Transcript Takedaモデル

耐震工学特論（後半）の内容
一自由度系を用いた非線形地震応答解析
・非線形復元力特性モデルの紹介
・非線形復元力特性モデルのパラメータと出力
（塑性率と必要耐力スペクトル）
・一自由度系非線形地震応答解析プログラムを動かす
・非線形地震応答を簡便に求める方法
（Newmark’s design criteriaと等価線形化手法）
→非線形地震応答を構造物の塑性化による周期の伸びと
エネルギー吸収（等価粘性減衰）という２つの要因から捉
えられることを学ぶ
授業の進め方
できるだけ多くの演習
←授業は，配付資料に書き込みをしながら進めていく
→ホームページからダウンロード，印刷してもってくる
一自由度系を用いた地震応答解析とは
運動方程式を解くこと
.. .
..
mx+cx+Q(x)= -ma
m: 質量，c: 減衰係数，
x: 変位，Q(x): 復元力，
a: 入力地震動（加速度）
一自由度系
計算機を使えば，任意の地震動に対して地震応答を求め
ることができる
弾性系と弾塑性系
.. .
..
mx+cx+Q(x)= -ma
Q
Q
x
x
Q=kx
kが刻一刻変化
弾性
弾塑性
系が非線形の場合は，復元力特性モデルが必要になる
完全弾塑性モデル
･最もシンプルなモデル
･パラメータは，初期剛性kと降伏耐力Qyのみ
実際のRC部材の挙動
降伏後の剛性は0ではない
bilinearモデル
･降伏後の剛性（0ではない）が考慮
･パラメータ: 初期剛性k， 降伏耐力Qy，降伏後の剛性
／初期剛性β
実際の地震応答におけるbilinearモデル
実際のRC部材の挙動とbilinearモデル
・除荷剛性を考慮すべき
・除荷剛性は，変形が大きくなるほど小さくなる
degrading bilinearモデル
・除荷剛性低下が考慮
・除荷剛性Krは，損傷が大きくなるほど小さくなる
→損傷を表現する指標（塑性率）
塑性率
塑性率μは，最大応答変形xの降伏変形xyに対する比と
定義され，損傷を表現する指標として用いられる
周期が長い系と短い系の塑性率
周期が短い系
周期が長い系
Q
Q
Qy
Qy
0 dy
dm
μ=dm/dy=5
d
0
dy
dm
μ=dm/dy=2
d
degrading bilinearモデル
・除荷剛性低下が考慮
・除荷剛性Krは，損傷（塑性率）が大きくなるほど
小さくなる
・パラメータ: 初期剛性，降伏耐力，降伏後の剛性／
初期剛性β ，除荷剛性低下指数α
エネルギー吸収能力指数Eh
・構造物の地震応答: エネルギー吸収ΔWの影響を
大きく受ける
・Eh: エネルギー吸収ΔWを等価粘性減衰定数に変換
Eh = ΔW/2πFmDm
問題1 エネルギー吸収能力指数Ehと
等価粘性減衰定数の関係
履歴によるエネルギー吸収ΔWが定常共振状態下の粘性
減衰による１サイクルのエネルギー吸収ΔUに等しいと置
くことにより，ΔWから等価粘性減衰定数Ehを求める
Eh = ΔW/2πFmDm
2
dy
dy dy
U   cydy   c dy   c
dt   p cy 2 dt　o
dt
dt dt
y  a cos( pt   
c: 減衰係数(=2hm ),
m: 質量
1  cos 2
2
k
sin  
:
固有周波数(=
)

2
m
k=Fm/Dm
y: 振幅, a: 最大振幅(=Dm)
p: 入力周波数,  : 初期位相
定常共振状態→ p= 
(3.1)
エネルギー吸収能力が高い（履歴が太っている）
系の地震応答
エネルギー吸収能力が高い（履歴が太っている）
系の地震応答
degrading bilinear モデルの
エネルギー吸収能力指数Eh
Ramberg-Osgood モデル
R-O モデルのパラメータ γ
R-O モデルのエネルギー吸収能力指数 Eh
パラメータγによる履歴の違い
実際のRC部材の挙動とbilinearモデル
実際は，剛性が荷重0で変化している
→bilinearモデルよりエネルギー吸収能力が低い
Clough and 修正Cloughモデル
・荷重0での剛性の変化が考慮
・ bilinearモデルよりエネルギー吸収能力が低い
・パラメータは， degrading bilinearモデルと同じ
（初期剛性，降伏耐力，降伏後の剛性／初期剛性β ，
除荷剛性低下指数α).
Cloughモデルの
エネルギー吸収能力指数Eh
degrading bilinear モデルと Clough モデルの
エネルギー吸収能力指数Ehの比較
Clough モデルのエネルギー吸収能力指数Eh
Eh = ΔW/2πFmDmを用いて， Clough モデルの場合
E h
1

{ 1  ( 1       /  
と書けることを導く
問題2 完全弾塑性モデルの
エネルギー吸収能力指数Eh
Eh = ΔW/2πFmDmを用いて，完全弾塑性モデルのEhを
導け
Takeda モデル
Takedaモデル
trilinearのプライマリーカーブを採用
⇔Cloughモデル
force
βk
Qy
Qc
0
k αy k
displacement
Takedaモデルのエネルギー吸収能力指数Eh
Cloughモデルと Takedaモデルの
エネルギー吸収能力指数Ehの比較
Takedaモデル
trilinearのプライマリーカーブを採用
⇔Cloughモデル
force
βk
Qy
Qc
0
k αy k
displacement
Clough モデルに加えて，ひび割れ耐力／降伏耐力
(Qc/Qy) と降伏点剛性／初期剛性αyの２つのパラメータ
Takedaモデルのパラメータ
初期剛性 k
降伏耐力 Qy
降伏後の剛性／初期剛性β
除荷剛性低下指数α
ひび割れ耐力／降伏耐力 (Qc/Qy)
降伏点剛性／初期剛性αy
ひび割れ耐力Mc
M c  0.56   Z e  ND / 6
σB : compressive strength of concrete, Ze: section modulus,
N: axial force, D: depth of member
降伏耐力My
M y  g1q  0.50 1  bD2
g1=jt/D,
q=ptσy/σB,
pt=at/bD,
η0=N/bDσB
jt: distance between tension and compression resultants,
at: area of tensile bar, σy: strength of tensile bar,
b: width of the member, D: depth of the member
降伏点剛性低下率 αy
d
 y  0.043 1.64npt  0.043a / D  0.33  
 D
2
n: ratio of Young’s modulus, a: shear span length
Takedaモデルのパラメータ
initial elastic stiffness k
yielding strength Qy
ratio of post-yielding stiffness to initial elastic stiffness β
unloading stiffness degradation parameter α
ratio of cracking to yielding force (Qc/Qy)
ratio of yielding to initial elastic stiffness αy
Paper by Dr. Takeda
Specimen
Loading equipment for static experiments
Loading history
Results of static experiments and
analyses (Takeda model) in the case that α=0.4
Results of dynamic tests and response analyses
using Takeda model in the case that α=0.4
Difference of hysteresis by parameter α
Takedaモデルのパラメータ
初期剛性 k
降伏耐力 Qy
降伏後の剛性／初期剛性β
除荷剛性低下指数α
ひび割れ耐力／降伏耐力 (Qc/Qy)
降伏点剛性／初期剛性αy
trilinearのプライマリーカーブをもった
もっとシンプルなモデルが提案
degrading trilinear (D-tri) モデル
ひび割れ点が履歴面積をコントロールする
D-triモデルのエネルギー吸収能力指数Eh
Fc/Fyの違いによる応答履歴の違い
紹介した復元力特性モデル
（主として曲げ挙動を表現するモデル）
bilinear primary curve, trilinear primary curve
パラメータ
弾性
k
完全弾塑性モデル
k,Qy
bilinearモデル
k,Qy,β
degrading bilinearモデル
k,Qy,β,α
Ramberg-Osgood モデル
Clough モデル
k,Qy,β,α
Takeda モデル
k,Qy,β,α,Qc,αy
Degrading trilinear (D-tri) モデル k,Qy,β,
Qc
他の復元力特性モデル
せん断挙動を表現するモデル
・最大点指向モデル
・原点指向モデル
ピンチング挙動を表現するモデル
・スリップモデル
・Takeda-slip モデル
RC造耐震壁の実験結果
壁の実験結果
エネルギー吸収が小さく，
残留変形が小さい
梁の実験結果
最大点指向モデル
原点指向モデル
せん断挙動
曲げ挙動
ピンチング挙動
スリップモデル
繰り返し荷重下におけるピンチング挙動
修正スリップモデル
Takeda slip モデル

pm d m
Ks 
dm  d0 d y
λ: index of stiffness
degradation by slip
(=0.5)
耐力低下を考慮したモデル
KN=aNKy
FN=bNFy
N: number of
yielding
a=0.80, b=0.90
繰り返しによる耐力低下を考慮したモデル
同じ変位で繰り返しても耐力低下は起こる
←Takedaモデルでは表現できない
繰り返しによる耐力低下の詳細
□ の部分のクローズアップ
Strength degrades by cyclic loading, but
it recovers by displacement increment
繰り返しによる耐力低下を考慮したモデル
Shear force
Takeda
model
displacement
d0
dy
O
dp
dm
Developed
model
d0
dm  dp 

dy
χ: strength degradation index
d=0 軸を横切らない場合
Shear
force
O
耐力低下は生じない
displacement
1.5
1.5
1.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
base shear coefficient
base shear coefficient
Takedaモデルと開発したモデルの比較
-1.0
-4
-2
0
2
ductility factor
(1)Takeda model
4
-1.5
-4
-2
0
2
4
ductility factor
(2)developed model
開発したモデルの実験結果との比較 (1)
せん断力
χ=0.18
変形角
開発したモデルの実験結果との比較 (2)
せん断力
χ=0.15
変形角
繰り返しによる耐力低下を考慮したモデル
Shear force
Takeda
model
displacement
d0
dy
O
Developed
model
d0
dm  dp 

dy
χ: 耐力低下指標
どうやって耐力低下指標χを決める?
dp
dm
どうやって耐力低下指標χを決める?
耐力低下指標χ は，せん断補強量と軸力比に関係する
と考えた
耐力低下は，せん断補強量が少ないほど，軸力比が大
きいほど大きいのでは
耐力低下指標χ andせん断補強筋比pwと軸力比no の関係
について調べた
pw と χの関係
n0
0.15

0~0.2
0.2~0.4
0.4~0.6
0.6~
n0 =0.8
0.1
0.05
n0 =0
0
1
2
pw(%)
3
no と χの関係
0.15

pw=0.1%
pw=3.0%
0.1
0.05
pw
(%)
0
0.2
0.4
n0
0.0~0.5
0.5~1.0
1.0~1.5
1.5~2.0
2.0~
0.6
0.8
耐力低下指標χ を評価する式を提案
n0
0.15
0~0.2
0.2~0.4
0.4~0.6
0.6~
n0 =0.8
 0.1
0.15

pw=0.1%
pw=3.0%
0.1
0.05
0.05
pw
(%)
n0 =0
0
1
2
3
pw(%)
  0.12n 0  0.022p w  0.077
0
0.2
0.4
n0
0.0~0.5
0.5~1.0
1.0~1.5
1.5~2.0
2.0~
0.6
0.8
Takeda-slipモデルを修正して
木造建物の復元力特性モデルを提案
スリップ性状
実大木造建物の復元力特性
Takeda-Slipモデル
槌本敬大ほか，第12回日本地震工学シンポジウム，2006
飯塚裕暁, 境有紀, 木造建物における一自由度系地震応答解析のた
めの復元力特性モデルの提案, 日本地震工学会論文集, 第９巻, 第１
号, 113-127, 2009.2.
Takeda-Slipモデルのパラメタ
Qu
du
ks 
du  do du  do
Qy
ku   
dy

Qy
Qc
Qu
kp   
du
k
dy
Qc du
kr 
dc dy

Takeda-Slipモデルの修正
実大木造建物の復元力特性
Takeda-Slipモデル
槌本敬大ほか，第12回日本地震工学シンポジウム，2006
本来は鉄筋コンクリート造建物用のモデル
⇒木造建物の復元力特性に近づけるためモデルを修正
修正Takeda-Slipモデルは木造建物に利用できるか？
実大実験を基にパラメタを決め、
実験結果を表現できるかどうかを確認
パラメタの決定方法
実験結果とモデルのループの面積が等しくなるように
パラメタを決定
Q
k
d
正負両側でそれぞれパラメタを定める
パラメタの決定方法
実験結果とモデルのループの面積が等しくなるように
パラメタを決定
Q
β
降伏点
Qy
Qc=0.3Qy
k
dy
d
正負両側でそれぞれパラメタを定める
パラメタの決定方法
実験結果とモデルのループの面積が等しくなるように
パラメタを決定
Q
β
降伏点
Qy
Qc=0.3Qy
k
dy
α
d
正負両側でそれぞれパラメタを定める
パラメタの決定方法
実験結果とモデルのループの面積が等しくなるように
パラメタを決定
Q
β
降伏点
Qy
Qc=0.3Qy
k
dy
γ
正負両側でそれぞれパラメタを定める
α
d
対象とする実験結果
k =21.1kN/mm
Qy=69.9, 50.3kN
dy=8.2, 9.4mm
A
k =17.9kN/mm
Qy=174.3, 169.6kN
dy=49.2, 46.2mm
B
k =10.1kN/mm
Qy=111.0, 96.4kN
dy=22.2, 22.9mm
α=1.17, 1.13
β=0.09, 0.04
γ=2.96, 1.06
α=0.50, 0.41
β=0.03, 0.12
γ=1.34, 2.71
槌本敬大ほか，第12回日本地震工学シンポジウム，2006
C
α=0.53, 0.66
β=0.08, 0.02
γ=3.78, 3.59
槌本敬大ほか，第12回日本地震工学シンポジウム，2006
室星啓和ほか，日本建築学会大会，2005
k =20.9kN/mm
Qy=404.1, 274.5kN
dy=47.4, 39.7mm
D
α=0.23, 0.66
β=0.15, 0.11
γ=3.66, 2.49
綿貫誠ほか，日本建築学会大会， 2006
k =3.87kN/mm
Qy=72.4, 56.8kN
dy=43.4, 32.4mm
E
k =26.1kN/mm
Qy=215.7, 284.1kN
dy=23.1, 38.3mm
α=0.77, 0.21
β=0.05, 0.14
γ=3.37, 1.82
田中裕樹ほか，日本建築学会大会， 1997
求めたパラメタを用いて地震応答解析を行い、
解析結果と実験結果を比較する
F
α=0.40, 1.23
β=0.12, 0.03
γ=2.52, 2.39
伊藤嘉則ほか，日本建築学会構造系論文集， 2006
実験結果と解析結果の比較
実
験
結
果
槌本敬大ほか，第12回日本地震工学シンポジウム，2006
C
B
A
槌本敬大ほか，第12回日本地震工学シンポジウム，2006
室星啓和ほか，日本建築学会大会，2005
解
析
結
果
水平力(kN)
200
-400
-200
150
200
200
150
150
100
100
50
50
0
0
-50
200
400
600
層間変位(mm)
-200
-100
0
0
-50
100
100
200
層間変位(mm)
水平力(kN)
水平力(kN)
250
50
0
-50
-100
-100
-100
-150
-150
-150
-200
-200
-200
-75
-50
-25
0
25
層間変形角(×10-3rad)
50
75
実験結果と解析結果の比較
D
実
験
結
果
F
E
綿貫誠ほか，日本建築学会大会， 2006
伊藤嘉則ほか，日本建築学会構造系論文集， 2006
田中裕樹ほか，日本建築学会大会， 1997
600
400
10
400
200
水平力(tf)
0
水平力(kN)
5
200
水平力(kN)
解
析
結
果
300
0
-200
-5
-0.06
-0.04
-0.02
0
0
0.02
-100
-200
-400
-600
-60
100
-300
-10
-20
-40
-20
0
20
層間変形角(×10-3rad)
40
60
-10
0
層間変位(cm)
10
20
-400
層間変形角(rad)
0.04
0.06
実験結果と解析結果の比較
実験結果と解析結果の最大変位の比較
250
解析結果最大変位(mm)
正側
負側
200
C
B
A
150
A
B
C
100
E D
E
F
F
50
0
D
0
50
100
150
200
実験結果最大変位(mm)
250
木造建物の挙動を修正Takeda-Slipモデルで表現できる
修正Takeda-Slipモデルは木造建物に利用可能
一自由度系を用いた地震応答解析
運動方程式を解くこと
.. .
..
mx+cx+Q(x)= -ma
m: 質量，c: 減衰係数，
x: 変位，Q(x): 復元力，
a: 入力地震動（加速度）
一自由度系
運動方程式を解くプログラムにQ(x)を表現する
復元力特性モデルのサブルーチンを組み込めば，
一自由度系の非線形地震応答解析ができる
一自由度系のパラメータを決める方法
←フレームモデルのpushover解析
一自由度系の弾性周期を簡便に求める方法
w: 単位重量(=12000N/m2), ΣＡf: 建物の
総床面積(m2) , g: 重力加速度(cm/s2), Fc:
コンクリート圧縮強度 (N/mm2) , b: 柱の
W w A f
幅(cm), D: 柱せい(cm), h: 階高(cm), n:
m

階数
g
g
m
T  2
( s)
k
12E I

k
c
nh3
←構造力学
Fc
Ec  2100000 ( Fc  36( N / m m2 )
20
 Fc  3
 3350000  ( Fc  36( N / m m2 )
 60 
1
bD3
I
12
断面２次モーメント
(cm4)
コンクリートの剛性 (N/cm2)
一自由度系のベースシア係数を
簡便に求める方法
Cy 
 c Ac
w Af
τc: 柱の終局せん断応力(N/mm2=Fc/15), Ａc: 1階柱の総断面積
(cm2) , w:単位重量(=12000N/m2), ΣＡf:建物の総床面積(m2)
階高: 3.6m
5.5mスパン
一自由度系の周期とベースシア係数を
簡便に求める方法で計算する
7mスパン
平面
立面
⇔桁行方向
3階建て:
1階柱断面寸法: 60cm x 60cm
Fc= 24(N/mm2)
階高: 3.5m
問題3 一自由度系の周期とベースシア係数を
簡便に求める方法で計算する
平面
立面
⇔桁行方向
12階建て:
1階柱断面寸法: 95cm x 95cm
Fc= 48(N/mm2)
一自由度系の非線形地震応答解析の出力
弾性（線形）地震応答解析:
加速度，速度，変位スペクトル
弾塑性（非線形）地震応答解析:
塑性率などの損傷を表現する指標
塑性率スペクトル
Computer program SDF
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
NONLINEAR DYNAMIC RESPONSE OF SINGLE-DEGREE-OF-FREEDOM SYSTEMS
TO GROUND MOTION (OTANI.SDF).
PROGRAMMED BY OTANI, S.
ON FEBRUARY 9, 1979
AT UNIVERSITY OF TORONTO
THIS PROGRAM HAS THE FOLLOWING HYSTERESIS MODELS,
1.
LINEARLY ELASTIC MODEL,
2.
RAMBERG-OSGOOD HYSTERESIS MODEL,
3.
DEGRADING BILINEAR HYSTERESIS MODEL,
4.
BILINEAR SLIP MODEL,
5.
MATSUSHIMA MODEL,
6.
MORITA MODEL,
7.
CLOUGH DEGRADING STIFFNESS MODEL,
8.
BILINEAR TAKEDA HYSTERESIS MODEL,
9.
TRILINEAR ELASTIC MODEL,
10.
TRILINEAR PEAK-ORIENTED MODEL,
11.
TRILINEAR ORIGIN-ORIENTED MODEL,
12.
TAKEDA HYSTERESIS MODEL,
13.
HISADA HYSTERESIS MODEL,
14.
DEGRADING TRILINEAR MODEL.
15.
TAKEDA SLIP MODEL.
SDF（一自由度系非線形地震応答解析プログラム）
を走らせる
1. Make a directory(holder) on your PC (ex.\sdf);
2. Download these files from
http://www.kz.tsukuba.ac.jp/~sakai/tcl.htm
into the directory you made;
source file: sdf.for
exe file: sdf.exe
input strong ground motion records: imvelcns.eq, imvelcew.eq
sample of sdf.dat: sdf.dat
samples of building data file:
els05.sin (elastic, T=0.5s)
b0305.sin (bilinear, Cy=0.3, T=0.5s)
t0305.sin (Takeda, Cy=0.3, Ty(yielding period)=0.5s)
elssp.sin (for elastic spectrum)
b03sp.sin (bilinear, for ductility factor spectrum)
t03sp.sin (Takeda, for ductility factor spectrum)
Program SDF uses three files;
*.eq: input strong ground motion file
*.sin: building data file
sdf.dat: job control file
3. Run the program using sample files;
Open MS-DOS window
>sdf
4. Check the calculated results;
response displacement and shear force:
{building name}{input strong ground motions name}.wpl
ex. els05_imvelcns.wpl
ex. b0305_imvelcns.wpl
response spectrum:
{building name}{input strong ground motions name}.spc
ex. elssp_imvelcns.spc
ex. b03sp_imvelcns.spc
5. Plot the calculated results using Excel etc.;
format of *.eq (input strong ground motion file)
imvelcns.eq:1940-05-18 NS U.S.A., EL CENTRO
←comment line
0.02
0.0
50.0.01
(10F8.3) ←data format
10 ←number of data in a line
-1.825 -11.225 -10.524 -9.224 -9.924 -12.424 -14.623 -13.223 -11.423 -8.922
-8.922 -13.522 -18.022 -19.821 -16.621 -14.821 -11.221 -8.620 -4.620 -7.020
-13.519 -19.419 -20.019 -7.019
2.582 13.682 -5.318 -13.217 -14.817 -20.717
-26.417 -32.916 -31.016 -17.616 -20.115 -16.715 -16.815 -7.115 2.086 14.586
………
time interval, start time(s), end time(s), magnification
0
factor/100(4f8.0)※
0
0
5 blank lines needed at the end of the file
0
0
※format description of fortran language
i5
→ data type: integer, width: 5
f8.2 → data type: real,
width: 8, number of decimals: 2
a5
→ data type: character, width: 5
30x → 30spaces
5f8.5→ 5x(data type: real, width: 8, number of decimals: 5)
format of *.sin (building data file)
in the case of els05.sin (elastic, T=0.5s)
6 blank lines needed at the top of the file
1
0.05
0.50000
5 blank lines needed at the end of the file
・2 lines data needed for 1 system.
・1st line: model number, damping factor, elastic period (i5,30x,f5.2,10x,f10.5)
・2nd line: blank in the case of elastic systems
・model number: 1: elastic, 3: bilinear, 12: Takeda
format of *.sin (building data file)
in the case of b0305.sin (bilinear, Cy=0.3, T=0.5s)
6 blank lines needed at the top of the file
3
0.30000
0.05
0.50000
0.01000
5 blank lines needed at the end of the file
・2 lines data needed for 1 system.
・1st line: model number, damping factor, yielding period (i5,30x,f5.2,10x,f10.5)
・2nd line: base shear coefficient, ratio of post-yielding to elastic stiffness β
(2f10.5)
・model number: 1: elastic, 3: bilinear, 12: Takeda
format of *.sin (building data file) in the case of t0305.sin
(Takeda, Cy=0.3, Ty(yielding period)=0.5s)
6 blank lines needed at the top of the file
12
0.30000
4.00000
0.01000
0.05
0.30000
0.50000
0.50000
5 blank lines needed at the end of the file
・2 lines data needed for 1 system.
・1st line: model number, damping factor, yielding period (i5,30x,f5.2,10x,f10.5)
・2nd line: base shear coefficient, 1/αy, β, Qc/Qy, α (5f10.5)
・model number: 1: elastic, 3: bilinear, 12: Takeda
format of *.sin (building data file)
in the case of elssp.sin(for elastic spectrum)
6 blank lines needed at the top of the file
1
0.05
0.10000
1
0.05
0.20000
1
0.05
0.30000
.................
5 blank lines needed at the end of the file
・2 lines data needed for 1 system.
・For spectrum calculation, prepare data changing elastic period of systems.
format of *.sin (building data file) in the case of
b03sp.sin(bilinear, for ductility factor spectrum)
6 blank lines needed at the top of the file
1
0.30000
1
0.30000
1
0.30000
.................
0.05
0.10000
0.05
0.20000
0.05
0.30000
0.01000
0.01000
0.01000
5 blank lines needed at the end of the file
・2 lines data needed for 1 system.
・For spectrum calculation, prepare data changing yielding period of systems.
sdf.dat (job control file)
■in the case you need only maximum responses
‘eq’ means ‘write only maximum responses’
eq 8 ←start of job (a3,i2)
imvelcns elssp ←<eq file name> <sin file name> (a8,x,a5)
imvelcns b03sp ←<eq file name> <sin file name> (a8,x,a5)
imvelcns t03sp ←<eq file name> <sin file name> (a8,x,a5)
000 ←end of job
■in the case you need maximum responses and time histories
‘wpl’ means ‘write waveform data with maximum responses’
wpl 8 ←start of job (a3,i2)
imvelcns els05 ←<eq file name> <sin file name> (a8,x,a5)
imvelcns b0305 ←<eq file name> <sin file name> (a8,x,a5)
imvelcns t0305 ←<eq file name> <sin file name> (a8,x,a5)
000 ←end of job
問題4 SDFを使って
一自由度系の非線形地震応答解析を行う
Compare the elastic and inelastic earthquake response by performing earthquake
response analyses in the case that input records are
ksrksrew.eq (1993 Kushiro-oki EQ.) and hnbfkins.eq (1995 Hyogoken-Nanbu EQ.)
・ elastic: T=0.3s
・ elastic acceleration spectrum
・ inelastic: Cy=0.5, T=0.3s, Takeda model (β=0.01, αy=0.25, Qc/Qy=0.3, α=0.4)
→Ty(yielding period)=0.6s
・ ductility factor spectrum
(Cy=0.5, Takeda model (β=0.01, αy=0.25, Qc/Qy=0.3, α=0.4)
1. Make input data files by modifying sample data using some editor;
input data file (sdf.dat) to specify
the name of an input strong ground motion record: and a building
building data file: {building name}.sin
2. Run the program;
Open MS-DOS window
>sdf
3. Check the calculated results;
response displacement and shear force: {building name}{input strong ground
motions name}.wpl
response spectrum: {building name}{input strong ground motions name}.spc
4. Plot the calculated results using Excel etc. and compare the results
When you use the results by SDF program, for example write a paper or make a
presentation, please quote the reference below;
Shunsuke Otani: Hysteresis Models of Reinforced Concrete for Earthquake Response
Analysis, Journal (B), The Faculty of Engineering, University of Tokyo, Vol. XXXVI,
No. 2, 1981, pp. 125 - 159.
Newmark’s design criteria
・２つの法則からなる
・エネルギー一定則:
短周期 (T<0.5s)の系では，エネルギー消費が一定
・変位一定則
長周期(T>0.5s)の系では，応答変位が一定
エネルギー一定則
短周期 (T<0.5s)の系では
台形OBCEの面積
= 三角形OADの面積
(μδy+(μ-1) δy)Qy/2=δL*QL/2
δy = Qy/k, δL = QL/k
QL
Qy 
2μ 1
変位一定則
長周期(T>0.5s)の系では，
弾塑性応答変位は，
弾性応答変位に等しい
μδy= QL/k
δy = Qy/k
Qy 
QL

例題 Newmark’s design criteria
以下の場合について応答変位を求めよ
1) 弾性周期: 0.3 sec., ベースシア係数: 0.4,
0.3 sec.における弾性加速度応答: 0.8g
2)弾性周期: 1.0 sec.,ベースシア係数: 0.1,
1.0 sec.における弾性加速度応答: 0.2g
問題5 Newmark’s design criteria
El-Centro NSの弾性スペクトル (次ページ, 減衰定数: 0.05)と
Newmark’s design criteriaを使って，応答変位を求めよ
1) 7階建の鉄筋コンクリート造建物
(ベースシア係数= 0.3, 階高=2.8(m))
2) 20階建の鉄骨造建物
(ベースシア係数=0.05, 階高=3.5(m))
T=0.02H (T: 建物の弾性周期 (s),
H: 建物高さ(m), 鉄筋コンクリート造建物の場合)
T=0.03H (T: 建物の弾性周期 (s),
H: 建物高さ(m), 鉄骨造建物の場合)
3方向応答スペクトル
減衰定数:
0.00, 0.02, 0.05, 0.10, 0.20
加速度，速度，変位を以下の関
係を用いて同時に示した応答ス
ペクトル
SV=ωSD
SA=ωSV=ω2SD
SD: 応答変位
SV: 疑似応答速度
SA: 疑似応答加速度
Response ductility factor
応答塑性率スペクトル
20.0
C=0.1
C=0.2
C=0.4
C=0.8
15.0
10.0
5.0
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: El-Centro NS
(1940年Imperial Valley地震)
Clough モデル
Response ductility factor
応答塑性率スペクトル
20.0
C=0.1
C=0.2
C=0.4
C=0.8
15.0
10.0
5.0
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: 大阪ガス葺合
(1995年兵庫県南部地震)
Cloughモデル
20.0
C=0.1
C=0.2
C=0.4
C=0.8
15.0
10.0
5.0
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: El-Centro NS
(1940年Imperial Valley地震)
Clough モデル
Response ductility factor
Response ductility factor
応答塑性率スペクトルの比較
20.0
C=0.1
C=0.2
C=0.4
C=0.8
15.0
10.0
5.0
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: 大阪ガス葺合
(1995年兵庫県南部地震)
Cloughモデル
応答塑性率は短周期領域で非常に大きくなる
←非常に敏感な指標
必要耐力
塑性率をある一定に収めるために必要な耐力（ベース
シア係数）
↑
許容塑性率 μa
Base shaer coefficient
必要耐力（ベースシア係数）スペクトル
2.0
μa=1
μa=2
μa=4
μa=8
1.5
1.0
0.5
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: El-Centro NS
(1940年Imperial Valley地震)
Clough モデル
Base shaer coefficient
必要耐力（ベースシア係数）スペクトル
2.0
μa=1
μa=2
μa=4
μa=8
1.5
1.0
0.5
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: 大阪ガス葺合
(1995年兵庫県南部地震)
Cloughモデル
2.0
μa=1
μa=2
μa=4
μa=8
1.5
1.0
0.5
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: El-Centro NS
(1940年Imperial Valley地震)
Clough モデル
Base shaer coefficient
Base shaer coefficient
必要耐力（ベースシア係数）スペクトルの比較
2.0
μa=1
μa=2
μa=4
μa=8
1.5
1.0
0.5
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
入力地震動: 大阪ガス葺合
(1995年兵庫県南部地震)
Cloughモデル
応答塑性率に比べて安定していて，
地震動による比較がしやすい
→設計用スペクトル
必要耐力スペクトルを求めるには
耐力（ベースシア係数）を変化させ，
応答塑性率が許容塑性率になるまで収束計算
↓
実際には，ベースシア係数を変えて応答塑性率を計算
しておいて，補間して求める
例題 応答塑性率から
必要ベースシア係数を求める
以下のEl-Centro NS，Cloughモデル (α=0.5, β=0.01）によるベー
スシア係数を変えた応答塑性率スペクトルから，許容塑性率4
のときの必要耐力（ベースシア係数）スペクトルを求めよ
T(s) Cy=0.005
0.01
0.100 99.999 99.999
0.200 99.999 99.999
0.500 99.999 99.999
1.000 99.999 73.020
1.500 74.490 33.440
2.000 47.700 21.080
3.000 21.190 9.574
99.999: greater than
0.02
99.999
99.999
99.999
24.880
13.380
7.728
3.388
100
0.05
0.1
0.2
99.999 99.999 38.270
99.999 65.070 19.300
45.490 13.500 6.573
13.080 4.469 2.071
5.099 1.954 0.947
3.817 1.831 0.887
1.865 1.114 0.570
0.3
8.309
6.894
3.564
1.474
0.632
0.592
0.380
0.4
1.826
2.350
2.734
1.285
0.474
0.444
0.285
0.5
1.174
1.557
1.987
1.030
0.379
0.355
0.228
ベースシア係数を変化させた
応答塑性率スペクトル
（El-Centro NS，Cloughモデル (α=0.5, β=0.01））
Ductility factor
10.0
8.0
0.2
6.0
0.1
0.05
0.02
0.01
0.3
4.0
0.4
2.0
Cy=0.5
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
base shear coefficient
3
応答塑性率から必要ベースシア係数を求める
例題 応答塑性率から
必要ベースシア係数を求める
以下のEl-Centro NS，Cloughモデル (α=0.5, β=0.01）によるベー
スシア係数を変えた応答塑性率スペクトルから，許容塑性率4
のときの必要耐力（ベースシア係数）スペクトルを求めよ
T(s) Cy=0.005
0.01
0.100 99.999 99.999
0.200 99.999 99.999
0.500 99.999 99.999
1.000 99.999 73.020
1.500 74.490 33.440
2.000 47.700 21.080
3.000 21.190 9.574
99.999: greater than
0.02
99.999
99.999
99.999
24.880
13.380
7.728
3.388
100
0.05
0.1
0.2
99.999 99.999 38.270
99.999 65.070 19.300
45.490 13.500 6.573
13.080 4.469 2.071
5.099 1.954 0.947
3.817 1.831 0.887
1.865 1.114 0.570
0.3
8.309
6.894
3.564
1.474
0.632
0.592
0.380
0.4
1.826
2.350
2.734
1.285
0.474
0.444
0.285
0.5
1.174
1.557
1.987
1.030
0.379
0.355
0.228
Base shaer coefficient
必要耐力スペクトル (Cloughモデル (α=0.5,
β=0.01）許容塑性率4 , El-Centro NS)
0.4
El-Centro_NS
0.3
0.2
0.1
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
3
周期
必要耐力
(s) (ベースシア係
数)
0.1
0.366
0.2
0.364
0.5
0.286
1.0
0.120
1.5
0.067
2.0
0.049
3.0
0.019
問題6 応答塑性率から
必要ベースシア係数を求める
以下のTaft EW， Cloughモデル (α=0.5, β=0.01）によるベースシ
ア係数を変えた応答塑性率スペクトルから，許容塑性率4のと
きの必要耐力（ベースシア係数）スペクトルを求めよ
T(s) Cy=0.005
0.01
0.100 99.999 99.999
0.200 99.999 99.999
0.500 99.999 99.999
1.000 91.840 37.000
1.500 51.110 18.410
2.000 31.780 11.420
3.000 15.710 6.619
99.999: greater than
0.02
0.05
0.1
99.999 99.999 84.430
99.999 74.450 23.240
32.930 13.910 5.297
10.040 3.978 1.734
7.052 2.825 1.389
4.222 1.352 0.855
2.097 0.957 0.479
100
0.2
1.109
4.561
1.396
0.793
0.655
0.428
0.239
0.3
0.720
1.577
1.168
0.529
0.437
0.285
0.160
0.4
0.540
1.079
0.864
0.396
0.327
0.214
0.120
0.5
0.432
0.859
0.691
0.317
0.262
0.171
0.096
ベースシア係数を変化させた
応答塑性率スペクトル
（Taft EW，Cloughモデル (α=0.5, β=0.01））
Ductility factor
10.0
0.01
0.05 0.02
0.1
8.0
6.0
0.2
4.0
2.0 0.3
0.4
Cy=0.5
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
base shear coefficient
3
等価線形化手法
非線形系を等価周期と等価粘性減衰をもった
線形系に置換
←系の非線形挙動は「塑性化による周期の伸び」と
「履歴によるエネルギー吸収」によって表現される
Q
Q
等価周期
x
x
等価粘性減衰
非線形
等価線形
等価線形化手法によって
必要耐力スペクトルを求める
どうやって等価周期と等価粘性減衰を求めるか？
等価周期:
最大応答点に対応する
周期
等価粘性減衰:
最大応答点が描く面積に
対応した減衰＝
エネルギー吸収能力指数
Eh
例題 弾性加速度スペクトルから等価線形化手法
を用いて必要耐力スペクトルを求める
必要耐力 (ベースシア係数) スペクトル
(T=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 and 3.0 s)
を以下の条件で求めよ．
許容塑性率4,
Cloughモデル (α=0.5, β=0.01）
入力地震動: El-Centro NS
h=0.05→
減衰定数低減率 F  1.5
h
1  10 h
Fh: h=0.05からの減衰定数低減率, h: 減衰定数
周期
(s)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
6.0
弾性加速度応答
(cm/s2)
560.7
640.7
695.9
601.8
820.5
507.4
186.7
174.9
112.3
45.4
31.0
■0.1sにおける必要ベースシア係数（他の周期も同様）
弾性周期 T=0.1(s)
等価周期 T’= μT= 4 *0.1=0.2(s)
0.2(s) における弾性応答 A at →640.7cm/s2→640.7/980=0.654g
･等価粘性減衰
1
1
{ 1  (1  0.01  4 * 0.014 0.5 / 4 
Eh= { 1  (1      /   =

3.14

=0.154
･h=0.05 の弾性応答からの低減率
1.5
1.5
Fh=
=
1  10h
1  10 * 0.154
=0.591
よって， 0.1sにおける必要ベースシア係数は
Cy=0.654*0.591=0.386
equivalent linearization
Newmark's
inelastic
method
design criteria
analysis
┌×Fh ┐
T
T'
A at T'
A/g
Cy
A at T
A/g
Cy
Cy
0.1
0.2
640.7
0.654
0.386
560.7
0.572
0.216
0.366
0.2
0.4
601.8
0.614
0.363
640.7
0.654
0.247
0.364
0.5
1.0
507.4
0.518
0.306
820.5
0.837
0.316 0.209
0.286
1.0
2.0
174.9
0.178
0.105
507.4
0.518
0.129
0.120
1.5
3.0
112.3
0.115
0.068
186.7
0.191
0.048
0.067
2.0
4.0
45.4
0.046
0.027
174.9
0.178
0.045
0.049
3.0
6.0
31.0
0.032
0.019
112.3
0.115
0.029
0.019
Base shaer coefficient
等価線形化手法を用いたEl-Centro NSによる
必要耐力スペクトル (許容塑性率4 )
0.4
Inelastic
Equivalent_linear
Newmark's_criteria
0.3
0.2
0.1
0.0
0
0.5
1 1.5 2 2.5
Period(sec.)
必要耐力 (ベースシア係数)
周期 非線形系 等価線形系 Newmark’s
T(s)
design
criteria
0.1 0.366
0.386
0.216
0.2 0.364
0.363
0.217
0.5 0.286
0.306
0.316, 0.209
1.0 0.120
0.105
0.129
1.5 0.067
0.068
0.048
2.0 0.049
0.027
0.045
3.0 0.019
0.019
0.029
3
よく対応している
→系の非線形挙動は「塑性化による周期の伸び」と
「履歴によるエネルギー吸収」によって表現される
問題7 弾性加速度スペクトルから等価線形化手法
を用いて必要耐力スペクトルを求める
必要耐力 (ベースシア係数) スペクトル
(T=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 and 3.0 s)
を以下の条件で求めよ．
許容塑性率4,
Cloughモデル (α=0.5, β=0.01）
入力地震動: Taft EW
h=0.05 →
1.5
減衰定数低減率
F h
1  10 h
Fh: h=0.05からの減衰定数低減率, h: 減衰定数
周期
(s)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
6.0
弾性加速度応答
(cm/s2)
211.9
422.5
398.4
387.4
340.3
156.4
129.3
84.9
47.2
27.1
22.7
例題 等価線形化手法を用いて応答塑性率を求め
実際の被害と比較する
1999年台湾集集地震において被害を受けた石岡国民小学校A棟
について
･周期とベースシア係数を求め（p.90, 91）
･桁行方向の応答塑性率を弾性応答スペクトル（減衰定数5%）
から等価線形化手法を用いて求め
･実際の被害（中破）と比較せよ．
石岡国民小学校A棟
石岡国民小学校A棟のデータ
unit of weight
Fc
No. of story
Shikang
Kuoshing
N.E.S.
N.E.S.
Building A
Building B
1.2
1.2 tonf/m2
154.7
216.5 kgf/cm2
3
3
column1 depth(longitudinal)
33.0
50.0 cm
column1 depth(transvers)
46.8
58.0 cm
column2 depth(longitudinal)
52.3
50.0 cm
column2 depth(transvers)
52.4
58.0 cm
column3 depth(longitudinal)
40.0
50.0 cm
column3 depth(transvers)
65.0
58.0 cm
span length1(transvers)
783.2
500.0 cm
span length2(transvers)
261.3
cm
span length(longitudinal)
300.0
400.0 cm
story height
343.0
360.0 cm
No. of span(longitudinal)
No. of span(transvers)
16
5
2
5
span length
(longitudinal)
transvers
column1
span length1
(transvers)
column2
column3
longitudinal
span length2
(transvers)
石岡国民小学校における強震記録の
弾性加速度応答スペクトル（h=0.05)
Elastic response
acceleration(cm/s 2)
2000
1500
1000
500
0
0
0.5
1
1.5 2
Period(s)
2.5
3
問題8 等価線形化手法を用いて応答塑性率を求め
実際の被害と比較する
1999年台湾集集地震において被害を受けた國姓国民小学校B棟
について
･周期とベースシア係数を求め（p.90, 91）
･桁行方向の応答塑性率を弾性応答スペクトル（減衰定数5%）
から等価線形化手法を用いて求め
･実際の被害（中破）と比較せよ．
國姓国民小学校B棟
國姓国民小学校における強震記録の
弾性加速度応答スペクトル（h=0.05)
Elastic response
acceleration(cm/s 2)
2000
1500
1000
500
0
0
0.5
1
1.5 2
Period(s)
2.5
3
國姓国民小学校B棟のデータ
unit of weight
Fc
No. of story
Shikang
Kuoshing
N.E.S.
N.E.S.
Building A
Building B
1.2
1.2 tonf/m2
154.7
216.5 kgf/cm2
3
3
column1 depth(longitudinal)
33.0
50.0 cm
column1 depth(transvers)
46.8
58.0 cm
column2 depth(longitudinal)
52.3
50.0 cm
column2 depth(transvers)
52.4
58.0 cm
column3 depth(longitudinal)
40.0
50.0 cm
column3 depth(transvers)
65.0
58.0 cm
span length1(transvers)
783.2
500.0 cm
span length2(transvers)
261.3
cm
span length(longitudinal)
300.0
400.0 cm
story height
343.0
360.0 cm
No. of span(longitudinal)
No. of span(transvers)
16
5
2
5
span length
(longitudinal)
transvers
column1
span length1
(transvers)
column2
column3
longitudinal
span length2
(transvers)
レポート課題（詳しくはホームページ参照）
・一自由度系非線形地震応答解析プログラムを使える
ようになる（課題１）
・振動学特論で作成した弾性加速度応答スペクトルを
計算するプログラムを基に，等価線形化手法を付け加
えて，必要耐力スペクトルを計算するプログラムを作
成する（課題２）
・非線形地震応答解析プログラムと等価線形地震応
答解析プログラムを使って，両者の結果を比較する
（課題３）
←地震動や建物が変わるとどうかわるか
←Newmark‘s design criteriaとの対応は？
レポート課題（詳しくはホームページ参照）
・作成した等価線形地震応答解析プログラムと非線形
地震応答解析プログラムを使い，建物と地震動を設定
して地震応答解析を行って考察を加える（課題４）．
要は．．．
等価線形地震応答解析プログラムを作成し，
一自由度系地震応答解析結果と比較する
（Newmark‘s design criteria）
これらのプログラムを使って，
地震動と建物被害の関係について検討，考察する．