Transcript mouvement d `une particule dans un champ

MOUVEMENT D ’UNE PARTICULE
DANS UN CHAMP MAGNETIQUE
Conditions initiales
• le champ magnétique B est uniforme dirigé suivant Oz
• à t = 0 , la particule est en O x0 = y0 = z0 = 0
z
• le vecteur vitesse initiale
– est dans le plan Oxz
– fait un angle a0 avec Oz
v0
a0
q
x

B
y
O


F  ma
Théorème du centre d’inertie

dv
 
q.(v  B)  m
dt
Multiplions par v les deux membres
Vecteur perpendiculaire
à v et à B




dv 
q.(v  B).v  m .v
 
1 2
u'.u  u
2
dt
0
 
1 d 2
m
v
2 dt
 v 2  Cte  v.v  v.v. cosv, v 
v  v0  Cte
 v.v
'
1
2u .u'
2
Théorème du centre d’inertie


F  ma



dv
q.(v  B)  m
dt
Multiplions par B les deux membres
 
Vecteur perpendiculaire
    m dv .B
q.(v  B).B
à v et à B
dt
d 
m
v.B
0
dt

 v.B  Cte
Champ uniforme
 
Champ uniforme
 v.B. cosa  Cte
Vitesse constante
a  Cte  a0
Vecteur vitesse




OM  x.i  y. j  z.k
d
v  OM
dt

 
 


dy
dj

jy
dt
dt


dx
di
i x
dt
dt
dx  dy  dz 
v
i
j k
dt
dt
dt
x
 
d 

z.k
dt
d 

y. j
dt


d 
d 
v
x. i  y. j  z.k 
x. i
dt
dt
y
z

dz 
dk
 kz
dt
dt



v  x i  y j  z k
k
Produit vectoriel
 
ij
Direction
j
i
Norme
Sens
1er vecteur
 
  Règle de la
 
i  j  i . j sin( i , j) main droite
2e vecteur

1 1
 
2
ij  1
perpendiculaire à
 
i et j
  
i jk
O
 

i k j
-j
O
O
O
j
i
j
i
Produit
vectoriel
 
   
i  i  i . i . sin(i , i )
k
k
k
  
jk  i
i
 
ii
 
j j
0
1 1
0
 
 kk  0
Théorème du centre d’inertie


F  ma



v  x i  y j  z k



d 
v  x i  y j  z k
dt
le champ magnétique B est
uniforme dirigé suivant Oz



dv
q.(v  B)  m
dt 






q (x i  y j  z k)  (B k)  m.(x.i  y. j  z.k)






 

q (x i  B k  y j  B k  z k  B k)  m.(x.i  y. j  z.k)



 
 
 
q (x B i  k  y Bj  k  z Bk  k)  m.(x.i  y. j  z.k)



 j
i 



0
q (x Bj
 y B i
 0)  m.(x.i  y. j  z.k)


qB
x 
y
qy B i  mx i
m
On pose


qB
y  
 qx Bj  myj
qB
x

m


m
0  z.k
z  0
x  y
y  x
z  0
x  y
y  x
z  0
z
Par intégration
v0

B
a0
q
z  Cte  v0 . cosa0
Vitesse selon l ’axe Oz
y
O
Par intégration
z  v0 . cosa0 t
Mouvement uniforme le long du champ magnétique
x
x  y
y  x
x  2 x
Par intégration
y  x
x   x  0
2
Equation différentielle 2e degré
la solution est de la forme
dériver
x  A sin(t  )
Conditions initiales
t0
v 0 . sin a 0
y  
sin t

z  0
z  v0 . cosa0 t
z
a0

B
Par intégration
v0 O
 cos( t )
y   v0 sin a0
 Cte
q

y
x  0  A. sin 
t0
Condition
initiale
 0
x
v 0 . sin a 0
v 0 . sin a 0

y

0

Cte



Cte
à t0 x
  A.cos(
cos
tA

) à t0


 v0 .sin a0
cos t v 0 . sin a 0 v 0 sin a 0
t

0
v
sin
a
y

(cost  1)


0
0
v 0 . sin a 0



A 

v 0 . sin a 0
v 0 . sin a 0
y

(cos t  1)
x
sin t


v 0 . sin a 0
x
sin t

v 0 . sin a 0
y
(cos t  1)

On développe
On élève les 2
membres au carré
z  v0 . cosa0 t
Mouvement uniforme
suivant Oz
v 0 . sin a 0
v . sin a 0
cos t  0


v . sin a 0 v 0 . sin a 0
y 0

cos t


y
On élève les 2 membres au carré
2
2
 v0 . sin a0 
2
v
.
sin
a
v
.
sin
a
 0
x 
2
 sin t  y  0
0 
0 

cos
t









 

On somme les 2 expressions
1
2
2
2
v0 . sin a0 
 v0 . sin a0 
v0 . sin a0 


2
2
2

x y

 
 sin t  cos t 









v . sin a 0
2
2
On pose R  0


x  y  R  R2

2
2


La trajectoire, dans le plan Oxy perpendiculaire à B, est un cercle de
rayon R et de centre C (xC=0 et yC=-R )
Nature du mouvement
Mouvement circulaire dans le
plan Oxy perpendiculaire à B
Mouvement uniforme suivant
Oz le long du champ B
x 2  y  R   R 2
2
MOUVEMENT HELICOIDAL
Période du mouvement hélicoïdal
z  v0 . cosa0 t
z
a0
dis tance parcourue
2R
2
2m
T



O
v
vitesseplan x 0 y
v 0 . sin a 0

qB
0
q
qB
v 0 . sin a 0  
R
m
x


B
y
La vitesse de la particule n’intervient pas directement dans l’expression de la période.
La circonférence décrit par la particule est appelée circonférence de Larmor
(physicien anglais).
La fréquence est dite fréquence de Larmor.
Le pas de l’hélice
Distance parcourue par la particule dans la direction du champ
lorsqu’elle effectue un tour complet sur la circonférence.
Période T 
(Vitesse selon Oz) . (Période)
h  z .T
2.m.
h  v 0 cosa 0
qB
z  v0 . cosa0 t
z  v0 . cosa0
=0
2 2m


qB
qB

m
=1
Si a0 =  / 2
h0
v 0 . sin a 0 v 0 m.v0




qB
m.v 0
R
qB
R
Trajectoire = Cercle
Expression de la vitesse v0
v 0 . sin a 0
R

2
h
v 0 cos a 0

2
1 2
R    v0 . sin 2 a 0
 
2
 2  2
2 2
4 R    v0 . sin 2 a0

2
 2  2
2
h    v0 cos2 a0

2
 2  2
 2  2 2
2
4 R  h   v0 sin a0   v0 cos a 0


2
2
2
2
2
1
2

2

2
2 2
2
 
   v02 (sin2 a0  cos2 a0 )  v 0  2 4 R  h 
4

2

v0 
2
4 R
2
2
h
2

q.B
v0 
2.m
4 R
2
2
 h2

Déplacement d’une particule dans un champ non uniforme
Rayon de l’hélice
m.v 0 . sin a 0
R
q.B
diminue
Pas de l’hélice
Vitesse selon B
2.m.v 0 cosa 0
v 0 . cos a 0 .B  Cte
h
qB diminue
B augmentediminue
B augmente
B augmente
diminue
Dans un champ croissant
 La composante de la vitesse parallèle au champ décroît
et va s’annuler si le champ s’étend suffisamment
 le pas de l’hélice décroît au fur et à mesure que la particule se déplace vers
les champs croissants
 Le rayon de l ’hélice diminue
 la particule est obligée de revenir en arrière
• Application : la ceinture de radiation de Van Allen.