1.c. Correction paraxiale (Davis) 1/4

• Utilisation du vecteur 

B rot i grad ik

potentiel A et potentiel 

E

  

k

( 

A

) (

div

( 

A

))  

A

scalaire Φ.

 

i k div



A



A

 

e



ikz

(1) (2) (3) (4) • Equation d’Helmohtz pour Ψ :  ²   2

ik

  

z

• Changements de variables :  0

x



w

0 

y



w

0 

z



l



l



kw

0 ² w 0 : waist l : longueur de diffraction

1.c. Correction paraxiale (Davis) 2/4

• L’équation d’Helmohtz pour Ψ devient :    ²   ²   ²   ²     2

i

    

s

²  ²    ²  0 Avec s=w 0 /l • Décomposition en série de Ψ car w 0 >> λ et s<<1 :    0 

s

²  2 

s

4  4 ........

• Si on ne prends que les deux premiers ordres de Ψ pour les intégrer dans l’équation ci-dessus on obtient :    ²   ²   ²   ²    0  2

i

  0    0 Ordre 0 : tous les termes en s 0    ²   ²   ²   ²    2  2

i

  2     ²    0 ²  0 Ordre 2 : tous les termes en s 2

1.c. Correction paraxiale (Davis) 3/4

• Pour l’ordre zéro, on retrouve bien l’équation paraxiale pour Ψ 0 .

Solution du mode fondamental : Avec :

Q



i

1  2  et  0  exp  

i

(

P



Q

 ²) 

iP

  ln  ²   ²   ²  ²(

z

)   0 ²  1  4  ²  4  ²   

z z r

  2

iQ

     0   2 

il

2

R

1.c. Correction paraxiale (Davis) 4/4

=> que 

A



A e

ˆ 1 donc on peut réduire l’équation (2) : 

E

   

i k

 ²

A



x

²  

ikA



e

1 

i k

 ²

A



y



x e

ˆ 2 

i k

 ²

A



z



x e

ˆ 3 • On effectue un changement de variable sur l’équation : => 

E

 

ik

    

s

²  ²

A

  ² 

A

 

e

ˆ 1 

s

²  ²

A

   

e

ˆ 2 

s

3  ²

A

   

e

ˆ 3    • La composante transverse de E implique seulement les puissances paires de s alors que la composante longitudinale, les puissances impaires de s.

2.a. Résultat exact vectoriel

• • Résultat satisfaisant les équations de Maxwell fonction de 

E

  

c

²   ²

t Z

² 

Z

  (  .

Z

 ) 

B Z

 

c

  

E



Z

 

t



B Z

 est polarisé linéairement à partir de Zx on peut déduire les composantes Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz

2.a. Résultat exact vectoriel

• Les calculs de résolution se font de manière spectrale (transformée de Fourrier) et on pose une condition limite en z=0 tel que Zx soit une gaussienne.

• Les résultats montrent que contrairement à l’approximation paraxiale scalaire pour une polarisation linéaire en x les composantes Ey et Ez ne sont pas nulles

2.b. Mise en évidence du paradoxe 1/2

• Equation de propagation de E :  ² 

E

  2

K

* 

E

 0

c

(a) Avec

K

   0 

i

      0 • Or pour trouver cette solution on a supposé divE=0 et en général on suppose que Ex dépend de x,y,z =>divE≠0 • Mise en évidence du second paradoxe :

E x

 

e ikz

2.b. Mise en évidence du paradoxe 2/2

• On obtient l’équation d’Helmohtz pour ψ à partir de (a):  ²   2

ik

  

z

 • Approximation paraxiale :

k

²   ²  

z

²   

w c



k

  

z

2

K

 

T

²   2

ik

  

z



k

²     

c

2

K

 • Maintenant nous allons voir comment faire pour éviter les 2 approximations qui ont été faites : divE et  ²  

z

² 

k

  

z

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 1/3

• On suppose un champ se propageant selon z : 

E

 

E T



E z z



e ikz



F T



F z z

 • D’après Maxwell on a :

grad

(

div



E

)   

E



rot

(

rot



E

)    

w c

   2 

K E w c

2

K E

• Si maintenant on calcule les termes réels de cette équation.

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 2/3

• On effectue les changements de variables habituels, on obtient ensuite des équations pour le mode transverse ( ξ,η) et longitudinal (ζ) en fonction de F ζ et

F

 .

• Si on décompose en série de s, F ζ et

F



F F

  

F

 ( 0 ) 

s

²

F

 ( 2 )  ....



sF

 ( 1 ) 

s

3

F

 ( 3 )  ....

2.c. Correction vectorielle de l’approximation 3/3

• Les équations finales permettent de résoudre le paradoxe pour les 2 premiers ordres = > E n’est que transverse.

• Pour les ordres supérieurs, une petite composante longitudinal apparaît.

• Il existe une procédure pour calculer les ordres supérieurs de la correction.

• •

2.d. Comparaisons des différentes approximations

: :

E

.

E



PSA E

.

E E

.

E



exact



PSA E

.

E



PVA

 0   PSA : Approximation paraxiale Scalaire PVA: Approximation paraxiale Vectorielle

2.d

E

.

E



PSA E

.

E E

.

E



exact



PSA E

.

E



PVA

• à:  0  10  PSA : Approximation paraxiale Scalaire PVA: Approximation paraxiale Vectorielle

2.d Conclusions

  10  acceptables  imprécises  10    10  un faisceau gaussien avec une lentille de très forte convergence, pour l’utilisation des lasers semis conducteurs pour lesquels le waist est comparable à la longueur d’onde

3.a Cas de la polarisation croisée

I. Modèle 2D connu

Polarisations et incidence de Brewster

– Faisceau incident polarisé P linéairement – – – P: il y a un champ électrique dans le plan d’incidence Angle de Brewster  1   2   2 Coefficient de réflexion:

Rp

 tan(  1   tan(  1   2 ) 2 )

3.a Cas de la polarisation croisée

II. Modèle 3D Faisceau incident polarisé linéairement et très fortement focalisé On est dans le cas  0   Le faisceau comporte des composantes en x,y et z

3.a Cas de la polarisation croisée

II. Modèle 3D • Les calculs et l’expérience montrent que si on se place à incidence de Brewster avec un faisceau Gaussien « exact » polarisé P, il existe alors un faisceau réfléchit polarisé P et S TEM 01 TEM 10 Preuve que le faisceau incident n’est pas polarisé strictement linéairement Dans le cas  0  

3.a Modèle 3D Polarisation radiale

• Le rayon réfléchit obtenu est la composition d’une onde TEM 10 et TEM 01 d’énergies différentes Permet des focalisations en un point plus net qu’avec d’autres polarisations