Transcript 期权定价与套利

期权系列培训(二)
期权定价与套利
资产管理部 杨冰笋
智慧浙商 期货领航
目录
 期权二叉树定价
 期权Black-Scholes定价
 无风险套利—单个期权
 无风险套利—多个期权
 垂直价差
 凸性关系
 无风险套利—箱式套利
构建投资组合1

构造组合：买入看涨期权C，并持有现金Ke-rT
利润
组合
看涨期权多头
K
现金
K-C
S
-C
K
ST
构建投资组合2

构造组合：买入股票S，并买入执行价为K的Put
利润
股票多头
组合
K-P
S-P
S
-P
X
ST
看跌期权多头
投资组合现金流
组合1
组合2
t=0
C+Ke-rT
S+P
t=T ST>K
S
S
t=T ST<K
K
K
PUT-CALL平价公式(Put-Call Parity)



买卖权平价公式(Put-Call Parity)：
C+Ke-rT=P+S
 rT
c

D

Ke
 pS
含股息欧式期权:
c  Ke rT  p  Se qT
美式期权： S0  D  K  C  P  S0  KerT
S0eqT  K  C  P  S0  KerT

美式期货期权： F0erT  K  C  P  F0  KerT
衍生品定价的两大假设

无套利原理

风险中性市场
概率测度的改变只影响伊藤过程的漂移项
概率测度的改变不影响扩散系数
简单分析

假定S=100,由于股票价格的波动率,到期时价格可能上扬为Su,也可能
下跌为Sd。u=1.1,d=0.9,看涨期权的执行价格为100：
风险资产
期权
110
100
10
C
90
0
期权二叉树定价

假设: 在任何一个给定的时间,金融资产的价格以事先规定的比例上升
或下降。如果资产价格在时间t的价格为S, 它可能在时间段t+∆t内上
升到Su或下降到Sd。假定对应的期权价格也上升到Cu,或下降到Cd.
风险资产
期权
Cu
Su
S
C
Sd
Cd
如何定价？

基本思路是无风险套利原理，即构建一个组合，其期权的损益与投资
组合的损益一致，否则会存在无风险套利机会。假定套利者卖出一份
股票期权,价格为V,再以价格S买进  份这种股票,那么该组合的价格
为
   S V

组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无风险利率，那么在期权到
期日,组合的价值为
T  R  R ( S  V )
其中：
R  e rT
无风险套利组合

另一方面，如前面分析，这组合的在期权到期日的价值为
 Su  Vu (股价上涨时)
T   ST  VT  
 Sd  Vd (股价下落时)

由于组合无风险
 Su  Vu   Sd  Vd

Vu  Vd

S (u  d )
d
u
Vu 
Vd
ud
ud

V 
T 


1 Rd
uR
[
Vu 
Vd ]
R ud
ud
将数据代入 R=e0.1×0.5, u = 1.1,d = 0.9,得到V = 4.454
再作分析

公式
1 Rd
uR
V [
Vu 
Vd ]
R ud
ud
其中
p
Rd
ud
1 p 
uR
ud
注意：p 是股票在风险中性市场中价格上涨的概率,1- p为价格下跌的
概率，于是
1
V  [ pVu  (1  p)Vd ]
R
二叉树定价
56.05
16.39
49.94
13.58
42
4.83
44.49
6.51
39.64
2.79
47.14
8.56
42
4.04
37.42
1.27
44.49
6.71
39.64
2.02
35.32
0.34
52.91
13.58
47.14
7.81
42
3.16
37.42
0.61
49.94
10.28
44.49
4.83
39.64
1.11
35.32
0
33.34
0
59.30
19.39
52.91
16.39
47.14
7.14
42
2
37.42
0
33.34
0
31.47
0
29.70
0
股票价格的运动过程
dS
  dt   dz , dz   dt
S
其中:
dS
：股票的瞬间收益率
S
 ：股票的期望瞬间收益率
 ：股价收益率的瞬间标准差
伊藤引理（Ito’s lemma 1951）
伊藤引理描述了随机过程x 遵循伊藤过程时函数G(x,t)的运动过程
伊藤引理：若随机过程 x 遵循伊藤过程：
dx  a( x, t )dt  b( x, t )dz
则G(x,t)将遵循如下伊藤过程：
G
G 1  2G 2
G
dG  (
a

b )dt 
bdz
2
x
t 2 x
x
由于任何衍生品价格均为其标的资产价格及时间的函数
因而可利用伊藤引理推导衍生品价格的运动过程
股价运动

股价运动是一种简单的伊藤过程：
dS  Sdt  Sdz

以股票为标的资产的衍生品价格 f(S,t)

其运动过程可通过伊藤引理得到：
f
f 1  2 f 2 2
f
df  (  S  
 S )dt   Sdz
2
S
t 2 S
S
伊藤引理的运用

若 f (S , t )  ln S ,则：
f
1 f
2 f
1
 ,
 0,
 2
2
S S t
S
S
d ln S  (  

2
2
)dt   dz
该微分方程的解为：
ln ST  ln St  (   2 / 2)(T  t )   ( z(T )  z(t ))]
ST  St e
(   2 /2)(T t ) z
,  z ~ N (0,
T t)
Black-Scholes 微分方程

原理
 衍生品与标的资产（股票）价格不确定性的来源相同
 与二叉树期权定价模型的思想类似，我们通过构造股票与衍生品的组合来消除
这种不确定性

假设
 股价遵循几何布朗运动
 股票交易连续进行，且股票无限可分
 不存在交易费用及税收
 允许卖空，且可利用所有卖空所得
 在衍生品有效期间，股票不支付股利
 在衍生品有效期间，无风险利率保持不变
 所有无风险套利机会均被消除
B-S微分方程的推导

股票及衍生品的运动过程分别为
dS   Sdt   Sdz
 f
f 1  f 2 2 
f
df    S  
 S  dt＋  Sdz
2
t 2 S
S
 S

2

为消除不确定性，构造投资组合
f
衍生品：－1；股票：＋
S
B-S微分方程的推导

投资组合的价值为

投资组合的价值变动为
f
 -f 
S
S
f
d   -df 
dS
S
f
1 2 f 2 2
 (

 S ) dt
2
t
2 S
价值变动仅与时间dt有关，因此该组合成功消除了dz带来的不确定性
B-S微分方程的推导

根据无套利定价原理，组合收益率应等于无风险利率 r(无套利机会)
d   rdt
f 1  f 2 2
f
( 

S
)
dt

r
(f

S
)
dt
2
t 2 S
S
2
f
f
1 2 2 f
 rS
  S
 rf
2
t
S
2
S
2
此即 Black-Scholes 微分方程
B-S微分方程求解

任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格f应满足Black-Scholes微分方
程
衍生品的价格由微分方程的边界条件决定
例：欧式看涨期权的边界条件为：
C(0，t)＝ 0
C(ST ,T)= max（ST – K，0）
理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。
难题：微分方程难于求解！
风险中性定价方法
观察B-S微分方程及欧式Call 的边界条件发现：
C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票的期望收益率μ无关。
这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中性的（对所承担的风险
不要求额外回报，所有证券的期望收益率等于无风险利率）
用风险中性方法对欧式 Call 定价

假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
dS  rSdt   Sdz

欧式 Call 到期时的期望收益为：
Eˆ [max( ST  K , 0)]
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 Call 价格：
C (S , t )  e
 r (T  t )
Eˆ [max ( ST  K , 0)]
Black-Scholes期权定价公式
得：
C(S , t )  SN (d1 )  Ke
 r (T t )
N (d 2 )
其中：
ln(S / K )  (r   2 / 2)(T  t )
d1 
 (T  t )
ln( S / K )  (r   2 / 2)(T  t )
d2 
 d1   T  t
 T t
此即 Black-Scholes 期权定价公式
★
波动率

观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ，观测时间间隔为
t（以年为单位）

计算每期以复利计算的回报率
ui＝ Ln(Si/Si-1), i=1,……,n

计算回报率的标准差s
ˆ 

s
t
波动率估计
s
1 n
2
(
u

u
)
 i
n  1 i 1
S&P500期权
单个期权–边界套利

CALL价格C的上界：C

CALL价格C的下界：S

PUT价格P的上界：

PUT价格P的下界：
S
 Ke  rT  C
PK
Ke
 rT
S  P
C - P = S - K e -rT
CALL上边界套利的现金流量

C>S时套利的现金流量表
Short
Call
Buy
Stock
Deposit
Sum
t=0
+C
-S
-(C-S)
0
t=T
ST>K
-ST+K
ST
(C-S)erT
K+(C-S)erT
t=T
ST<K
0
ST
(C-S)erT
ST+(C-S)erT
CALL上边界的套利范例

1000 Call @ 1500, S=1100
P/L
2000
Covered Call
1500
1000
500
Index
0
0
500
1000
1500
2000
-500
-1000
-1500
Sell Call
Buy Stock
Combination
CALL上边界的套利说明

套利说明
P/L
Covered Call
C-S+K
K
K
C
C-S
Index
S
S
Sell Call
Buy Stock
Combination
CALL下边界套利的现金流量

S-Ke-rT>C时套利的现金流量表
Long
Call
Short
Stock
Deposit
Sum
t=0
-C
+S
-(S-C)
0
t=T
ST>K
ST-K
-ST
(S-C)erT
(S-C)erT-K
t=T
ST<K
0
-ST
(S-C)erT
(S-C)erT-ST
CALL下边界的套利范例

1000Call @ 400, S=1500
P/L
2000
Protective Call
1500
1000
500
Index
0
0
500
1000
1500
2000
-500
-1000
Buy Call
Sell Stock
Combination
CALL下边界的套利说明

套利说明
P/L
Protective Call
S
S-K
K
C
S-K-C
S-K
S
Index
Buy Call
Sell Stock
Combination
PUT上边界套利的现金流量

P>Ke-rT时套利的现金流量表
Short Put
Deposit
Sum
t=0
+P
-P
0
t=T
ST>K
0
PerT
PerT
t=T
ST<K
ST-K
PerT
ST-K+PerT
PUT上边界的套利案例

500Put @ 600
700
P/L
Sell Put
600
500
400
300
200
Sell Put
100
Index
0
0
250
500
750
1000
PUT上边界的套利说明

套利说明
P/L
Sell Put
K
P
Sell Put
K
P-K
Index
PUT下边界套利的现金流量

Ke-rT-S>P时套利的现金流量表
Long
Put
Long
Stock
Loan
Sum
t=0
-P
-S
S+P
0
t=T
ST>K
0
ST
-(S+P)erT
ST-(S+P)erT
t=T
ST<K
K-ST
ST
-(S+P)erT
K-(S+P)erT
PUT下边界的套利范例

1000Put @ 250, S=500
P/L
2000
Protective Put
1500
1000
500
Index
0
0
500
1000
1500
2000
-500
-1000
Buy Put
Buy Stock
Combination
PUT下边界的套利说明

套利说明
P/L
Protective Put
K-S
K-S-P
S
K-S
Buy Put
Buy Stock
Combination
Index
P
多个期权–垂直价差套利
 rT
C

C

(
K

K
)
e
 CALL垂直价差的上界： 1
2
2
1

0  C1  C2
CALL垂直价差的下界：

PUT垂直价差的上界： P2  P1  ( K2  K1 )e  rT

PUT垂直价差的下界： 0  P2  P1
C = P + S - K e -rT
Call价差套利上界现金流量表

C1  C2  ( K2 时套利的现金流量表
 K1 )e  rT
Short K1 Long K2
Call
Call
t=0
t=T
ST>K2
+C1
-ST+K1
-C2
ST-K2
Deposit
Sum
-(C1-C2)
0
(C1-C2
)erT
K1-K2+
(C1-C2)erT
)erT
K1-ST+
(C1-C2)erT
(C1-C2)erT
t=T
K1<ST<K2
-ST+K1
0
(C1-C2
t=T
ST<K1
0
0
(C1-C2)erT
CALL垂直价差上界套利案例

800Call @ 1000, 1200Call @ 500
P/L
1200
Bear Call Spread
1000
800
600
400
200
Index
0
-200 0
-400
-600
400
800
1200
1600
2000
Sell Call
Buy Call
Combination
CALL垂直价差上界套利说明

套利说明
P/L
Bear Call Spread
K2-K1
C1
C1-C2
K2-K1
C1-C2-K2+K1
C2
Index
Sell Call
Buy Call
Combination
Call价差套利下界现金流量表

C1-C2<0时套利的现金流量表
Long K1 Short K2
Call
Call
t=0
-C1
+C2
t=T
ST>K2
ST-K1
-ST+K2
t=T
K1<ST<K2
ST-K1
t=T
ST<K1
0
Deposit
Sum
-(C2-C1)
0
)erT
K2-K1+
(C2-C1)erT
0
(C2-C1)erT
ST-K1+
(C2-C1)erT
0
(C2-C1)erT
(C2-C1)erT
(C2-C1
Call价差套利下界套利范例

500Call @ 500, 1000Call @ 1000
P/L
1500
Bull Call Spread
1000
500
Index
0
0
-500
500
1000
1500
2000
Buy Call
Sell Call
Combination
Call价差套利下界套利说明

套利说明
P/L
Bull Call Spread
K2-K1
C2
K2-K1
C2-C1+K2-K1
C2-C1
K1
C1
K2
Index
Buy Call
Sell Call
Combination
PUT价差套利上界现金流量表
 rT
P

P

(
K

K
)
e

2
1
2 时套利的现金流量表
1
Long K1
Put
Short
K2 Put
Deposit
Sum
t=0
-P1
+P2
-(P2-P1)
0
t=T
ST>K2
0
0
(P2-P1)erT
(P2-P1)erT
t=T
K1<ST<K2
0
ST-K2
(P2-P1)erT
ST-K2+
(P2-P1)erT
t=T
ST<K1
-ST+K1
ST-K2
(P2-P1)erT
K1-K2+
(P2-P1)erT
PUT价差套利上界套利范例

1000Put @ 500, 1500Put @ 1500
P/L
1500
Bull Put Spread
1000
500
Index
0
0
500
1000
1500
2000
-500
-1000
Buy Put
Sell Put
Combination
PUT价差套利上界套利说明

套利说明
P/L
Bull Put Spread
K2-K1
P2
K2-K1
P2-P1
P2-P1-K2+K1
Index
P1
K1
K2
Buy Put
Sell Put
Combination
PUT价差套利下界现金流量表

P2-P1<0时套利的现金流量表
Short K1 Long K2
Put
Put
Deposit
Sum
t=0
+P1
-P2
-(P1-P2)
0
t=T
ST>K2
0
0
(P1-P2)erT
(P1-P2)erT
t=T
K1<ST<K2
0
K2-ST
(P1-P2)erT
K2-ST+
(P1-P2)erT
t=T
ST<K1
ST-K1
K2-ST
(P1-P2)erT
K2-K1+
(P1-P2)erT
PUT价差套利下界套利范例

500Put @ 1000, 1000Put @ 500
P/L
1500
Bear Put Spread
1000
500
Index
0
0
500
1000
1500
2000
-500
-1000
Sell Put
Buy Put
Combination
PUT价差套利下界套利说明

套利说明
P/L
Bear Put Spread
K2-K1
K2-K1
P1
P1-P2
P2
K1
P1-P2+K2-K1
K2
Index
Sell Put
Buy Put
Combination
多个期权——凸性关系
C1  C2 C2  C3

 CALL的凸性关系：
K 2  K1 K 3  K 2
P3  P2
P2  P1

 PUT的凸性关系：
K 2  K1 K 3  K 2
CALL凸性关系的套利流程
3 Calls of same expiry, K1<K2<K3
凸性关系：买权的履约价愈低，价格金愈高，而且增加的速
度也愈大。
以图型表示，即Slope1>Slope2
C
以公式表示，即
C1  C2 C2  C3

K 2  K1 K 3  K 2
S1
C1
S2
C2
C3
K
K1
K2
K3
CALL凸性关系的套利流程

凸性关系
C2  C3
C1  C 2

K 2  K1 K 3  K 2
( K 3  K 2 )C1  ( K 2  K1 )C3  ( K 3  K1 )C 2
C1  (1   )C3  C 2
C
K3  K2

K 3  K1
S1
C1
S2
C2
C3
K
K1
K2
K3
CALL凸性关系套利的现金流量

套利现金流量表
C1  (1   )C3  C2， 
K3  K 2
K 3  K1
Long λ
K1 Call
Short 1
K2 Call
Long (1-λ)
K3 Call
Deposit
Sum
t=0
-λC1
+C2
-(1-λ)C3
-[C2-λC1-(1-λ)C3]
0
t=T
K3<ST
λ×
(ST-K1)
-ST+K2
(1-λ)
(ST-K3)
[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
t=T
K2<ST<K3
λ×
(ST-K1)
-ST+K2
0
[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
(1-λ)(K3-ST)
+[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
t=T
K1<ST<K2
λ×
(ST-K1)
0
0
[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
λ(ST-K1)
+[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
t=T
ST<K1
0
0
0
[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
[C2-λC1-(1-λ)C3]ert
Hint: K2=λK1+(1-λ)K3
买权凸性关系套利的套利范例
K
500
1500
2000
Price
1500
1000
500
Position
+1
-3
+2
P/L
Call Butterfly
3000
2000
1000
0
0
-1000
-2000
500
1000
1500
2000
Index
2500
Buy 1st Call
Sell 2nd Call
Buy 3rd Call
Combination
PUT凸性关系的套利流程
3 Puts of same expiry, K1<K2<K3
凸性关系：卖权的履约价愈高，价格金愈高，而且增加的速
度也愈大。
以图型表示，即Slope1<Slope2
以公式表示，即
P3  P2
P2  P1

K 2  K1 K 3  K 2
P
S2
P3
S1
P2
P1
K
K1
K2
K3
PUT凸性关系的套利流程

凸性关系
P3  P2
P2  P1

K 2  K1 K 3  K 2
( K 3  K 2 ) P1  ( K 2  K1 ) P3  ( K 3  K1 ) P2
P1  (1   ) P3  P2
K3  K2

K 3  K1
P
S2
P3
P2
P1
S1
K
K1
K2
K3
PUT凸性关系套利的现金流量

套利现金流量表
K3  K 2
P1  (1   ) P3  P2， 
K 3  K1
Long λ
K1 Put
Short 1
K2 Put
Long (1-λ)
K3 Put
Deposit
t=0
λ×–P1
+P2
(1-λ)×–P3
-[P2-λP1-(1-λ)P3]
t=T
K3<ST
0
0
0
[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
t=T
K2<ST<K3
0
0
(1-λ)×
(K3–ST)
[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
(1-λ)(K3-ST)
+[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
t=T
K1<ST<K2
0
+ST-K2
(1-λ)×
(K3–ST)
[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
λ(ST-K1)
+[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
t=T
ST<K1
λ×
(K1-ST)
+ST-K2
(1-λ)×
(K3–ST)
[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
[P2-λP1-(1-λ)P3]×ert
Hint: K2=λK1+(1-λ)K3
Sum
PUT凸性关系套利的套利范例
K
500
1000
2000
Price
500
1000
1500
Position
+2
-3
+1
P/L
Put Butterfly
3000
2000
1000
0
0
-1000
-2000
500
1000
Buy 1st Put
Sell 2nd Put
Buy 3rd Put
Combination
1500
2000
Index
2500
PUT-CALL平价理论(Put-Call Parity)




买卖权平价理论(Put-Call Parity)：
C+Ke-rT=P+S
箱型价差(Box Spread)：
C1-P1+K1e-rT=C2-P2+K2e-rT
+S=+C-P+Ke-rT：Synthetic Long Stock=Long Call and
Short Put
-S=-C+P+Ke-rT：Synthetic Short Stock=Short Call and
Long Put
PUT-CALL平价理论的套利流程
Call and Put of same expiry
Long Call and Short Put
=Synthetic Long Stock
Synthetic Long Price=+C-P+Ke-rTP/L
Reversals
若S>+C-P+Ke-rT
Long
Call @ C
Short
Put @ P
Short
Stock @ S
Deposit
(S-C+P)
Index
Buy Call
Sell Put
Synthetic Long Stock
Short Stock
P/L
PUT-CALL平价理论的套利流程
Call and Put of same expiry
Short Call and Long Put
=Synthetic Short Stock
Synthetic Short Price=C-P+Ke-rT
P/L
Conversion
若S<C-P+Ke-rT
Short
Call @ C
Long
Put @ P
Long
Stock @ S
Lend
(S-C+P)
Index
Sell Call
Buy Put
Synthetic Short Stock
Long Stock
P/L
箱型价差的套利流程
Calls and Puts of same expiry,K1&K2
Theory：C1-P1+K1e-rT=C2-P2+K2e-rT
C1-P1+K1e-rT≠C2-P2+K2e-rT→套利空间
P/L
Box Spread
Index
Buy 1st Call
Sell 1st Put
Synthetic 1
Sell 2nd Call
Buy 2nd Put
Synthetic 2
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杨冰笋：0571-28281030