Transcript Equazioni fondamentali – Matrice Jacobiana

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale
Prof. Francesco Castellani
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ANALISI DINAMICA MULTI-BODY
Risoluzione sistemi complessi a più gdl
troppo complicata se i sottosistemi sono trattati come un unico
sistema per cui conviene risolvere il moto delle parti separatamente
Le equazioni di Lagrange delle singole parti sono disaccoppiate e la
continuità del sistema è garantita dai vincoli
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ANALISI DINAMICA MULTI-BODY
Soluzione di un sistema di equazioni per ogni “parte”
Equazioni:
•Energia
•Momento
•Relazioni cinematiche
•Cinetica e Dinamica Lagrangiana
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EQUAZIONI DI LAGRANGE PER UN
PUNTO MATERIALE
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EQUAZIONI DI LAGRANGE PER IL PUNTO
MATERIALE
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EQUAZIONI DI LAGRANGE PER UN
SISTEMA VINCOLATO
dove qj è il vettore delle coordinate generalizzate, K è l'energia cinetica, Fqj
rappresenta la componente della forza e cj e lj sono il vincolo scalare e il
moltiplicatore di Lagrange.
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MODELLAZIONE DI UNA SEMPLICE
SOSPENSIONE
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DATI CARATTERISTICI
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MODELLO EQUIVALENTE
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EQUAZIONI DI MOTO
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EQUAZIONI DI VINCOLO
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SISTEMA DI EQUAZIONI
8 equazioni in 8 incognite
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MATRICE JACOBIANA
α=s/Δt con s fattore adimensionale di
scala impiegato per l’integrazione
passo-passo in Δt
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MATRICE JACOBIANA
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DINAMICA MULTI-BODY: METODI DI SOLUZIONE
Variabili in gioco:
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DINAMICA MULTI-BODY: METODI DI SOLUZIONE
Visto che le componenti traslazionali delle
rotazioni sono già rappresentate direttamente
dalle velocità di traslazione
15 EQUAZIONI
Riduzione ad un problema del 1° ordine
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La formulazione dei vincoli:
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LA MATRICE JACOBIANA
dove s è un fattore di scala adimensionale e dt il passo di
integrazione.
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LA SOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE
Un sistema lineare può essere scritto nella forma:
[A][X]=[B]
Utilizzando la decomposizione attraverso matrici triangolari si ha:
[L][U][X]=[B]
effettuando un cambio di variabili:
[U][X]=[Y]
[L][Y]=[B]
la cui soluzione è:
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LA SOLUZIONE DI UN SISTEMA NON LINEARE
Per la soluzione di un sistema di equazioni non lineari F(X)=0 è possibile
utilizzare il metodo di Newton-Raphson basato sull'approssimazione di
una curva con una linea in prossimità del punto di soluzione.
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