Transcript a n = a 1 + (n-1)
TERMO GERAL E SOMA DE TODOS OS TERMOS
Correção das últimas atividades
Ex. 15 Calcule a razão das seguintes progressões aritméticas.
a)(-7,-3,1,...) a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = r -3-(-7) = 1-(-3)=r -3+7 = 1+3 4 = 4 =r
Ex. 15 b) 1 4 , a 2 -a 1 = a 3 -a 2 = r 1 2 , 3 4 ,...
1 2 c) 1 4 1 , 2 11 6 , 19 6 11 6 a 2 -a 1 1 2 = a 3 -a 2 11 = r 6 3 8 6 ,...
4 3
r
A razão é
r
1 4
r = 4/3
Ex. 16 Vamos fazer apenas a questão (b) a 4 =3 e r=5/2 a 5 =a 4 +r a 5 = 3 5 2 a 6 = 11 2 5 2 6 5 2 16 8 2 11 2 3 5 2
a
3
a
3 3 5 2 6 5 2 1 2
a
2 1 2 5 2 4 2 4 2 2 a 4 =a 3 +r 3
a
3 5 2
a
1 4 2 5 2 9 2
PA
9 2 , 2 , 1 2 , 3 , 11 2 , 8
Ex. 18 Calcular a razão e classificar em crescente, decrescente ou constante.
a)
a n
2 3 ,
n
*
r r r r
a n
2 2
a n
1 3
n
3
n
2 2 3
n
3
n
3 1 2 3
n
2 3
n
3
r
3 Como r=3, r>0 , então a PA é crescente
b)
a
1 9 ,
a n
3
a n
1 18
n
n
2
r r r r r
(
a
2 ( 3
a
1
a
1 18 ) 3 9 18 ) 9
a
1 ( 27 18 ) 9 9 9 0 Como r=o , então a PA é constante
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2 3
a
2 1 3 3
a
1 9 18 18 18 27 18 9
a
1
c)
a n
6 4
n n
*
r r
a
( 6 2
a
1 4 2 ) ( 6 4 1 )
r r r
( 6 8 ) ( 6 4 ) 2 2 4
r r r
a
( 6 3
a
2 4 3 ) ( 6 4 2 ) ( 6 12 ) ( 6 8 )
r
6 ( 2 )
r
6 2 4 Como r=-4, r<0 , então a PA é decrescente
Termo Geral da P.A.
Uma PA é uma sequência onde o segundo termo é igual ao primeiro mais a razão, o terceiro é o segundo mais a razão e assim por diante.
Vejamos isto em escrita matemática: a
1
= a
1
+0r = a
1
a
2
= a
1
+ r a
3
= a
2
+ r = (a
1
+r) + r = a
1
+ 2r a
4
= a
3
+ r = (a
1
+2r) + r = a
1
+ 3r a
5
= a
4
+ r = (a
1
+3r) + r = a
1
+ 4r
e assim por diante até chegarmos à generalização:
a
n
= a
1
+ (n-1)r
a n
= último termo ou um termo qualquer;
a 1
= primeiro termo n = número de elementos ou a posição do termo “a
n
".
r = razão da P.A.
Soma dos termos de uma PA
Se quiséssemos somar todos os termos de uma determinada PA, como deveríamos proceder?
Johann Carl Friedrich Gauss Aos sete anos entrou para a escola. Segundo uma história famosa, seu diretor, Butner, pediu que os alunos somassem os números inteiros de 01 a 100 , mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050 aritmética.
, foi encontrada através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão (fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)
Imagine que queremos a soma dos 10 primeiros números ímpares.
(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19) A idéia é bem simples: 1 + 3 + 5 + 7+9+11+13+15+17+19 +19+17+15+13+11+ 9 +7+5 + 3 + 1 20+20+20+20+20+20+20+20+20+20 Ou seja temos 10 x 20 = 200 Mas perceba que somamos duas vezes esta sequência, logo precisamos dividir por 2, então: Temos 200/2 = 100. logo a soma dos 10 primeiros números ímpares é
100.
Isto, porém, só é possível com uma PA finita.
Óbvio, pois se a PA cresce infinitamente como vamos somar todos os termos? Esta soma irá crescer infinitamente da mesma forma.
DEEERRRR!!!!!!!
Traduzindo para a escrita matemática: Sn=a 1 +a 2 +a 3 +...+a n-2 +a n-1 +a n I Sn=a n +a n-1 +a n-2 +...+a 3 +a 2 +a 1 II
Somando-se a exemplo do que fizemos com os números ímpares: I+II Sn=a 1 +a 2 +a 3 +...+a n-2 +a n-1 +a n + Sn=a n +a n-1 +a n-2 +...+a 3 +a 2 +a 1 2Sn=(a 1 +a n )+(a 2 +a n-1 )+(a 3 +a n-2 )+...+(a n-2 +a 3 )+(a n-1 +a 2 )+(a n +a 1 ) Sn=(a 1 +a n )+(a 2 +a n-1 )+(a 3 +a n-2 )+...+(a n-2 +a 3 )+(a n-1 +a 2 )+(a n +a 1 ) 2 Como sabemos que as somas dentro dos parênteses são sempre iguais, ou seja: (a 3 +a n-2 )=(a 2 +a n-1 )=(a 1 +a n ), e que temos
n
Temos: Onde: parcelas Sn =Soma dos n termos da PA
Sn= n(a 1 +a n ) 2
n = número de termos e/ou parcelas.
a 1 = primeiro termo a n = último termo
EXEMPLO
Vamos voltar aos números ímpares; Para somar os primeiros 10 números ímpares temos: Sn= soma que queremos; a 1 = 1 (primeiro termo); n = 10 (número de termos); a n = 19 (último termo).
Sn= n(a 1 +a n ) 2
Sn Sn
10 ( 1 19 ) 10 2 20 2 100
Atividades para fixação
Páginas 229-230: 30, 31, 32, 42, 45, 49 Páginas 235-236: 66, 67, 68, 74 Sn= n(a 1 +a n ) 2
a n = a 1 + (n-1)r r = a 2 -a 1