Transcript 05 Scomposizione

SCOMPOSIZIONE IN
FATTORI
“L’essenza della Matematica
risiede nella sua libertà”
G. Cantor
Saper scomporre un polinomio come
prodotto di fattori è importante perché:

Affrontando le frazioni algebriche sorge la
necessità di semplificarle, effettuare operazioni
con esse e perciò occorre calcolare M.C.D. e
m.c.m. tra polinomi
 Nell’affrontare lo studio di funzione può risultare
proficuo l’utilizzo della scomposizione in fattori
del polinomio che la rappresenta, ad esempio per
determinarne gli zeri (utilizzando la legge di
annullamento del prodotto) o per studiarne la
positività.
LAVORO IN CLASSE
ANALOGIE CON LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI IN N
Per scomporre un numero naturale in fattori primi esiste un
metodo certo: si divide il numero per tutti i numeri minori
di esso e si verifica quali sono i divisori. Se necessario si
può ricorrere all’utilizzo dell’elaboratore; altrimenti si utilizzano
i criteri di divisibilità che ci permettono di operare manualmente
ESERCIZI CHE EVIDENZIANO L’IMPORTANZA DELLA PROPRIETA’
DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE
RISPETTO ALL’ADDIZIONE
1\
1
•Calcola mentalmente la seguente
somma algebrica in Q:
4,5. 9  4,5.18  4,5. 1 
13
13
13
•Calcola rapidamente l’area della figura qui sotto:
4
2
3
2
5
2
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI
UN POLINOMIO
Scomporre un polinomio P(x) significa determinare
opportuni polinomi, diversi dall’unità, tali che,
moltiplicati tra loro diano come prodotto P(x)
ESEMPIO
Come già visto nella trattazione dei prodotti
notevoli sappiamo che:
9 x 2b 4  4a 2  (3xb 2  2a )(3xb 2  2a )
25 z 2  10 az  a 2  (5z  a ) 2
POLINOMI IRRIDUCIBILI
Come esistono i numeri primi, così esistono polinomi che non
si riescono a scomporre in fattori: tali polinomi si dicono
IRRIDUCIBILI
Occorre innanzi tutto stabilire in quale insieme si considerano i
coefficienti di polinomi considerati
Esempio:
x2  5
In Z[x] risulta irriducibile
In R[x] può essere scomposto attraverso il prodotto notevole
somma per differenza considerando 5  ( 5) 2
Per cui
x2  5  ( x  5)(x  5)
Risultati “parziali”
Il fatto che un polinomio sia scomponibile non significa che si
conosca un metodo per scomporlo: non c’è la possibilità di dividere
per tutti i polinomi di grado inferiore (non sono individuabili) come
invece è possibile fare per i numeri naturali.
Come per i numeri naturali, però è possibile stabilire dei “criteri”,
delle strategie per scrivere un polinomio sotto forma di prodotto di
altri polinomi.
Inoltre si può ricorrere all’utilizzo dell’elaboratore che con Derive
ci permette di risolvere i problemi piuttosto semplicemente.
Vediamo dapprima le strategie proposte e successivamente ci
recheremo in laboratorio per verificare gli esercizi risolti in classe.
1° STRATEGIA
RACCOGLIMENTO
Si utilizza la proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione
TOTALE: si mette in evidenza il fattore comune a
(può risultare utile raccogliere M.C.D.dei termini)
Esempio: ax+ay=a(x+y)
PARZIALE: si applica la proprietà distributiva a parti del
polinomio e successivamente si procede al raccoglimento
totale del fattore comune
Esempio: ax+by+ay+bx=
a(x+y)+b(x+y)=
(x+y)(a+b)
2° STRATEGIA
USO DEI PRODOTTI NOTEVOLI
Ritengo fondamentale che durante l’apprendimento dei prodotti
notevoli si insista anche su esercizi che propongono anche esercizi
di tipo inverso a quelli tradizionali: cioè di riconoscimento del tipo di
prodotto notevole che è stato applicato.
Ad esempio:
27a  27a  9a  1  (3a  1)
3
2
3
Questo sia per evitare che le regole dei prodotti notevoli siano
applicate in modo ripetitivo ed automatico, ma soprattutto per
preparare i ragazzi al riconoscimento dei polinomi che incontrano.
In questo modo questa parte di trattazione risulta limitata alla
risoluzione di esercizi, a suggerimenti da parte dell’insegnante di
quale prodotto notevole utilizzare, all’evidenziazione di alcuni errori
che spesso ricorrono.
LAVORO DI GRUPPO: “L’ESPERTO”
La classe si divide in gruppi da 4 persone. Ad ogni ragazzo viene
attribuito il ruolo di “esperto in un determinato prodotto notevole”.
Un elemento del gruppo ha il compito di riconoscere tra i vari
polinomi proposti la differenza di due quadrati, un altro deve
riconoscere il quadrato di binomio e così via: un prodotto notevole
per ogni ragazzo.
Viene data una lista di polinomi ad ogni gruppo e ogni esperto deve
riconoscere il “suo” prodotto notevole. I risultati vengono commentati
alla lavagna.
Vedi foglio allegato
LAVORO DI GRUPPO: “L’ESPERTO”
Successivamente, fornendo altri polinomi, i ragazzi si
scambiano i ruoli di “esperti”, anche se questa volta vengono inseriti
anche polinomi che non sono risultati di prodotti notevoli. I risultati
anche questa volta vengono commentati alla lavagna, sottolineando
il motivo per cui certi polinomi non sono il risultato di prodotti notevoli
Diamo un esempio di questa seconda lista:
Vedi foglio allegato2
NOTA: ovviamente si cerca sempre di inserire in questo tipo di esercizi
quelli che i ragazzi chiamano “tranelli”, ovvero possibilità di errore che
ricorrono frequentemente. Questo per aiutare i ragazzi ad avere quella
necessaria attenzione in questo tipo di esercizi.
SUGGERIMENTI PER INDIVIDUARE IL PRODOTTO NOTEVOLE
•Quanti termini ha il polinomio?
•Di che grado è?
•Prova a svolgere il prodotto notevole che tu ipotizzi che corrisponda al
polinomio in questione: tutti i termini coincidono?
Si spiegano altre relazioni non incontrate nello studio precedente dei
prodotti notevoli: somma e differenza di cubi e trinomio speciale
a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
a 3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
(x  m)(x  n)  x 2  mx  nx  mn  x 2  (m  n) x  mn
•Composizione di più prodotti notevoli, ad esempio:
a6  64  (a3  8)(a3  8)  (a  2)(a2  2a  4)(a  2)(a2  2a  4)
•Qualche “trucco”:
30 x 2  16 x  2 non si può applicare la proprietà distributi va e non è un quadrato di binomio;
lo riscrivo così:
30 x 2  10 x  6 x  2
10 x(3x  1)  2(3x  1)
(3x  1)(10 x  2)
ERRORI DA EVITARE
•Un modo per evitare errori dovuti ad un apprendimento meccanico
è giustificare (inizialmente anche per iscritto) quali procedimenti o
proprietà vengono applicate.
•Nei raccoglimenti, attenzione a mantenere sempre lo stesso numero
di termini; ad esempio spesso si commette un errore di questo tipo:
x3 y  2 x2 y  xy  xy ( x2  2 x)
•Non confondere la somma o la differenza di cubi con un cubo di
binomio che è formato anche dai tripli prodotti.
METODO PER “TESTARE” UNA FATTORIZZAZIONE
Sappiamo che se l’espressione fattorizzata è uguale a quella di
partenza, essa assume lo stesso valore per ogni numero assegnato
alla x: scegliamo un valore a piacere; se sostituendolo alla
espressione iniziale e a quella finale ottengo sempre lo stesso
valore, allora è probabile che la fattorizzazione sia esatta. Tuttavia
se le due espressioni sono diverse, allora sicuramente c’è un errore.
3° STRATEGIA:DIVISIONE TRA POLINOMI
TEOREMA DEL RESTO E
TEOREMA DELLA RADICE
Possediamo già le competenze necessarie per effettuare la divisione
tra due polinomi.
Esercizio in classe. Effettuare la seguente operazione:
(4 x2  2 x  6) : ( x  1)
Essa ha per risultato il polinomio 4x+2 e per resto –4
Consideriamo ora il divisore x-1: tale polinomio è nullo se sostituiamo
alla x il valore 1.
Proviamo ora a sostituire il valore 1 al posto dell’incognita nel
polinomio dividendo di partenza; avremo
4-2-6=-4 che coincide con il resto trovato dalla divisione.
Alla base di tutto ciò c’è il seguente teorema:
TEOREMA DEL RESTO
Sia P(x) Kx un polinomio di grado 1, il valore che si ottiene
sostituendo alla variabile x un numero kK con K  Q, R, C è il resto della
divisione di P(x) per il binomio (x-k) cioè:
Se P(x)=Q(x)(x-k)+R allora P(k)=R
Dimostrazione
Se il polinomio P(x) è diviso per (x-k), possiamo scrivere
P(x)=Q(x)(x-k)+R per ogni valore di x
Sostituendo k al posto di x avremo
P(k)=Q(k)(k-k)+R
Da cui P(k)=R C.v.d.
IMPORTANTE CONSEGUENZA: SE P(k)=0 ALLORA P(x) E’
DIVISIBILE PER (x-k)
DEFINIZIONE DI ZERO O RADICE DI UN POLINOMIO
Un numero kK con K  Q, R, C si dice zero o radice del polinomio
P(x) Kx se, sostituendo k al posto della variabile x risulta P(k)=0
LA CONSEGUENZA PRECEDENTE SI PUO’ ESPRIMERE
COSI’:
SE k E’ UNO ZERO DI P(x) ALLORA P(x) E’DIVISIBILE
PER (x-k)
TEOREMA DELLA RADICE (O DI RUFFINI)
Un polinomio P(x) è divisibile per (x-k) se e solo se P(k)=0 cioè
se k è uno zero del polinomio P(x).
Esercizio1: verifica se i binomi del tipo (x-k) sono divisori dei P(x)
senza eseguire le divisioni.
xk
P( x )
x 2  5x  6
x3
x2
x 3  3x 2  3x  1
x 1
x 1
4 4
x  3x 2  2 x  1 x  3
3
x4  x3  7x2  x  6 x  2
x
1
3
x2
Esercizio 2: dati i seguenti polinomi P(x) verifica quali dei valori a
fianco sono zeri dei polinomi a fianco
P( x )
x 3  2 x 2  16 x  32
Valori
 1, 0, 2,  2, 4,  4
3x 4  11x 3  5x 2  6 x  6
2 x 3  9 x 2  8x  15
 3, 2,  2, 3,  1, 1
x 4  81
3x 4  5 x 3  x 2  8 x  3
 3,  9,  1, 1, 3, 9
 5,  1,  3, 1, 3, 5
 3,  1,
1, 3, 5, 0
COME TROVARE IL BINOMIO (x-k) DIVISORE DI P(x)
TEOREMA: Dato il polinomio P(x) di grado n>0 con coefficienti
interi, i numeri razionali esprimibili mediante frazioni (ridotte ai
minimi termini) della forma k=s/t che sono suoi zeri sono
necessariamente tra quelli per cui il numeratore s è divisore del
termine noto e il denominatore t è divisore del coefficiente direttivo
ESERCIZIO: determina i possibili divisori del tipo (x-k) dei seguenti
polinomi e verifica, senza effettuare la divisione, quali lo sono
realmente
2 2
2
x y  5x 
3
3
3
2
5x 2  x 
7
49
x3 
APPROFONDIMENTO POMERIDIANO
(da effettuare con un gruppo di “potenziamento” di studio, non
comprendendo questa parte nella normale attività didattica e
soprattutto non nei tempi previsti)
COME ESCLUDERE ALCUNI POLINOMI (x-k)
1° considerazione:
TEOREMA: Se il polinomio P(x) di grado n>0 con coefficienti interi,
ha il coefficiente direttivo uguale al 1 e k è un divisore del termine
noto tale che p(k)  0, non solo k non è uno zero del polinomio, ma
non lo sono neppure quei divisori del termine noto la cui differenza
da k non sia un divisore.
2° considerazione:
REGOLA DI NEWTON
Come già sappiamo, condizione necessaria e sufficiente affinchè un
polinomio P(x) sia divisibile per (x-k) è che P(k)=0
Se ciò avviene e se k è intero e i coefficienti di P sono interi, avremo:
P(x) è divisibile per x-k
P(1) è divisibile per 1-k
P(-1) è divisibile per –1-k
…
E viceversa se una delle seguenti divisioni:
P(1) , P(-1) , ...
non è esatta, allora
1- k -1- k
P(x) non può essere divisibile per x-k
Cercando i divisori di P(x) della forma di x-k, dovremo escludere i
binomi per i quali tali frazioni non risultano intere, con P(1) e P(-1)
diversi da zero.
ESEMPIO
5
4
3
2
x

2
x

5
x

10
x
 3x  6
Dato il polinomio P(x):
I possibili zeri sono: +1,-1,+2,-2,+,-3,+6,-6
P(1)=1-2+5-10+3-6=-9, P(-1)=-1-2-5-10-3-6=-27
Con la regola di Newton possiamo escludere:
3 perché
-3 perché
6 perché
P (1)  9 9


1 3  2 2
P (1)  9
9


1 3
4
4
P (1)  9 9


1 6  5 5
P (1)  9
9


1 6
7
7
non intero
non intero
non intero
-6 perché
non intero
Non possiamo escludere 2 e –2 con la regola di Newton perché:
P(1)  9

 3
1 2 3
P(1)  9

9
1 2 1
e
Ricorrendo alla condizione necessaria e sufficiente: P(2)=0 e P(-2)=-156
Perciò l’unico zero del polinomio è 2
P( x)  ( x  2)(x 4  5x 2  3)
LA SCOMPOSIZIONE CON DERIVE
ESERCIZIO 1
Scomporre in fattori il seguente polinomio di Q[x]: 4 x 2  9
25
•Selezionare Author, scrivere il testo del polinomio e premere invio
•Dal menù Simplify, selezionare Factor
•Dal sottomenu scegliere Rational
ESERCIZIO 2
Scomporre in fattori il seguente polinomio: 2 x 2  5
Scegliendo dal sottomenu le diverse opzioni rational e radical
ESERCIZIO 3
Scomponi il seguente polinomio dapprima utilizzando, se riesci,
le strategie individuate in classe per scomporre in fattori, altrimenti
serviti di Derive:
2 x 4  26x 3  68x 2  126x  98
VERIFICA SOMMATIVA (1h con qualche esercizio in più)
ESERCIZIO 1
Stabilisci quali dei seguenti polinomi sono irriducibili e, nel caso sia
possibile, scomponi in fattori.
x 2  1 in Z x 
2x2 
4
in Qx 
9
x 2  5 in Z x 
x2  x 
1
in Q x 
4
x 2  2 3x  3 in R [ x ]
x 2  2 3x  3 in Q [ x ]
CONSIDERA ORA I COEFFICIENTI DEI POLINOMI IN R
ESERCIZIO 2
Trova l’errore nelle seguenti scomposizioni che utilizzano i prod. notevoli
9 x 2  6 x  1  (3x  1) 2
x 2  a 2  (a  x )( x  a )
1  (a  1) 2  a (2  a )
x4  y4  x2 y2  (x2  y2 )
4  x  (2  x )(2  x )
x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3  ( x  y ) 3
ESERCIZIO 3
Determina il resto ottenuto dalla divisione dei seguenti polinomi per i
binomi a fianco:
( x 2  x  6) : ( x  2 )
(2 x 3  4 x 2  x  1) : ( x  1)
ESERCIZIO 4
Determina quali dei valori a fianco rappresentano zeri dei polinomi:
2a 3  3a 2  3a  2
y3  7 y  6
2
1
,2,1,
3
2
 3,2,5,5
ESERCIZIO 5
Determina se i seguenti polinomi sono divisibili per i polinomi scritti
a fianco (senza eseguire la divisione):
4ax2  2a2 x  8a divisibile per 2a?
x 3  x 2  x  1 div. per x  1?
x 3  1 div. per
x  1?
x 2  4x  5 div. per x  5?
x 2  4x  4 div. per x  2?
x 3  2x  4 divisibile
ESERCIZIO 6
Scomponi in fattori i seguenti polinomi:
x 2 y  2 xy  3 y
( a  b) 3  1
1  6ax  a 2  9 x 2
x 2  2 x( x  y )  ( x  y ) 2
per x  2?
ESERCIZIO 7
Effettua le scomposizioni dei seguenti polinomi:
4 x 2  4 x 2 y 3  25  25y 3
x 3  3x 2  x  3
1
1
a  ax  ax2  ax3
27
3
a 6  b6  a 4b2  a 2b4
18a 2  a 4 b 4  81
x 2  4 y 2  x 2 y 2  4 xy  2 x 2 y  4 xy 2
(x2  y 2 )  4x2 y 2