Transcript Document

Kap 10 Rotasjonsdynamikk
Kraftmoment
Vektstang
r1
r2
F2
F1
Balanse når
r1  F1  r2  F2
Produktet av arm r og kraft F
kalles for kraftmoment
  r F
Kraftmoment
Varierende arm
Kraftmoment = Arm x Kraft
  r F
Kraftmoment
Positiv omløpsretning
  l  F
1
1 1
  l  F
2
2 2
Kraftmoment
Dekomponering av kraft
  r  Ftan  r  F sin  l  F
Kraftmoment
Eks 10_01
r
F
190
  rF sin   0.80m900N sin1090  680Nm
r
1090
F
Kraftmoment
Definisjon - Kraftmoment som vektor
F
r
O
  r  Ftan  r  F sin  l  F
  
 r x F
Kraftmoment og vinkelakselerasjon
Kraftmomentloven
  I
  
 r x F


   
 i  ri  Fi  ri  [ Firad  Fi tan  Fiy ]

Fi tan  mi ai tan  mi ri
 iy  ri Fi tan  mi ri 2
 y   iy  ( mi ri 2 )  I
 y  I
  I
Kraftmoment
Eks 10_02
Bestem kabelens akselerasjon
  rF
  I
a  r

2 F (0.06m)2  9.0 N

rF
r
a  r  r  r 

 0.36 m
I
I
I
0.090kgm2
s2
Kraftmoment
Eks 10_03
mgT  ma
  RT
  I
1
MR 2
2
a  R
I

a  R  R
K
T
T
mg

I
R
RT
1
MR 2
2
Ma  2m g  2m a
2m a  Ma  2m g
( 2m  M ) a  2m g
Mg
2m g
1
a

g
M
2m  M 1 
Bestem
2m
loddets akselerasjon

2T
2( m g  m a)

M
M
Kraftmoment
Eks 10_04
T1  m1a
m2 g  T2  m2 a
  RT2  RT1
  I
N
T1
m1g
T1
1
MR 2
2
a  R
I 
K
T2
Mg
T2
m2g

a
1
m
M
1 1 
m2 2 m2
g
Bevegelig rotasjonsakse
-
  
ri  rcm   i

 
vi  vcm   i

 

a a 
i
cm
i
    
 
ai  acm    i    (  i )
Kraftmoment mht cm
mi
 x i
y
 x ( x i)
i
cm
O
rcm
x


Fi  mi ai
  
    

 

( cm )i  i  Fi  i  mi ai  i  mi acm    i    (  i )








 cm   ( cm )i  ( mi i )  acm  ( mi i 2 )   Icm


 cm  Icm
 cm  Icm
Kraftmoment mht en vilkårlig akse på legemet
mi
y
i
ri
cm

 
 o   ri  Fi
O
 



  



 o   (rcm  i )  Fi  rcm   Fi   i  Fi  rcm  F  Icm






 o  rcm  macm  Icm



I

cm / o  cm
 o  rcm  mao  a

 

 

 o  rcm  mao    rcm    (  rcm ) Icm



 

 o  rcm  mao    rcm  Icm



rcm
x
Kraftmoment mht en vilkårlig akse på legemet
 o  rcm  mao   rcm  Icm



 



2
 o  (Icm  mrcm )  Io

når

1.


2.

3.


 
ao  0
 
ao || rcm


rcm  0


 o  Io
Kraftmoment
når
Eks 10_05
Akse i cm
 cm  RT
  RMg
 cm  Icm
 I 
0
0
0
I  Icm  Md 2  1 MR 2  MR 2  3 MR 2
0
2
2
Icm  1 MR 2
2
T
acm  R
acm  2 g
3
 
ao  0
 
ao || rcm


rcm  0
Akse i O
Mg  T  Macm
Mg  T  Macm

 
ao || rcm

1.


2.

3.


acm  R

Mg
acm  2 g
3
Kinetisk energi til et stivt legeme 1
=
+
Bevegelsen kan betraktes som sammensatt av
translatorisk bevegelse av masse-senteret
pluss rotasjon om masse-senteret
eller ren rotasjon om et punkt som er i ro.
=
K  1 Mvcm2  1 Icm 2  1 I  2
2
2
2 0
Kinetisk energi til et stivt legeme 2

 
ri  rcm  i
 

vi  vcm  vi '
mi
y
hvor
 
vi '  i
i
ri



K   Ki   1 mivi 2   1 mi (vcm  vi ' )2
2
2


K  1 ( mi )vcm2  vcm ( mivi ')  1 ( mivi '2 )
2 
2 




M
Icm 2
0
cm
rcm
O
x
=
K  1 Mvcm2  1 Icm 2
2
2
+
Bevegelsen kan energimessig betraktes som sammensatt av
translatorisk bevegelse av masse-senteret
pluss rotasjon om masse-senteret.
Kinetisk energi til et stivt legeme 3
  
ri  ro  i
  
vi  vo  vi '
mi
y
hvor
 
vi '  i
i
ri

 
K   Ki   1 mivi 2   1 mi (vo  vi ' )2
2
2


K  1 ( mi )vo2  vo ( m v ' )  1 ( mivi '2 )
i i
2 
2 
M
Io 2
1
K  I o 2
2
når
o
ro
O
x
=
 
vo  0
Totalbevegelsen om et vilkårlig punkt (på legemet) som er i ro
kan energimessig betraktes som en ren rotasjon om dette punktet.
Yoyo
Eks 10_08 a
Bestem hastigheten til jo-jo’ens masse-senter
etter et fall på en strekning h.
Mg  T  Macm
a
  RT  Icm  1 MR2  1 MR2 cm
2
2
R

acm  2 g
3
vcm 2  (vcm ) 2  2acm h
0

vcm  4 gh
3
v
 (vcm )  acmt
0
 cm

1
)
t

acmt 2
h  (v
cm
0 2

Yoyo
Eks 10_08 b
Bestem hastigheten til jo-jo’ens masse-senter
etter et fall på en strekning h.
K 0
1
K  1 Mvcm 2  1 Icm 2
2 2
2
U  Mgh
1
U 0
2
K U  K U
1 1
2
2
0  Mgh  1 Mvcm2  1 Icm 2  0
2
2
v
0  Mgh  1 Mvcm2  1  1 MR2 ( cm )2  0
R
2
2 2
vcm  4 gh
3
Yoyo
Eks 10_08 c
Bestem hastigheten til jo-jo’ens masse-senter
etter et fall på en strekning h.
K 0
1
1 1
3
K  1 Io 2 = ( MR 2 + MR 2 ) 2 = MR 2 2
2 2
2 2
4
U  Mgh
1
U 0
2
K U  K U
1 1
2
2
vcm  4 gh
3
Siden kontaktpunktet O mellom hjul og snor er i ro,
kan vi betrakte bevegelsen som en ren rotasjon om O.
Rullende legemer
Eks 10_09
2
MR 2
5
1
Massiv sylinder I  MR 2
2
2
Hul kule
I  MR 2
3
Hul sylinder
I  1MR 2
Massiv kule
K 0
1
U  Mgh
1
K  1 Mvcm2  1 Icm 2
2 2
2
K U  K U
1 1
2
2
Icm  fMR2
2 gh
vcm 
1 f
U 0
2
I
2
5
1
f 
2
2
f 
3
f 1
f 
2 gh
vcm 
1 f
Hastigheten vcm er uavhengig av M og R.
Alle ikke-hule sylindre har samme hastighet.
Alle hule kuler har samme hastighet.
0  f 1
Liten f medfører stor hastighet.
Lite energi er bundet opp i rotasjon
og er istedet tilknyttet translasjon.
Arbeid og effekt ved rotasjon
ds
Ftan
R d
dW  Ftan ds  Ftan Rd  d  Id  I d d  I d d  Id
dt
dt


2
2
W  d   Id  1 I 2  1 I 2
2 2 2 1


1
1
P  dW   d  
dt
dt
Arbeid / Effekt
Eks 10_10
En bilmotor til Toyota Supra 6 yter 200hp ved 6000rpm.
Bestem tilhørende kraftmoment.
P  

  P  200hp  200  746W  237 Nm
 6000rpm 6000  2
60s
Arbeid / Effekt
Eks 10_11
En elektrisk motor yter et kraftmoment på 10Nm.
Treghetsmomentet er 2.0kgm2.
Bestem arbeidet utført i løpet av de første 8.0 sekunder.

t
t
t
2 8.0s  2  1 2 8.0s
2
2
2
2 

W  d  dt  tdt    tdt 
 1600 J
 tdt  I   2 t 
I
I

0
t
t
t

0
1
1
1
1
Angulært moment (Spinn)
Definisjon
v
m
r
    
L  r  p  r mv


F  ma
  
  r F


p  mv
  
Lrp
Angulært moment for et system av partikler
Rotasjon
vi = ri
mi
r
    
L  r  p  r mv
L   Li   ri mi vi   ri mi ri  ( mi ri )  I
2
 
L I
Tids-derivert av angulært moment = Kraftmoment
Spinn-satsen
  
L  r  mv
 dL       
 
   


L   r  mv  r  mv  v
mv  r  ma  r  ma  r  F  
dt
0
 
L 
  
L  dL 
dt
v
m
r
Den tidsderiverte av det angulære momentet
er lik kraftmomentet.
Når kraftmomentet på et system er null,
vil angulært moment være bevart.
Relasjon mellom angulært moment og
kraftmoment for et system av partikler
Spinn-satsen
  
vi  vo  ri



Lo   (ri  mivi )





Lo   (ri  mivi )   (ri  mivi )







Lo   (ri  mivo )   (ri  mi ri )   (ri  mi ai )


 
 
Lo  vo   mi ri  0   (ri  Fi )




Lo  vo  mvcm  o




Lo  vo  mvcm  o
vi
mi
O
ri
2,3
1,3
1,2,3
 
Lo  o
når
 
vo || vcm

1.


2.

3.


 
vo  0


vcm  0
 
vo || vcm
Flymotor
Bestem angulært moment og kraftmoment
på flymotoren når treghetsmomentet og
vinkelhastigheten som funksjon av tiden er gitt.
 (t )  kt2
k  400s  3
L(t )  I  Ikt2  2.5kgm2  400s 2  t 2  1000kgm2s 3  t 2
L(2s)  1000kgm2s 3  (2s)2  4000kgm2s 1
 (t )  L  1000kgm2s 3  2t  2000kgm2s 3t
 (2s)  2000kgm2s 3  2s  4000 Nm
Ballerina
Ingen ytre kraftmoment
medfører at angulært moment er bevart
  
0   L

 
L  I  kons tan t
I  I 
1 1
2 2
Nøytron-stjerne
  
0   L



L  I  kons tan t

I  I 
1 1 2 2
2
I  MR2
5

R
7.0 108 m 2 omdr 7.0 108 m 2
omdr
2
1
 ( )  (
) 1
(
) 1
2 R
1
mnd
30  24  60  60s
1.6 10 4 m
1.6 10 4 m
2
7.0 108 m 2
omdr
omdr
(
)  3.9 10 7
 750
s
s
1.6 10 4 m
En stjerne på størrelse med solen og en rotasjonstid på en måned,
vil etter kollaps til en nøytron-stjerne med radius 16 km
rotere med en vinkelhastighet på 750 omdreininger pr sekund.
Clutch
Ingen ytre kraftmoment
medfører at angulært moment er bevart
I   I   ( I  I )
A A B B
A B

I  I 
 A A B B
I I
A B
Angulært moment - Eks
En kule med masse 10gram avfyres med en fart av 400m/s
mot sentret av en 1m lang og 15kg tung dør.
Bestem dørens vinkelhastighet etter støtet.
Linit  L
final
mvl  I
m  0.50m
0
.
010
kg

400
mvl
mvl
s
  mvl 


 0.40s 1
I
I
I
1
1
door bullet 3 ML2  ml 2 3 15kg  (1..0m)2  0.010kg  (0.50m)2
Gyroskop
Innretning som demonstrerer prinsippet om
bevaring av angulært moment.
Benyttes til orientering i rommet
og/eller holde fast et legeme i en bestemt orientering.
Oppfunnet av Gottlieb Friedrich von Bohnenberger i 1817.
Gyroeffekt
Riflet løp gjør det enklere å fjerne kruttslam.
Kula får gyrokopisk stabilitet.
Amerikansk fotball vil ved rotasjon
oppnå gyroskopisk stabilitet,
den blir mer treffsikker, raskere, stabil
og ha større rekkevidde.
Gyroeffekt
L

F
Helikopterets stikke styrer rotorbladene
slik at de kan ha forskjellig angrepsvinkel
og dermed forskjellig løft i ulike retninger.
Når helikopterets stilling skal forandres slik
at rotorens akseretning endres, må
rotorbladene gi øket eller redusert løft
90 grader før punktet der rotoren skal løftes
eller senkes.
Gyroeffekt - Gyrokompass - Elektronisk kompass
Raskt roterende svinghjul (gyroskop)
parallelt med jordaksen (mot Polarstjernen)
eller parallelt med horisontalplanet.
GPS-mottaker for å kalkulere retningsinformasjon.
Elektronisk kompassmodul som er magnetoressistivt
metall hvor den elektriske motstanden endres lineært
ved endring av vinkel i forhold til jordas magnetfelt.
Gyroskop
Endring pr tidsenhet
av angulært moment L
er lik kraftmoment 


L  I
 
L 

| dL |
  d  | L |    wR
L I
dt
dt
  
L  dL 
 dt
dL  dt
Gyroskop



r

L

F



L  dL 
 dt
dL  dt
Sykkel

L1

L2

dL1

L

dL2

Fn

L

Fp

L2

L2

dL3
Forandring av angulært moment
  
L  dL 
 dt
dL  dt
Skiven er i ro
Skiven roterer
Bevaring av angulært moment
Person + Hjul
  
L  dL 
dt
Bevaring av angulært moment
Metallskive
  
L  dL 
dt
END