Teoria maszyn i części maszyn

Teoria maszyn i mechanizmów, kinematyka

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk 1

•

Kinematyka

Kinematyka

zajmuje się badaniem ilościowym ruchu ciał niezależnie od czynników fizycznych wywołujących ruch, jest więc pewnego rodzaju geometrią ruchu w czasie.

• Prędkość punktu

v x V

  

dx

,

dt i



v x v y

 

dy

,

dt j



v y v z



dz



dt k



v z

y y 1 +dy y 1 

j i

 x 1 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk x 1 +dx x 2

Kinematyka Przykład 1.

Punkt A porusza się w po płaszczyźnie, przy czym jego równania ruchu mają postać:

x(t) = a sin(kt), y(t) = b cos(kt)

gdzie a =2, b = 3 oraz k=



/3

oznaczają pewne stałe. Należy wyznaczyć równania prędkości punktu A, prędkość punktu A dla czasu t = 1s oraz narysować tor ruchu punktu A.

3 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka

• Przyspieszenie

a x



a



dv x

,

dt



i



a x a y

 

dv y

,

dt



j a y a z



dv z dt



k



a z

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk 4

Kinematyka Przykład 2.

Dla równań punktu z przykładu 1 wyznaczyć przyspieszenie punktu, równania, oraz wartości dla czasu t =1 s.

5 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka

•

Ruch złożony płaski Ruch złożony członu:

V



C

 

V B



V



V



C

C

V



B V



CB

B 

CB



V CB

 

CB CB

Plan prędkości

V



B V



CB V



C

S 

V C

 

CB

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

CS

Chwilowy środek obrotu 

V B

 

CB BS

6

Kinematyka

Zadanie 3.

Wyznaczyć prędkość punktu A dla mechanizmu przedstawionego na rysunku.

Dane:  = 2s -1 , OA = 0,25 m A  O Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk 7

Kinematyka

Zadanie 4.

Wyznaczyć położenie chwilowego środka obrotu oraz prędkość punktów A i B dla mechanizmu przedstawionego na rysunku.

Dane:  = 4s -1 3 A  O B 8 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka

Zadanie 5.

Wyznaczyć prędkość punktu A i C dla mechanizmu przedstawionego na rysunku.

Dane:  = 4s -1 , OA = 0,25 m, AC = 2OA A  O C 9 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka

•

Ruch złożony płaski, przyspieszenia Ruch złożony członu:



a C

 

a B

 

a BC

Przyspieszenie względne Przyspieszenie bieguna C B Przyspieszenie dowolnego punktu, czy odcinka można rozłożyć na dwie składowe 

a A

 

a n A

 

a t A

Przyspieszenie styczne Przyspieszenie normalne 10 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk



a C



a C

  

a B



a B

  

a



a BC

Kinematyka

BC

 

a B n



a



A



a



t B



a n



A



a



n BC



a t A

 

a t BC

B 

a B n



a B t



a n BC



a B

C 

a B



a t BC

Plan przyspieszeń



a t B



a B n



a C a



a



n BC t BC

11 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

•

Kinematyka Przyspieszenie normalne (wynikające z krzywizny toru)

a n A

  2  

a t A

  

V A

   2 

V



A



V



A

2 

a n A

Przyspieszenie normalne jest zawsze prostopadłe do toru ruchu



Promień krzywizny Środek krzywizny

12 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

•

Kinematyka Przyspieszenie styczne (wynikające ze zmiany wartości prędkości liniowej)

a t A



dV A dt



a t A

 

V



A



a A n



Kierunek przyspieszenia stycznego jest zawsze styczny do toru ruchu punktu Przyspieszenie kątowe

 13 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka

Zadanie 6.

Wyznaczyć przyspieszenie punktu A dla mechanizmu przedstawionego na rysunku.

Dane:  = 2 s -1 , OA = 0,25 m,  = 4 s -2 A   

a A a



a O A

   

a

0 

a O



OA



a



OA



n a OA

 

t a OA

O 

t a OA a n OA

  2

OA

 2 2  0 , 25  1

m

/

s

2 A

a t OA

  

OA

 4  0 , 25  1

m

/

s

2 

n a OA a A

 (

a n OA

) 2  (

a t OA

) 2  1 2  1 2  2

m

/

s

2 O 14 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka

Zadanie 7.

Wyznaczyć przyspieszenie punktów A i B dla mechanizmu O przedstawionego na rysunku.

Dane:  A   = 4s -1 3

a n OA a t OA

    = 2 s -2 

a A

  2

OA



a OA

  4 2 

OA

 2   

n a OA

 0 , 25 0 , 25 

t a OA

  4

m

0 , 5 /

s

2

m



t a OA

B A /

a A

 (

n a OA

) 2  (

t a OA

) 2  4 2  0 , 5 2  16 , 25

m

/

s

2 

n a OA s

2 O 15 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

A O  

V



A

Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

Kinematyka S – chwilowy środek obrotu



a



a B AB

  

a A



a n



AB



a



AB



a t AB a n AB



AB

  2

AB

B

V A



AS

 

AB



OA

 

AB



OA



AS OA



AS OA AB

2   

OA

3

OA

  2  1 3 16

Kinematyka



AB



OA



AS

 1 3  4  4 3

s

 1

n a AB



AB

  2

AB



a t AB

A 

AB

 

AB V



A

3

OA

 4 3 2  0 , 77

m

/

s

2 Przyspieszenie kątowe  AB wyliczymy na podstawie znanego kierunku przyspieszenia całkowitego punktu B   

a B

B 17 Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk

y x 

a A t

A 

a A n

  

a n AB



a B



a A t

Kinematyka



a A n



a t AB

Ponieważ jest to wielobok zamknięty obowiązuje zależność 

a y

 0 

a x



a B



a B

B Autor: dr inż. Aleksander Karolczuk 18