Transcript 陳逸維 - 陳正宗

BEM進度報告
(Degenerate scale)
Reporter: Yi-Wei Chen
Adviser: Jeng-Tzong Chen
大綱
BEPO2D
SVD
參考文獻
17 May, 2011
P.2
BEPO2D_book226
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P.3
BEPO2D_book226
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P.4
17 May, 2011
P.5
BEPO2D-實例模擬
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P.6
BEPO2D_triangle
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SVD
 矩陣之奇值分解的理論，起源於1873年E. Beltrami
發表之論文，不過Beltrami當時只討論實方陣之
SVD而已，直到1939年才由Eckart及Young二人將
SVD推廣至一般之矩陣。
 矩陣理論最有用的部分就是矩陣之分解，線性代
數中常見之矩陣分解如值譜分解、LU分解，必須
是方陣才有意義，無法應用於一般之矩陣。近三
十年來，矩陣之SVD一直是應用數學界熱門之研
究課題，最主要原因就是所有矩陣之SVD都存在。
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實矩陣之SVD
實矩陣之SVD有
r
T
T
A


uv

k
積之形式 A  U V 與 和之形式
k 1
實矩陣之SVD之應用方面，可分為在線性
代數本身之應用，如求矩陣之秩(rank)、矩
陣之範數(norm)等。
和之形式是應用在訊號傳輸問題。
Strang認為在許多求矩陣之秩的方法中，矩
陣之SVD的方法算是最可靠之方法。
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實矩陣SVD之重要性質
設A為一個m  n實矩陣，AAT 為m階實對稱方陣，而A T A為n階實對稱方陣。
求m階實對稱方陣AAT 與n階實對稱方陣A T A之固有值與固有向量之問題。
T
T

 AA 與A A之固有值都是非負之實數
 T
T

 AA 與A A有相同之正固有值
A之SVD的步驟如下:
1 求AAT 之固有值1  2    m  0，及其單範正交固有向量u1 , u 2 , , u m
 2  求A T A之固有值1  2    n  0，及其單範正交固有向量v1 , v2 , , vn
 3 取p= min  m,n ， k = k ，k=1,2,......p，
U=  u1 u 2 ... u m ，
 V=  v1 v 2 ... v n ，
 =diag  1, 2 ,..., p ，則A=UV T。
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1 1
A  0 1 
1 0 
 2 1 1 
 2 -1
T
AA   1 1 0  , AT A= 

-1 2 
 1 0 1 
 2 1
1
1
  1 0      1   3
1
0
 1
 2 
 
 6
 1 
1  3, u1   
 6
 1 
 6
 
 
0 
 
 1 
2  1, u2   
2
 
 1 
 2 
例題
 1 
 
 3
 1 
3  0, u3   
 3
 1 
 3
 
U  u1 u2
 2
1
1
 2
V   v1
 2

 6
 1
u3   
 6
 1
 6

0
1
2
1
2
1 

3
1 
3 
1 
3 
    1   3  0
 1 
 2
1  3, v1   
 1 
 2 
 1 
 2
2  1, v2   
 1 
 2 
 1
 2
v2   
 1
 2
1 
2

1 
2 
 1  1  3
 2  2  1
 1 0   3 0 


   0  2    0 1 


 0 0   0 0 
A之SVD為A  U V T，即
 2

6
1 1 
0 1    1

  6
1 0  
 1
 6

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0
1
2
1
2
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1 

3   3 0  1
 2
1 
0
1

 1
3  

0 0  

1 
 2

3
1 
2

1 
2 
參考文獻
[1]
[2]
陳正宗、洪宏基，邊界元素法 第二版。
溫英鴻，實矩陣SVD之應用的探討
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The End
Thank for you kind attention
退化核
z  ( s1 , s2 )  R ei ,z  ( x1 , x2 )   ei
ln z  ln R  i
ln z  ln   i
z 
z

ln( z  z )  ln  z (1  )   ln z  ln(1  ), R > 
z 
z

U ( s, x )
 ln r
 ln( z  z )
BasedonTaylor's series expansion
 ln

z
1 z
z
ln(1  )   ( ) m ,  1
z
z
m 1 m z


 ln R   ( )m cos(m(   )), R > 
m 1 R
  cos( )  R cos( )    sin( )  R sin( )
2
2
z m  ei m  m cos   isin m  m cos  cos   sin  sin  m
m

( )  ( i )  ( ) (
) ( ) (
)
 i
1
2
2
z
Re
R cos   i sin 
R
cos   sin 
U ( s, x)  ln R     cos m(   ),R  
m 1 m  R 

 m
 m
m
U ( s, x)  
m
 ( ) cos(   )  ( ) cos(m(   ))



1
R

e
R
R
U ( s, x)  ln      cos m(   ) ,  R


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m 1
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m  
Gamma Function

  z    e t t z 1dt (Gamma函數),
z  x  iy
0
Gamma函數在數學分析和微分方程中扮演著重要的角色，
它有著如下一些重要的基礎性質，例如:
  z+1 =z  z  ,
  z   1  z  

sin  z 
和一些重要的數值  參考文獻[5]
1
 n  2
 1 =1,      ,    
,   n  1  n !
n
2
2
其中n 是n維空間中的單位球表面積.
n/2
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Gamma Function
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