Transcript 5-1 ㄧ階RC電路(續)

第五章 一階、二階電路
ㄧ、一階RC與RL電路。
二、二階RLC電路。
1
5-1 ㄧ階RC電路
◆ 無源RC電路與自然響應：無外接獨立電源，但含有
始值。

v
(
0
0
(範例)：RC串聯電路，無電源且假設 c )  V，欲求解
t  0 時，此電路中之i(t ), v(t )
[解]:
ic  i R  0
由KCL可得：
C

dvc (t ) vc (t )

0
dt
R
dvc (t )
1

v c (t )  0
dt
CR
2
5-1 ㄧ階RC電路(續)
◆ 微分方程求解：
dvc (t )
1

v c (t )  0
dt
CR

t
RC
vc (t )  ce
則

已知 vc (0 )  V0，代入上式可得：
vc (0)  ce0  c  V0

t
RC
故通解為
vc (t )  V0 e
又
dvc (t )
V0  RC
ic (t )  C
 e
dt
R
t
t
vc (t ) V0  RC
i R (t ) 
 e
R
R
3
5-1 ㄧ階RC電路(續)
◆ 拉式轉換求解：
[解]：
1
dvc (t )
1
Vc ( s )  0

v c (t )  0  sVc ( s)  vc (0) 
RC
dt
RC
V0
1 


V
(
s
)

 Vc ( s) s 
 V0  0
c

1
RC


s
RC
取反拉式轉換：


t

V0 
1 
1
 V0e RC  vc (t )
L Vc (s)  L 

1
s 

RC 

又
t
t
vc (t ) V0  RC
dvc (t )
V0  RC
i R (t ) 
 e
ic (t )  C
 e
R
R
dt
R
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5-2 ㄧ階RL電路
◆無源RL電路與自然響應：無外接獨立電源，但含有初
始值得情況。
(範例): RL串聯電路，無電源且假設 i(0 )  I 0 ，欲求解
t  0 時，此電路中之 i(t ), v(t )
[解]：
由KVL可得：
v(t )  v R  0
di (t )
 Ri (t )  0
dt
di (t ) R

 i (t )  0
dt
L
L
5
5-2 ㄧ階RL電路(續)
◆微分方程求解：

R
L
i(t )  ce t
已知 i(0  )  I 0，代入上式可得：
i(0)  ce0  c  I 0
故通解為
i(t )  I 0 e
又
R
 t
L
R
 t
di(t )
v L (t )  L
  I 0 Re L
dt
vR (t )  iR  I 0 re
R
 t
L
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5-2 ㄧ階RL電路(續)
◆拉式轉換求解：
R
di (t ) R

sI
(
s
)

i
(
0
)

I ( s)  0
 i (t )  0
L
dt
L
I
R

 I ( s) s    I 0  0  I ( s )  0
R
L

s
L


R
取反拉式轉換：
 t


I
L1I (s)  L1  0   I 0e L  i(t )
R
s  
L

又
R
R
 t
 t
di(t )
vR (t )  Ri(t )  I 0 Re L
v L (t )  L
 I 0e L
dt
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5-3 二階RLC電路
(範例1)：RLC串聯電路，有電源 Vs 且假設 i(0 )  I 0，
v(0)  V0，則依KVL， t  0 時：
[解]：
di
1 t
L  Ri   idt  V0  Vs
dt
C 0
dVs
d 2i
di 1
L 2 R  i
dt C
dt
dt
d 2 i R di 1
1 dVs
 2 

i
L dt LC
L dt
dt
或
i  
R
1
1 dVs

i 
i
L
LC
L dt
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5-3 二階RLC電路(續)
又
可得
1
v
C
 idt  V
iC
dv
dt
t
0
0
d 2V
dv
LC 2  RC  v  Vs
dt
dt
d 2 v R dv 1
1
 2 

v
Vs
L dt LC
LC
dt
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5-3 二階RLC電路(續)
◆二階電路的零輸入響應:
(範例)：RLC串聯電路，無源且假設 i(0)  1A，v(0)  2V，則
t  0 時之 i(t ), v(t )  ？(其中 R  3, L  1H , C  1 F )
2
t
di
1
[解]:
L  Ri 
idt  V0  0
dt
C 0
d 2i
di 1
L 2 R  i0
dt C
dt
d 2 i R di 1
 2 

i0
L dt LC
dt
d 2i
di
 2  3  2i  0
dt
dt
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5-3 二階RLC電路(續)
得輔助方程式：
s 2  3s  2  0
 (s  1)(s  2)  0
因此
s1  1
其電流方程式為
s2  2
i(t )  A1e t  A2 e 2t
i(0)  A1  A2  1
故
i(t )  3e t  4e 2t ( A)
v(t )  3e t  8e 2t  9e t  12e 2t  6e t  4e 2t (V )
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