Transcript U. Oscilații și unde

U. Oscilații și unde
U.1. Oscilatorul armonic
U.2. Ecuația oscilatorului armonic
U.3. Paralela între oscilațiile mecanice și electromagnetice
U,3, Energia oscilatorului
U.5. Undele electromagnetice
U.6. Spectrul undelor electromagnetice
U.7. Ecuația undei plane
U.8. Principiul lui Huygens
U.9. Reflexia si refracția undelor. Indicele de refracție
U.10. Unde staționare
U.11. Interferența undelor
U.12. Difracția undelor
U.13. Principiul Huygens-Fresnel
U.14. Difracția pe o fantă
U.1. Oscilatorul armonic
este definit prin mișcarea descrisă de proiecția pe
diametru a rotației unui punct cu viteză uniformă.
De exemplu proiecția pa axa y a rotației unui punct pe
cercul de rază A cu viteza unghiulară constantă este:
y
A
=A
φ=ωt
y(t)  A sin ωt
unde am introdus:
y : elongația
A : amplitudinea
2π : pulsația
ω
T (viteza
unghiulara)
φ=ωt :
faza
T : perioada
1
ν  : frecvența;
T se masoară
Reamintim că vectorul r care se rotește cu o
viteză unchiulară constantă de numește fazor
în herți
Hz=s-1
Viteza este derivată spațiului în raport cu timpul
Intrucat derivarea funcției cos trebuie facută dupa
argumentul ei φ=ωt , înmulțim și impărțim cu d(ωt):
dy(t) d (t ) dy
v

 ωAcosωt
dt
dt d (t )
Accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul.
făcand aceeași operație ca mai sus obținem:
dv(t) d 2 y(t)
2
2
a



ω
A
sin
ωt


ω
y(t)
2
dt
dt
U.2. Ecuația oscilatorului armonic
Intrucât derivata vitezei este derivată a doua a spațiului,
rezultă ca pentru oscilatorul armonic forța este de tip elastic,
adică este proporțională cu elongația:
d2y
2
F  m a  m 2  mω y  ky
dt
unde:
k  mω2
Obținem în acest mod
ecuația oscilatorului armonic
d 2 y(t)
2

ω
y(t)  0
2
dt
U.3. Paralela între oscilațiile mecanice
și cele electromagnetice
Oscilații mecanice ale unei mase prinse de un resort elastic:
In decursul oscilațiilor energia potențială a resortului când elongația
este maximă se transformă în energia cinetică a masei m când
trece prin poziția de echilibru și invers
Oscilații electromagnetice ale unui circuit LC:
In decursul oscilațiilor energia electrică a condensatorului se
transformă în timpul mișcării sarcinilor de pe plăcile acestuia
(deci apariția unui curentel ectric) în energia magnetică a
bobinei prin fenomenul de inducție electromagnetică și invers
Obținem deci urmatoarea paralela între
oscilațiile mecanice
și
oscilațiile electromagnetice
m: masa oscilatorului
L: impedanța bobinei
k: constanta elastică a arcului
y: elongația arcului
F  ky : forța elastică a arcului
v
dy
dt
u
i
: viteza masei
F  ma  m
1 : inversa capacității condensatorului
C
q: sarcina electricaă a condensatorului
dv
: forța de inerție
dt
q
C
: tensiunea condensatorului
dq
: intensitatea electrică în bobină
dt
u  L
di
dt : tensiunea indusă
Pulsația oscilatorului
ω
k
m

1
LC
U.4. Energia oscilatorului
este suma energiei cinetice si a celei potențiale.
Considerand k=mω2, obținem ca
energia totala se conserva:
mv 2 ky 2
E  Ec  E p 

2
2
m 2 A2 cos2 t m 2 A2 sin 2 t m 2 A2 kA2




2
2
2
2
Energia oscilatorului este proporțională cu
patratul frecvenței oscilației, deoarece:
In cazul circuitului LC, conform cu regulile de echivalenta cu resortul mecanic,energia totală se poate scrie
fie ca energie electrică acumulată în condensator, ori
ca energie maximă a câmpului magnetic al bobinei:
2π
ω
 2
T
q 2 CU m2
E

2C
2
LI m2

2
U.5. Undele electromagnetice
se obțin ca rezultat al urmatoarelor fenomene:
Inducția electromagnetică: variația câmpului magnetic produce câmp electric
Inducția magnetoelectrică: variația câmpului electric produce câmp magnetic
Producerea reciprocă de campuri oscilante se propagă sub formă de
unde electromagnetice polarizate în plane perpendiculare
λ  cT
definește lungimea de undă,
ca distanța între două maxime susccesive
James Maxwell a dedus teoretic in 1865 faptul că:
undele electrice sunt in faza si polarizate perpendicular
pe cele magnetice, propagandu-se în vid cu viteza constantă:
c
James Clark Maxwell
Fizician si matematician
scotian (1831-1879)
1
 0 0

3. 108 m/s
Undele electromagnetice au fost
detectate de Heinrich Hertz in 1886
Heinrich Rudolf Hertz
Fizician german (1857-1894)
U.6. Spectrul undelor electromagnetice
raze γ : fizica nucleară
raze X : fizica atomică și moleculară
raze ultraviolet, vizibile și infraroșii: optica
microunde: electronica
unde radio: radio electronica
U.7. Ecuația undei plane
Oscilația unui punct se propagă într-un mediu sub formă de unde.
Presupunem ca în origine x=0 mediul oscilează dupa o lege armonică:
y( 0,t)  A sin ωt
Considerăm că oscilația se propagă într-o
Direcție dată sub formă de undă plană cu viteza c
x
c
Punctul x începe să oscileze dupa timpul:
t1 
Prin urmare valoarea amplitudinii y(x,t) va fi
egală cu cea din origine y(0,t’) la momentul:
x
t'  t 
c
y(0,t-x/c)
0
y(x,t)
x
Obținem astfel urmatoarea relație,
care se numește ecuația undei plane
x
x
y(x,t)  y( 0,t  )  A sin [ω(t  ) ]
c
c
Aceasta descrie cum oscilează în timp un punct aflat
la distanța x și se mai poate scrie sub formele urmatoare:
y(x,t)  A sin (t  kx)  A sin [ 2π(
t x
 )]
T λ
unde am introdus urmatoarele mărimi:
2π
ω
T
ω 2π 2π
k 

c Tc
λ
λ  cT
: pulsația
: numarul de undă (analogul spațial al pulsației)
: lungimea de undă
se masoară în metri (m)
U.8. Principiul lui Huygens
Orice punct al mediului, pâna la care a ajuns frontul de undă,
poate fi considerat ca o noua sursă de oscilație,
astfel încât propagarea sâ se continue mai departe în toate direcțiile
Principiul lui Huygens nu este unul fundamental ci mai degrabă
o metodă simplă de calcul pentru diverse fenomene ondulatorii
Christiaan Huygens (1629-1695)
Fizician olandez
Explicația fenomenului de refracție
din cartea sa
Exemple de aplicare pentru principiului lui Huygens
Refracția este schimbarea
Direcției de propagare
a undelor la trecerea
în alt mediu
Difracția este schimbarea
Direcției de propagare
a undelor la trecerea
printr-o fantă
U.9. Reflexia și refracția undelor
Reflexia este schimbarea direcției de propagare a undelor
în același mediu la contactul cu alt mediu
Legea reflexiei
1  1'
Unghiul de incidentă este egal
cu unghiul de reflexie
‘
Refracția este schimbarea direcției de propagare a undelor
la trecerea în alt mediu
Din compararea
triunghiurilor
A’A”B” si A’B”A’”
cu latura comună A’B’”
Obținem relațiile:
n1
ϑ1
sin1 r1 v1t v1 n 2
 


sin2 r2 v 2 t v 2 n1
unde am introdus vitezele
de propagare v1, v2 și
indicii de refracție n1, n2
pentru fiecare mediu.
ϑ2
n2
Obținem legea refracției
(Legea lui Snellius)
n1sin1  n 2sin2
U.10. Interferența undelor
este compunerea a doua unde coerente
Coerenta: doua oscilații sunt coerente daca defazajul
între ele ramane constant în timp
Franjele de interferenta (maxime si minime)
provin de la compunerea undelor ce trec prin doua fante lineare
F1 și F2 de lărgimi comparabile cu lungimea de undă
Sistemul din figură se numește dispozitivul lui Young
F2
F1
Compunerea oscilațiilor într-un punct P
care se află la distanța
r1 de prima fantă F1 și r2 fața de a doua fantă F2
P
r2
F2
r1
F1
Δr
Cele doua oscilații se compun astfel:
y(t )  A1 sin(t  kr1 )  A2 sin(t  kr2 )  Asin(t   )
In vederea determinării amplitudinii și fazei undei rezultante
utilizăm tehnica de adunare a fazorilor corespunzatori.
Pentru calculul poziției maximelor și minimelor de interferență
trebuie sa compunem doua oscilații de faze inițiale diferite
y1  A1 sin(t  1 )
y2  A2 sin(t  2 )
1  kr1
2  kr2
unde:
Suma proiectiilor y1 si y2 ale fazorilor A1 și A2 este egală cu
proiecția y a fazorului sumat A, conform cu figura de mai jos
y2
Aplicând regula generală de adunare
a vectorilor rezultă urmatoarea
relație pentru amplitudine
A2  A12  A22  2 A1 A2 cos(1  2 )
A2
A
φ2
y1
φ
φ1
A1
x
Franjele de interferență pe un ecran
se formează conform cu
Condițiile de maxim și minim
Condiția de maxim:
defazajul este număr
par de semiunde iar
amplitudinile se adună
Condiția de minim:
defazajul este număr
impar de semiunde iar
amplitudinile se scad
cos k (r1  r2 )  1
 k (r1  r2 ) 
 r1  r2  2n
A  A1  A2
2 (r1  r2 )

2

cos k (r1  r2 )  1
 2n
 k (r1  r2 ) 
2 (r1  r2 )
 r1  r2  (2n  1)
A  A1  A2


2
 (2n  1)
U.11. Undele staționare
sunt un caz particular de interferență a doua unde
de amplitudini egale care se propaga în sensuri contrare,
adică unda directă și cea reflectată
Unda reflectată pierde o semiundă (λ/2) la reflexia de perete
x1
x
x2=x1+2x
Unda incidentă parcurge x1 și se compune
cu cea reflectată care parcurge distanta x2
Condiția de maxim: defazajul este
număr impar de sferturi de undă
λ
x  ( 2n  1 )
4
Condiția de minim: defazajul este
număr par de sferturi de undă
x  2n

4
după cum se poate vedea din figura de pe pagina urmatoare
Se formează un sistem de maxime (ventre) și minime (noduri) staționare
Sunt posibile armonice de ordinul n=0,1,2,3,...
U.12. Difracția undelor
este un caz particular de interferență a undelor
care provin de la punctele unei fante de dimensiune
comparabilă cu lungimea de undă.
Figura de difracție pe o fantă infinit lungă,
poartă numele de difracție de tip Fraunhofer
U.13. Principiul Huygens-Fresnel
este principiul Huygens completat cu principiul
Interferenței undelor provenite de la toate sursele punctuale.
Acest principiu nu este unul fundamental, dar este o metodă
pentru construcția figurii de difracție formată din maximele și
minimele care apar pe un ecran
Joseph von Fraunhofer (1787-1826)
Fizician german
Augustin Jean Fresnel (1788-1827)
Fizician francez
U. 14. Difracția pe o fantă
Considerăm difracția pe o fantă dreptunghiulară infinită
Undele difractate trec printr-o lentilă convergentă iar
figura de difracție se formează în planul focal ABC
f
δ
d
A
ϑ
x
B
C
In punctul central A oscilațiile care vin de la fantă se compun având acceeași fază.
Acesta este maximul central de interferență având amplitudinea maximă.
In punctul intermediar B diferenta de drum de la punctele din marginile fantei este
δ  d sin   d  d
iar în ecuația de undă
y  A sin(t   )
x
f
defazajul este:

2πδ
λ
In punctul intermediar B (fig. B) amplitudinile se compun conform principiului
Huygens-Fresnel de la fiecare element al fantei, defazajul total fiind: φ=π.
In punctul C (fig. C) amplitudinea rezultantă de la toate punctele fantei se
anulează (minim de interferență) și faza este în cazul general multiplu par de π

2πδ
f
 2nπ  δ  nλ  x  nλ
λ
d
deci diferența de drum este un număr întreg de lungimi de undă.
In punctul urmator de maxim, constând din compunerea oscilațiilor
date de traiectoria C+B, faza este în cazul general multiplu impar de π

2πδ
λ
f
λ
 ( 2n  1 )π  δ  ( 2n  1 )  x  ( 2n  1 )
λ
2
d
2
deci diferența de drum este un număr impar de semilungimi de undă.
A
φ=0
φ=π
B
C
φ=2π
Intensitatea undelor funcție de unghi |A(ϑ)|2
difractate pe o fantă lineara
Figura de difractie
printr-o fanta patrata
Figura de difracție
printr-o fantă circulară