Transcript Алгоритмическая основа информатики

Алгоритмы.
Brainware третий «кит» информатики
Состав информатики. Информатику обычно представляют состоящей из
трёх, неразрывно связанных частей (трех «китов»):
ИНФОРМАТИКА
Hardware, Software, Brainware
Алгоритмы нужны всем: военным, поварам,
врачам, фармацевтам, математикам и,
конечно, программистам. Мы живём в мире
алгоритмов, современная цивилизация – это
цивилизация алгоритмов.
Мясников Александр Леонидович
• Мясников Александр Леонидович: Невозможно
противопоставить свой скудный опыт индустрии
доказательной медицины. В мире уже выработан
алгоритм лечения больных, который выверен на
миллионах пациентов. Нам нужно только согласиться с
правильностью предложенных методов. Введение
системы стандартов позволит нам сэкономить. Если бы
мы приняли систему стандартов, все бы узнали, что
лучшее лекарство от гипертонии - это копеечные
мочегонные препараты, от инфарктов эффективнее всего
защищает аспирин, оптимальный антибиотик при
пневмонии - тетрациклин стоимостью 15 рублей, а не
импортные препараты по 80 долларов за пузырёк.
Система стандартов спасёт пациентов и от болезненных
операций.
Мухаммад ибн Муса Хорезми
(783 — 850) — таджикскоперсидский математик,
астроном и географ
Аль-Хорезми
Алгоритм Евклида для отыскания
наибольшего общего делителя двух целых
положительных чисел a и b:
• Рассмотри данные числа a и b, переходим к следующему пункту;
• Сравни предложенные числа: a = b; a > b; a < b; переходим к
следующему пункту;
• Если a = b, то прекратите вычисления, так как каждое из них даст
искомый результат. Если нет, переходите к следующему пункту;
• Если первое число меньше второго, переставь их местами.
Переходите к следующему указанию.
• Вычитай второе число из первого. Рассмотри два числа
вычитаемое и остаток. Переходите к пункту второму.
Потребность в алгоритмизации научных
вычислений:
Системы мира по Птолемею
( 15 вычислений) и Копернику (7вычислений)
Потребность в упрощении системы учета:
Механические счетные машины
(«Паскалина», калькулятор Лейбница, арифмометр) – для их работы
необходима инструкция!
Дональд Эрвин Кнут (родился в 1938) —
американский учёный.
Алгоритм — это конечный набор правил,
который определяет последовательность
операций для решения конкретного множества
задач и обладает пятью важными чертами:
конечность, определённость, ввод, вывод,
эффективность.
Андрей Андреевич Марков (1903 —
1979) — советский математик
Алгоритм — это точное предписание,
определяющее вычислительный
процесс, идущий от варьируемых
исходных данных к искомому
результату.
Андрей Николаевич Колмогоров (1903 —
1987) — советский математик
Алгоритм — это всякая система
вычислений, выполняемых по строго
определённым правилам, которая после
какого-либо числа шагов заведомо
приводит к решению поставленной
задачи.
Алгоритмы. Определение
Алгоритм – это строго определенная
последовательность действий для некоторого
исполнителя, приводящая к конкретному
результату за конечное число шагов.
•
• Составление алгоритма - творческий процесс.
• Выполнения программы - это не творческий процесс.
• Ранее часто писали «алгорифм».
• Ранее вместо слова «порядок» использовали слово
«последовательность».
Исполнители: неформальные и формальные
Иллюстрация понятия алгоритма
Задача
Алгоритм
Входные данные
Вычислитель
Выходные данные
Проблема разрешимости алгоритма по
Гилберту:
Всегда можно составить алгоритм, который сможет дать однозначный
ответ на любой заданный вопрос ( неразрешимых задач не существует).
Алгоритмическая разрешимость —
свойство формальной теории обладать
алгоритмом, определяющим по данной
формуле, выводима она из множества
аксиом данной теории или нет. Теория
называется разрешимой, если такой
алгоритм существует, и неразрешимой, в
противном случае.
• В 1900 году на Втором
Международном
математическом конгрессе
Гильберт формулирует
знаменитый список 23
нерешённых проблем
математики
Дави́д Ги́ льберт (нем. David Hilbert; 23 января 1862 — 14 февраля 1943)
Процедурный текст
• …Отвори потихоньку калитку
• И войди в тихий садик как
тень.
• Не забудь потемнее накидку,
• Кружева на головку надень…
Декларативный текст
• Фонтану Бахчисарайского
дворца
• …Фонтан любви, фонтан
живой!
• Принес я в дар тебе две розы.
• Люблю немолчный говор твой
• И поэтические слезы…
Тьюринг: нельзя определить алгоритмически, завершит ли
данная машина Тьюринга свою работу или нет.
А́лан Мэт́ исон Тью́ринг (англ. Alan Mathison Turing;
23 июня 1912 — 7 июня 1954) — английский
математик, логик, криптограф, оказавший
существенное влияние на развитие информатики
(машина Тьюринга).
Алонзо Чёрч (англ. Alonzo Church; 14 июня 1903,
Вашингтон, США — 11 августа 1995, Хадсон, Огайо,
США) — выдающийся американский математик и
логик, внесший значительный вклад в основы
информатики (лямбда –исчисление).
Самый важный алгоритм информатики
• Некоторый алгоритм для
нахождения значений
функции, заданной в
некотором алфавите,
существует тогда и только
тогда, когда функция
исчисляется по Тьюрингу,
то есть когда ее можно
вычислить на машине
Тьюринга.
Машина Тьюринга
Требования к алгоритму
• Дискретность (прерывность, раздельность) – алгоритм состоит из
отдельных простых "шагов". Каждый шаг исполняется только после
того, как закончилось исполнение предыдущего.
• Детерминированность (определенность) – каждая команда
алгоритма должна быть однозначной. Алгоритм должен быть
независимым от того, кто и сколько раз будет его повторять. (Всётаки, кулинарные рецепты плохо отвечают этому требованию)
• Результативность (конечность) – алгоритм должен приводить к
результату за конечное число шагов.
• Массовость – алгоритм может использоваться многократно при
разных исходных данных.
Форма представления алгоритмов
• Алгоритм может быть записан
словами и/или формализован изображён схематически.
• Обычно сначала алгоритм
описывается словами, затем всё
более формализуется
(записывается на языке,
понятном исполнителю). Если
алгоритм выполняется
компьютером, то для записи
используется машинный код.
В алгоритме присутствуют
следующие структуры:
• линейная часть – команды,
выполняемые последовательно
друг за другом;
• ветвление – участок алгоритма,
содержащий условие, в
результате проверки которого
происходит переход на одно или
на другое продолжение
алгоритма;
• цикл – участок алгоритма,
предусматривающий повторение
одних и тех же операций с
новыми исходными данными.
Формы записи алгоритмов
•Словесная, на естественном языке;
•Графическая, например, в виде блок-схем;
•На алгоритмическом языке (псевдокоде);
•На языках программирования.
Запись алгоритма на естественном языке
• Пример: Автомат получает на вход два трехзначных
восьмеричных числа. По этим числам строится новое
восьмеричное число по следующим правилам:
• Вычисляются три восьмеричных числа – сумма старших
разрядов, сумма средних разрядов, сумма младших разрядов
заданных чисел.
• Полученные три восьмеричных числа записываются друг за
другом в порядке убывания (без разделителей).
• Пример. Исходные числа: 271,626. Поразрядные суммы: 10,11,7.
Результат: 11107.
• Определите, какое из предложенных чисел может быть
результатом работы автомата: 18123; 16711; 13115?
Запись алгоритма в виде блок-схем
• Для графического
представления
алгоритмов в виде
блок-схемы
используются
стандартные
обозначения
элементов (ГОСТ
19.701 – 90).
начало и конец алгоритма
Блок выполнения операции, обработки данных, изменения
значения
Логический блок (проверка истинности или ложности
логического выражения (условия) и выбор следующего
блок; ветвление алгоритма с одним входом и несколькими
(двумя) выходами, из которых может быть выбран только
один
Блок ввода/ вывода данных
Запись алгоритма на алгоритмическом
языке (псевдокоде)
Программа - это алгоритм, записанный на языке
программирования.
• Оператор присвоения -(:=).
• Примеры:
• 1. Х:=2+5
• 2. Х:= Х*2
• 3. Х:=2>5
Задача: Установите такой порядок выполнения операций, чтобы
при начальных значениях А=2, В=5, С=-5 результирующим стало
значение С=5.
• 1) С=С/5; 2) В=А+В; 3) С=В+10; 4) А=А*В.
Оператор перехода
• Команды в программах выполняются последовательно. Имеется
несколько операторов, которые изменяют последовательность
выполнения команд программы.
• Формат записи оператора: GO TO <метка строки>.
Оператор ветвления
• Форматы записи оператора:
• IF(ЕСЛИ) <логическое
условие> THEN (ТО)<оператор
1> ELSE (ИНАЧЕ)<оператор 2>
• Если логическое условие
истинно, то выполняется
первый блок операторов, а
если ложно, то второй.
• Пример:
• IF А>В THEN А=А*2 ELSE В=В*2
Блок-схема оператора ветвления:
Заданы числа a и b. Определить, эти числа
одного или разных знаков?
• При начальных значениях А=-1, В=3.Чему будет
равно С?
• IF А>=В THEN С:=(А – В)*В ELSE С:= (В-А)*А
• IF С<0 THEN С:=С*С
Дана болок-схема. Какое значение присваивается переменной Х после
исполнения алгоритма? (5)
a:= 5
b:= 3
с:= 1
Х:= a
ДА
Х:= b
Х< = b
нет
256
Х< = с
нет
ДА
Х:= с
Операторы цикла.
• Операторы цикла организуют
повторное выполнение одних
и тех же команд несколько
раз.
• Существуют две
разновидности операторов
цикла: оператор цикла с
фиксированным числом
повторений и операторы
цикла с переменным числом
повторений, зависящим от
условий.
• Формат записи оператора
цикла с фиксированным числом
повторений:
FOR i=N1 TO N2 STEP N3;
• <тело цикла> ;
• NEXT i
Цикл с переменным числом повторений:
Блок-схема цикла ПОКА (цикл с предусловием)
•
Цикл с предусловием
Даны положительные числа A и B (A > B). На отрезке длины A
размещено максимально возможное количество отрезков длины B
(без наложений). Не используя операции умножения и деления, найти
длину незанятой части отрезка A
Цикл с переменным числом повторений:
Формат записи цикла ПОКА НЕ
Задача, в которой требуется вводить с
клавиатуры числа и подсчитывать их сумму, до
первого введенного отрицательного числа.
Как вы думаете, к какому виду алгоритмов
относится следующий пример? Что он позволит
вычислить?
Запись алгоритма на языке программирования
• #!/usr/bin/python3
• # -*-coding: utf-8 -*• import math
• A = float(input( 'a: '))
• B = float(input( 'b: '))
• C = float(input( 'c: '))
• D = B*B - 4.0*A*C
• X1 = (-B + math.sqrt(D))/(2.0*A)
• X2 = (-B - math.sqrt(D))/(2.0*A)
• print (X1,X2)
• print ('END')
Классификация алгоритмов
• детерминированные (жесткие): задаются действия,
обеспечивающие однозначный результат (например, работа
двигателя);
• гибкие:
• вероятностные (стохастические): используют способы, приводящие к
вероятному достижению результата (например, метод Монте-Карло)
• эвристические: достижение результата однозначно не предопределено
Эвристический алгоритм (эвристика)
Эвристика (от греч. εὕρηκα «нашёл!») - алгоритм решения
задачи, не имеющий строгого обоснования, но, тем не менее,
дающий приемлемое решение задачи в большинстве случаев.
Эвристика — это математически «не совсем корректный», но
практически полезный алгоритм.
Эвристика. Особенности:
• она не гарантирует нахождение лучшего решения;
• она не гарантирует нахождение решения, даже если оно заведомо
существует;
• она может дать неверное решение.
Эвристики применяются для решения задач, когда полный перебор
вариантов занимает существенное время. Например, при
распознавании образов, в антивирусных программах,
компьютерных играх и т. д.
Пример эвристического алгоритма. Задача
коммивояжера.
Коммивояжёр должен посетить один раз все указанные города и
вернуться обратно, в начальную точку маршрута. Необходимо
выбрать минимальный по затратам маршрут.
• Коммивояжёр — разъездной торговый агент.
Детерминированный алгоритм
В общем случае, если есть n городов, то существует (n-1)!
вариантов маршрута.
Время, требуемое для
детерминированного алгоритма
Посчитать длину маршрута можно за 1 нс = 10-9 с.
Число городов Время расчета
10
меньше секунды
15
87 секунд
18
99 часов
19
74 дня
20
3 с половиной года
22
полторы тысячи лет
Оптимальный маршрут: 1-5-2-3-4-1.
1
1
2
3
4
5
10
25
25
10
10
15
2
20
10
2
1
3
8
9
4
14
10
24
5
10
8
25
15
27
«Посмотрел – и сразу понял!»
• ДРАКОН (Дружелюбный
Русский Алгоритмический
язык, Который Обеспечивает
Наглядность).
Тест Тьюринга — эмпирический тест, идея которого была предложена Аланом
Тьюрингом в статье «Вычислительные машины и разум», опубликованной в
1950 году в философском журнале «Mind». Тьюринг задался целью
определить, может ли машина
мыслить.