Transcript Ábrák1 - xenia.sote.hu!

Összetett kísérleti tervek és
kiértékelésük:
Két szempontos
variancia analízis modellek
Az ANOVA modellje
xij  M  Ai  e ij
• az adat összetevői
i=(nagy átlag)+(kezelési átlag)+szórás(reziduális,
véletlen tényező)
az Ai kezelések esetében
• Emlékezzünk az oszlopgrafikonra, ahol
i
- 1, 2
A1, A2, - az oszlop átlag
eij
- az adat eltérése az Ai –től
• Ai lehet rögzített érték, a kezelés adott nagyságú
hatása
• Ai lehet véletlentől függő valószínűségi változó
maga is
Több szempontú analizisek
• Fix modellek
– Két szempontú osztályozás
• Tovább bontja a kezelések négyzetes összegét,
megmagyarázva egyes kezelés-osztályokat
• Elrendezése (terv)
• A modell
• Feltételezések
• Hipotézis(ek)
• Véletlen szempont (II. típusú modell)
Két szempontos ANOVA elrendezése
(kezelések kiosztása)
B szempont 
B1
B2
B3
B4
A1B1
(n11)
A2B1
(n21)
A3B1
(n31)
A1B2
(n12)
A2B2
(n22)
A3B2
(n32)
A1B3
(n13)
A2B3
(n23)
A3B3
(n33)
A1B4
(n14)
A2B4
(n24)
A3B4
(n34)
A szempont 
A1
A2
A3
Két szempontos ANOVA modellje
xij=Nagyátlag+Ai+Bj+(AxB)ij+ij
(ahol (AxB)ij az Ai és Bj kezelések interakciója)
i darab kezelés az A szempont szerint,
(úgy mondjuk i szintje A-nak)
j darab kezelés a B szempont szerint,
kezelésenként (celllánként ugyanannyi eset) n megfigyelés esete
Feltételezések
1. A mérések populációi normális eloszlásúak
2. a mérések populációinak eloszlásai homogének
3. A megfigyelések egymástól függetlenek.
4. A szórások nem különbözőek (homoscedascitás)
Hipotézis(ek)
A nullhipotézis Ai=Bj=(AiBj)=0, (ij) =0, minden i-re és j-re
Az alternativ hipotézis Ai, Bj, (AiBj) <>0, (ij) =0, legalább egy i-re vagy j-re
Itt a két szempontú kezelést egymástól függetlenül valósítjuk meg.
Minden lehetséges kombinációt alkalmazunk.
ANOVA tábla
Forrás
sz.fok(df)
Négyzetes
összeg
variancia
F
A kezelés
i-1
QA
(SSA)
s 2A
(MSA)
s2A/s2b
B kezelés
j-1
QB
(SSB)
s2B
(MSB)
s2B/s2b
(i-1)*(j-1)
QAB
(SSAB)
s2AB (MSAB)
s2AB/s2b
Mintákon
belül
ij(n-1)
QB
(SSwithin)
s 2b
(MSwithin)
Összes
ijn-1
Qö
(SStotal)
S2ö
AxB
interakció
Négyzetes összeg= Sum of Squares (SS)
Variancia=Mean Squares (MS), (SSwithin) másképpen (SSerror),
(MSwithin) másképpen (MSerror)
P
Randomizált blokk ANOVA elrendezés
Kezelés 
blokk 
B1
B2
B3
A1
A2
A3
A3
A3
A2
A4
A1
A4
A2
A4
A1
Valamilyen ismert tényező szerint homogén blokkokat képezünk, a
blokkokon belül a kezeléseket (mindegyikből azonos számút)
randomizáltan osztjuk el.
Példa: 4 kezelés (A1,..,A4) elrendezése 3 blokkban (B1, B2, B3), ahol
minden blokkon belül több megfigyelést végzünk.
Randomizált blokk elrendezés
Jelölés: Blokk=B, véletlen változó, ami szóródást okoz az elemzésben
A modell
Az xij megfigyelés additív összetevői:
Xij=Nagyátlag+Ai+Blokkj+(AxBlokk)ij+ij
(ahol AxBlokk az Ai és Bj interakciója)
Feltételezések
1. A mérések populációi normális eloszlásúak
2. a mérések populációinak eloszlásai homogének
3. A megfigyelések egymástól függetlenek.
Hipotézis(ek)
A null hipotézis Ai=Bj=(AiBj)=0, (ij) =0, minden i-re és j-re
Az alternativ hipotézis Ai, Bj, (AiBj) <>0, (ij) =0, legalább egy i-re vagy j-re
Egy szempontos, randomizált blokk ANOVA:
"Rejtett" két szempontú ANOVA
Forrás
sz.fok. (df)
Négyzetes
összeg
variancia
F
A kezelés
i-1
QA
(SSA)
s2A
(MSA)
S A/s b
Blokk
j-1
QB
(SSBlokk)
sB
(MSBlokk)
AxBlokk
interakció
(i-1)*(j-1)
QAB
(SSABlokk)
s AB
(MSABlokk)
Mintákon
belül
ij(n-1)
Qb
(SSwithin)
sb
(MSwithin)
ijn-1
Qö
(SStotal)
sö
Összes
2
2
P
2
2
2
2
s B/s b
2
2
s AB/s b
2
2
i darab kezelés, j darab randomizált blokkban vizsgálva,
kezelésenként és blokkonként (cellánként) n darab megfigyeléssel..
Egy szempontos ANOVA
randomizált blokkban
• Értelmezés, az interakció kezelése
– Két kezelés esetében az egymintás t próbával equivalens.
– Az analízis célja az A kezelés vizsgálata, azon belül, szignifikáns F
érték esetében a többszörös összehasonlítás.
– Az esetleges interakció problémás, mert akkor jó az ilyen elrendezés,
ha a blokkokban csoportosított tulajdonság nincs interakcióban a
kezelésekkel. Interakció észlelésekor annak okát fel kell deríteni, és az
adatokat a teljesen randomizált, nem blokk elrendezés szerint értékelni.
• Javaslatok, ajánlások
– Az elemzés során, ha az interakció nem szignifikáns, akkor annak
szabadságfokát, és négyzetes összegét a véletlennek tulajdonítható
particióba vonhatjuk be ( angolul pool, pooling), ezzel is javitjuk a
véletlen ingadozás becslését. A STATISTICA program erre ad
lehetőséget.
Ismétlés nélküli 2 szempontú ANOVA
(cellánként 1 megfigyelés)
Illusztráció:
A faktor
B faktor
AXB interakció = belső szórás
Ebben az esetben a cellákon belül lévő 1-1 adatból nem lehet
a véletlen szóródást becsülni.
A megoldás: feltételezik, hogy nincs a két szempont között interakció
(az egyik szempont lehet blokk is) és igy
az interakciós komponsbe particionált szóródás
a véletlennek tulajdonitható szóródás becslésére használható.
Kovariancia analízis
• Ha a szóródás egy részének eredete ismert, de nem lehet, vagy
nem célszerű blokk képzéssel kontrollálni. ekkor a szóródás
eredetét valamilyen méréssel lehet észlelni, jellemezni, és a
független változó a mért értékkel lineáris összefüggést mutat. A mért
értéket kovariánsnak nevezzük.
• Ebben az esetben a mért értéket az analízisben felhasználhatjuk
arra, hogy segítségével kiszámoljuk azt, hogy ennek az
összefüggésnek mekkora szerepe van a szóródásban. A
véletlennek csak azt a szóródást tulajdonítjuk, amit a kovariánssal
való regresszióval nem lehet megmagyarázni.
• Ez akkor hasznos, ha a kovariáns, és a kisérlet függő változója
között statisztikailag szignifikáns összefüggés észlelhető.