Transcript Metode Simplek / Maksimasi
Srikandi Kumadji
DOSEN FIA UB
Srikandi Kumadji
DOSEN FIA UB
METODE SIMPLEX
METODE SIMPLEKS P E N D A H U L U A N
Kenyataan yang sering dihadapi oleh para manajer dalam pengambilan keputusan adalah kompleks.
Keputusan yang harus diambil tidak hanya untuk 2 variabel saja, bisa saja lebih, sementara metode grafik terbatas hanya 2 dimensi atau paling banyak mencakup 3 variabel.
Untuk mengatasi persoalan linier programming yang kompleks jelas menjadi tidak sederhana.
Satu cara sederhana (simple) dan efisien yang dapat menyelesaikan persoalan adalah dengan Metode Simplex, di mana metode ini menggunakan tabel yang unik yang sering disebut “Tabel Simplek”
METODE SIMPLEK ….lanjt
Metode simplek untuk linier programming dikembangkan pertama kali oleh George Dantzing pada tahun 1947, kemudian digunakan juga pada penugasan di Angkatan Udara Amerika Serikat. Dia mendemonstrasikan bagaimana menggunakan fungsi tujuan (iso profit) dalam upaya menemukan solosi diantara beberapa kemungkinan solosi sebuah persoalan linier programming.
METODE SIMPLEK ….lanjt
Proses penyelesaiaanya dalam metode simplek, dilakukan secara berulang-ulang (iterative) sedemikian rupa dengan menggunakan pola tertentu (standart) sehingga solusi optimal tercapai. Ciri lain dari metode simplek adalah bahwa setiap solusi yang baru akan menghasilkan sebuah nilai fungsi tujuan yang lebih besar daripada solosi sebelumnya.
MENYUSUN SOLUSI AWAL
Metode Simplek / Maksimasi
Untuk memperoleh pengertian yang lebih mudah dan cepat, dalam pembahasan ini kita gunakan persoalan yang meliputi 2 variabel riil saja (sekedar untuk cross cek) Dengan menggunakan contoh kasus perusahaan XYZ di muka, penyelesaian dapat dilakukan dengan beberapa langkah :
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 1. Menyususun Persoalan Dalam Matematik Maksimumkan : TR = 3000 X 1 + 3000 X 2 Kendala : P : 2 X 1 Q : 2 X 1 + X 2 + 3 X 2 < 30 < 60 R : 4 X 1 + 3 X 2 X 1 , X 2 < 72 > 0
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan Mengandung pengertian : tidak selalu kapasitas SD digunakan seluruhnya, di antaranya masih ada yang tersisa
Variabel Slack
ada kelonggaran (slack) untuk menambah sebuah variabel sehingga menjadi persamaan. Variabel baru ini disebut Variabel Slack = sejumlah unit kapasitas yang tidak dipakai dalam suatu Departemen/ SD.
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 2. Mengubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan Misal : S P = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. P S 1 = 30 - 2 X 1 - X 2 S Q = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep.Q S 2 = 60 - 2 X 1 - 3 X 2 S R = waktu yang tidak dipakai dlm. Dep. R Atau dari persamaan di atas dapat disusun : S 3 = 72 - 4 X 1 - 3 X 2 2 X 1 + X 2 + S 1 = 30 2 X 1 + 3 X 2 + S 2 = 60 4 X 1 + 3 X 2 + S 3 = 72
Metode Simplek / Maksimasi
Variabel Slack ini harus dimasukkan dalam fungsi tujuan dan kendala. Koefisien setiap variabel pada kedua fungsi tsb. harus terlihat dengan jelas. Oleh karena itu, untuk variabel yang tidak mempunyai pengaruh terhadap persamaan, koefisiennya harus ditulis dengan “nol”, sehingga tidak merubah hakekatnya.
Metode Simplek / Maksimasi
Misalkan, karena : S dan S 3 1, , S 2 dan S 3 tidak menghasilkan TR, S 2, tidak berpengaruh terhadap Dep. P, S 1 berpengaruh terhadap Dep. Q, dan S kendala dapat ditulis sbb. : 1, dan S 2 dan S 3 tidak berpengaruh terhadap Dep. R, maka fungsi tujuan dan tidak TR = 3000 X 1 + 3000 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 . P : 2 X 1 + X 2 + 1 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 = 30 Q : 2 X 1 + 3 X 2 + 0 S 1 + 1 S 2 + 0 S 3 = 60 R : 4 X 1 + 3 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 + 1 S 3 = 72
Metode Simplek / Maksimasi
TR = 3000 P : 2 Q : 2 R : 4 X 1 X 1 X 1 X + 3 + 3 1 + 3000 X 2 + X 2 X 2 X 2 + 1 + 0 + 0 S 1 S 1 S 1 + 0 S 1 + 0 + 1 + 0 S 2 S 2 S 2 + 0 S 2 + 0 + 0 + 1 + 0 S 3 S 3 S 3 S 3 .
= 30 = 60 = 72 Langkah 3. Memasukkan Fungsi Tujuan dan Kendala ke Tabel Simplek Cj Variabel Basis Kuanti tas 0 0 0 S 1 S 2 S 3 Zj Cj - Zj 3000 3000 0 X1 X2 S 1 0 S 2 0 S 3 30 60 72 2 2 4 1 3 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3000 3000 0 Zj = aij . Bi 0 0 Sollusi Awal, belum berproduksi, Zj = 0 R i
Metode Simplek / Maksimasi
MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA
Solusi awal menunjukkan perusahaan masih belum berproduksi.
Selanjutnya kita akan melakukan perubahan sehingga TR sebagai tujuan tercapai lebih baik. Jika tabel yang telah diperbaiki masih ada kemungkinan diubah untuk mencapai tujuan yang lebih baik lagi, maka perubahanpun terus berlanjut sampai tercapai solusi yang optimal.
Metode Simplek / Maksimasi
MENGEMBANGKAN SOLUSI KEDUA
Tahap-tahap perubahan dari tabel satu ke tabel yang lain disebut “pivoting”. Perhitungan solusi kedua dapat diikuti dengan langkah langkah berikut ini.
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk kan dalam solusi (going in)
Secara rasional, memilih varibel riil yang tepat adalah variabel yang mempunyai kontribusi menambah laba/TR atau mengurangi biaya yang paling besar. Dengan memilih nilai-nilai baris Cj - Zj pada kolom variabel riil yang terbesar, mengindikasikan adanya peningkatan laba/TR yang lebih baik.
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 1. Menentukan Variabel Riil yang akan dimasuk kan dalam solusi (going in)
Oleh karena Nilai Cj - Zj untuk kedua kolom variabel riil X 1 dan X 2 sama, maka bisa kita pilih salah satu. Misalnya saja, kita tentukan kolom X 2 , maka kolom X 2 tersebut dinamakan “ kolom optimum ”, yang bakal pertamakalinya masuk dalam kolom variabel basis.
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out) Pertama kali, kita membagi nilai-nilai dalam kolom variabel basis dengan nilai-nilai pada kolom optimum, dan kemudian hasil bagi-hasil bagi tersebut kita pilih yang paling kecil. Baris yang mempunyai nilai “ Ri ” terkecil bakal diganti atau dikeluarkan dari variabel basis.
Baris S 1 : 30 / 1 = 30 Baris S 2 : 60 / 3 = 20 dikeluarkan Baris S 3 : 72 / 3 = 24
Metode Simplek / Maksimasi
Langkah 2. Menentukan Variabel yang akan diganti (going out) Baris S 1 : 30 / 1 = 30 Baris S 2 : 60 / 3 = 20 dikeluarkan Baris S 3 : 72 / 3 = 24 Elemen-elemen (nilai) pada basis S 1 , S 2 dan S 3 di bawah kolom optimum, disebut elemen interseksi onal , yang akan berperan dalam perhitungan nilai nilai pada tabel berikutnya.
Aplikasi Langkah 1 dan Langkah 2
Cj VB Q 3000 X1 3000 X2 0 S 1 0 S 2 0 S 3 Iterasi 1 0 0 0 S 1 S 2 S 3 Zj Cj - Zj 30 60 72 0 2 2 4 0 3000 1 3 3 0 3000 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Iterasi 2
Langkah 1 : menentukan kolom optimum (going in)
0 0 1 0 0
Langkah 2 : menentukan baris optimum (going out)
R i 30 20 24
Cj VB Iterasi 1 0 0 0 Sp Sq Sr Zj Cj - Zj Iterasi 2 0 3000 B 0 Sp Sr Zj Cj - Zj Zj Cj - Zj Q 3000 3000 A B 30 60 72 0 10 20 12 2 2 4 1 3 3 0 0 3000 3000 2/3 2 1 1 / 3 1 0 1000 0 0 Sp 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sq 0 1 0 0 0 1 1/3 -1 1000 0 Sr 0 0 1 0 0 -1/3 0 1 0 0 Ri 30 20 24 0 Menentukan / Menghitung : - Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 60/3 = 20 ; 2/3 = 2/3 ; 3/3 = 1; 0/3 = 0 ; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0 - Nilai baris baru yang lain : NBBL= NBL
(N Intsek x NBBM) Baris Sp : 30
( 1 x 20) = 10 2
1
1
0
0
( 1 x 2 / 3 ) = 1 ( 1 x 1) = 0 ( 1 x 0) = 1 ( 1 x 1/3) = ( 1 x 0) = 0 1 1 / / 3 3 Baris Sr : 72
( 3 x 20) = 12 4
( 3 x 2 / 3 ) = 2 3
0
0
1
( 3 x 1) = 0 ( 3 x 0) = 0 ( 3 x 1 / 3 ) = -1 ( 3 x 0) = 1
Cj MENGEMBANGKAN SOLUSI VB KETIGA 3000 3000 Q A B Iterasi 2 0 3000 0 Sp B Sr 12 10 1.3333 0 20 0.6667 1 2 0 Zj 60000 2000 3000 Cj - Zj 1000 0 Iterasi 3 0 3000 Sp 2 0 0 B 16 0 1 0 0 0 Sp 0 Sq 0 Sr 1 - 0.333 0 0 0.333 0 0 - 1 1 0 0 1000 -1000 0 0 1 0,333 - 0,667 0 Ri 7.5 30 6
NILAI-NILAI Cj - Zj < 0 SOLUSI OPTIMAL
Menentukan / Menghitung : - Kolom optimum : pilih nilai Cj - Zj yang terbesar - Baris yang diganti : Pilih nilai Ri yang terkecil Ri = nilai Q / kolom optimum - Nilai baris baru yang masuk : NBBM = NBL : N Insek : 12/2 = 6 ; 2/2 =1 ; 0/2 = 0; 0/2 = 0; -1/2 = - 0,5; 1/2 = 0,5 - Nilai baris baru yang lain : NBBL= NBL
(N Intsek x NBBM) Baris Sp : 10
(1,33 x 6) 1,33 - 0,33 Baris B : 20
(0,67 x6) 0,67 1 0 0 1 0
0,33
0
(1,33 x1) (1,33 x 0) = 0 (1,33 x 0) = 1 (1,33 x -0,5) = 0,33 (1,33 x 0,5) = - 0.67
(0,67 x 1) = 2 = 0 = 16 = 0 (0,67 x 0) = 1 (0,67 x 0) = 0 (0,67 x - 0,5) = 0,67 (0,67 x 0,5) = - 033
Cj VB Q 3000 3000 0 X 1 X 2 S 1 Iterasi 3 0 S 1 3000 X 2 2 16 0 0 0 1 S 0 2 S 0 3 Ri 1 0.3333 -0.6667 0 0.6667 -0.3333 3000 X 1 6 1 0 0 -0.5 0.5
2
Zj 66000 3000 3000 0 Cj - Zj
Baris Sp = 2 (Sisa Sbrdaya P) Baris X2 = 16 (Jml Prdksi X2) Baris X1= 6 (Jml Prdksi X1) Baris Zj = 66000 (TR max.)
0 500 500
Nilai
0
2
0 -500 -500
TR jika variabel riil ditambah 1 unit variabel riil ditambah 1 unit : Jika positif menunjukkan kemungkinan tambahan Jika negatif menunjukkan pengurangan TR jika Anga-angka dalam kwadran matrik (input-output) atau diberi simbul a pada baris.
ij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sbrdaya Nilai 2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal Nilai 2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel Slack : menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack
INTERPERTASI EKONOMI TABEL SIMPLEK Cj VB Q 3000 3000 0 X 1 X 2 S 1 0 S 2 0 S 3 Iterasi 3 0 3000 X S 1 2 2 16 0 0 0 1 1 0.3333 -0.6667 0 0.6667 -0.3333 3000 X 1 Cj - Zj 6 1 Zj 66000 3000 3000 0 0
Nilai 2
0 0 0 0 -0.5
variabel riil ditambah 1 unit
0.5 500 500 -500 -500
:
Ri
Angka-angka dalam kwadran matrik (input-output) atau diberi simbul a pada baris.
ij menunjukkan MRTS atau Koefisien Teknologi antara kegiatan pada kolom dengan sbrdaya Nilai 2 di baris Zj menggambarkan berkurangnya TR (oportunity cost) akibat tambahan 1 unit kegiatan riil atau disposal Nilai 2 Negatif pada Baris Cj-Zj di bawah kolom variabel Slack : menunjukkan tambahan TR yg dapat dicapai jika ditambahkan 1 jam lagi pada departemen diwakili variabel slack
CONTOH : PERUSAHAAN PNT
Metode Simplek / Minimasi
Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat).
Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %. Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak masing masing bahan digunakan agar biaya minimal . FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI) Minimumkan : Cost = $ 3X 1 + $ 8X 2 Kendala : X 1 + X X 1 2 = 200 pon < 80 pon X 1 X 2 > 60 pon dan X 2 > 0
CONTOH : PERUSAHAAN PNT
Metode Simplek / Minimasi
Perusahaan Nutrisi Ternak (PNT) khusus menghasilkan makanan campuran sebagai makanan tambahan, mendapat pesanan makanan campuran "141-B" dengan ukuran/paket 200 pon. Makanan Campuran tersebut terdiri dari dua bahan ramuan , yaitu P (sumber protein) dan C (sumber karbohidrat).
Biaya bahan protein sebesar $ 3 per pon, sedang bahan karbohidrat sebesar $ 8 per pon. Dalam makanan campuran itu kandungan Protein (P) tidak boleh melebihi 40 % dan kandungan bahan Carbohidrat (C) paling tidak tersedia 30 %. Persoalan PNT adalah menetapkan berapa banyak masing masing bahan digunakan agar biaya minimal . FORMULASI MATEMATIKA PERSOALAN ( IDENTIFIKASI) Minimumkan : Cost = $ 3P+ $ 8C Kendala : P + C = 200 pon P < 80 pon C > 60 pon P dan C > 0
Metode Simplek / Minimasi
SOLUSI AWAL
Merubah persamaan dan pertidaksamaan pada kendala - Untuk tanda Persamaan ( = ) harus ditambah dengan variabel
Artifisial (A)
- Untuk Pertidaksamaan”lebih besar sama dengan” ( > ) harus dikurangi variabel
surplus
(S) dan ditambah variabel
Artifisial (A)
- Untuk Pertidaksamaan kurang sama dengan ( < ) harus ditambah variabel
slack (S)
Untuk Kendala : X 1 + X 2 X 1 X 2 = 200 < 80 > 60 X 1 X 1 X 2 + X 2 + S 1 S 2 + A 1 = 80 + A 2 = 200 = 60
Metode Simplek / Minimasi
SOLUSI AWAL
Koefisien teknologi (parameter) masing-masing variabel , secara ekplisit harus ditulis, dengan ketentuan yang tidak ada pengaruhnya ditulis nol Nilai biaya untuk variabel Artifisial diberi nilai yang sangat besar (M), dan untuk variabel Slack/Surplus = 0 Secara lengkap : Minimize: Cost = 3 X 1 X 1 + X 2 X 1 + 8 + A 1 X + S 1 2 X 2 + 0S S 1 2 + 0S + A X 1 , X 2 , S 1 , S 2 , A 1 , A 2 2 2 + MA 1 = 200 = 80 = 60 > 0 + MA 2
SOLUSI TABEL SIMPLEK
Cj $M $0 $M $M $0 $8 $M $3 $8 $0 $3 $8 BV
A1 S1 A2 Zj
Cj –Zj
A 1 S 1 X 2 Zj
Cj –Zj
A 1 X 1
X 2
Zj
Cj –Zj
S 2 P
C
Zj
Cj –Zj Quantity 200 80 60 $260M 140 80 60 $140M+$480 60 80 60 $60M+ $720 60 80 120 $1200 $3 X 1 1 1 0 $M $3
$M 1 1 0 $M $3 - $M 0 1 0 $3 $0 0 1 0 $3 $0 $8 X 2 1 0 1 $2M $8
$2M 0 0 1 $8 $0 0 0 1 $8 $0 0 0 1 $8 $0 1 0 0 $M $0 1 0 0 $M $0 $M A1 1 0 0 $M $0 1 0 1 $8 $M
$8
Metode Simplek / Minimasi
$0 S1 0 1 0 $0 $0 0 1 0 $0 $0
1 1 0 $3
$M $M
$3
1 1
1
$5 $5 $0 S2 0 0
1
$M $M 1 0 -1 $M-$8 $8-$M 1 0 -1 $M
$8 $8
$M 1 0 0 $0 $0 $M A2 0 0 1 $M $0 -1 0 1 $8-$M $2M-$8 -1 0 1 $8
$M $2M
$8 -1 0 1 $8 $M - $8 Ri 200 - 60 140 80 - - 60 - 60
SOLUSI TABEL SIMPLEK
Cj $M $0 $M $M $0 $8 $M $3 $8 $0 $3 $8 BV
A1 S1 A2 Zj
Cj –Zj
A 1 S 1
C
Zj
Cj –Zj
A 1 X 1 X 2 Zj
Cj –Zj
S 2 X 1 P X 2
C
Zj
Cj –Zj Quantity 200 80 60 $260M 140 80 60 $140M+$480 60 80 60 $60M+ $720 60 80 120 $1200 $3 P 1 1 0 $M $3
$M 1 1 0 $M $3 - $M 0 1 0 $3 $0 0 1 0 $3 $0 $8 C 1 0 1 $2M $8
$2M 0 0 1 $8 $0 0 0 1 $8 $0 0 0 1 $8 $0 $M A1 1 0 0 $M $0 1 0 0 $M $0 1 0 0 $M $0 1 0 1 $8 $M
$8
Metode Simplek / Minimasi
$0 S1 0 1 0 $0 $0 0 1 0 $0 $0
1 1 0 $3
$M $M
$3
1 1
1
$5 $5 $0 S2 0 0
1
$M $M 1 0 -1 $M-$8 $8-$M 1 0 -1 $M
$8 $8
$M 1 0 0 $0 $0 $M A2 0 0 1 $M $0 -1 0 1 $8-$M $2M-$8 -1 0 1 $8
$M $2M
$8 -1 0 1 $8 $M - $8 Ri 200 - 60 140 80 - - 60 - 60
DUALITAS ANTARA MAKSIMASI dan MINIMASI Untuk setiap permasalahan optimasi yang mempunyai kendala/pembatas, akan terdapat “ permasalahan dual Hubungan ini disebut sebagai dualitas (duality) ”, yaitu dengan memaksimasi atau meminimasi fungsi ken dala dan fungsi tujuan sebelumnya menjadi kendalanya.
Permasalahan yang pertama disebut dengan “ primal ” dan permasalahan kedua disebut dengan “ dual ”.
Jadi misalnya, jika permasalahan primalnya adalah maksimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi dual, yaitu minimasi kendala dengan kendalanya adalah fungsi tujuannya.
Demikian sebaliknya, jika permasalahan primalnya adalah minimasi tujuan dengan kendala tertentu, maka sekarang menjadi maksimasi kendala dengan fungsi tujuan sebagai kendalanya.
Dengan demikian dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang saling berlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.Bentuk
Dual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagai berikut:
Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)
Koefisien fungsi tujuan …………… Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) ………… Minimumkan Y (atau Z) Batasan i …………………………… Variabel yi (atau xi) Bentuk < …………………………. yi > 0 Bentuk = …………………………… yi > dihilangkan Variabel Xj ………………………. . Batasan j Xj > 0 ………………………………. Bentuk < Xj > 0 dihilangkan ………………… Bentuk =
Contoh 1:
Primal
Minimumkan Z = 5X 1 + 2X 2 + X 3 Fungsi batasan: 1) 2X 1 2) 6X 1 3) 7X 1 X1 , X2 , X3 > 0
Dual
Maksimumkan Z ’ = 20Y 1 + 3X + 8X + X + 30Y 2 2 2 2 + X + 5X + 3X 3 3 + 40Y 3 3 > 20 > 30 > 40 Fungsi batasan: 1) 2) 3) 2Y 1 3Y 1 + 6Y + 8Y Y 1 + 5Y 2 2 2 + 7Y 3 < 5 + Y 3 < 2 + 3Y 3 < 1
CONTOH : ( Ek. Mikro)
PRIMAL Maksimumkan : Q = L . C Kendala : 1200 = 30L + 40C L dan C optimum = ?
Jawab Slope Isoquant = Slope Budget Line
MPL C / L / MPC = C = 3
= / 4 30 /
L 40 PL / PC
1200 = 30L + 40 ( 3 / 4 L ) 1200 = 60L Jadi : L = 20 dan C = 15 Q max. = 20 x 15 = 300 DUAL Minimumkan : B = 30L + 40C Kendala : 300 = L . C L dan C optimum = ?
Jawab Slope Isoquant = Slope Budget Line
d C / d L =
PL / PC
300 / L 2 =
30 / 40
L 2 = 400 Jadi : L = (400) 1/2 C = 15 B min.
= 20 dan = 30(20) + 40 (15 ) = 1200
CONTOH : USAHA KATERING (RANGSUM)
Kasus Primal sebuah usaha kesehatan dalam rangka membuat susunan rangsum dari berbagai bahan makanan dengan biaya murah adalah sbb. : Minimumkan : Z = 150X 1 Kendala : Protein : 8,3 X 1 Karbohidrat : 5 X Lemak : 0,4 X Vitamin : 6 X Zat Besi : 24,9 X 1 1 1 1 + 100X + 246 X 2 + 26 X 2 + 793 X 2 + 93 X 2 + 243 X 2 2 + 350X + 17,2 X 3 + 595 X 3 + 14,8 X 3 + 61,6 X 3 + 810 X 3 3 + 250X + 5,2 X + 3,1 X + 0,6 X + 6,8 X + 16,4 X 4 4 4 4 4 4 + 320X + 2,01 X 5 + 4 X 5 + 0,16 X 5 + 2,05 X 5 + 0,57 X 5 5 > 70 > 3000 > 800 > 40 > 12
Dimana : X 1 X 2 X 3 = Nasi = Sayur = Lauk pauk X 4 X 5 = Buah = Susu
Buatlah model Dual persoalan di atas, dan selesaikan !
JAWAB :
Maksimumkan : Z’ = 70Y 1 Kendala : + 3000Y 2 X 1 : 8,3 Y 1 + 5,0 Y 2 X 2 : 246 Y 1 + 26 Y 2 X 3 : 17,2 Y 1 + 595 Y 2 X 4 : 5,2 Y 1 + 3,1 Y 2 X 5 : 2,01 Y 1 + 4 Y 2 + 0,4 Y + 793 Y + 14,8 Y + 0,6 Y 3 3 3 3 + 800Y + 6,0 Y + 93 Y + 61,6 Y + 6,8 Y 4 4 4 4 3 + 40Y 4 + 12Y + 24,9 Y 5 < 150 + 243 Y 5 < 100 + 810 Y 5 < 350 + 16,4 Y 5 < 250 + 0,16 Y 3 + 2,05 Y 4 + 0,57 Y 5 < 320 Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 , Y 5 > 0 5
SOLUSI
Cj Langka 1 0 0 0 0 0 Basic Variable slack 1 slack 2 slack 3 slack 4 slack 5 zj cj-zj Langkah 2 0 0 3,000 0 0 Langkah3 0 800 3,000 0 0 Quantity 150 100 350 250 320 0 70 Y1 8.3 246 17.2 5.2 2.01 0 70 3000 Y2 5 26 595 3.1 4 0 3,000 800 Y3 0.4 793 14.8 0.6 0.16 0 800 40 Y4 6 93 61.6 6.8 2.05 0 40 12 Y5 24.9 243 810 16.4 0.57 0 12 slack 1 147.0588 8.1555 0 0.2756 5.4824 18.0933 slack 2 84.7059 245.2484 0 792.3533 90.3082 207.605 Y2 0.5882 0.0289 1 0.0249 0.1035 1.3613 slack 4 248.1765 5.1104 slack 5 317.6471 1.8944 0 0 0.5229 6.4791 12.1798 0.0605 1.6359 -4.8754 zj cj-zj 1,764.71 86.7227 3,000 74.6218 310.5882 4,084.03 -16.7227 0 725.3782 -270.588 -4,072.03 slack 1 147.0294 8.0701 Y3 Y2 0.1069 0.3095 0.5856 0.0212 slack 4 248.1206 4.9485 slack 5 317.6406 1.8756 zj cj-zj 1,842.25 311.241 3,000 -241.241 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 800 0 5.4509 18.0211 0.114 0.262 0.1007 1.3548 6.4195 12.0428 1.629 -4.8912 393.263 4,274.09 -353.263 -4,262.09 1 0 0 0 0 0 0 0 slack 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 slack 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -0.0003 -0.0084 0.0013 -0.0001 0 0.0017 -0.0007 -0.0052 -0.0001 -0.0067 0.9155 5.002 -0.9155 -5.002 0 slack 3 0 0 1 0 0 0 0 -0.0084 -0.0437 0.0017 -0.0052 -0.0067 5.042 -5.042 0 0 0 1 0 0 0 0 slack 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 slack 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
Soal N0. 8 Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba maksimum.
a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.
b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.
SOAL N0. 8
Soal N0.12
Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit. Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masing masing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan; satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2 menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masing masing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik itu serendah mungkin.
a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.
b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.
KASUS Obat
KASUS Usaha Ternak
Min. TC = 60A + 100K Stc. Pr : 20 A + 40 K > 30 Lm : 2 A + 0,5 K > 1 Prod. : 1 A + 1 K < 1 A, K ,> 0
Sd A K kap Pr Lm Prod Solusi TC 20 2 1 0,36 21,43 40 0,5 1 0,57 57,14 > 30 > 1 < 1 78,57 Slac k 0 0 0,07
KASUS Della & Pandu
Mak. L = 2C + 2T Stc. K : 8 C + 6 T < 120 Tom : 3 C + 6 T < 90 B : 3 C + 2 T < 45 Prod : 1 C + 1 T < 24 C, T > 0
Sd K Tom B Prod Solusi Laba C 8 3 3 1 6 12 T 6 6 2 1 12 24 kap < 120 < 90 < 45 < 24 Slack 0 0 3 6 36
KASUS Untitled
Mak. L = 3 X + 2 Y Stc. A : 3 X + 2 Y < 120 F : 1 X + 2 Y < 80 Pro X : 1 X + 0 Y > 10 Pro Y : 0 X + 1 Y > 10 X, Y > 0
Sd A X 3 F Pro X Pro Y 1 1 Solusi 33,33 Laba 100 Y 2 2 1 10 20 kap < 120 < 80 > 10 > 10 S 0 26,67 13,33 0 120