Transcript PRIMENA FD-TD METODE U FOTONICI M.I.BEJTOVIĆ, D.Ž

UNIVERZITET U PRIŠTINI
Kosovska Mitrovica
FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA
PRIMENA FD-TD METODE
U FOTONICI
RADIONICA FOTONIKE-4 – KOPAONIK, SRBIJA, 2-6 MART 2011
1
PREGLED PREZENTACIJE
ftnkm
Uvod
FD-TD Metoda
Ciljevi istraživanja
Rezultati
Zaključak:
C &D
FD-TD metode
primena FD-TD metode u fotonici
2
UVOD
ftnkm
 ISTORIJSKI RAZVOJ FD-TD METODE
 1966 : Kane Yee – Algoritam
[K. S. Yee, IEEE Trans. Ant. and Prop., 14 (1996):302-307.]
Allen Taflove –
elektromagnetnih problema
 1975:
Primena
Yee
–
algoritma
za
rešavanje
[A. Taflove, Computational Electrodynamics, Actech House Boston, (1995)]
 1980: Allen Taflove prvi put koristi naziv: “Finite Difference – time domain”
– FDTD ili FD-TD
[A. Taflove, IEEE Trans.on Electr. Comp., 22 (1980):191-202]
primena FD-TD metode u fotonici
3
ftnkm
 1990+: Masovna i široka primena FD-TD metode
 1994:
J. Berenger – “Berenger PML” - ABC
[J. Berenger, J. of Comp. Phys., 114(1994), 185-200.]
 2001: F. Zhen et. al – Implicitni bezuslovno stabilan FD-TD ADI
algoritam
[F. Zhen, Z. Chen, and J. Zhang, Micr. Th. and Techn., 48(2000):
1550-1558]
primena FD-TD metode u fotonici
4
 PRIMENE FD-TD METODE:
ftnkm
 Antene / Radarski sistemi
 Mikrotalasna kola i vodovi
 Modelovanje EMI/EMC aplikacija
 EM apsorpcija u ljudskim tkivima
 Fotonika, nanofotonika, biofotonika
primena FD-TD metode u fotonici
5
FD-TD METODA
 EM/EMI/EMC/Fotonika:
frekvencijskom području
Imperativ
analize
ftnkm
u
što
širem
 Posebno povoljna za analizu problema kod kojih rezonantne
frekvencije nisu unapred poznate ili je potreban rezultat odziva u što
širem opsegu frekvencija
 Numerička simulacija prostiranja EM polja u lineranim i nelinernim
dielektricima i magnetskim sredinama – od MHz do THz frekvencija
 Jednostavna za razumevanje, kodiranje i primenu
 Vremenski monitoring simulacije prostiranja EM polja
primena FD-TD metode u fotonici
6
FD-TD METODA
ftnkm
 Direktno numeričko rešavanje rotorskih Maksvelovih jednačina
 Korišćenje metode konačnih razlika (Finite Difference) u
vremenskom (Time Domain) i prostornom domenu
 Električno polje (E) i magnetsko polje (H) računaju se u svakoj
tački prostornog domena simulacije
 Eksplicitni i implicitni (u vremenu) FD-TD algoritmi
 Izbegavanje složenih matematičkih formulacija: integralnih
jednačina, proračuna Grinovih funkcija, ...
primena FD-TD metode u fotonici
7
ftnkm
 Maksvelove jednačine u vremenskom domenu:
D
   H - Amperov zakon
t
B
   E - Faradejev zakon
t
E -Vektor električnog polja
B - Vektor magnetske indukcije
D -Vektor električne indukcije
H -Vektor jačine magnetskog polja
U linearnoj, izotropnoj, nedisperzivnoj sredini važi:
B  H
  magnetnapermeabilnost
D  E
  elektricnapermeabilnost
primena FD-TD metode u fotonici
8
ftnkm
 Skalarni oblik u 3D Dekartovom koordinatnom sistemu:
H x 1  E y E z 

 

t
  z
y 
H y 1  E z E x 
 


t
  x
z 
H z 1  E x E y 

 

t
  y
z 
E x 1  H z H y
 

t
  y
z
E y 1  H x H z
 

t
  z
x
E z 1  H y H x
 

t
  x
y









 Numeričko prostiranje po vremenu u diskretno pripremljenoj 3D
prostornoj mreži
primena FD-TD metode u fotonici
9
ftnkm
 2D problemi – puno jednostavniji!
2D: TM – mod prostiranja
2D: TE – mod prostiranja
.
primena FD-TD metode u fotonici
10
ftnkm
 1D problemi – najjednostavniji i najbrži! Nažalost – retki u praksi!
 Primenom definicije izvoda na predhodnu jednačinu:
primena FD-TD metode u fotonici
11
ftnkm
VREME
PROMENA
PROMENA
Hy
Ez
PROSTOR
Grafička prostorno-vremenska interpretacija 1D FD-TD diskretizacije
Maksvelovih jednačina
primena FD-TD metode u fotonici
12
ftnkm
 Primena Tejlorovog
reda:
primena FD-TD metode u fotonici
13
ftnkm
Vreme:
Prostor:



B B(t  t )  B(t )

t
t



D D(t  t )  D(t )

t
t

E y Ex
Ex Ez
Ez E y
 E  (

) xˆ  (

) yˆ  (

) zˆ
y
z
z
x
x
y
E x z , t  E x z  z / 2, t   E x z  z / 2, t 

z
z
ftnkm
Diskretizacija u prostoru i vremenu
(i, j, k )  (ix, jy, kz )
U n (i, j , k )  U (ix, jy, kz, nt )
FD diskretizacija jednačine:
H x
1  E y
E z



t
 
y
 z
u tački (i,j,k) i trenutku n




 Yee-ov FD-TD algoritam
z
ftnkm
z
y
y
x
x
Ny -broj ćelija u y smeru
Prikaz proizvoljnog prostornog 3D
modela dimenzija Nx x Ny x Nz
Pozicije komponenata polja u
jediničnoj Yee ćeliji (Yee lattice)
primena FD-TD metode u fotonici
16
ftnkm
 Leapfrog FD-TD algoritam
Pozicije komponenata E i H polja u prostoru i vremenu:
3

n

 z

2

Ex
Hy
Ex
1

 nz  
2

 nz  1
 nz  2
3

 nz  
2

 nz  1
 nz 
1

n

 z

2

3

 nz  
2

1

 nz  
2

1

 nz  
2

primena FD-TD metode u fotonici
1

n

 t

2

 nt 
3

n

 z

2

1

 nt  
2

17
TAČNOST I STABILNOST
 Tačnost:
ftnkm
   / 10
1
 Stabilnost: t  t max 
c
2D:
1
1
1


x 2 y 2 z 2

t  tmax 
c 3
1
t 
c
t 
1
1

x 2
y 2

c
1D:
 Fizičko značenje: vremenski korak mora biti manji od vremena potrebnog
da EM talas pređe iz jedne ćelije u susednu!
primena FD-TD metode u fotonici
18
GRANIČNI USLOVI
ftnkm
 Kod analiza “otvorenih” struktura (najčešći slučaj u praksi),
neophodno je postaviti granične uslove (boundary conditions)
 Nepravilni granični uslovi – nefizička (numerička) refleksija od ivica
ćelija na granicama domena izračunavanja (computational domain)
 Numerička refleksija bitno utiče na vrednost rezultata - u većini
slučajeva potpuno neupotrebljivi rezultati!
 Rešenje: postavljanje takvih uslova koji apsorbuju sve EM talase na
krajnjim ćelijama domena izračunavanja: tzv. “Apsorpcioni granični
uslovi” (absorbing boundary condition – ABC).
primena FD-TD metode u fotonici
19
ftnkm
IZVAN DOMENA
IZRAČUNAVANJA
UNUTAR DOMENA
IZRAČUNAVANJA
primena FD-TD metode u fotonici
20
ftnkm
 Najčešće korišćeni granični uslovi :
1.
Granični uslovi po Taflove-u
2.
Granični uslovi po Mur-u
3.
Granični uslovi po Berenger-u
primena FD-TD metode u fotonici
21
Berenger-ovi granični uslovi
ftnkm
 Moderni pristup modelovanja ABC apsorbujućih graničnih uslova
 Koncept poznat kao: PML (“perfectly matched layer”)
 Glavna ideja: refleksija TE i TM modova EM talasa od fiktivne
“provodne” anizotropne sredine (NE granične površi!)
primena FD-TD metode u fotonici
22
FD-TD algoritam
ftnkm
Definisanje prostornog i vremenskog koraka
Inicijalizacija
Iteracija n
Računanje En iz Hn-1/2 i En-1
Računanje Hn+1/2 iz En i Hn-1/2
n=n+1
N=Nbiteracija
KRAJ
primena FD-TD metode u fotonici
23
CILJEVI ISTRAŽIVANJA
ftnkm
 Nagli razvoj računarske tehnike
 Prihvatljiva cena povećane memorije računara
 Razvoj: paralelnog procesiranja, računarske vizuelizacije, ...
 Posledica: implementacija FD-TD metode postaje realna opcija
 Naša istraživanja usmerena u pravcu izrade numeričkih simulacija
prostiranja polja kroz moderne fotoničke strukture složenije
geometrije (fotonski kristali, nanoplasmonici, biofotonika, solitoni,...)
primena FD-TD metode u fotonici
24
REZULTATI - 1
ftnkm
 PRIMER 1: 1D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa
 Frekvencija:
1012 Hz
 Sredina:
slobodan prostor
 Dužina intervala:
5 x 10-6 m
 Granični uslovi:
Berenger-ovi PML
 Korišćeni softver:
Matlab© r 2009 b
 Rezultat simulacije: vremenska promena E i H polja
primena FD-TD metode u fotonici
25
1D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa
- slobodan prostor -
ftnkm
0.015
0.01
0.005
0
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
-5
4
x 10
2
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
primena FD-TD metode u fotonici
26
ftnkm
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
-3
2
x 10
1
0
-1
-2
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
primena FD-TD metode u fotonici
27
ftnkm
1
0.5
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
-3
2
x 10
1
0
-1
-2
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
primena FD-TD metode u fotonici
28
ftnkm
-9
4
x 10
2
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
-11
1
x 10
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
primena FD-TD metode u fotonici
29
ftnkm
-9
4
x 10
2
0
-2
-4
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
-11
1
x 10
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
6
-6
x 10
primena FD-TD metode u fotonici
30
REZULTATI - 2
ftnkm
 PRIMER 2: 1D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa
 Frekvencija:
109 Hz
 Sredina:
tanka dielektrična ploča (dielectric slab), r=3
u slobodnom prostoru
 Dužina intervala:
1,5 m
 Granični uslovi:
Berenger-ovi PML
 Korišćeni softver:
Matlab© r 2009 b
 Rezultat simulacije: vremenska promena E i H polja po slab-u
primena FD-TD metode u fotonici
31
1D Simulacija prostiranja Gausovog impulsa
- dielektrična ploča (slab) 1
Sloj
dielektricne
ploce
0.8
t= 2.3
ftnkm
nS
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
primena FD-TD metode u fotonici
150
200
250
32
ftnkm
1
Sloj
dielektricne
ploce
0.8
t= 3.2
nS
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
primena FD-TD metode u fotonici
150
200
250
33
ftnkm
1
Sloj
dielektricne
ploce
0.8
t= 4.28
nS
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
primena FD-TD metode u fotonici
150
200
250
34
ftnkm
1
Sloj
dielektricne
ploce
0.8
t= 5.06
nS
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
150
primena FD-TD metode u fotonici
200
250
35
ftnkm
1
Sloj
dielektricne
ploce
0.8
t= 5.94
nS
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
50
100
primena FD-TD metode u fotonici
150
200
250
36
ZAKLJUČAK
ftnkm
FD-TD metoda: Prednosti
 Jednostavna po svojoj koncepciji
 FD-TD algoritam ne zahteva formulaciju složenih integralnih jednačina
 FD-TD algoritam ne zahteva izvođenje Grinovih funkcija kompleksnih
sredina
 FD-TD – primena bez komplikovane matematičke pripreme, kao kod
metode momenata i metode konačnih razlika
 Jednostavno se primenjuje u složenim ili specijalnim nehomogenim,
nelinearnim, provodnim, ... dielektričnim ili magnetskim strukturama
 Zahtevi za memorijom nisu
više previsoki (sa današnjim razvojem
računarske tehnike) u analizi veoma kompleksnih struktura
primena FD-TD metode u fotonici
37
ZAKLJUČAK
ftnkm
FD-TD metoda: Nedostaci
 Egzaktno modelovanje objekta i njegovog okruženja može znatno
povećati vreme izvođenja programa
 Tačnost postupka je najčešće za jedan red veličine lošiji nego kod
npr.metode momenata
 Kao i kod svih FD algoritama vrednosti polja su poznate samo u
vrhovima Yee-ove ćelije
 Problemi kada je potrebno odrediti EM polje u dalekoj zoni (far-
field computation)
primena FD-TD metode u fotonici
38
ftnkm
 FD-TD diskretretizacija je standardno u pravouglom Dekartovom
sistemu
 Pravougaone latice (ćelije) nisu pogodne za analizu objekata koji
imaju zakrivljene površi
 Potreba i problem uvođenja generalizovanih oblika ćelija
Model koji se analizira
primena FD-TD metode u fotonici
Izgled modela posle
primene FD-TD metode
39
HVALA NA PAŽNJI !
primena FD-TD metode u fotonici
40