS
Em busca de simetrias de figuras
Potencialidades
O estudo das simetrias das figuras constitui uma
aplicação muito interessante das isometrias que permite
desenvolver o conhecimento matemático destas
transformações geométricas e fornecer,
consequentemente, ferramentas que podem ser muito
úteis na resolução de problemas geométricos. (...)
O conceito de simetria pode ser também a base para
actividades de descrição e classificação de figuras
geométricas, de argumentação/demonstração (…)
A análise de objectos artísticos ou de cristais através das
suas simetrias são actividades que estabelecem ligações
entre a matemática e outros domínios do saber (...)
Conhecimento matemático
Resolução de problemas
Conhecimento matemático
Comunicação e raciocínio
Conexões matemáticas
(Bastos, 2006, p. 11)
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ESE/IPS
Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?
D
A
C
B
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ESE/IPS
Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?

Simetrias de reflexão
4
Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as
diagonais do quadrado e 2 rectas que passam
pelos pontos médios de lados opostos

90º
Simetrias rotacionais
4
D
C
Com centro no ponto de encontro das diagonais
do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600.
B
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ESE/IPS
Simetrias de polígonos
Exemplo de material de apoio à exploração
de simetrias em polígonos
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplos de rosáceas
Rosáceas
 Figuras compostas por diversos
módulos geometricamente
iguais que se repetem por
rotação. O centro de rotação é
sempre o mesmo ponto, a
amplitude da rotação é sempre
a mesma e a divisão entre 3600
e a medida desta amplitude é
exacta.
 Existe sempre um ponto do
plano que é fixo para o grupo
de simetria da figura (conjunto
das transformações de simetria
da figura).
 Têm sempre simetrias
rotacionais, podendo ter
também simetrias de reflexão.
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Que simetrias existem nestas rosáceas?
Identificar
•
• assinala o
centro de simetria
(ou centro de
rotação) da figura
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Que simetrias existem nestas rosáceas?
Identificar
•
• assinala o
centro de simetria
(ou centro de
rotação) da figura
 Simetria de reflexão e simetria rotacional  Só simetria rotacional
 Simetria de reflexão
2 eixos de simetria – lado/lado
 Simetria rotacional
R rotação de 1800
R2 rotação de 3600 (identidade)
R rotação de 600
R2 rotação de 1200
R3 rotação de 1800
R4 rotação de 2400
R5 rotação de 3000
R6 rotação de 3600 (identidade)
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à
construção de rosáceas: o scratch
Motivo
simples
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à
construção de rosáceas: o scratch
Motivo
simples
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Exemplos de frisos
Friso
 Figura infinita
caracterizada por
apresentar sempre
simetrias de translação
com a mesma e uma só
direcção.
 No friso, o grupo de
simetria fixa uma recta.
 Pode haver outras
simetrias para além das
de translação
As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente
para a esquerda e para a direita
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?
Identificar
Nomenclatura
adoptada
recta horizontal
recta vertical
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?

u
Identificar
Nomenclatura
adoptada
recta horizontal
recta vertical
v
 De translação. Por exemplo, translações associadas aos

vectores u e v .
 De reflexão de eixo horizontal


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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?
Identificar
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?
Identificar
 De reflexão de eixo horizontal
 De reflexão de eixos verticais
 De translação da figura

u
associadas a vectores com a
direcção de u e comprimento
múltiplo do deste vector.
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
A partir de um motivo simples
podem-se construir frisos muito
diversos usando isometrias
Construir
r
A’
B’
C’
D’
Motivo simples
[A´, B’, C’, D’] imagem do
motivo simples através de
uma reflexão de eixo r.
Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo
A’
A’’
B’
C’
D’
B’’
C’’
D’’
[A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de
[A´, B’, C’, D’] através de
uma translação de vector
paralelo ao eixo de reflexão
(recta r).
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Construir (continuação)
Através de translações sucessivas da figura
Obtém-se o friso
Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que tipos de frisos há?
Investigar
Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que
“estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos
investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...)
[trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada
nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202)
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Motivo simples
Investigar
Tipo 1: gerado por translação
Motivo composto
Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Motivo simples
Investigar
Motivo composto
Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação
Motivo4:
composto
Tipo
gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo
vertical e translação
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Motivo simples
Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação
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PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Motivo simples
Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 45
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Motivo simples
Motivo composto
Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e
translação
Há apenas sete tipos de frisos...
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ESE/IPS
(Alcazar,
Adaptação
conferência
por Anaharmonia,
Maria Boavida nobeleza...
Encontro BragançaMat
11 (AbrilSevilha)
2011) 47
Simetria:
A da
busca
deapresentada
equilíbrio,
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ESE/IPS
Bibliografia e outros materiais consultados
Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM –
Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11.
Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e
Matemática, 94, 23-27.
Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions.
Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.
Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter
Publications.
Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage.
Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª
ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall.
Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta.
Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press.
Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e
simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28.
Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 48
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ESE/IPS
Bibliografia e outros materiais consultados
Documentos não publicados
Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e
isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora
(Julho de 2010).
Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria
Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores
Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) .
Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira,
professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011).
Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação
Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009).
Sites
http://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html
http://www.atm.org.uk/resources/
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.html
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168
http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 49
15º EREPM, 30/4/2011- Bragança
O “mundo” da simetria
Reflectindo sobre desafios do PMEB
Ana Maria Roque Boavida
[email protected]