Transcript Die Ableitungsfunktion

Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Der Weg und das Ziel
Algorithmische Zusammenhänge finden
zwischen einer Funktion und
ihrer Steigungs- (Änderungs-) funktion
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Der Weg :
Regel entdecken, Vermutung aufstellen,
beweisen und einfacher rechnen! 
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Das Ziel
Zu einer Funktion f(x) die
Funktion f‘(x) zu finden,
welche die Änderungsrate
beschreibt.
Wenn wir also zum Beispiel
die Funktion eines Weges
s(t) in der Zeit t kennen,
wie lautet dann die Funktion
der zeitlichen Änderung des
Weges, also die
Geschwindigkeit v(t) ?
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Worum geht es?
Einordnung in den Zusammenhang
Beispiele:
Die Funktion
beschreibt
Ableitungsfunktion
beschreibt
die Flughöhe in der
Zeit
die Steigung des Flugzeuges in der
Zeit (Variometergraph)
das Höhenprofil eines
Radweges
den Anstieg bzw. das Gefälle oder
die Steigung dieses Weges
s(t) , der Weg eines
Autos in der Zeit
v(t) , die Geschwindigkeit des
Autos in dieser Zeit
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Bestimmen der Ableitungsfunktion
bekannt:
• graphisches Differenzieren,
• Graph der Ableitungsfunktion
• Steigung an einer bestimmten Stelle x0
berechnen ( h-Methode )
neu:
Steigung an jeder beliebigen Stelle x berechnen
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Wie sieht die Steigungsfunktion aus?
Beispiel: f(x) = x2
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
2

x0  h   x02

h
f ' ( x0 ) 
x02  2 x0 h  h 2  x02

h
2 x0 h  h 2

h
 2 x0  h
und
lim2 x0  h   2 x0
h0
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Regel
zur Ableitungsfunktion von f(x) = x2
Für jedes beliebige x0 aus dem Definitionsbereich haben
wir gezeigt: f‘(x0) = 2 x0
Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein:
Für f(x) = x2 gilt: f‘(x) = 2 x
oder
f‘(x) = 2x ist die Ableitungsfunktion von f(x) = x².
(s. Buch S. 115)
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Wie sieht die Steigungsfunktion aus?
Beispiel: f(x) = x3
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
3

x0  h   x03

h
f ' ( x0 ) 
x03  3x02 h  3x0 h 2  h 3  x03

h
3 x02 h  3x0 h 2  h 3

h
 3x02  3x0 h  h 2
und


lim 3x02  3x0 h  h 2  3x02
h 0
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Regel
zur Ableitungsfunktion von f(x) = x3
Für jedes beliebige x0 aus dem Definitionsbereich haben
wir gezeigt: f‘(x0) = 3 x0²
Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein:
Für f(x) = x3 gilt: f‘(x) = 3 x²
oder
f‘(x) = 3x² ist die Ableitungsfunktion von f(x) = x³.
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Sammeln von Ableitungsfunktionen
Ein kleine Quiz-Frage:
Zu . . . f(x) gehört die Ableitungsfunktion f‘(x)
Zu . . . x2
gehört die Ableitungsfunktion
2x1
Zu . . . x3
gehört die Ableitungsfunktion
3x2
Zu . . . x4
gehört die Ableitungsfunktion
4x3
Zu . . . x7
gehört die Ableitungsfunktion
7x6
Zu . . . xn
gehört die Ableitungsfunktion nx^n-1
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Stimmt das denn ?
Zu f(x) = x
ist
n
f‘(x) = n x
n-1
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
n

x0  h   x0n

h
f ' ( x0 ) 
die Ableitungsfunktion ?
S ist die Summe aller
übrigen Potenzprodukte,
die ja alle mindestens h2
enthalten.
x0n  n  x0n 1h  S  h 2  x0n

h
n  x0n 1h  S  h 2

h
 n  x0n1  S  h


lim n  x0n 1  S  h  n  x0n 1
h 0
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Potenz-regel
Die Potenzfunktion f(x)
Ableitungsfunktion
= xn mit n  IN
hat die
f‘(x) = n x n-1.
(Beweis s. S. 118)
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Viel Erfolg auf eurem Weg!
Mathematik Jahrgangsstufe 11
Plenum - Die Ableitungsfunktion
Aufgaben :
Basics: S 119: A 2 d), h) ; A4 a) , b) ; A 6 a), b)
S 121 A 3a),f), g), h) ; A 4 a), f), g), m) ;
A9a), b), d), e) ; A10 a), b)
S 122 A2 ; S123 A3
TOPs: Beweise für Summen- und Faktorregel
Raben: Beweise für Potenzregel