Transcript fonction VALEUR ABSOLUE - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

Mathématiques SN
La fonction
VALEUR ABSOLUE
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Définition
La valeur absolue d’un nombre x rend positif ce nombre.
On note | x | la valeur absolue de x .
Exemples : |- 2 | = 2
|- 8 | = 8
| 12 | = 12
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = | x | (forme générale de BASE)
f(x) = a | b ( x – h ) | + k (forme générale TRANSFORMÉE)
f(x) = a | x – h | + k (forme CANONIQUE)
Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction),
l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.
a = -2
Exemple : f(x) = - 2 | 3 ( x – 1 ) | + 4
b = 3
h = 1
h
k
a b
k = 4
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = | x | (forme générale de BASE)
x
f(x)
0
0
car f(0) = | 0 | = 0
1
1
car f(1) = | 1 | = 1
2
2
car f(2) = | 2 | = 2
3
3
car f(3) = | 3 | = 3
-1
1
car f(-1) = | -1 | = 1
-2
2
car f(-2) = | -2 | = 2
-3
3
car f(-3) = | -3 | = 3
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = | x | (forme générale de BASE)
x
f(x)
0
0
1
1
2
2
3
3
-1
1
-2
2
-3
3
Sommet
1
1
Sommet (0, 0)
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = 2 | x | (forme générale TRANSFORMÉE où a = 2)
x
f(x)
0
0
1
2
2
4
3
6
-1
2
-2
4
-3
6
Sommet
1
1
Sommet (0, 0)
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = -2 | x | (forme générale TRANSFORMÉE où a = -2)
x
f(x)
0
0
1
-2
2
-4
3
-6
-1
-2
-2
-4
-3
-6
Sommet
Sommet (0, 0)
1
1
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = | 2 x | (forme générale TRANSFORMÉE où b = 2)
x
f(x)
0
0
1
2
2
4
3
6
-1
2
-2
4
-3
6
Sommet
1
1
Sommet (0, 0)
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = | x – 2 | (forme générale TRANSFORMÉE où h = 2)
x
f(x)
0
2
1
1
2
0
3
1
-1
3
-2
4
-3
5
Sommet
1
1
Sommet (2, 0)
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = | x | + 2 (forme générale TRANSFORMÉE où k = 2)
x
f(x)
0
2
1
3
2
4
3
5
-1
1
-2
0
-3
-1
Sommet
Sommet (0, 2)
1
1
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
f(x) = 3 | x + 1 | – 2 (forme CANONIQUE)
x
f(x)
0
1
1
4
2
7
3
10
-1
-2
-2
1
-3
4
1
Sommet (-1, -2)
Sommet
1
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
x=h
(axe de symétrie)
(h, k) = sommet
a = pente de la branche DROITE
Pente = -a
Pente = a
du graphique
- a = pente de la branche GAUCHE
1
du graphique
1
Équation de l’axe de symétrie : x = h
Sommet (h, k)
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
x = -1
(axe de symétrie)
Exemple #1 : f(x) = 3 | x + 1 | – 2
(h, k) = (-1, -2)
a = 3
(Sommet)
Pente = -3
Pente = 3
(Pente de la branche DROITE)
-a = -3
(Pente de la branche GAUCHE)
x = -1
(Équation de l’axe de symétrie)
1
1
Sommet (-1, -2)
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Équations et graphique
x=1
(axe de symétrie)
Exemple #2 : f(x) = - 2 | x – 1 | + 4
(h, k) = (1, 4)
a = -2
(Sommet)
Sommet (1, 4)
(Pente de la branche DROITE)
-a = 2
(Pente de la branche GAUCHE)
x = 1
(Équation de l’axe de symétrie)
1
1
Pente = 2
Pente = - 2
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Forme canonique <---> générale
Propriétés : | x | ≥ 0
| x | = |- x |
Ex. : | 5 | = | -5 |
|x•y| = |x|•|y|
Ex. : | 5 • 2 | = | 5 | • | 2 |
|5|
|5|
Ex. : | 2 | = | 2 |
|x|
|x|
=
|y|
|y|
Exemple #1 : Écrire l’équation f(x) = | 4x + 12 | + 6 sous la forme canonique.
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
=
=
=
=
| 4x + 12 | + 6
| 4 (x + 3) | + 6
|4||x+3|+6
4|x+3|+6
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Forme canonique <---> générale
Exemple #2 : Écrire l’équation f(x) = 3 | -2x – 6 | + 5 sous la forme canonique.
f(x) = 3 | -2x – 6 | + 5
f(x) = 3 | -2 (x + 3) | + 5
f(x) = 3 |-2 | | x + 3 | + 5
f(x) = 3 • 2 | x + 3 | + 5
f(x) = 6 | x + 3 | + 5
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Recherche de l’équation
Exemple #1 : Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction
valeur absolue si le sommet est à (3, 5) et que la fonction passe
par le point (5, 8).
f(x) = a | x – h | + k (forme CANONIQUE)
f(x) = a | x – 3 | + 5 car (h, k) = (3, 5)
8 = a | 5 – 3 | + 5 car la fonction passe par le point (x, y) = (5, 8)
8 = a|2|+5
3 = a|2|
3 = 2a
3 = a
2
Réponse :
f(x) = 3 | x – 3 | + 5
2
Exemple #2 : Déterminer l’équation sous la forme canonique de la fonction
valeur absolue si elle possède un maximum à 6 et que les zéros de
cette fonction sont -2 et 6.
Axe de symétrie
1- Illustrer la situation
2- Trouver le sommet (h, k)
Sommet (2, 6)
(h, k) = ( ?, 6)
Axe de symétrie : x = h
h est le point milieu des zéros
h = x1 + x2
2
h = -2 + 6
2
2
h =
Max
6
1
-2
1
6
(h, k) = ( 2, 6)
3- Trouver le paramètre a
f(x)
f(x)
0
0
-3
2
=
=
=
=
=
a|x–h|+k
a | x – 2 | + 6 en remplaçant (h, k) par (2, 6)
a | 6 – 2 | + 6 en remplaçant (x, y) par (6, 0), un des deux zéros
a|4|+6
a
Réponse : f(x) = - 3 | x – 2 | + 6
2
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Résolutions d’équations
Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = | x | – 6 .
Esquisse du graphique
0 = |x|–6
6 = |x|
-6 = x
6 = x
1
VALIDATION
0 = |-6|–6
0 = 6–6
0 = 0
1
0 = |6|–6
0 = 6–6
0 = 0
Réponse : x  { -6, 6 }
Sommet (0, -6)
Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = | 2x – 6 | – 10 .
0 = | 2x – 6 | – 10
10 = | 2x – 6 |
- 10 = 2x – 6
- 4 = 2x
-2 = x
10 = 2x – 6
16 = 2x
Esquisse du graphique
f(x) = | 2x – 6 | – 10
f(x) = | 2 (x – 3) | – 10
8 = x
VALIDATION
0 = | 2(-2) – 6 | – 10
0 = | 2(8) – 6 | – 10
0 = | -4 – 6 | – 10
0 = | 16 – 6 | – 10
0 = | -10 | – 10
0 = | 10 | – 10
0 = 10 – 10
0 = 10 – 10
0 = 0
0 = 0
Réponse : x  { -2, 8 }
1
1
Sommet (3, -10)
Exemple #3 : Résoudre | 2x – 10 | + 6 = 2 .
| 2x – 10 | = -4
Impossible !
2x – 10 = 4
2x = 14
x = 7
2x – 10 = -4
2x = 6
À rejeter
À rejeter
Esquisse du graphique
| 2x – 10 | + 6 = 2
| 2 (x – 5) | + 6 = 2
x = 3
VALIDATON
| 2(7) – 10 | + 6 = 2
| 2(3) – 10 | + 6 = 2
| 14 – 10 | + 6 = 2
| 6 – 10 | + 6 = 2
|4|+6 = 2
| -4 | + 6 = 2
4+6 = 2
4+6 = 2
10 ≠ 2
10 ≠ 2
Réponse :
xØ
Sommet (5, 6)
y=2
1
1
Exemple #4 : Résoudre | x – 2 | + 2x = 1 .
| x – 2 | = 1 – 2x
x – 2 = -(1 – 2x)
x – 2 = -1 + 2x
-x = 1
x – 2 = 1 – 2x
3x = 3
Esquisse du graphique
| x – 2 | = 1 – 2x
x = 1
x = -1
À rejeter
VALIDATON
| (-1) – 2 | + 2(-1) = 1
| (1) – 2 | + 2(1) = 1
| -3 | + -2 = 1
| -1 | + 2 = 1
3 + -2 = 1
1+2 = 1
1 = 1
3 ≠ 1
Sommet (2, 0)
1
1
y = 1 – 2x
Réponse :
x  { -1 }
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Résolutions d’inéquations
Esquisse du graphique
Exemple #1 : Résoudre | x | > 3 .
Commençons par résoudre :
|x| = 3
x = -3
y=3
x = 3
1
Sur une droite numérique :
1
Sommet (0, 0)
-3
0
3
Mathématiques SN
- La fonction VALEUR ABSOLUE -
Résolutions d’inéquations
Esquisse du graphique
Exemple #1 : Résoudre | x | > 3 .
Sur une droite numérique :
-3
0
3
y=3
Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur
choisie au hasard.
Par exemple, validons si x = 0 fait partie de l’ensemblesolutions :
1
1
Sommet (0, 0)
|0| > 3
0 > 3
FAUX, donc x = 0 ne fait pas
partie de l’ens.-solns.
Réponse : x  - ∞ , -3 [ U ] 3, + ∞
Exemple #2 : Résoudre | x – 7 | – 4 < -2 .
Commençons par résoudre :
| x – 7 | – 4 = -2
|x–7| = 2
x – 7 = -2
x = 5
Esquisse du graphique
x–7 = 2
x = 9
Sur une droite numérique :
1
0
5
7
9
Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur
choisie au hasard.
y = -2
1
Sommet (7, -4)
Par exemple, validons si x = 7 fait partie de l’ensemblesolutions :
| 7 – 7 | – 4 < -2
| 0 | – 4 < -2
0 – 4 < -2
– 4 < -2
VRAI, donc x = 7 fait partie de l’ensemble.-solns.
Réponse : x  ] 5, 9 [
Exemple #3 : Résoudre 2| x – 3 | – 4 ≤ 0 .
Commençons par résoudre :
2| x – 3 | – 4 = 0
2| x – 3 | = 4
|x–3| = 2
x – 3 = -2
Esquisse du graphique
x–3 = 2
x = 5
x = 1
Sur une droite numérique :
1
1
0 1
3
5
Déduire l’ensemble-solutions en validant une valeur
choisie au hasard.
Sommet (3, -4)
Par exemple, validons si x = 3 fait partie de l’ensemblesolutions :
2| 3 – 3 | – 4 ≤ 0
2| 0 | – 4 ≤ 0
–4 ≤ 0
VRAI, donc x = 3 fait partie de l’ensemble.-solns.
Réponse : x  [ 1, 5 ]