Układy RLC Technika Cyfrowa i Impulsowa
Download
Report
Transcript Układy RLC Technika Cyfrowa i Impulsowa
Układy RLC
Technika Cyfrowa i Impulsowa
www.fpga.agh.edu.pl/tc
Ernest Jamro
C3-504, tel. 12-617-2792
Katedra Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza
www.fpga.agh.edu.pl/tc
Przekształcenie Laplace’a
F ( s)
f (t ) e st dt
0
transformata Laplace’a
F(s)
oryginalny przebieg
czasowy f(t)
1
(t)
1(t)
1
s
opis
delta Diraca, impuls o nieskończenie
krótkim czasie trwania (t=0) i
(t ) dt 1
nieskończenie dużej amplitudzie
Skok jednostkowy: 1(t ) 0 t 0
1 t 0
f(t-a)
przebieg opóźniony o czas a
1
sa
e-at
typowy przebieg w obwodach RC
F(s+)
e-tf(t)
Przebieg tłumiony w czasie
1
(s )2
te-t
Przebieg dla rezystancji krytycznej (=0)
dla obwodów RLC
sin(t)
Przebieg oscylacyjny
cos(t)
Przebieg oscylacyjny
e as F (s)
s 2
2
s
s 2
2
sF (s) f (0 )
F (s)
s
d f (t )
dt
t
f (t ) dt
0
Pochodna względem czasu
Całkowanie względem czasu
Kondensator
Q
C
U
q i dt
C
S
d
dq
i
dt
du
iC
dt
różniczkowanie względem napięcia
u
1
i dt
C
całkowanie względem prądu
i
u
i= sCu (założenie: u(t=0)=0)
sC
u
1
Z
i sC
Układ różniczkujący RC
Wymuszenie: skok jednostkowy
Z2
U 2 s U1 s
Z 2 Z1
- Dzielnik impedancyjny
s
U 2 s U1 s
U1 s
1
1 s
R
sC
R
= RC - stała czasowa
UM
u1 t U M 1t E g s
s
1
e at
sa
- skok
jednostkowy
t
u2 t U M e 1t
Przebieg czasowy (odpowiedz układu
różniczkującego RC na skok jednostkowy)
Układ różniczkujący RC - odpowiedz na
przebieg prostokątny
T
t T
t
u 2 t U M e 1t e 1t T
Zwis:
T
U M u 2 T
z
100% 1 e
UM
Zwis dla T<<
z 100
T
[%]
100%
T>>
T<<
Układ różniczkujący RC a składowa stała
Układ różniczkowy nie
przenosi składowej
stałej: S1=S2
Układ różniczkujący i inne
wymuszenia
Układ całkujący RC
u1
d u2
u2
dt
RC
U 2 s U 1 s
1
sC
R
1
sC
t
u 2 t U M 1 e
U 1 s
1t
1
1 s
Filtr dolnoprzepustowy
Czas narastania
Jako czas narastania przyjmuje się czas narastania odpowiedzi
na skok jednostkowy od 10% do 90% wartości amplitudy
impulsu skokowego:
t10 można obliczyć ze wzoru:
t90 można obliczyć ze wzoru:
t
0.1U M U M 1 e
t
0.9U M U M 1 e
t10 ln(0.9) 0.1
t90 ln(0.1) 2.3
tn= t90 - t10 2,2.
Częstotliwość graniczna a czas narastania:
tn 2,2 2,2RC
2,2 0,35
2f g
fg
Wypadkowa czasów narastania:
tn2 tn21 tn22 tn23 ...
tn f g 0.35
Odpowiedz układu całkującego
RC na falę prostokątną
Układ całkujący i inne
wymuszenia
Metoda czoła i grzbietu
u t U (t ) [U (t 0 ) U (t )] e
t
Zobacz zasadę Thevenina
lub
Metoda czoła i grzbietu:
2 kondensatory: metoda czoła i grzbietu nie działa dla czasów przejściowych
Dla t=0+ zwieramy kondensatory i
obliczamy U(t=0+)
Dla t rozwieramy
kondensatory i obliczamy
U(t)
Stała czasowa - Rezystancja
widoczna z punktu widoczna z
zacisków kondensatora x
pojemność
Metoda czoła i grzbietu, c.d.
U(t=0+) – napięcie przy założeniu że kondensatory są zwarte
U(t=) – napięcie przy założeniu że kondensatory są rozwarte
Przykład sprzeczny dla t=0+:
U t U M
U t 0 U M
U t 0 U M
0
0
R2
R1 R2
- sprzeczność, dlatego patrzymy na
impedancje kondensatorów
1
sC2
1
1
sC1 sC2
UM
C1
C1 C2
u t U (t ) [U (t 0 ) U (t )] e
Cwyp= C1+C2
Rwyp= R1||R2 =CwypRwyp
t
Dzielnik skompensowany – sonda oscyloskopowa
U(t=0+)=U(t) czyli
R2
C1
R1 R2
C1 C2
lub R1C1 = R2C2
W oscyloskopie Rwe=1M, Cwe10pF
RS=9M, Cs 1pF
Stosunek podziału napięcia k=10,
Rwes=10M= k Rwe, Cwes=Cwe/k
Układy całkujące i różniczkujące
RL
di
uL
dt
Działają podobnie jak układy RC
Stała czasowa =L/R
R
L
L
U1
Różniczkujący
R
U2
U1
U2
Całkujący
Timer 555
8 - Vcc
6 - Próg
przełączenia
R
+
3 - Wyjście
–
5 - Modulacja
R
R
Q
7 - Rozładowanie
2Vcc/3
Vcc/3
S
+
2- wyzwalanie
Q
Reset
–
R
1- Masa
4 - Zerowanie
Monowibrator
Wyzwalanie
Vcc
VCC
3
+
–
Vcc
Wyjście
R
Q
R
Wyzwalanie
+
–
S
Q
t
C
2 VCC
3
C
Reset
t
Wy
t1
Vcc (1 e
t
t
RC
2
) Vcc
3
1
e RC
3
1 t
ln
3 RC
t RC ln(3) 1,1RC
t
Multiwibrator
u(t ) u(t 0) et / u(t ) (1 et / )
Vcc
Ładowanie:
+
–
Vcc
Wyjście
R
Q
RA
1
u (t 0) VCC
3
u (t ) VCC
Rozłozłado ie :
+
–
S
Q
D
Reset
RB
C
2
u (t 0) VCC
3
u (t ) 0
Multiwibrator - przebiegi
Bez diody – brak wypełnienia 0.5
Z diodą – wypełnienie 0.5 -> RA=RB
Bez Diody:
C
t1 = 0,7(RA + RB)C
2 VCC
3
VCC
3
t2 = 0,7RBC
T=t1+t2=
0,7(RA+2RB)C
t
Wy
Z Diodą:
t1
t1= 0,7RAC
t2
t
t2 = 0,7RBC
T=t1+t2= 0,7(RA+RB)C
Obwody RLC
Równoległy
Szeregowy
R
L
R
U1
L
C
U2
U1
C
U2
Obwód równoległy
1
L
sC
C
1
1
L
1
sL
sL
s
Ls
sC
sC
C
RC
H s
2
1
L
R L s RLC Ls R
1
1
sL
RsL
s2
s
sC
C
sC C
RC
LC
R
R
1
1
sL
sL
sC
sC
sL
Można dokonać następującego podstawienia:
1
RC
1
LC
s
H s 2
s s 2
Dla wymuszenia skokiem jednostkowym (U1(s)= 1/s)
otrzymujemy:
1
RC
U 2 s H ( s) U1 ( s)
2
2
1
1
s
s
2
s
s
RC
LC
Różne rozwiązania równania
Analizując transformacje Laplace’a dla powyższego modułu
możemy otrzymać następujące przypadki:
F (s)
F ( s)
F (s)
F ( s)
s2 2
(s )2 2
1
(s )2
f(t)= sin(t) - drgania niegasnące
f(t)= e-tsin(t) - drgania gasnące
f(t)= te-t –drgania krytyczne
1
C
C
1 2
( s a ) ( s b) s a s b
f(t)= C1e-at + C2e-bt – brak drgań
Najważniejsza jest równania kwadratowego
s 2 s 2
Przebiegi (obwód równoległy)
s
H s 2
s s 2
<0 (drgania)
R
1
RC
1
LC
1 L
2 C
0
U 2 s 2
s s 2 0 (s )2
u2 (t )
t / 2
e
sin(0 t )
0
2
2
02 2
0
=0 – przebieg krytyczny (rezystancja krytyczna)
u2 (t ) t et / 2
2
4
R
1 L
2 C
Przebiegi (obwód równoległy)
Brak drgań >0
u2 (t )
Zielony
R<Rkr
2
1 L
2 C
R
t 02
2
0
et / 2 (e
Czerwony
R=Rkr
e
t 02
)
Niebieski
R>Rkr
Szeregowy RLC
L
R
C
U1
Rezystancja krytyczna
U2
R2
Oscylacje dla R<Rcr
8.0V
L
C
http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=PEE_Lab_2#
Badanie_stanu_nieustalonego_w_obwodzie_RLC
R = 0,4
7.0V
6.0V
5.0V
4.0V
R = 2
R = 1
(Rkryt.)
3.0V
2.0V
L = 1nH, C= 4nF
1.0V
0V
0s
10ns
V1(C)
20ns
30ns
V(1)
Time
40ns
50ns
Typowa odpowiedz układu na skok jednostkowy
Typowy przebieg prostokątny
Koniec
Multiwibrator – wypełnienie 0.5 bez diody
Vcc
+
–
Vcc
Wyjście
R
Q
RA
+
–
S
Q
RB
Reset
C
Multiwibrator – wypełnienie 0.5 bez diody
Ładowanie:
Warunek wypeln ienie 0.5 :
t1 RA C ln(2) 0.7 RA C
t1 t 2
Rozadowanie :
Thevelin: VT
RB
VCC
RB RA
RT
RA RB
RA RB
Napieciena kondensatorze :
u (t ) u (t 0) e t / u (t ) (1 e t / )
2
u (t ) VCC e t / VT (1 e t / )
3
1
u (t 2 ) VCC t 2 ?
3
1
2
RB
VCC VCC e t /
VCC (1 e t / )
3
3
RB R A
1
RB
2
RB
(
) e t /
3 RB RA
3 RB RA
RA 2 RB
e t /
2 RA RB
t2
RA RB
2 R RB
C ln( A
)
RA RB
RA 2 RB
RAC ln(2)
ln(2)
RA RB
2 R RB
C ln( A
)
RA RB
RA 2 RB
RB
2 R RB
ln( A
)
RA RB
RA 2 RB
RB k RA
ln(2)
k RA
2 R k RA
ln( A
)
RA (1 k )
R A 2k R A
k
2k
ln(
)
(1 k )
1 2 k
Rozwiazanie num eryczne:
k 0.423
ln(2)
Przetwornik napięcie / częstotliwość
Vcc
+
Wejście
–
Vcc
Wyjście
R
Q
RA
+
–
S
Q
Reset
C
Przetwornik U/f
u (t ) u (t 0) e t / u (t ) (1 e t / )
1
u (t 0) U we
2
Wada – funkcja silnie
nieliniowa szczególnie
dla Uwe VCC
u (t ) VCC
u (t ?) U we k VCC k
U we
VCC
1
k VCC e t / VCC (1 e t / )
2
2k
t RC ln(
)
2
2
k
4
k VCC
3,5
t
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Ulepszony Przetwornik I/f
Vcc
Vcc
+
–
+
–
Wyjście
R
Q
S
Q
i(t)
Reset
C
Ulepszony przetwornik I/f – c.d.
1
I t
U i dt
C
C
C U
1
t
U VCC
I
3
C VCC
t
3 I
1
3 I
f
t C VCC
Częstotliwość proporcjonalna
do prądu. W prosty sposób
można zbudować przetwornik
I/U i w ten sposób otrzymamy
liniowy przetwornik U/f