Transcript Vorlesung 6, Teil 4

Modelle und Methoden der Linearen und Nichtlinearen Optimierung
(Ausgewählte Methoden und Fallstudien)
UNIVERSITÄT HAMBURG
November 2012
(Die Thesen zur Vorlesung 6)
Thema der Vorlesung
Verfahren zur Lösung des linearen und nichtlinearen
Transportproblems
Zerlegbare Programmierung
(Teil 4)
Prof. Dr. Michal Fendek
Institut für Operations Research und Ökonometrie
Wirtschaftsuniversität Bratislava
Dolnozemská 1
852 35 Bratislava, Slowakei
Institut für Operations Research und Ökonometrie, WU Bratislava
Die Ableitung und Formulierung der stückweisen linearen Funktionen
Untersuchen wir die Werte für Funktion f2(x) in dem Punkt . Wir bekommen
• bessere Approximation mit linearen Funktion f2(x) auf dem Bereich  7, 13 
~
~
~
f 2 ( x )  40 x  122  f 2 ( )  f 2 (10 )  278
Fehler der Approximation ist jetzt aber schon nicht so groß und gilt
~
 f ( x )  f 2 ( x )  f ( x )  278  260  18 , %  f ( x )  6 ,9 %
SCHLUSS: Die Genauigkeit der Berechnungen und die Qualität der Approximation ist
eindeutlich hängt
• von der Zahl und
• von der Struktur der Teilungspunkten des Definitionsbereichs
ab
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Folie Nr.:2
Die Ableitung und Formulierung der stückweisen linearen Funktionen
Nächste Frage: Wie können wir den Wert der approximativen Funktion im beliebigen
Punkt des Definitionsbereiches berechnen?
Die approximative Funktion fa(x) ist in unserem Beispiel an dem ganzen
Definitionsbereich in der folgenden Form definiert:
~
 f 1 ( x )  14 x  60 ,
x  0 ,7
 ~
f a ( x )   f 2 ( x )  40 x  122 , x  7 ,13
~
f ( x )  66 x  460 , x  13 , 20
 3
1.Wir kennen ganze Menge der Teilungspunkte i, für i=1,...,k,
wo k – Zahl de Teilungspunkte
2. Wir kennen für jeden Teilungspunkt i, für i=1,...,k, den Wert der
f(I)
ursprünglichen Funktion
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Folie Nr.:3
Die Ableitung und Formulierung der stückweisen linearen Funktionen
Untersuchen wir jetzt konkrete Variable
  1, k 
aus dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funtion f(x).
Wenn für die Variable  gilt
k
 

i
i
i 1
k

i
 1,  i  0 , i  1,..., k
i 1
!!!! Also Punkt  ist die konvexe lineare Kombination der Teilungspunkte i
Dann für den Wert der stückweisen linearen Approximation der Funktion f(x) in dem
Punkt  gilt
k
k
f a ( ) 

i 1
i
f (i )
,wobei

i
 1,  i  0 , i  1,..., k
i 1
!!!! Wert der linearen approximativen Funktion fa (x) in dem Punkt  ist die konvexe
lineare Kombination der Werte der ursprünglichen Funktion f(x) in den
einzelnenTeilungspunkten i
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Folie Nr.:4
Separable Programmierung
h (t)
h (t)
h (t)
h (
0
h ( )
0
h (
h *(
h ( )
 1= a
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2

3
p

 p+1
 k= b
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t
Folie Nr.:5
Separable Programmierung
Ich erinnere n ur die a llgem eine F orm ulieru ng der A ufgabe P rogra m m ierung bei
zerlegbaren F un ktionen , (bzw . die A ufgabe der separablen P rogra m m ierung) :
A ufga be SP
n
f(x) =

f j( x j ) 
m in
j= 1
m it N ebebed ing u ngen
n
g i (x ) =

g ij ( x j )  b i
i = 1 , ,m
j= 1
xj  0
j = 1 , ,n
wo
n – Z a hl d er E ntscheid u ng gsva riab len der O ptim ieru ngsaa ufg a be,
m - Z a hl der N ebenb eding u ng en der O ptim ieru ngsaa ufga be ,
n
f(x) – trennb a re Z ielfun ktio n , f:R  R ,
g i(x) - tren nb a re F u nktio n der i-te N eb eb eding ung der O p tim ieru ngsaa ufga be,
n
i=1,...,m , g i : R  R ,
f j (x j ) – F u n ktion m it einer V aria blen x j , d ie ein E lem ent v on der trennb a ren Z ielfun ktion ist,
f j: R  R ,
g ij (x j ) - F u nktio n m it einer V a ria blen x j , d ie ein E lem ent v on der trennb a ren F u nktion g i(x) ist,
j=1,...,n, i=1,...,m , g ij : R  R ,
b i – der K oefizient der rechten S eite des S ystem s N ebeb ed ing u ng d er O p tim ierung saa ufg a be,
i=1,...,m
x j – V ektor der E ntscheid u ngsva riab len , j=1,...,n.
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Folie Nr.:6
Separable Programmierung
Für die Klassifizierung der Variablen der Aufgabe der SEPARABLE Optimierung wir
einfügen folgende Menge Q der Indexe der einzelnen Variablen
Q 
j
f
j
x  
j
g ij  x ij  für  j  1,  , n ; i  1,  , m sind linear

Klassifizierung der Variable:
• xj für jQ ..... nicht separable Variable
• xj für jQ ..... separable Variable
• Für jede Variable xj , jQ
untersuchen wir den Intervall xj  aj , bj, der mit dem
Definitionsbereich der Funktion identisch ist.
• Für diesen Intervall aj , bj bestimmen wir die Teilungspunkte xpj
für p=1,..., kj
wo den Prarmeter
kj definiert der Zahl der Teilungspunkte für einzelne Variable
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Folie Nr.:7
Separable Programmierung
 F ür alle V ariable x j , j Q w ir w erden die Z ielfun ktionen f j (x j ) u nd die F un ktionen des
System s der N eben bedingu ngen g ij (x j ) für i=1,...,m m it den folgend en stückw eisen
linearen F un ktionen appro xim ieren
k
f (  )=
o
j

pj
f j ( x pj )
jQ
p= 1
k
g ij (  ) =
o
j

pj
g ij ( x p j )
i = 1 , , m , j  Q
p= 1
kj

ij
=1
jQ
p= 1
 pj  0
p = 1 , , k j , j  Q
wo
k j – Z ahl der T eilungsp un kte definierende für die separable V ariable x j , j Q ,
x pj - T eilungspu n kte,
 pj – K oeffiziente der kon vexen linearen K o m bina tion für die A p proxim ation der
nichtlinearen F un ktionen f j (x j ), g ij (x j ) für
i=1,...,m u nd j Q der entsprechen den
o
o
separablen V ariable x j m it den stüc kw eisen linearen F un ktionen f j (x j ) a g ij (x j ).
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Folie Nr.:8
Formulierung der Aufgabe ASP
D ie A ufg a b e der sep a ra blen P rog ra m m ieru n g S P w ir w erden m it d en o b e n
g eschrieb en e B ezieh u ng en a u f die fo lg en d e
a p p rox im a tiv e A ufg a b e der
sep a ra blen P rog ra m m ieru ng A S P tra n sfo r m ieren :
A ufg a be A S P :
f (x,  ) =
o

f
j
(xj) +
j Q

f
o
j
( )
m in
j Q
m it d er N e b e n b e d in g u n g e n
g i (x , )   g ij ( x j ) +  g ij (  )  bi
o
o
jQ
jQ
xj 0
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i = 1 ,..., m
j = 1 ,..., n
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Folie Nr.:9
Formulierung der Aufgabe LASP
 die Z ielfun ktion un d zugleich die F un ktionen des Syste m s der N e ben bedingu ngen der
A ufgabe A SP sin d stüc kw eise linear ;

deshalb w ir kö nnen die A ufgabe A SP in der F or m der A ufgabe der linearen
approxim a tiven se parablen P rogram m ieru ng ausdr üc ken :
A ufgabe L A SP :
f (x,  ) =
o
k

f
j
j
 
(xj) +
j Q
j Q
o
 pj f
j
( )
m in
p =1
m it d er N e b e n b e n d in g u n g en
g i (x , ) =
o
g
j Q
ij
( x j )+ 
k
j

g ij (  )  bi
o
pj
i = 1 , ..., m
j Q p = 1
k
j

pj
=1
jQ
p= 1
xj0
 pj  0
jQ
j  Q , p = 1 , ..., k
j
D ie A ufgabe L A SP w ir lösen m it d e m pa ssen den V erfahren der Sim plexm ethode .
W ir m ü ssen nur die B efolgung der folgenden zw ei zusätzliche n R egel garan tieren:
- für jeden Index j  Q gilt, daß m axim al zw ei K oeffiziente der konvexe n lineare n
K om bination  pj für p  1,k j positiv sind , und
- w enn zw ei K oeffizie nte der konvexen linearen K om bination  pj positiv sind, dann sie
nachbarlich sind .
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Folie Nr.:10
Illustratives Beispiel für die Separable Programmierung
 B eispiel N . 4
U n te r su c h e n w ir fo lge n d e A ufga b e d er se parable n P rogra m m ier u ng
f(x 1 ,x 2 ) = x 1 - 6 x 1 + x 2 - 8 x 2 - 0 .5 x 3  m in
2
2
u n ter de n N e be nb eding unge n
(S P )
x 1 + x 2 + x 3  
2
x1 - x2
 
x 1 , x 2 , x 3  
L ö su ng :
a ) D ie Z ielcfu n ktion u nd d ie F u n ktio nen d es Sy ste d m s N e ben be dingu nge n sin d für
d ie V aria ble x 3 linear :
f 3 (x 3 ) = - 0.5 x 3
g 1 3 (x 3 ) = x 3
g 2 3 (x 3 ) = 0
also gilt Q = {3}.
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Folie Nr.:11
Illustratives Beispiel für die Separable Programmierung
b )  F ü r jed e a u s d en V a ria b len x 1 , x 2 ist m in d esten s ein e a u s d en
u n tersu ch en d en F u n ktio n en n ich tlin ea r,
 D iese V a ria b le sin d d esh a lb sep a ra b le V a ria b le u n d e n tsp rech en d e
F u n ktio n en w ir w erd en m it d en stü ckw eisen lin ea ren F u n ktio n en
a p p ro x im ieren .
U n tersu ch en w ir jetzt d ie E in g esch a ften d d er ein zeln en sep a ra b len
F u n ktio n en :
- sep a ra b le V a ria b le x 1
f 1 (x 1 ) = x 1 - 6 x 1

n ich tlin ea re streng ko n v ex e F u nktio n ,
g 11 (x 1 ) = x 1

lin ea re ko n v ex e F u n ktio n ,

n ich tlin ea re streng ko n v ex e F u nktio n ,
f 2 (x 2 ) = x 2 - 8 x 2

n ich tlin ea re streng ko n v ex e F u nktio n ,
g 12 (x 2 ) = -x 2

lin ea re ko n v ex e F u n ktio n ,
g 22 (x 1 ) = -x 2

lin ea re ko n v ex e F u n ktio n .
2
g 21 (x 1 ) = x 1
2
- sep a ra b le V a ria b le x 2
2
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Folie Nr.:12
Illustratives Beispiel für die Separable Programmierung
F ür V aria ble x 1 , x 2 w ir be stim m e n ide n tisc he T eilung sinter valle m it d er Z ahl d er
T eilp un kte k 1 = k 2 = 4 :
- V ariab le x 1 : x 11 = 0, x 21 = 2, x 3 1 = 4 , x 4 1 = 5 ,
- V ariab le x 2 : x 12 = 0, x 22 = 2, x 3 2 = 4 , x 4 2 = 5 .
D ie W erte d er einzelne n separa blen Z ielfun ktion en für einzelne T eilun gspu n kte
sin din der folge n den T abe lle dargestellt:
T ab .: D ie W er te de r einzelne n separa ble n Z ielfun ktion en
p
x p1 = x p2
f 1 (x p1 )
f 2 (x p2 )
g 1 1 (x p 1 )
g 1 2 (x p 2 )
g 2 1 (x p 1 )
g 2 2 (x p 2 )
1
0
0
0
0
0
0
0
2
2
-8
-1 2
2
2
4
-2
3
4
-8
-1 6
4
4
16
-4
4
5
-5
-1 5
5
5
25
-5
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Folie Nr.:13
Illustratives Beispiel für die Separable Programmierung
D ie F o rm u lieru n g d er A u fg a b e L A S P :
f( ,x 3 ) = -0 .5 x 3 - 8  21 - 8  31 - 5 41 - 1 2  22 - 1 6 32 - 1 5  42  m in
u n ter d en N eb en b ed ing u n g en
x3 +
(L A S P )
2 21 + 4  31 + 5  41
+ 2  22 + 4  32 + 5  42  5
4  21 + 1 6  31 + 2 5  41
+ 2  22 + 4  32 - 5  42  3
 11 +  21 +
 31 +
 41
= 1
 12 +  22 +  32 +  42 = 1
 p1  0
p= 1 ,...,4
 p2  0
p= 1 ,...,4
x3  0
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Folie Nr.:14
Illustratives Beispiel für die Separable Programmierung
D ie L ö su ng d er A u fg a b e L A S P :
xB
cB
x3
 11
 21
 31
 41
 12
 22
 32
 42
s1
s2
b
s1
0
1
0
2
4
5
0
2
4
5
1
0
5
s2
0
0
0
2
16
25
0
-2
-4
-5
0
1
3
 11
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
  12
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
-1/2
0
-8
-8
-5
0
-12
-16 
-15
0
0
0
cj - z j
 s1
0
1
0
2
4
5
-4
-2
0
1
1
0
1
s2
0
0
0
2
16
25
4
2
0
-1
0
1
7
 11
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
 32
-16
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
-1/2
0
-8 
-8
-5
16
4
0
1
0
0
16
cj - z j
 21
-8
1 /2
0
1
2
5 /2
-2
-1
0
1 /2
1 /2
0
1 /2
s2
0
-2
0
0
8
15
12
6
0
-3
-2
1
5
  11
0
-1/2
1
0
-1
3 /2
2
1
0
-1/2
-1/2
0
1 /2
 32
-16
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
7 /2
0
0
8
15
0
-4 
0
5
4
0
20
cj - z j
 21
-8
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
s2
0
1
-6
0
14
24
0
0
0
0
1
1
2
 22
-12
-3/2
-1
0
1
3 /2
2
0
0
-1/2
-1/2
0
1 /2
 32
-16
3 /2
-1
0
1
3 /2
-1
1
1
3 /2
3 /2
0
1 /2
3 /2
4
0
4
9
8
0
0
3
2
0
22
cj - z j
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Folie Nr.:15
Illustratives Beispiel für die Separable Programmierung
D ie o p tim a le L ö su n g d er A u fg ab e L A S P :
(x 3 ,  11 ,  21 ,  31 ,  41 , s 1 ,  12 ,  22 ,  32 ,  42 , s 2 ) = (0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 /2 ,1 /2 ,0 ,2 )
T
o
f ( ,x 3 ) = -2 2
D ie K o m p o n en te d er a p p ro x im a tiv en o p tim a len L ö su n g d e r A u fg a b e
b estim m en w ir m it d en folg en d en
k
x
o
j
j


 pj x pj
p re j = 1 ,2
p =1
a lso g ilt:
x 1 =  21 x 21 = 1  2 = 2
o
x 2 =  22 x 22 +  32 x 32 = 1 /2  0 + 1 /2  2 = 1
o
u n d fü r d ie n ich t sep a ra b le V a ria b le w ir b eko m m en
o
x3 = x3 = 0
D ie o p tim a le L ö su n g d er u rsp rü n g lich en A ufg a b e d a n n ist :
o
o
x = (2 , 3 , 0 ), f(x ) = -2 3 .
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Folie Nr.:16