Transcript Document

Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Literatura podstawowa
1. Kaczorek T.: Teoria sterowania. Tom 1. Układy liniowe ciągłe i dyskretne,
Tom 2. Układy nieliniowe, procesy stochastyczne oraz optymalizacja
statyczna i dynamiczna, PWN, Warszawa 1977.
2. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT,
Warszawa,1974.
3. Antoniewicz J.: Automatyka. WNT, Warszawa 1973.
4. Findeisen W.: Technika regulacji automatycznej. PWN,
Warszawa 1978.
5. Pełczewski W.: Teoria sterowania. Ciągle stacjonarne układy liniowe.
WNT, Warszawa 1980.
6. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1980.
7. Amborski K.: Teoria sterowania – podręcznik programowany. PWN,
Warszawa 1987.
8. Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W.: Podstawy automatyki, Oficyna
Wyd. Pol. Warszawskiej, 2002.
Teoria Sterowania
Literatura podstawowa c.d
9. Bubnicki Z.: Teoria i algorytmy sterowania. PWN, Warszawa 2002.
10. Amborski, K., Marusak, A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach.
PWN, Warszawa 1978.
11. Gibson J.E.: Nieliniowe układy sterowania automatycznego.
WNT, Warszawa 1968.
12. Szymkat M.: Komputerowe wspomaganie w projektowaniu
układów regulacji. WNT, Warszawa 1993.
Teoria Sterowania
Zarys historii rozwoju teorii i zastosowania układów
sterowania w technice
Starożytność - stosowanie regulatorów pływakowych do stabilizacji
poziomu cieczy (np. lampa oliwna – Filon około 250r. p.n.e., Heron z
Aleksandrii I wiek n.e. Pneumatica – opisuje mechaniczny regulator
poziomu cieczy).
OKRES SZTUKI XVIII i XIX w. ETAP MECHANIZACJI PRODUKCJI
(produkcja urządzeń napędowych dla kopalń, warsztatów tkackich,
obróbki drewna i metalu oraz środków transportowych, skonstruowanie
maszyny parowej (XVIII w.) oraz silnika spalinowego i elektrycznego
(XIX w.))
• Pływakowy regulator poziomu wody w kotle (Połzunow, 1765)
• Skonstruowanie maszyny parowej (1769) i regulatora odśrodkowego
(Watt 1794). Data uznawana za początek rewolucji przemysłowej w Wlk.
Brytanii i początek ery mechanizacji produkcji
• Idea wytwarzania części zamiennych zastosowana w produkcji
muszkietów (Whitney, 1800). Data uznawana
często za początek
produkcji masowej
Teoria Sterowania
• Opracowanie modelu matematycznego i analiza
stabilności
regulatora odśrodkowego (Maxwell „O regulatorach” 1868)
• Opracowanie metod analizy stabilności układów liniowych (Routh
1877, Hurwitz 1895) i nieliniowych (Lapunow 1892)
OKRES PRZEJŚCIOWY (od pocz. XX w. do II wojny światowej)
WIELKIE WYNALAZKI XX W.
(rozwój telefonii i radiotechniki, wytwarzanie i przesyłanie energii na
wielką skalę, rozwój lotnictwa, przemysłu chemicznego i przetwórczego
• Pierwsza publiczna linia telefoniczna (1908)
• Skonstruowanie żyroskopu i pierwowzoru autopilota (Sperry 1910)
• Wprowadzenie zmechanizowanej linii produkcji samochodów (Ford
1913)
• Opracowanie i analiza stabilności wzmacniacza elektronicznego ze
sprzężeniem zwrotnym (Bode, Black 1927)
• Opracowanie metod badania stabilności układu zamkniętego (Nyquist
– kryterium częstotliwościowe1932, Michajłow 1938)
• Regulacja PID (Callender i in.1938)
Teoria Sterowania
OKRES NAUKI (od II wojny światowej do dziś).
ETAP AUTOAMTYZACJI PRODUKCJI
• Lata wojny – systemy radiolokacji i nawigacji, rozwój lotnictwa
• Teoria filtracji optymalnej (Wiener 1942). Opracowanie metod
nastawiania regulatorów PID (Ziegler, Nichols)
• Opracowanie metod analizy częstotliwościowej (Bode 1945, Nichols
1946)
• Metoda linii pierwiastkowych (Evans 1948) – teoria autopilota
• Opracowanie sterowania numerycznego (NC) obrabiarek (w MIT
1952)
• Opracowanie zasady maksimum (Pontriagin 1956) i programowania
dynamicznego (Bellman 1957) do sterowania optymalnego
• Opracowanie nawigacji inercjalnej (Draper 1960). Filtracja optymalna
(Kalman)
• Wprowadzenie pierwszego robota przemysłowego Unimat do osługi
ciśnieniowej maszyny odlewniczej (na podst. koncepcji G.Devola 1961)
• Pierwszy komputer (Ferranti) do sterowania cyfrowego całym
procesem chemicznym (zakłady ICI, Anglia 1962)
Teoria Sterowania
• Opracowanie mikroprocesora (Hoff 1969); produkcja pierwszwgo
mikroprocesora Intel 4004 (1971)
• Opracowanie modeli zmiennych stanu Rozwój metod sterowania
optymalnego (lata 70-te)
• Pierwszy regulator cyfrowy w rozproszonym systemie Honeywell
TDC2000 (1975)
• Rozwój metod projektowania sterowania odpornego (robust, lata 80te)
• Nowe metody projektowania sterowania: logika rozmyta, sieci
neuronowe (lata 90-te)
Źródła:
Dorf, Bishop: Modern Control Systems, wyd.7, Addison-Wesley, 1995
Franklin, Powell, Emami-Naeini: Feedback Control oj Dynamic Systems,
wyd.3, Addison-Wesley, 1994.
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Podstawowe definicje i pojęcia
Teoria sterowania - dziedzina nauki zajmująca się projektowaniem
algorytmów samoczynnego (automatycznego) sterowania procesami w
celu osiągnięcia założonego celu
Sterowanie to celowe oddziaływanie na obiekt za pośrednictwem
wielkości wejściowych tak, aby wielkości wyjściowe przyjęły określoną
postać lub wartość.
Proces - zjawisko (lub zespół zjawisk) polegające na przetwarzaniu
pewnych wielkości (sygnałów).
Obiekt sterowania – proces podlegający sterowaniu.
Sygnał – przebieg dowolnej wielkości (niekoniecznie fizycznej)
występującej w procesie, zawierający informację o stanie (zmianach
stanu) procesu.
Teoria Sterowania
wejście (przyczyna)
PROCES
wyjście (skutek)
Otwarty układ sterowania – układ, w którym sygnał sterujący
oddziałuje na proces poprzez urządzenie sterujące bez wykorzystania
sprzężenia zwrotnego.
Sygnał wejściowy nie podlegający sterowaniu to zakłócenie.
zakłócenie
sygnał sterujący
(zadany)
Urządzenie
sterujące
PROCES
sygnał
sterowany
Teoria Sterowania
a)
Sygnał
wejściowy
OBIEKT
b)
Sygnał
wyjściowy
Sygnał
wejściowy
Urządzenie
sterujące
OBIEKT
Sygnał
wyjściowy
Rys. Schemat blokowy otwartego układu sterowania:
a) ręcznego, b) automatycznego
Ze względu na oddziaływanie jednokierunkowe w torze sterowania, wielkość
sterująca powinna być dostosowana nie tylko do pożądanej wartości wielkości
wyjściowej, ale także do zakłóceń.
Teoria Sterowania
Zamknięty układ sterowania (regulacji) – układ, w którym sygnał
sterowany (wielkość sterowana) jest mierzony, przesyłany na wejście
(sprzężenie zwrotne) i porównywany z sygnałem zadanym.
Typowe elementy funkcjonalne:
• w torze głównym: układ porównujący i formujący sterowanie
(regulator), wzmacniacz mocy, element wykonawczy (napędowy),
• w torze sprzężenia zwrotnego: czujnik, przetwornik pomiarowy
zakłócenie
urządzenie sterujące
Regulator
sygnał
zadany
(układ
porównujący
i formujący)
tor główny
Element
wykonawczy
sygnał sterowany
PROCES
 tor sprzężenia zwrotnego
sygnał sterujący
Czujnik /
Przetwornik
Teoria Sterowania
Podstawowe określenia:
Układ regulacji automatycznej – układ ze sprzężeniem zwrotnym, którego
zadaniem jest zapewnienie odpowiednich przebiegów jednej lub kilku
wielkości charakteryzujących proces zwanych wielkościami regulowanymi.
Obiekt regulacji – proces technologiczny lub urządzenie podlegające
regulacji.
Regulator – urządzenie, które poprzez odpowiednie kształtowanie wielkości
sterującej dąży do otrzymania wymaganego stanu (wymaganej zmienności)
wielkości regulowanej.
Teoria Sterowania
a)
b)
Strumień
wejściowy
Strumień
wejściowy
e(t)
y(t)
w(t)
+
OBIEKT
-
u(t)
w(t) e(t)
+
-
Urządzenie
sterujące
y(t)
u(t)
OBIEKT
Rys. 1.4. Schemat układu regulacji ze sprzężeniem zwrotnym:
a) ręcznej, b) automatycznej
Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym polega na tym, że obserwuje się
w(t) i y(t) lub tylko ich różnicę e(t) = w(t) - y(t), a następnie tak dobiera
wartość sygnału sterującego u(t), aby sygnał e(t) (błąd regulacji) był
możliwie bliski zera. W układzie regulacji automatycznej urządzenie
sterujące przetwarza sygnał e(t) na wartość sygnału sterującego u(t).
Teoria Sterowania
Przedmiotem sterowania mogą być różnorodne procesy takie jak np.
procesy technologiczne, procesy przetwarzania informacji, procesy
zarządzania itp.
Automatyka - dyscyplina nauki i techniki zajmująca się teorią i
praktyczną realizacją nadzoru i sterowania obiektami technologicznymi
bez udziału lub z ograniczonym udziałem człowieka. Obejmuje
całokształt problematyki związanej z automatyzacją procesów
technologicznych.
Można w niej wyróżnić trzy podstawowe działy:
1. Podstawy teoretyczne automatyki (teoria sterowania).
2. Budowa elementów i urządzeń automatyki.
3. Zastosowanie automatyki w różnych dziedzinach techniki.
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Klasyfikacja układów sterowania
1. Ze względu na zadania układu (cel sterowania):
•
Układy stabilizacji (regulacji stałowartościowej),
•
Układy śledzące (nadążne),
•
Układy programowe,
•
Układy optymalizujące (np. regulacji ekstremalnej),
•
Układy przełączające (logiczne).
2. Ze względu na liniowość elementów: liniowe i nieliniowe.
3. Ze względu na charakter sygnałów: ciągłe i dyskretne (w czasie i/lub co do
wartości).
4. Ze względu na procesy przejściowe: statyczne (bezinercyjne) i dynamiczne.
5. Ze względu na liczbę wejść i wyjść: jedno- i wielowymiarowe.
6. Ze względu na charakter zmienności parametrów i sygnałów:
deterministyczne i stochastyczne.
7. Ze względu na zdolność samoczynnego nastrajania: zwykłe i adaptacyjne.
Teoria Sterowania
Przykład: porównanie sterowania w statycznym układzie
otwartym i zamkniętym
Model sterowania temperaturą pomieszczenia
Pout- zakłócenie
Urządzenie sterujące/wykonawcze
Obiekt
Θzad
Termostat
Zawór
gazu/oleju
Θ [C]
Piec
Pomieszczenie
Pin [kW]
Teoria Sterowania
Obiekt:
Obiekt
Pin
Pin=1kW -> Θ=10 oC
Pin=2kW -> Θ=20 oC
Θ
K
=>
współczynnik
wzmocnienia
K=10 [oC/kW]
Teoria Sterowania
Układ otwarty:
Element sterujący
Zakłócenie
Obiekt
Pout
Θzad
[oC]
Θ
Pin
K=10
+
Skalowanie
Zakłócenie Pout=0 =>
Θ= Θzad
Zakłócenie Pout≠0 => Θ=K(Pin-Pout)
np. Pout=0,5kW, Θzad=20oC
Θ=K(Θzad ·1/10-Pout)=15oC
Teoria Sterowania
Układ zamknięty:
Piec z
termostatem
Θzad
[oC]
+
e
KR=20
Pout
Pin
+
PP
Zakłócenie Pout=0 => Θ=K[KR(Θzad-Θ)]
np. Θzad=20oC,
Θ=10[20(Θzad-Θ)],
Θ=(200/201)Θzad=19,9oC
Θ
K
Teoria Sterowania
błąd regulacji e=Θ-Θzad=1/201≈0,5%
Zakłócenie Pout≠0 => Θ=K[KR(Θzad-Θ)-Pout]
np. Θzad=20oC, Pout=0,5kW
Θ=(200/201)Θzad-(10/201)Pout≈19,6oC
Zadanie: Rozważyć problem niepewności parametru K
opisującego obiekt (np. K=9, czyli błąd 10%)
Teoria Sterowania
PROBLEMY
1. Dynamika – trzeba uwzględniać zmiany wielkości w czasie (dynamikę
układu).
Θ(t)=K(1-e-t/T)
wymuszenie
Pin
Q
1
K
t
2. Jak zlikwidować błąd ustalony w układzie zamkniętym ?
t
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
MODELE MATEMATYCZNE CIĄGŁYCH UKŁADÓW
STEROWANIA
Model wielowymiarowego układu ciągłego
(p wejść, l wyjść)
u1(t)
y1(t)
u2(t)
y2(t)
up(t)
yl(t)
ut 
y t 
Teoria Sterowania
Układ statyczny (bez pamięci, bezinercyjny)
1 u 
y  u     
 l u 
y
-układ liniowy y=au+b
 y  y  b  y  au
u
np. Θ =KPin+ Θ0
-układ nieliniowy
a
2
y
np. y=arctghx u
u

a
2
Teoria Sterowania
Przykład: sprężyna
-liniowa fs=-kx
-nieliniowa fs=-k(x+αx3)
(α<<1- słaba nieliniowość)
Teoria Sterowania
Układy dynamiczne ciągłe – opisywane zwykle równaniami
różniczkowymi. Charakteryzują się występowaniem procesów
przejściowych.
Pin
t
Θ
K·Pin
t
1) Opis za pomocą zmiennych stanu (wektora stanu)
 x1 
x 
x   2

 
 xn 
ut 
x  f (x, u)
y t 
Teoria Sterowania
 y1  g1 x1 , x2 ,...xn ; u1 , u 2 ,...u p 
 y  g x , x ,...x ; u , u ,...u 
 2
2 1
2
n
1
2
p



 yl  g l x1 , x2 ,...xn ; u1 , u 2 ,...u p 
 x1  f1 x1 , x2 ,...xn ; u1 , u 2 ,...u p 
 x  f x , x ,...x ; u , u ,...u 
 2
2 1
2
n
1
2
p



 x n  f n x1 , x2 ,...xn ; u1 , u 2 ,...u p 
układ n równań pierwszego rzędu
 x  f x, u 

y  gx, u 
algebraiczne równania wyjścia
gdzie
 f1 x, u 
f x, u     
 f n x, u 
Teoria Sterowania
Wybór zmiennych stanu dla danego układu może być różny. Zwraca się
uwagę na:
a) sens fizyczny i mierzalność zmiennych lub
b) wygodę opisu matematycznego.
Model liniowy
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Wymiary macierzy (n nazywamy rzędem układu):
A nn ; B n p ; Cln ;Dl p
Przykład: Napisać równania stanu dla
 a11
A  a21

 a31
a12
a22
a32
a13 
a23 

a33 
b11 b12 
B  b21 b22 


b31 b32 
C  c11 c12
c13 
Teoria Sterowania
D
ut 
B
x t 

x t 
C
y t 
A
A – macierz stanu,
B – macierz wejścia,
C – macierz wyjścia,
D – macierz transmisyjna
Macierze zawierają stałe współczynniki dynamiczne układu.
Teoria Sterowania
2) – opis wejście-wyjście za pomocą równania
różniczkowego n-tego rzędu (układ jednowymiarowy - SISO)
u(t)
y(t)
UD
Ogólny model nieliniowy (w postaci uwikłanej):


F y  n , y  n1 ,... y, y(t ); u  m , u  m1 ,...u, u(t )  0
W postaci o rozdzielonych zmiennych:



F1 y  n , y  n1 ,... y, y(t )  F2 u  m , u  m1 ,...u, u(t )

Teoria Sterowania
Model liniowy:
an y
 n
 an 1 y
 n 1
 ...  a1 y  a0 y (t ) 
 bmu
nm
 m
 bm1u
 m 1
 ...  b1u  b0u (t )
- warunek realizowalności, n – rząd układu
ai , i  0n
b j , j  0 m
- stałe współczynniki, zależne od struktury i parametrów
fizycznych układu
- stałe współczynniki, zależne od źródła sygnału
wejściowego oraz od struktury i
parametrów układu
Układy opisane równaniami o stałych współczynnikach nazywają się
układami stacjonarnymi. Jeżeli współczynniki te zmieniają się w czasie,
układ nazywany jest niestacjonarnym.
Teoria Sterowania
3) – opis wejście-wyjście w formie transmitancji operatorowej
(tylko dla układów liniowych)
Opis taki jest wygodny, ponieważ sprowadza analizę układów
realizujących liniowe przekształcenia sygnałów do badania równań
algebraicznych zamiast różniczkowych.
Transformata Laplace’a (jednostronna):

L  x  t    X  s    x  t e  st dt
0
LUD
u(t)
U(s)
G(s)
y(t)
Y(s)
Teoria Sterowania
Właściwości transformaty
Oryginał
Transformata
f(t)
F(s)
af(t)
aF(s)
f(t)+g(t)
F(s)+G(s)
e-atf(t)
tf(t)
F(s+a)
d
 F (s )
ds
f(t/a)
aF(as)
[f(t-a)]1(t-a)
f (t )
dn f
dla n  1,2,3,...
n
dt
e-saF(s)
t
sF(s)-f(0)
snF(s)-sn-1f(0)-…-sf(n-2)(0)-f(n-1)(0)
f (0)
1
F (s)
s
lim sF ( s)
f ()
lim sF ( s)
 f ( )d
0
s 
s0
Teoria Sterowania
Transformaty Funkcji
Oryginał
Transformata
δ(t)
1
1(t)
1/s
A
A/s
t
1
s2
2!
s3
n!
s n 1
t2
tn dla n=1,2,3,…
Teoria Sterowania
Oryginał
e-at
te-at
t2e-at

s2   2
sin t
cost
e at sin t
e
e
 at
cos t

 C  aB 
B
cos

t

sin

t




  


 at 
2 Ke
 at
Transformata
1
sa
1
s  a 2
2!
s  a 3
cost   
s
s2   2

s  a 2   2
sa
s  a 2   2
Bs  C
s  a 2   2
Ke j
Ke  j

s  a  j s  a  j
Teoria Sterowania
Dla zerowych warunków początkowych WP (y(0)=y’(0)=…=y(n)(0)=0;
układ w stanie spoczynku):



Y s  an s n  an 1s n 1  ...  a1s  a0  U s  bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
bm s m  ...  b1s  b0
Y (s)
 G( s) 
U (s)
an s n  ...  a1s  a0
G(s) - transmitancja (funkcja przejścia) układu. Jest to opis równoważny
opisowi w formie równania różniczkowego n-tego rzędu z WP=0.
Transmitancja jest funkcją wymierną wielomianów zmiennej zespolonej s:
L( s)  bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
M ( s)  an s n  an1s n 1  ...  a1s  a0
Znając transmitancję można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny
sygnał wejściowy. Transformata sygnału wyjściowego: Y(s)=G(s)·U(s)
y(t )  L1 Y  s    L1 G  s U ( s) 

Teoria Sterowania
Dla danego układu transmitancja (tak jak macierze w równaniach stanu)
jest wielkością (funkcją) zależną jedynie od struktury fizycznej układu i
parametrów układu (współczynniki wielomianów L(s) i M(s) są przeważnie
prostymi funkcjami parametrów – pojemności, indukcyjności, rezystancji,
masy, ciepła właściwego itp.), a nie zależy od sygnału wejściowego.
Transmitancja operatorowa określa właściwości dynamiczne układu.
Dla teorii sterowania układy o różnej naturze fizycznej (np. mechaniczny i
elektryczny), ale opisywane równaniami matematycznymi o takiej samej
strukturze są układami analogicznymi pod względem właściwości
dynamicznych (analogami).
W równaniach wprowadza się nowe parametry, takie jak współczynniki
wzmocnienia, stałe czasowe, które opisują właściwości dynamiczne
istotne z punktu widzenia teorii sterowania. Analogie pozwalają na
tworzenie i badanie takich samych modeli zamiast układów różniących się
fizycznie.
Teoria Sterowania
Modele układów + analogie
1. Układ mechaniczny
x
k
f
m
Sposoby opisu układu:
a) równanie różniczkowe
B
brak tarcia
mx  f (t )  kx  Bv, v  x
mx  Bx  kx  f (t )
m
B
1
x  x  x  f (t )
k
k
k
Teoria Sterowania
b) transmitancja operatorowa:
m
B
1
x  x  x  f (t )
k
k
k
m
B
1
 Tn2 ,
 2 Tn ,
K
k
k
k
Tn2 x  2 Tn x  x  Kf (t )
-wspólczynniki dynamiczne
 transformacja Laplace'a
Tn2 s 2 X  s   2 Tn sX  s   X  s   KF  s 
X s
K
G s 
 2 2
F  s  Tn s  2 Tn s  1
1
n 
Tn
n2
G s  K 2
s  2n s  n2
Teoria Sterowania
c) równania stanu
Zmienne stanu: położenie i prędkość:
x  v

k
B

v   m x  m v  f (t )
yx
 0
 x1  
x    k
 2 
 m
x1  x
x2  v
albo
 x1  x2


k
B
 x2   m x1  m x2  u (t )
y  x1
1 
 x1  0 

B     u

 x2  1 
m
 x1 
y  1 0   
 x2 
Teoria Sterowania
2. Układ elektryczny:
i
L
uL
u1
R
uR
i
C
u2
Sposoby opisu układu:
a) równanie różniczkowe
u1  u L  u R  u2
di
u1  L  Ri  u2
dt
du2
iC
 u1  LCu2  RCu2  u2
dt
Teoria Sterowania
b) transmitancja operatorowa:
u1 t   LCu2  RC u 2  u 2
LC  Tn2 , RC  2Tn
u1 t   Tn2 u2  2Tn u 2  u 2
L
U 1 s   Tn2 s 2U 2 s   2Tn sU 2 s   U 2 s 
U 2 s 
1
G s  
 2 2
U 1 s  Tn s  2Tn s  1
n 
1
Tn
 n2
G s   2
s  2n s   n2
Teoria Sterowania
c) równania stanu
Zmienne stanu: napięcie u2 i prąd:
1

u2  C i

i   1 u  R i  1 u
2
1

L
L
L
y  u2
 0
A 1

 L
x1  u2
x2  i
albo
1

 x1  C x2

x   1 x  R x  1 u
1
2
 2
L
L
L
y  x1
1 
0
R  , B   1  , C  1 0 , D  []

L
L
Teoria Sterowania
Linearyzacja nieliniowego modelu układu
W praktyce mamy z reguły do czynienia z układami zawierającymi
nieliniowości (np. mnożenie zmiennych, nieliniowe charakterystyki
statyczne elementów). Analityczne rozwiązanie nieliniowych równań
różniczkowych jest możliwe rzadko, opis operatorowy jest niemożliwy.
Można wtedy:
1) wyprowadzić lokalnie liniową aproksymację układu, którą można
analizować,
2) wyznaczyć komputerowo rozwiązania numeryczne dla szczególnych
przypadków (warunków początkowych, wartości parametrów), analiza
jakościowa jest nadal trudna.
Teoria Sterowania
Ogólna postać zmiennych stanu nieliniowego układu wielowymiarowego:
 f1 x, u, 
x  f x, u,     
 f n x, u, 
 g1 x, u, 


y  gx, u,   


 g p x, u, 


(*)
Linearyzacja równań w rozważanym punkcie pracy (równowagi) x 0 ,u 0 
gdzie f  x0 , u0   0 polega na zastąpieniu wielkości rzeczywistych ich
przyrostami x  x  x0 , u  u  u 0 , y  y  y 0
Teoria Sterowania
f  x, u   0
u0
u
x
x0
Charakterystyka statyczna
Rozwija się równania (*) w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi i
ogranicza do składnika liniowego rozwinięcia, co prowadzi do modelu
zlinearyzowanego
x  A  x  B  u
y  C  x  D  u
Teoria Sterowania
f
A
x x0 ,u0 
 f1
 x
 1
 
 f n
 x1

g
C
x x0 ,u0 
 g1
 x
 1
 
 g p
 x1

f1 
xn 


 ,
f n 

xn 


f
B
u x0 ,u0 
 f1
 u
 1
 
 f n
 u1

g1 
 g1
 u
xn 
g

 1

 , D 
 
u x0 ,u0 
g p 
g p


 u1
xn 


Współczynniki macierzy zależą od punktu równowagi
f1 
u m 


 
f n 

u m 


g1 
u m 


 
g p 

u m 

x0 ,u0 
Warunki początkowe reprezentuje odchylenie początkowe x0
Teoria Sterowania
Linearyzacja dla modelu WE/WY

 n
F y, y,... y , u, u,...u
 m
0
(układ stacjonarny)
W punkcie równowagi
u  ...  u
 m
 y  ...  y
 n
0 
F(u,y)=0 – charakterystyka
statyczna
Rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu P0(u0,y0)
F
F  u0 , y0  
y
F
  n
y
y
P0
 n
P0
F
y 
y
F

u
y  ... 
P0
F
u  ...   m 
u
P0
gdzie:
y  y  y0 , y  y  0
u  u  u0 , u  u  0 itd.
u
P0
 m
0
Teoria Sterowania
Zlinearyzowane równanie różniczkowe:
an y
 n
 ...  a1y  a0 y  bmu
 m
 ...  b1u  b0u
gdzie:
F
an   n 
y
P0
F
,..., a1 
y
F
, a0 
y
P0
,
P0
F
bm    m
u
F
,..., b0  
u
P0
P0
Transmitancja Laplace’a równania zlinearyzowanego daje transmitancję
przyrostową dla małych odchyleń od P0
Y  s 
G  s  
U  s  WP 0
Teoria Sterowania
Modele matematyczne i linearyzacja
Przepływ nieściśliwej cieczy
qin
pa
qin
h
A
h
qout
ph
pa
dm
dh
 A
 qin  qout
dt
dt
ρ – gęstość cieczy [kg/m3]
m – masa [kg]
A – pole przekroju zbiornika [m2]
h – wysokość słupa
q – strumień [kg/s]
pa – ciśnienie otoczenia
ph=pa+ρgh – ciśnienie hydrostatyczne
cieczy [m]
Teoria Sterowania
Równanie Bernoulliego
q=rvS [m3/s]
S
v
q
p1

p1  p2 
q
R
1 2
v  p
2
p2
1
1


p

R
R – opór przepływu, const.
α – const. 1 ≤ α ≤ 2
α≈2 dla szybkiego przepływu turbulentnego (liczba Reynoldsa >105)
α=1 dla wolnego przepływu laminarnego (liczba Reynoldsa <1100) np.
długa rura
Teoria Sterowania
Strumień
qout
1 1/ 
 p
R
Przyjmujemy Δp=ph i α=1
dh
ph
g
A
 qin 
 qin 
h
dt
R
R
A  R dh
R
 ht  
qin
g dt
g
AR
R
 T,
k
g
g
Th  h  kq
Charakterystyka statyczna
h
in
H s 
k
G s  

Qin s  Ts  1
qin
Teoria Sterowania
Dla przepływu turbulentnego α=2
gh
dh
A
 qin 
dt
R
Rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu punktu równowagi (h0,qin0)

F h, h, qin

0
F
 F  h, qin 0  
h
F
h 
h
P0
F
h 
qin
P0
0
h  h  h0 , h  h  h0 , qin  qin  qin0
qin  0
P0
Teoria Sterowania
F
h
h
F
h
P0
(h0,qin0)
g
P0
 A
P0
F
qin
qin
1


R 2 h0
 1
P0
Równanie zlinearyzowane:
Ah 
2 AR
1
2R
g
h0
 h  qin
h0 
h
 h  h  2 R 0  qin
g
g
Teoria Sterowania
Przykład: Model odwróconego wahadła na wózku
fb  mx
m
g
u(t)
MODEL
f c  mg
Θ
u  x
x
Równanie momentów:

mgl sin   mxl cos   J
J  ml 2 - moment bezwładności
g
1

sin   cos x  
l
l
Θ(t)
Teoria Sterowania
Fizyczny układ laboratoryjny stabilizacji odwróconego wahadła
Teoria Sterowania
x  u (przyspieszenie podstawy)
g
1


 , u 
sin     cos u  0  F , 
l
l


  0 : u=g·tgΘ
Charakterystyka statyczna 
u
P0
Θ
Teoria Sterowania
Linearyzacja w otoczeniu punktu P0(Θ0=u0=0)
0
F
g
1
g
 cos 0  sin 0u0 
 P0 l
l
l
F
 1


 P0
F
u
P0
1
1
  cos 0  
l
l

g
1


    u
l
l
g
1
  bu
a
, b   a 2   
l
l
s 
b
G s  
 2
U s 
s  a2
Teoria Sterowania
Zmienne stanu i nieliniowe równania stanu
0
x1  , x2  , x0   
0
 x1  x2

2

x

a
sin x1  b cos x1  u
 2
y  x1
Macierze układu zlinearyzowanego:
0
A 2
a
1
,

0
0
B   ,
 b 
C  1 0 , D  []
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Członem układu automatyki nazywamy urządzenie lub układ o
wyodrębnionym wejściu i wyjściu będący częścią składową tego układu.
Istnieje ograniczona liczba liniowych członów podstawowych o jednym
wejściu i jednym wyjściu oraz o prostych charakterystykach, a bardziej
złożone dynamiczne układy liniowe można przedstawić jako ich
połączenia. Schemat przedstawiający te połączenia nazywa się
schematem strukturalnym (blokowym) układu złożonego.
Teoria Sterowania
Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
y (t )  k  x(t )
G (s)  k
k – współczynnik wzmocnienia
F2
l2
R1
u1
R2
U (s)
R2
G( s)  2

U1 ( s) R1  R2
l1
u2
F1
G( s) 
F2 ( s ) l1

F1 ( s ) l2
Teoria Sterowania
Człon inercyjny I rzędu
dy
T
 y (t )  k  x(t )
dt
k
G (s) 
Ts  1
k – współczynnik wzmocnienia
T – stała czasowa
=const
R
u1
C
G( s) 
U 2 ( s)
1

U1 ( s ) RCs  1
u2
u
Rw
Lw
G ( s) 
G
e
E ( s ) ke / Rw

U ( s ) Lw s  1
Rw
Teoria Sterowania
Człon całkujący
t
y (t )  k  x( )d
0
k
G (s) 
s
k – współczynnik wzmocnienia
q
i
u
C
h
U ( s) 1
G( s) 

I ( s) sC
G( s) 
H (s) k

Q( s ) s
Teoria Sterowania
Człon całkujący z inercją
t
dy
T
 y (t )  k  x( )d
0
dt
k
G( s) 
s (Ts  1)

k – współczynnik wzmocnienia
T – stała czasowa
uw=const
Rt
u
G( s) 
dt
M
J
1/ ke
( s )

U ( s)
 Rt J

s
s  1
 k m ke

Teoria Sterowania
Człon różniczkujący idealny
dx
y (t )  k
dt
G(s)  k  s
k – współczynnik wzmocnienia
i
u
C
G(s) 
I (s)
 sC
U ( s)
Teoria Sterowania
Człon różniczkujący z inercją (rzeczywisty)
dy
dx
T
 y (t )  k
dt
dt
k s
G ( s) 
Ts  1
i1
k – współczynnik wzmocnienia
T – stała czasowa
u1
C
u1
R
G( s) 
U 2 ( s)
RCs

U1 ( s ) RCs  1
M
i2=0
R1
R2
L2
L2
u2
M
s
U (s)
R1
G( s)  2

U1 ( s) L1 s  1
R1
u2
Teoria Sterowania
Człon oscylacyjny II rzędu
d2y
dy
T
 2 Tn
 y (t )  k  x(t )
2
dt
dt
d2y
dy
2
2
albo

2



y
(
t
)

k

n
n
n  x (t )
2
dt
dt
kn2
k
G ( s)  2 2
 2
Tn s  2 Tn s  1 s  2n s  n2
2
n
k – współczynnik wzmocnienia
 – względny współczynnik tłumienia
n=1/Tn – pulsacja drgań naturalnych (nietłumionych)
Układ jest oscylacyjny pod warunkiem, że równanie Tn2s2+2Tns+1=0 ma <0
Jeżeli 0, to układ jest układem inercyjnym II rzędu:
G( s) 
k
(T1s  1)(T2 s  1)
Teoria Sterowania
Człon opóźniający (opóźnienie transportowe)
y (t )  k  x(t  T0 )
G ( s)  k  e  sT0
k – współczynnik wzmocnienia
T0 - opóźnienie
q1
q2 (t )  q1 (t  T0 )
v
q2
l
- rurociąg
- elektryczna linia długa
l
T0 
v
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Charakterystyką czasową układu nazywa się przebieg w czasie
odpowiedzi (wyjścia) układu na określony standardowy sygnał wejściowy,
podany na wejście układu będącego w stanie równowagi.
Stosowanie tych samych sygnałów wejściowych do badania różnych
układów pozwala na porównanie właściwości dynamicznych tych układów
i ich klasyfikację. Sygnały wejściowe do określania charakterystyk
czasowych muszą mieć postać umożliwiającą pełną identyfikację dynamiki
układu.
Do opisywania i porównywania własności dynamicznych układów oprócz
charakterystyk w dziedzinie czasu stosuje się także charakterystyki w
dziedzinie częstotliwości.
Teoria Sterowania
W zależności od rodzaju zastosowanego sygnału wejściowego wśród
charakterystyk czasowych można rozróżnić następujące:
1. Charakterystyka (odpowiedź) skokowa jest to odpowiedź y(t)=h(t)
układu, na którego wejście doprowadzony został sygnał skokowy x(t)
opisany równaniem:
x(t )  a  1(t )
gdzie funkcja skoku jednostkowego (funkcja Heaviside’a):
0 dla t  0
1(t )  
1 dla t  0
Transformata Laplace’a wymuszenia skokowego:
Lx(t )  X ( s ) 
Odpowiedź skokowa:
a
s
a

h(t )  L H ( s )  L G ( s ) X ( s )  L G ( s ) 
s

1
1
1
Teoria Sterowania
2. Charakterystyka impulsowa układu jest to odpowiedź y(t)=g(t) układu,
na którego wejście doprowadzony został sygnał w postaci impulsu Diraca
x(t)=(t) (impuls o jednostkowej energii, nieskończonej amplitudzie i
nieskończenie krótkim czasie trwania):
0 dla t  0
x(t )  (t )  
,
 dla t  0
Transformata wymuszenia:

 (t )dt  1

X (s)  L  (t )  1
Odpowiedź impulsowa:
g (t )  L1 G(s) X (s)  L1 G(s)
Charakterystyka impulsowa układu, zwana także funkcją wagi, jest
odwrotną transformatą Laplace'a transmitancji układu.
Wymuszenie impulsowe nie jest realizowalne fizycznie.
Teoria Sterowania
3. Charakterystyka liniowo-czasowa jest to odpowiedź y(t)=v(t) układu,
na którego wejście doprowadzony został sygnał x(t) liniowo zależny od
czasu:
0 t  0
x(t )  
b  t t  0
Transformata wymuszenia:
b
X ( s )  Lx(t )  2
s
Charakterystyka liniowo-czasowa:
b

v(t )  L1 V ( s )  L1 G ( s ) X ( s )  L1 G ( s ) 2 
s 

Teoria Sterowania
a)
x(t)
b)
c)
x(t)
x(t)
a
arctan (b)
t
t
Sygnał x(t) podawany na wejście układu w celu uzyskania
charakterystyki:
a) skokowej b) impulsowej c) liniowo-czasowej
lima0x(t)=(t)
1/a
t
0
a
t
Teoria Sterowania
Charakterystyki czasowe podstawowych członów
dynamicznych
Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
G( s )  k
W członie bezinercyjnym w każdej chwili czasu sygnał wyjściowy jest
proporcjonalny do sygnału wejściowego. Odpowiednie charakterystyki
czasowe dane są wzorami:
- skokowa
- impulsowa
- liniowo-czasowa
a
H ( s)  k
s
G( s)  k
b
V (s)  k 2
s
h(t )  k  a  1(t )
g (t )  k   (t )
v(t )  k  b  t  1(t )
Teoria Sterowania
a)
h(t)
b)
k(t)
c)
v(t)
ka
arctan (kb)
t
t
Charakterystyki czasowe członu proporcjonalnego
a) skokowa b) impulsowa c) liniowo-czasowa
t
Teoria Sterowania
Człon inercyjny pierwszego rzędu
k
G( s) 
Ts  1
Odpowiedź czasowa członu na skutek pewnej bezwładności (inercji)
charakteryzuje się występowaniem stanu przejściowego, po zaniknięciu
którego sygnał wyjściowy staje się proporcjonalny do sygnału
wejściowego (ze współczynnikiem proporcjonalności k).
Dla odpowiedzi skokowej członu mamy:
k a
H (s) 
(Ts  1) s
h(t )  k  a  (1  e

t
T
)  1(t )
Teoria Sterowania
Stała czasowa T charakteryzuje prędkość zmian przebiegu
przejściowego. Jest to czas, po upływie którego odpowiedź skokowa
osiąga wartość (1-1/e)ka=0.632ka
h(t)
h(t)
ka
0.95ka
ka
T1
T2
0.632ka
T3
T1 < T2 < T3
t
T
3T
Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I rzędu.
Po czasie 5T wyjście osiąga 99% wartości ustalonej
t
Teoria Sterowania
Pozostałe charakterystyki czasowe:
k  Tt
g (t )   e 1(t )
T
k
G ( s) 
Ts  1
-impulsowa
- liniowo-czasowa
t



k b
T
v(t )  k  b  t  T  (1  e )  1(t )
V (s)  2
s (Ts  1)


k(t)
a)
b)
v(t)
kbT
k
T
k(t-T)
kt
0.368 k
T
arctan (kb)
T
t
T
Charakterystyki czasowe członu inercyjnego I rzędu
a) impulsowa b) liniowo-czasowa
t
Teoria Sterowania
Człon całkujący idealny
k
G ( s) 
s
W członie całkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do
całki z sygnału wejściowego.
Odpowiedź skokowa:
k a
H ( s)  2
s
h(t )  k  a  t 1(t )
Jeżeli na wejściu członu całkującego idealnego pojawi się sygnał stały to sygnał
wyjściowy będzie narastał w funkcji czasu liniowo. Współczynnik k reprezentuje
stosunek pochodnej względem czasu (prędkości) odpowiedzi do wartości
wymuszenia, stąd też nazywany jest wzmocnieniem prędkościowym.
Teoria Sterowania
Pozostałe charakterystyki czasowe:
k
s
g (t )  k 1(t )
- impulsowa
G ( s) 
- liniowo-czasowa
b
V (s)  k 3
s
a)
h(t)
k b 2
v(t ) 
 t  1(t )
2
b)
k(t)
k
arctan (ka)
t
Charakterystyki czasowe członu całkującego idealnego
a) skokowa b) impulsowa
t
Teoria Sterowania
Człon całkujący z inercją
Człon ten można zrealizować jako szeregowe połączenie członów całkującego
idealnego i inercyjnego.
k
G( s) 
s(Ts  1)
Charakterystyki czasowe:
- skokowa
k a
H ( s)  2
s (Ts  1)
- impulsowa
k
G( s) 
s(Ts  1)
- liniowoczasowa
k b
V ( s)  3
s (Ts  1)
t



T
h(t )  k  a  t  T  (1  e )  1(t )



t
T
g (t )  k  (1  e ) 1(t )
t
2
 

t
t
v(t )  k  a  T 2  1   2  e T   1(t )
 T 2T

Teoria Sterowania
a)
h(t)
k(t)
b)
kaT
k
0.632k
arctan (ka)
T
t
T
Charakterystyki czasowe członu całkującego rzeczywistego
a) skokowa b) impulsowa
t
Teoria Sterowania
Człon różniczkujący idealny
G( s)  ks
W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny
do pochodnej sygnału wejściowego względem czasu.
Idealny człon różniczkujący można zrealizować fizycznie jedynie w
przybliżeniu.
Charakterystyki czasowe:
-skokowa
H ( s )  ka
h(t )  k  a  (t )
- impulsowa
G( s)  ks
d (t )
g (t )  k 
dt
- liniowo-czasowa
b
V (s)  k
s
v(t )  k  b  1(t )
Teoria Sterowania
a)
h(t)
b)
v(t)
kb
t
t
Charakterystyki czasowe członu różniczkującego idealnego
a) skokowa b) liniowo-czasowa, c) impulsowa
c)
g(t)
t
Teoria Sterowania
Człon różniczkujący z inercją
Człon różniczkujący rzeczywisty jest układem złożonym z szeregowo
połączonych członów: inercyjnego i różniczkującego idealnego. Ma on
duże znaczenie praktyczne, gdyż każdy fizycznie realizowalny człon
różniczkujący posiada pewną inercję.
ks
G( s) 
Ts  1
Charakterystyki czasowe:
- skokowa
-impulsowa
- liniowo-czasowa
k a
H (s) 
Ts  1
ka  s
G ( s) 
Ts  1
k b
V ( s) 
s(Ts  1)
k  a T
h(t ) 
e  1(t )
T

ka 
1  Tt
g (t )    (t )  e  1(t ) 
T 
T

t
v(t )  k  b  (1  e

t
T
)  1(t )
Teoria Sterowania
h(t)
a)
b)
ka
T
v(t)
kb
0.632 kb
0.368 ka
T
t
T
T
Charakterystyki czasowe członu różniczkującego rzeczywistego
a) skokowa, b) liniowo-czasowa, c) impulsowa
c)
g(t)
t
-ka/T2
t
Teoria Sterowania
Człon opóźniający (opóźnienie transportowe)
G( s)  k  e
T0 s
Sygnał na wyjściu członu opóźniającego jest proporcjonalny do sygnału
wejściowego, ale pojawia się nie w chwili doprowadzenia sygnału
wejściowego, lecz z opóźnieniem T0.
Charakterystyki czasowe:
- skokowa
k  a T0 s
H (s) 
e
s
h(t )  k  a  1(t  T0 )
- impulsowa
G(s)  k  eT0 s
g (t )  k   (t  T0 )
- liniowoczasowa
k  b T0 s
V ( s)  2 e
s
v(t )  k  b  (t  T0 )  1(t  T0 )
Teoria Sterowania
a)
h(t)
b)
k(t)
ka
t

t

Charakterystyki czasowe członu opóźniającego
a) skokowa b) impulsowa, c)liniowo-czasowa
c)
v(t)
kbt
T0
t
Teoria Sterowania
Człon oscylacyjny drugiego rzędu
n2
G(s)  k 2
s  2n s  n2
Odpowiedź impulsowa:
gdzie:  d   n 1   2
n  
g (t )  k
en t
1  2
sin d t  1(t )
- pulsacja drgań tłumionych,
- współczynnik tłumienia (zanikania)
Teoria Sterowania
Przebieg czasowy odpowiedzi członu jest przebiegiem oscylacyjnym o
pulsacji d. O charakterze oscylacji decyduje względny współczynnik
tłumienia drgań  (w zależności od wartości  wykładnik potęgi funkcji
wykładniczej we wzorze jest ujemny, dodatni lub równy zeru).
Można wyróżnić 4 przypadki:
• 0<<1 - amplituda oscylacji maleje, występują drgania tłumione,
• =0 - występują oscylacje nietłumione o stałej amplitudzie,
• -1<<0 - amplituda oscylacji rośnie do nieskończoności,
• 1 – oscylacje nie występują, człon staje się układem inercyjnym
drugiego rzędu (równoważnym szeregowemu połączeniu 2 członów
inercyjnych I rzędu), dla =1 mamy przebieg aperiodyczny krytyczny
(przypadek graniczny).
Teoria Sterowania
Odpowiedź impulsowa:
gdzie:  d   n 1   2
n  
g (t )
ke n t
1  2
- obwiednie

ke  n t
1  2
g (t )  k
en t
1 
2
sin d t  1(t )
- pulsacja drgań tłumionych,
- współczynnik tłumienia (zanikania, par. obwiedni)
=0
=0.2
=0.5
 =1
n=const
t
Teoria Sterowania
<0
g(t)
stan przejściowy nie
zanika, charakterystyka
rozbiega się
t
n=1
g(t)
n=0.5
n=0.2
const
t
Teoria Sterowania
Odpowiedź skokowa:
a  k  2n
H (s)  2
( s  2 n s  2n ) s


1  2
ent
h(t )  ka  1 
sin  d t  arctan



1  2


   1(t )


albo równoważnie:



 t 
h(t )  ka  1  e  cos d t 
sin d t    1(t )
d



Teoria Sterowania
b)
a)
h(t)
h(t)
k  a  (1 
hmax
e
1  2
)
2
3
ka
ka
k  a  (1 
c)
0
1
hmax
  nt
e  nt
1 
2
t
 \ d
h(t)
1   2   3   4  1
4  1
)
t
d)
0
0
h(t)
k  a  (1 
2ka
e   nt
1  2
)
ka
ka
t
 \ n
t
k  a  (1 
e   nt
1  2
)
Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego drugiego rzędu dla różnych
wartości współczynnika tłumienia .
Teoria Sterowania
Ważne stwierdzenia
1. Charakterystyka impulsowa g(t) jest pochodną charakterystyki
skokowej h(t) układu:
dh(t )
g (t ) 
dt
2. Znając charakterystykę impulsową można wyznaczyć odpowiedź
y(t) układu na dowolne wymuszenie x(t) korzystając z twierdzenia o
splocie.
Iloczyn w dziedzinie transformat (częstotliwości zespolonej):
Y ( s)  G( s) X ( s)
Splot w dziedzinie czasu:
t
t
0
0
y(t )  g (t )  x(t )   g ( ) x(t   )d   g (t   ) x( )d
Teoria Sterowania
Człony korekcyjne pierwszego rzędu
Ogólna postać transmitancji członu korekcyjnego I rzędu:
1  T1s
G(s) 
1  T2 s
gdzie
T1, T2 - stałe czasowe
Zależnie od tego, która stała czasowa jest większa, człon korekcyjny
przyspiesza lub opóźnia fazę sygnału wejściowego.
Teoria Sterowania
a) Człon opóźniający fazę
Jeżeli w wyrażeniu na transmitancję członu korekcyjnego dwie stałe
czasowe zastąpi się jedną i współczynnikiem  równym stosunkowi
T1/T2, to dla członu opóźniającego fazę:
1  Ts
G( s) 
,  1
1  Ts
Przebieg odpowiedzi skokowej członu:
t
t



1 T

T
h(t )  a  1  e
 e



 1(t )


Teoria Sterowania
b)
a)
h(t)
R1
a
x(t)
a

R2
y(t)
C2
t
T
Rys. Człon korekcyjny opóźniający fazę
a) charakterystyka skokowa b) realizacja fizyczna
Dla przedstawionego czwórnika RC układu parametry T i  określone są
wzorami:
T  R2C2
R1  R2

R2
Teoria Sterowania
b) Człon przyspieszający fazę (forsujący)
W przypadku, gdy w ogólnym wyrażeniu na transmitancję członu
korekcyjnego stała czasowa T2 jest większa od stałej czasowej T1 tzn.
<1 człon korekcyjny przyspiesza fazę. Jego transmitancja:
1  Ts
G( s)  
,  1
1  Ts
Przebieg odpowiedzi skokowej członu wyrażony jest równaniem:
t
 

h(t )  a    1  e T
 
  tT 
  e   1(t )



Teoria Sterowania
Parametry czwórnika realizującego człon przyspieszający fazę:
R2

R1  R2
T  R1C1
a)
b)
h(t)
R1
a
x(t)
a
T
C1
t
Rys. Człon korekcyjny przyspieszający fazę
a) charakterystyka skokowa b) realizacja fizyczna
R2
y(t)
Teoria Sterowania
Człon korekcyjny drugiego rzędu opóźniająco przyspieszający fazę
W pewnych przypadkach zachodzi potrzeba stosowania korekcji
zapewniającej przy niższych częstotliwościach opóźnienie, a przy
wyższych przyspieszenie fazy. Można wtedy zastosować korektor,
którego działanie jest analogiczne do szeregowego połączenia członu
opóźniającego i członu przyspieszającego fazę. Transmitancja członu:
(1  T1 s )(1  T2 s )
G( s) 
T2
(1  T1 s )(1  s )

Teoria Sterowania
Odpowiedź skokowa członu:
gdzie


 t 
  tT
h(t )  a  1  A   e 1  e T2   1(t )





1 
T1  T2   1
 
A
T2 


T

 1



Transmitancja czwórnika RC realizującego człon ma postać:
(1  R1C1 s)(1  R2 C 2 s)
G( s) 
R1 R2 C1C 2 s 2  ( R1C1  R2 C 2  R1C 2 ) s  1
Teoria Sterowania
Po oznaczeniu:
T1  R1C1, T2  R2C2
wyrażenie na transmitancję przyjmie podaną postać ogólną.
R1  R2 ).
R2
(Wartość liczbowa stałej  jest w przybliżeniu równa
h(t)
a)
b)
R1
a
 T 
T1T2
t0 
ln  2 1 
T
T1  2  T2 

h(t0)
t0
x(t)
C1
t
Człon korekcyjny opóźniająco - przyspieszający fazę
a) charakterystyka skokowa b) realizacja fizyczna
R2
C2
y(t)
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Charakterystyki częstotliwościowe
układów dynamicznych
Jedną z podstawowych metod określania właściwości układów
dynamicznych jest wyznaczanie ich charakterystyk częstotliwościowych.
Charakterystyka częstotliwościowa opisuje odpowiedź układu na
wymuszenie harmoniczne (sinusoidalne) o częstotliwości zmieniającej się
w określonym zakresie. Charakter fizyczny sygnału wejściowego i
wyjściowego może być różny.
Teoria Sterowania
Sygnał harmoniczny jest przydatny jako sygnał testowy, ponieważ:
 każdy sygnał (skończony lub okresowy) może być wyrażony jako
suma sygnałów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach (rozkład
sygnału na szereg Fouriera),
 odpowiedź stacjonarnego stabilnego układu liniowego na
wymuszenie sinusoidalne jest sinusoidą o tej samej częstotliwości,
 przebieg sinusoidalny jest łatwy do wygenerowania,
 sygnały robocze w wielu układach są (przynajmniej w pewnym
zakresie) harmoniczne.
Dwa pierwsze fakty wskazane powyżej oraz zasada superpozycji
sprawiają, że odpowiedź liniowego układu stacjonarnego na dowolne
wymuszenie można wydedukować na podstawie jego charakterystyki
częstotliwościowej. Przebieg charakterystyki częstotliwościowej dostarcza
zwykle w praktyce więcej informacji na temat zachowania się układu w
różnych warunkach niż pojedyncza charakterystyka czasowa, chociaż w
sensie teoretycznym są one równoważne.
Teoria Sterowania
Pomiar charakterystyki częstotliwościowej
Jeżeli na wejście liniowego układu dynamicznego podamy sygnał
sinusoidalny
x(t )  X m cos(t  x )
to po zaniknięciu procesów przejściowych na wyjściu układu otrzymamy
również sygnał sinusoidalny
y (t )  Ym cos(t   y )
o tej samej częstotliwości kołowej (pulsacji) ω=2f [rad/s], ale w ogólności
o innej amplitudzie i fazie, przy czym zmiana amplitudy i fazy sygnału po
przejściu przez układ jest różna dla różnych wartości ω.
Teoria Sterowania
x(t)
LINIOWY UKŁAD
DYNAMICZNY
G(s)
y(t)
Xm
x(t)
Ym
y(t)
t=/
T/2
t
ty=y/
tx=x/
Sygnał harmoniczny przed i po przejściu przez liniowy układ dynamiczny
w stanie ustalonym. Przesunięcie fazowe  na rysunku jest ujemne.
Teoria Sterowania
Jeżeli zmiany amplitudy i fazy zarejestruje się dla wejściowego sygnału
harmonicznego o częstotliwości nastawianej w szerokim zakresie
(teoretycznie w zakresie 0ω), to otrzymamy charakterystyki
częstotliwościowe układu:
 charakterystyka amplitudowa A(ω) jest to stosunek amplitudy sygnału
wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego (wzmocnienie układu) w
funkcji częstotliwości ω:
Ym ()
A() 
X m ()
Przy zdejmowaniu charakterystyki częstotliwościowej amplituda sygnału
wejściowego jest zwykle utrzymywana na stałym poziomie
Xm(ω)=Xm=const.
Teoria Sterowania
 charakterystyka fazowa (ω) jest to przesunięcie fazowe
(podawane w stopniach lub radianach) sygnału wyjściowego w
stosunku do sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości ω:
()   x ()   y ()
Jeżeli sygnał wyjściowy jest opóźniony w stosunku do wejściowego, to
przesunięcie fazowe () ma wartość ujemną.
Teoria Sterowania
Związek charakterystyk częstotliwościowych z
transmitancją układu
Jeżeli znany jest model matematyczny liniowego układu dynamicznego w
postaci transmitancji operatorowej G(s), to na podstawie G(s) można
wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe układu. W tym celu określa
się tzw. transmitancję widmową:
Y ( j)
G( j)  G( s) |s  j 
X ( j)
Transmitancja widmowa jest szczególnym przypadkiem transmitancji
operatorowej obliczanej na osi urojonej s=jω na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej (oznacza to zastosowanie zespolonego przekształcenia
Fouriera zamiast przekształcenia Laplace’a).
Teoria Sterowania
Stosując zespolone przekształcenie Fouriera transmitancję widmową
można otrzymać bezpośrednio z charakterystyki impulsowej g(t) układu:

G( j)   g (t )  e  jt dt

Transmitancję widmową jako wielkość zespoloną można przedstawić (w
układzie współrzędnych biegunowych) w postaci moduł-argument:
G( j) | G( j) | e j arg G ( j)
Zależność modułu transmitancji widmowej G(jω) od pulsacji ω jest
charakterystyką amplitudową układu, a zależność argumentu od
częstotliwości – charakterystyką fazową:
A() | G( j) |, ()  arg G( j)
G(jω) nazywa się też charakterystyką widmową układu.
Teoria Sterowania
Jeżeli wejściowy sygnał harmoniczny x(t)=Xmcost, to jego transformata
Laplace’a
s
X ( s)  X m 2
s  2
Sygnał wyjściowy y(t)=Ym()cos[t+()] jest przesunięty w fazie, a jego
transformata
s  cos ()    sin ()
Y ( s)  Ym ()
s 2  2
(korzysta się ze znanego wzoru na cosinus sumy dwóch kątów).
Przyjmując we wzorze definicyjnym G(s)=Y(s)/X(s), że s=jω i pamiętając
że exp(jx)= cosx+jsinx, otrzymujemy:
Ym () j()
G ( j) 
e
Xm
Teoria Sterowania
Jeżeli charakterystykę widmową zapisze się w formie część rzeczywistaczęść urojona (w układzie współrzędnych prostokątnych):
G( j)  Re[ G( j)]  j Im[ G( j)]  P()  jQ()
to charakterystyki częstotliwościowe określone są zależnościami:
Q()
A()  P ()  Q () , ()  arc tg
P()
2
2
Ze względu na tłumienie charakterystyki układów rzeczywistych dążą do
początku układu współrzędnych G(j)0 dla .
Teoria Sterowania
Jeżeli układ dynamiczny jest minimalnofazowy, tzn. wszystkie zera
opisującej go transmitancji G(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej s, to charakterystyki amplitudowa i fazowa układu są ze sobą
powiązane. Stanowią one odpowiednio część rzeczywistą i część urojoną
funkcji
ln G( j)  ln A()  j()
gdzie lnA jest wzmocnieniem wyrażanym w neperach. Charakterystyki
amplitudowej i fazowej układu minimalnofazowego nie można
kształtować niezależnie od siebie.
Teoria Sterowania
Sposoby wykreślania charakterystyk
częstotliwościowych
Pierwszym ze sposobów przedstawiania właściwości częstotliwościowych
układu jest wykres parametryczny (względem parametru ω) jego
transmitancji widmowej na płaszczyźnie zespolonej nazywany wykresem
Nyquista. Jest on linią zakreślaną na płaszczyźnie zespolonej przez
koniec wektora G(jω) przy zmianie ω od 0 do  (tzw. hodograf), a jego
punkty spełniają zależności
A() | G( j) |, ()  arg G( j)
G( j)  Re[ G( j)]  j Im[ G( j)]  P()  jQ()
Teoria Sterowania
Procedury komputerowe wyznaczające charakterystykę na podstawie
transmitancji mogą rysować wykres również dla ujemnych wartości ω. W
takim przypadku połowa wykresu dla ω<0 jest symetrycznym odbiciem
względem osi rzeczywistej hodografu dla ω>0 (ze względu na symetrię
funkcji G(jω)). Ponieważ
wykres zawiera informacje zarówno o
wzmocnieniu jak i o przesunięciu fazowym, nazywa się go
charakterystyką amplitudowo-fazową.
Niejawny rozkład częstotliwości wzdłuż linii określa się przez podanie jej
wartości w ważniejszych punktach (np. w punktach przecięcia wykresu z
osiami współrzędnych).
Teoria Sterowania
jIm[G(j)]
<0
4

P(1)
=0
(1)
Re[G(j)]
-
A(1)
3
jQ(1)
G(j1)
2
>0
Charakterystyka amplitudowo-fazowa (Nyquista) na płaszczyźnie
zespolonej
Teoria Sterowania
Przykład 1:
Transmitancja operatorowa układu RC, w którym jako sygnał wejściowy
traktujemy napięcie u1(t), a jako sygnał wyjściowy napięcie u2(t), jest
transmitancją członu inercyjnego I rzędu:
U 2 ( s)
k
G( s) 

, gdzie
U1 ( s) 1  Ts
T  RC , k  1
Transmitancja widmowa członu:
k
k
kT
G( j) 

j
2 2
1  jT 1   T
1  2T 2
gdzie:
k
 kT
P() 
, Q() 
2 2
1  T
1  2T 2
Teoria Sterowania
Po przejściu do
zależnościami
układu
współrzędnych
biegunowych zgodnie
Q()
A()  P ()  Q () , ()  arc tg
P()
2
2
dostajemy wzory określające charakterystyki amplitudową i fazową:
Q
A()  P  Q 
, ()  arc tg  arc tg T
2 2
P
1  T
2
2
k
z
Teoria Sterowania
a)
b)
jIm G
R
k
0
=
U1
C
()=-45
Re G
=0
U2
A(0 )  k / 2
G(j)
-jk/2
=1/T
Rys. a) Obwód elektryczny RC o transmitancji członu inercyjnego I rzędu
(T= RC, k=1),
b) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista tego członu
Teoria Sterowania
Innym sposobem wykreślania charakterystyki amplitudowo-fazowej jest
tzw. wykres Nicholsa A=f(), w którym na osi OX odkłada się
przesunięcie fazowe (), a na osi OY – wzmocnienie A() w skali
logarytmicznej.
Teoria Sterowania
Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe
Największe znaczenie w praktyce mają charakterystyki częstotliwościowe
wyznaczane w skali logarytmicznej, nazywane charakterystykami
Bodego (H.W. Bode – opracował metody projektowania wzmacniaczy ze
sprzężeniem zwrotnym, 1945):
 logarytmiczna charakterystyka amplitudowa Lm(ω) (logarytmiczny
moduł wzmocnienia) jest określona zależnością:
Lm()  20 log 10 A()  20 log 10 | G( j) |
i podawana w decybelach [dB] wzmocnienia zdefiniowanego wzorem
Ym ()
A() 
X m ()
w funkcji częstotliwości przedstawionej w skali logarytmicznej,
Teoria Sterowania
 logarytmiczna charakterystyka fazowa (w) jest zależnością
przesunięcia fazowego od częstotliwości przedstawionej w skali
logarytmicznej.
Para charakterystyk Bodego przedstawia zależność logarytmu
wzmocnienia i przesunięcia fazowego od częstotliwości w sposób jawny.
Teoria Sterowania
a)
100
b)
40
30
10
20
Lm()
10
[dB]
A()
1
0
-10
-20
0.1
0.1
1

10
100
-1
0
log 
1
Rys. Równoważne sposoby skalowania osi logarytmicznej
charakterystyki amplitudowej
2
Teoria Sterowania
Przykład 2:
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa członu inercyjnego I rzędu o
transmitancji
k
G ( s) 
1  Ts
jest określona wzorem:
Lm()  20 log A()  20 log
k
1  2T 2
 20 log k  10 log( 1  2T 2 )
Charakterystyka fazowa jest określana jak poprzednio, ale wykreśla się
ją również z logarytmiczną skalą na osi częstotliwości. Częstotliwość
ω0=1/T nazywa się punktem załamania charakterystyki.
Teoria Sterowania
[dB]
Lm()=20 log A()
aproksymacja asymptotyczna
40
20 log k
3dB
20
-20dB/dek

0
0.1
()
0
1
=1/T
10
1
=1/T
10
100
100

dekada
-45
-45/dek
-90
Rys. Logarytmiczne charakterystyki Bodego członu inercyjnego
I rzędu
Teoria Sterowania
Zalety charakterystyk logarytmicznych
Logarytmiczna
skala
wzmocnienia
umożliwia
wyznaczanie
charakterystyki wypadkowej układów połączonych szeregowo przez
dodawanie (algebraiczne lub graficzne) charakterystyk układów
składowych. Rzeczywiście, jeżeli charakterystyki widmowe układów
składowych oznaczymy przez G1(jω) i G2(jω), to charakterystyka
wypadkowa
G( j)  G1 ( j)  G2 ( j) | G1 |  | G2 |  exp j (1  2 )
Teoria Sterowania
Wypadkowa charakterystyka fazowa φ(ω)=φ1(ω)+φ2(ω),
wypadkowa logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
natomiast
Lm( )  20 log | G | 20 log (| G1 |  | G2 |)  20 log | G1 | 20 log | G2 |
 Lm1 ( )  Lm2 ( )
Zalety logarytmicznej skali częstotliwości stają się widoczne, kiedy
rozważymy zależność
Lm()  20 log A()  20 log
k
1  2T 2
 20 log k  10 log( 1  2T 2 )
dla dużych częstotliwości ω>>1/T. Charakterystyka amplitudowa dąży
wtedy do asymptoty
20 log A( )   1
T
k
 20 log k  10 log  T  20 log  20 log 
T
2
2
Teoria Sterowania
Jeżeli rozpatrzymy różnicę wzmocnień dla dwóch dużych częstotliwości
ω1 i ω2, gdzie ω2=10ω1, to na podstawie powyższej zależności
dostajemy:
20 log A(2 )  20 log A(1 )  20 log
2
 20 log10  20 dB
1
Nachylenie charakterystyki amplitudowej dąży więc asymptotycznie do
wartości stałej równej –20dB na dekadę, gdzie dekadą nazywa się
dziesięciokrotną różnicę częstotliwości. Właściwość ta jest ogólna:
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa dowolnego układu liniowego
w miarę oddalania się od punktów załamania ma przebieg
asymptotycznie liniowy.
Teoria Sterowania
Wykorzystuje się to stosując aproksymacje charakterystyk rzeczywistych
charakterystykami odcinkami liniowymi złożonymi z części asymptot.
Błąd aproksymacji taką tzw. charakterystyką asymptotyczną jest
największy w punktach załamania i dla pojedynczego czynnika (jωT+1)
wynosi 3dB (wzmocnienie różni się 2 razy), a w odległości oktawy od
najbliższego punktu załamania wynosi ok. 1dB. Jeżeli punkt załamania
odpowiada kilku jednakowym stałym czasowym, to błędy aproksymacji
są proporcjonalnie większe.
Do przybliżonej analizy stosuje się również odcinkami liniowe
aproksymacje przebiegu charakterystyki fazowej. Najpopularniejsza z
metod polega na wytyczeniu odcinka o nachyleniu 45/dek
przechodzącego przez punkt przegięcia charakterystyki fazowej
(odpowiadający punktowi załamania asymptotycznej charakterystyki
amplitudowej) i rozciągającego się jedną dekadę w obie strony od tego
punktu. Maksymalny błąd takiej aproksymacji wynosi ok. 6.
Teoria Sterowania
Charakterystyki częstotliwościowe podstawowych
członów dynamicznych
Człon proporcjonalny
Charakterystyka widmowa
G( s)  k
G ( j)  k P( )  k , Q( )  0
ogranicza się do jednego punktu na płaszczyźnie zespolonej.
Charakterystyki Bodego mają wartości stałe:
20 log A()  20 log k  const
()  0
Teoria Sterowania
k
G( s) 
1  Ts
Człon inercyjny I rzędu
Charakterystyka widmowa:
k
k
kT
G( j) 

j
2 2
1  jT 1   T
1  2T 2
k
 kT
P() 
, Q() 
2 2
1  T
1  2T 2
Charakterystyka amplitudowa i fazowa:
A( ) 
k
1  T
2
2
,  ( )  arctg(T )   arctg(T )
Charakterystyki Bodego:
Lm( )  20log A()  20log k 10log(1   2T 2 )
Teoria Sterowania
a)
b)
jIm G
R
k
0
=
U1
C
()=-45
Re G
=0
U2
A(0 )  k / 2
G(j)
-jk/2
=1/T
Rys. a) Człon inercyjny I rzędu, b) charakterystyka amplitudowo-fazowa
Nyquista,
Teoria Sterowania
[dB]
Lm()=20 logA()
aproksymacja asymptotyczna
40
20 log k
3dB
20
-20dB/dek

0
0.1
()
0
1
=1/T
10
1
=1/T
10
100
100

1 dekada
-45
-45/dek
-90
Logarytmiczne charakterystyki Bodego członu inercyjnego I rzędu
Teoria Sterowania
Człon całkujący
k
G (s) 
s
Charakterystyka widmowa:
G( j )  k / j,
P( )  0,
Q( )  k / 
Charakterystyki Bodego:
Lm( )  20log A( )  20log k  20log 
()  /2
Teoria Sterowania
jIm G
a)
b)
20 log k
()=-90
20
G(j)
0
Lm()=20 log A()
40
Re G
0
=
[dB]
-20dB/dek
=k
0
1
0.1
0
100
()
1
0.1
10


10
100
-45
-90
Rys. Człon całkujący: a) charakterystyka amplitudowo-fazowa
Nyquista, b) charakterystyki logarytmiczne Bodego
Teoria Sterowania
Człon całkujący z inercją
k
G ( s) 
s (1  Ts)
Charakterystyka widmowa:
k
G ( j ) 
,
j (1  jT )
P( )  
kT
1  T
2 2
, Q( )  
k
 (1   2T 2 )
Charakterystyki Bodego:
A() 
k
 1  2T 2
, 20 log A()  20 log k  20 log   10 log( 1  2T 2 )
1
 ( )    arctg
T
Teoria Sterowania
a)
=
jIm G
P(0)=-kT
b)
[dB]
Re G
0
Lm()=20 log A()
40
20logk
-20dB/dek
()
G(j)
A()
3dB
20
10
0
1 =1/T
0

k
-40dB/dek
()

0
1
=1/T
10
-90
-135
-180
Rys. Człon całkujący z inercją: a) charakterystyka amplitudowo-fazowa
Nyquista,b) charakterystyki logarytmiczne Bodego
Teoria Sterowania
Człon różniczkujący idealny
G( s)  k  s
Charakterystyka widmowa:
G( j)  jk,
P()  0, Q()  k
Charakterystyki Bodego:
Lm( )  20log A( )  20log k  20log 
()   /2
Teoria Sterowania
a)
b)
jIm G
=
[dB]
Lm()=20 log A()
40
G(j)
+20dB/dek
20
()=+90
0
20 log k

0
0
Re G
0.1
=k
1
10
100
()
+90
Rys. Człon różniczkujący
idealny:
a) charakterystyka
amplitudowo-fazowa
Nyquista,
b) charakterystyki
logarytmiczne Bodego
+45

0
0.1
1
10
100
Teoria Sterowania
Człon różniczkujący z inercją (rzeczywisty)
G( s) 
k s
Ts  1
Charakterystyka widmowa:
jk
G( j) 
,
1  jT
kT2
k
P() 
, Q() 
2 2
1  T
1  2T 2
Charakterystyki Bodego:
A() 
k
1  2T 2
, 20 log A()  20 log k  20 log   10 log( 1  2T 2 )
1
()  arc tg
T
Teoria Sterowania
C
a)
b)
[dB]
Lm()=20 log A()
40
20logk/T
R
U1
3dB
U2
20
+20dB/dek
0
c)
jIm G
1/T
jk/2
0.1
G(j)
90
1
=1/T

10
100
()
A()
()
0
0
=
Re G
45
k/T

0
0.1
1 =1/T
10
100
Rys.Człon różniczkujący z inercją: a) obwód elektryczny RC (T=k= RC),
b) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista,
c) charakterystyki logarytmiczne Bodego
Teoria Sterowania
Człon forsujący
G( s)  Ts  1
Charakterystyka widmowa:
G ( j )  1  jT  ,
P( )  1, Q( )  T 
Charakterystyka amplitudowa i fazowa:
A( )  T 2 2  1,  ( )  arctg T
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:
Lm( )  20log A( )  10log(1   2T 2 )
Teoria Sterowania
[dB]
Lm()=20 logA()
40
+20dB/dek
20

3dB
0
0.1
1
=1/T
10
100
()
+90
+45/dek
+45
1 dekada

0
1
=1/T
10
100
Charakterystyki logarytmiczne członu forsującego
Teoria Sterowania
Człon oscylacyjny II rzędu
2n
G( s)  2
s  2n s  2n
gdzie:  - względny współczynnik tłumienia (01)
n – częstotliwość drgań nietłumionych
Charakterystyka widmowa:
n2 (n2   2 )
G ( j )  P( )  jQ ( ), P( )  4
,
4
2 2
2
  n  2n  (2  1)
2n3
Q( )  4
  n4  2n2 2 (2 2  1)
Teoria Sterowania
Charakterystyki Bodego:
A( ) 
n2

4
 n4
 2n2 2 (2 2
 1)
,
20 log A( )  40 log n  10 log[ 4  n4  2n2 2 (2 2  1)]
2n 
()  arc tg 2
n  2
Dla częstotliwości rezonansowej
r  n 1  2 2 wzmocnienie
ma wartość maksymalną (tzw. pik rezonansowy) równą Ar(ωr)=1/(22).
Jeżeli współczynnik tłumienia 1, to człon oscylacyjny przechodzi w
człon inercyjny II rzędu.
Teoria Sterowania
10
jIm G
= 0
=0.1
A()
1
(r)
=0.3
Re G
=0
1
=0.5
=0.7
=1
=0.7
G(j)
0.1
=1
=0.5
A(r)=1/(22)
=0.3
=0.2
=n
Rys. Charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista członu
oscylacyjnego drugiego rzędu
dla różnych wartości  i charakterystyki logarytmiczne Bodego.
-40dB/dek
0.01
0.01
0
0.1
1
10
/n 100
()
-30
=0.1
-60
=0.3
=0.5
-90
=0.7
=1
-120
-150
-180
0.01
0.1
1
10
/n 100
Teoria Sterowania
Człon opóźniający (opóźnienie transportowe)
G( s)  k  e
 sT0
Charakterystyka amplitudowa jest taka sama jak dla członu
proporcjonalnego G(s)=k. Opóźnienie transportowe ma wpływ tylko na
przebieg charakterystyki fazowej, która jest funkcją liniową:
()  T0
Charakterystyka widmowa:
G( j)  k (cos   j sin )
Ponieważ przesunięcie fazowe nie ustala się na stałej wartości przy w
człon opóźniający zalicza się do układów nieminimalnofazowych. Jeżeli
opóźnienie występuje w układzie, którego transmitancja widmowa
G(j)0 dla  (co jest typowe dla układów rzeczywistych), to
powoduje ono spiralne zawijanie się charakterystyki amplitudowo-fazowej
Nyquista dookoła początku układu współrzędnych.
Teoria Sterowania
człon opóźniający idealny
jIm G
człon opóźniający z inercją
Re G

0
0
()
0.1
k
G(j)

1
10
-180
-360
Rys. a) Charakterystyki amplitudowo-fazowe członów: opóźniającego
idealnego i opóźniającego z inercją
ke sT0 , b) logarytmiczna charakterystyka fazowa
G (s) 
Ts  1
członu opóźniającego idealnego
Teoria Sterowania
Związki między charakterystykami częstotliwościowymi i czasowymi
Jeżeli transmitancja widmowa stabilnego układu liniowego jest dana w postaci
G( j )  P( )  jQ( )
i Q(=0)=0 oraz g(t)=0 dla t<0, to charakterystykę impulsową
można obliczać jako:
g (t ) 
2


0
P( ) cos t d
a charakterystykę skokową jako:
h(t ) 
2


0
P( )

sin t d
Zależności te wynikają z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera.
Teoria Sterowania
Zadanie: Naszkicować logarytmiczne charakterystyki asymptotyczne
układu inercyjnego II rzędu o transmitancji
k
G( s) 
(T1s  1)(T2 s  1)
Teoria Sterowania
Człony korekcyjne I rzędu
G(s) 
1  Ts
1  Ts
Charakterystyka widmowa:
1  jT
G( j) 
,
1  jT
1  2T 2
T (1  )
P() 
, Q() 
2 2 2
1   T
1   2 2T 2
Charakterystyki Bodego:
1  2T 2
2 2
2 2 2
A() 
,
20
log
A
(

)

10
log(
1


T
)

10
log(
1


T )
2 2 2
1   T
T (1  )
()  arc tg
1  2T 2
Teoria Sterowania
Właściwości korekcyjne i przebiegi charakterystyk częstotliwościowych
członu różnią się zasadniczo w zależności od tego czy parametr α jest
większy czy mniejszy od 1.
W miarę jak wartość α jest coraz większa (lub coraz mniejsza) od 1
właściwości korekcyjne członu, szczególnie jeśli chodzi o wprowadzane
przez człon przesunięcie fazowe, stają się coraz wyraźniejsze.
a) >1 - człon opóźniający fazę (korekcja całkowa)
W zakresie częstotliwości pośrednich człon wnosi ujemne przesunięcie
fazowe o wartości minimalnej:
1 
m in(m in)  arc tg
, gdzie

m in 
1
T 
W zakresie wysokich częstotliwości wzmocnienie członu jest mniejsze od 1.
Teoria Sterowania
R1
a)
c)
[dB]
0 0.1
C2
U1
R2
Lm()=20 log A()
1
10
100

U2
-20dB/dek
b)
jIm G
min
1/
0
3dB
-20
-20log
()
1 Re G
=
0
0.1
1
min 10
100
0
min
G(j)
min
-90
Rys. Człon opóźniający fazę: a) obwód elektryczny RC (T=R2C2,
=(R1+R2)/R2),b) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista, c)
charakterystyki Bodego

Teoria Sterowania
b) <1 - człon przyspieszający fazę
(forsujący, korekcja różniczkowa)
W zakresie częstotliwości pośrednich człon wnosi dodatnie przesunięcie
fazowe o wartości maksymalnej:
1 
m ax(m ax)  arc tg
, gdzie

m ax 
1
T 
W zakresie wysokich częstotliwości wzmocnienie członu jest większe od 1.
Teoria Sterowania
Człony opóźniająco-przyspieszający fazę
G( s) 
(1  T1s )(1  T2 s )
1
(1  T1s )(1  T2 s )

Człon ten jest szeregowym połączeniem członu przyspieszającego i
opóźniającego fazę.
G( j)  P()  jQ() , gdzie:
T
(1  T1T2 2 ) 2   2 (T1  T2 )(T1  2 )
 ,
P( ) 
2
T
(1   2T12 2 )(1  22  2 )

T2
2
 (1  T1T2 )[(T1  T2 )  (T1  )]

Q( ) 
T22 2
2 2 2
(1   T1  )(1  2  )

Charakterystyka widmowa:
Teoria Sterowania
Charakterystyki Bodego:
(1  T12 2 )(1  T22 2 )
A( ) 
,
1
(1   2T12 2 )(1  2 T22 2 )

 (1  T1T2 )[(T1  T2 )  (T1 
2
 ( )  arc tg
T2

(1  T1T2 )   (T1  T2 )(T1 
2 2
2
)]
T2

)
20 log A( )  10 log(1  T12 2 ) 
 10 log(1  T22 2 )  10 log(1   2T12 2 )  10 log(1 
1

2 2
T
 )
2 2
Teoria Sterowania
R1
a)
c)
[dB]
Lm()=20 log A()
20log(1/)
20
C1
U1
R2
3dB
+20dB/dek
U2

0
0.1
b)
jIm G
max
max
0
0
1
1
10
100
90 ()
max
G(j)
=
Re G
1/

0
0.1
1
max 10
100
Rys. Człon przyspieszający fazę: a) obwód elektryczny RC (T=R1C1,
=R2/(R1+R2)),b) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista,
c) charakterystyki Bodego
Teoria Sterowania
R1
[dB]
Lm()=20 log A()
1
C2
C1
U1
0
100
0
3dB
U2
R2
-20
jIm G

-20dB/dek
+
20dB/dek
-20log
max
()
0 
max
1
T1T2
max
=
0 1
min
min
T1  T2
T
T1  2
G(j)
Re G
min
0
0.1
1
0
10
max

min
Rys. Człon opóźniająco-przyspieszający fazę: a) obwód
elektryczny RC (T1=R1C1, T2=R2C2, (R1+R2)/R2>1, przyjęto, że
T1>T2),b) charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista, c) charakterystyki Bodego

Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Przejście od równań stanu do transmitancji
Równania operatorowe dla liniowego układu wielowymiarowego
(p wejść, l wyjść):
sX( s )  AX( s)  BU( s)  X( s)  ( sI  A) 1 BU( s)
Y( s)  CX( s)  DU( s)
Y( s)  C( sI  A) 1 B  D  U( s )
Macierz transmitancji:
G ( s )l  p
G11 ( s)  G1 p ( s)


G (s)   

 
 Gl1 ( s)  Glp ( s) 


yi
uj
Transmitancja Gij(s) od j-tego wejścia do i-tego wyjścia
Yi ( s)
Gij ( s) 
U j ( s)
Teoria Sterowania
Przejście od transmitancji do równań stanu
Jest to operacja o wyniku zależnym od wyboru zmiennych stanu.
Dzieląc licznik i mianownik transmitancji przez an uzyskuje się
współczynnik =1 przy sn. Jeżeli w G(s) n=m, to dzieli się wielomian
licznika przez wielomian mianownika otrzymując sumę współczynnika
wzmocnienia K i transmitancji właściwej:
G ( s )  K  Gw ( s )
bm s m  ...  b1s  b0
Y ( s) X ( s)
Gw ( s ) 

 n
- transmitancja właściwa, n > m
n 1
X ( s) U ( s) s  an 1s  ...  a1s  a0
Y (s)
 bm s m  ...  b1s  b0  Y ( s )  bm s m X ( s )  ...  b1sX ( s )  b0 X ( s )
X (s)
X ( s)
1
 n
 s n X ( s )  an 1s n 1 X ( s )  ...  a1sX ( s)  a0 X ( s )  U ( s )
U ( s ) s  ...  a1s  a0
Teoria Sterowania
 0
 0

A

 0
 a0
1
0
0
a1
B  b0 b1
0
1
0
an  2
bm 
Przykład schematu dla n=3:
0 
0 


1 
an 1 
0
0
C 
 
 
1 
D  K 
b2 s 2  b1s  b0
G(s)  K  3
s  a2 s 2  a1s  a0
Teoria Sterowania
K
b2
b1
u
U (s)
x  x3

s3 X ( s)
-a2
-a1
-a0
x  x3
s 2 X (s)

x  x2
sX ( s )

x  x1
b0
X ( s)
y
Y ( s)
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Właściwości dynamiczne układu, tzn. przebiegi przejściowe (swobodne) yp(t)
sygnału wyjściowego, są w pełni określone przez postać i wartości
współczynników lewej strony równania różniczkowego modelu wejście-wyjście:
an y n  an1 y n1  ...  a1 y  a0 y(t )  0
x(t)
L( s )
G( s) 
M ( s)
y(t)= yp(t)+ yu (t)
Rozwiązanie ogólne (bez wymuszenia) yp(t) równania jednorodnego zależy od
pierwiastków s=sk, k=1,2,…,n równania charakterystycznego:
an s n  an1s n1  ...  a1s  a0  0  an (s  s1 )(s  s2 )...(s  sn )  0
Są to jednocześnie pierwiastki wielomianu M(s) mianownika transmitancji G(s)
układu. Miejsca zerowe M(s) nazywa się biegunami transmitancji.
Składowa ustalona yu(t) przebiegu zależy od sygnału wejściowego x(t).
Teoria Sterowania
Dla pierwiastków jednokrotnych rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać:
n
y p (t )   Ck e sk t
k 1
Ck – stałe całkowania
Pierwiastek rzeczywisty s= daje składową rozwiązania:
t
Ce
Pierwiastek rzeczywisty n-krotny daje składową rozwiązania:
Im s
g(t)
1
2
3
C
t n 1e t
(n  1)!
e3t
te1t
Re s
e1t
Położenie biegunów na płaszczyźnie s
e 2t
t
Składowe odpowiedzi przejściowej
(impulsowej)
Teoria Sterowania
Para pierwiastków zespolonych sprzężonych s1,2=   j daje składową
rozwiązania:
t
y p1,2 (t )  e ( A sin t  B cos t )
Im s
j
g (t )
t
Re s

-j
Im s
j2
j1

sin2t
sin1t
Re s
t
-j1
-j2
Im s
j
g (t )

-j
g (t )
Re s
t
Teoria Sterowania
większa częstotliwości drgań 
Im s
większa szybkość zanikania 
Re s
Mapa przebiegów przejściowych związanych z położeniem biegunów układu na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Dla ujemnych części rzeczywistych stosuje się oznaczenie ||
Teoria Sterowania
Pierwiastki wielomianu L(s) licznika G(s) układu nazywa się zerami
transmitancji. Decydują one o sposobie przetwarzania sygnału wejściowego.
Układ dynamiczny jest stabilny, jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie o
ograniczonej wartości jest również ograniczona (ogólna definicja Laplace’a,
ang. bounded input – bounded output, BIBO).
Rodzaj sygnału wejściowego (o ile jest ograniczony) nie ma znaczenia przy
badaniu stabilności.
Def. Liniowy układ dynamiczny jest stabilny (asymptotycznie), jeżeli składowa
przejściowa (swobodna) jego odpowiedzi zanika, tzn.
lim y p (t )  0
t 
Warunek ten jest jest spełniony wtedy i tylko wtedy, kiedy wszystkie bieguny
transmitancji G(s) układu mają ujemne części rzeczywiste (leżą w lewej
półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s).
Wniosek: Teoretyczne badanie stabilności i właściwości dynamicznych
układu liniowego sprowadza się do badania rozkładu jego biegunów na
płaszczyźnie zespolonej s.
Teoria Sterowania
W przypadku równoważnego modelu w postaci równań stanu rozpatruje się
układ autonomiczny:
x  Ax
Właściwości dynamiczne i stabilność układu są określone przez wartości
własne macierzy stanu A, którymi są pierwiastki równania
charakterystycznego:
detsI  A  an s n  ...  a1s  a0  0
Rozwiązanie równania stanu:
n
xt   e x0   B k e sk t x0
At
k 1
A  si I
gdzie: B k  
sk – k-ty pierwiastek równania charakterystycznego
i 1 sk  si
n
ik
Jeżeli wszystkie wartości własne mają ujemne części rzeczywiste, to wektor
stanu x0. Układ jest globalnie (tj. dla dowolnego warunku początkowego)
asymptotycznie stabilny:
lim x(t )  0
t 
Teoria Sterowania
Przykład dla n=3:
  s 0 0  0

det  sI  A  det  0 s 0    0
 0 0 s   a0
Równanie charakterystyczne:
(identyczne jak dla transmitancji)
1
0
a1
0 
s

1    det  0
 a0
a2  
s  a2 s  a1s  a0  0
3
2
1
s
a1
0 
1   0
a2  s 
Teoria Sterowania
Definicja stabilności nieliniowego układu dynamicznego postaci:
x  Fx 
z punktem równowagi x=0, w którym F(0)=0. Warunek początkowy
x(0)=x0.
Def.: Punkt równowagi x=0 nazywa się stabilnym, jeżeli dla każdej
dodatniej liczby ε można dobrać taką dodatnią liczbę η, że trajektoria
rozpoczynająca się w punkcie x0 leżącym wewnątrz kuli o promieniu η
pozostanie wewnątrz kuli o promieniu ε dla dowolnego t>0.
Jeżeli ponadto układ powraca do stanu równowagi dla t→∞, to punkt
równowagi nazywa się stabilnym asymptotycznie.
Stabilność w małym otoczeniu punktu równowagi nazywa się stabilnością
lokalną, a stabilność przy dowolnie dużych warunkach początkowych
stabilnością globalną.
Teoria Sterowania
x2


x0
x1
0
Rys. Trajektoria stanu stabilnego
układu dynamicznego
x1, x2 – zmienne stanu
Teoria Sterowania
Od układów sterowania wymaga się zwykle globalnej stabilności
asymptotycznej.
Stabilność układów ze sprzężeniem zwrotnym: układ nazywa się
stabilnym, jeżeli ograniczone wymuszenie w(t) lub zakłócenie z(t)
wywołuje ograniczony sygnał sterowany y(t) oraz ograniczony
sygnał sterujący u(t).
z(t)
w(t)
u(t)
∑
Gr(s)
∑
G(s)
Rys. Układ ze sprzężeniem zwrotnym
y(t)
Teoria Sterowania
Przy badaniu złożonych układów starowania pożyteczne jest
budowanie schematów blokowych (strukturalnych), które ilustrują
zależności funkcjonalne i przepływ sygnałów pomiędzy blokami
składowymi, które mają proste właściwości przetwarzania sygnałów
(są często podstawowymi członami dynamicznymi).
Teoria Sterowania
Połączenia członów podstawowych
1) połączenie szeregowe
G(s)
Y(s)
U(s)
G1(s)
G2(s)
Gn(s)
Rys. Połączenie szeregowe (kaskadowe)
Transmitancja zastępcza połączenia szeregowego:
G  s   G1  s   G2  s  
n
 Gn  s    Gi  s 
i 1
Teoria Sterowania
2) połączenie równoległe
G(s)
G1(s)
U(s)
G2(s)
∑
Y(s)
Gn(s)
Rys. Połączenie równoległe
(alternatywne oznaczenie węzła sumującego)
Transmitancja zastępcza połączenia równoległego:
G  s   G1  s   G2  s  
n
 Gn  s    Gi  s 
i 1
Teoria Sterowania
3) połączenie
ze sprzężeniem zwrotnym
U(s)
Gz(s)
E(s)
∑
Y(s)
G(s)
±
H(s)
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym: (-) ujemnym, (+) dodatnim
Transmitancja zastępcza Gz(s) układu zamkniętego ze sprężeniem
zwrotnym:
Y s
G s
G s
Gz  s  


U  s  1 G  s   H ( s ) 1 Go  s 
Uwaga: (+) we wzorze dla sprzężenia ujemnego, (-) dla dodatniego
Teoria Sterowania
Określenia:
G(s) – transmitancja toru głównego
H(s) – transmitancja toru sprzężenia zwrotnego
Go(s)= G(s)H(s) – transmitancja układu otwartego (przy
przerwanej pętli sprzężenia)
Przykład: Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu z pełnym
(sztywnym) sprzężeniem zwrotnym (H(s)=1)
Gz(s)
U(s)
Y(s)
∑
_
G1(s)
G2(s)
Odpowiedź:
Y s
G1  s  G2  s 
Go  s 
Gz ( s) 


gdzie Go(s)= G1(s)G2(s)
U  s  1  G1  s  G2  s  1  Go  s 
Teoria Sterowania
Przykład: budowa schematu blokowego
obcowzbudnego silnika DC
a)
it
Rt
Lt
uw=const

Mobc
u
SEM e
Me
b)
J
B
ω
z(t) = Mobc
ut
ω
Rys. Schemat zastępczy obwodu twornika silnika prądu stałego
b) blok wejście-wyjście-zakłócenie
Teoria Sterowania
Wielkości na schemacie:
ut – napięcie zasilające twornika (sygnał wejściowy),
it – prąd twornika,
Rt – rezystancja zastępcza uzwojeń twornika,
Lt – indukcyjność zastępcza uzwojeń twornika,
e – siła elektromotoryczna indukcji,
ω – prędkość kątowa wirnika (sygnał wyjściowy),
 - strumień magnetyczny wzbudzenia (const)
Me – moment elektryczny (napędowy) silnika,
B – tarcie lepkie wału silnika,
J – moment bezwładności wału silnika,
Mobc – moment obciążenia silnika (sygnał zakłócenia).
Teoria Sterowania
Równanie elektryczne wirnika silnika:
dit
u  Rt it  Lt
e
dt
SEM indukcji jest proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika
e  ke
gdzie ke – stała elektryczna (zależna m.in. od strumienia magnetycznego
stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniu wirnika).
Po podstawieniu otrzymujemy:
dit
u  Rt it  Lt
 ke.
dt
Teoria Sterowania
Mechaniczne równanie momentów wywołujących ruch obrotowy:
d
J
 M e  M B  M obc
dt
Zakładając, że strumień magnetyczny stojana (wzbudzenia) jest stały,
można przyjąć że moment obrotowy wirnika jest proporcjonalny do prądu it:
M e  kmit
gdzie km – stała mechaniczna (zależna m.in. od strumienia
magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika).
Moment związany z oporami ruchu wirnika można zapisać jako
M B  B
Po podstawieniu:
d
J
 kmit  B  M obc
dt
Teoria Sterowania
Przekształcając równanie elektryczne:
Lt dit
1
 it  (u  ke )
Rt dt
Rt
dit
1
Te
 it  (u  ke )
dt
Rt
W formie operatorowej z transmitancją członu inercyjnego:
1
I t ( s )(Te s  1)  [U ( s)  ke ( s)]
Rt
1/ Rt
It ( s) 
[U ( s )  ke ( s)]
Te s  1
Te - elektromagnetyczna stała czasowa, 1/Rt – współczynnik wzmocnienia
Teoria Sterowania
Przekształcając równanie mechaniczne (podejście inne niż poprzednio):
d 1
 (kmit  B  M obc )
dt J
W formie operatorowej z transmitancją członu całkującego:
1
s( s )  [km I t ( s )  B( s)  M obc ( s)]
J
1
( s)  [km I t ( s)  B( s)  M obc ( s)]
Js
W formie operatorowej z transmitancją członu inercyjnego:
J d
1
J

   (kmit  M obc )  ( s )  s  1 
B dt
B
B

1/ B
J
( s ) 
[km I t ( s )  M obc ( s)], gdzie Tm 
Tm s  1
B
1
[km I t ( s )  M obc ( s )]
B
-mechaniczna stała
czasowa
Teoria Sterowania
Reguły przekształcania schematów blokowych
Zmiana sprzężenia zwrotnego niepełnego w pełne
Y
U

U
G1
1/G2

G1 G2
Y
G2
Wydzielenie członu z gałęzi równoległej
U
G1
G2
Y

U
G2
G1 /G2
Y

Teoria Sterowania
Przeniesienie węzła zaczepowego przed człon
U
Y
U
G
G
Y
Y
G
Y
Przeniesienie węzła zaczepowego za człon
U
Y
G
U
G
Y
G-1
U
U
Teoria Sterowania
Przeniesienie węzła sumacyjnego przed człon
U
G
Y
+
U+

Y
G

G-1
X
X
Przeniesienie węzła sumacyjego za człon
U+
G
Y
U
G

X
X
G
Y
+

Teoria Sterowania
Łączenie/rozdzielanie węzłów zaczepowych
X
X
X
X
X
X
X
X
Łączenie/rozdzielanie węzłów sumacyjnych
X
U+
+

Y
X
U
+

Z


Z
Y
Teoria Sterowania
Zadanie: Wyznaczyć transmitancję zastępczą G(s) od u do y dla
podanego schematu blokowego.
u +
_
x3
Odpowiedź:
1
G1 
s4
1
H2 
s
x4
+ + x2
G1 (1  G2  G2 H1 )
G( s) 
1  G1 H 2 (1  G2 H1 )
1
G2 
2s
1
H1 
s
y
x1
+
+
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Jednowymiarowy układ regulacji automatycznej
e(t) jeśli H(s)=1
w(t)
z(t)
u(t)
∑
Gr(s)
Gp(s)
y(t)
H(s)
Rys. Schemat liniowego układu regulacji z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Uchyb (błąd) regulacji e(t) = w(t) - y(t). Jest on wejściem do regulatora w
przypadku pełnego sprzężenia zwrotnego H(s)=1
Gr(s) – transmitancja elementu sterującego (regulatora),
Gp(s) – transmitancja obiektu (procesu) sterowania,
H(s) – transmitancja toru sprzężenia zwrotnego (np. czujnika,
często przyjmuje się H(s)=1, co oznacza pełne sprzężenie),
w(t) – wielkość zadana (wymuszenie),
y(t) – wielkość regulowana,
u(t) – wielkość sterująca,
z(t) – zakłócenie (nie podlegające sterowaniu),
Teoria Sterowania
Podstawowym pojęciem stosowanym do charakteryzowania układu ze
sprzężeniem zwrotnym jest transmitancja układu zamkniętego, przy
założeniu braku zakłócenia:
Gr ( s)G p (s)
Gr (s)G p (s)
Y ( s)
Gz ( s) 


W ( s) Z ( s )0 1  Gr ( s)G p (s) H (s)
1  Go ( s)
Gr(s)Gp(s)H(s)=Go(s) - transmitancja układu otwartego (zawiera
wszystkie elementy pętli). Jeśli H(s)=1, to:
w(t)
W(s)
Lz ( s)
Gz ( s ) 
M z ( s)
y(t)
Go ( s)
Gz ( s) 
1  Go ( s)
Y(s)
Znajomość Gz(s) umożliwia wyznaczenie transformaty sygnału sterowanego
Y(s) dla określonego sygnału zadanego:
Y (s)  Gz (s) W (s)
Teoria Sterowania
Przykład: Wyznaczyć transmitancję układu zamkniętego, w którym:
Gr ( s)  K r , G p ( s) 
Kp
s(Ts  1)
, H ( s)  1
Zwróćmy uwagę, że Gp(s) opisuje obiekt niestabilny.
Rozwiązanie:
Kr K p
Kr K p
Kr K p
s(Ts  1)
T
Gz ( s) 



Kr K p
Kr K p
1
1  Gr ( s)G p ( s)
s(Ts  1)  K r K p
2
1
s  s
s(Ts  1)
T
T
Gr ( s)G p ( s)
Układ zamknięty jest stabilny i ma transmitancję II rzędu o względnym
współczynniku tłumienia
1
 
2 TK r K p
Jeżeli <1 to charakterystyki czasowe układu zamkniętego mają charakter
oscylacyjny.
Teoria Sterowania
Układ regulacji z zakłóceniem Z(s) na działającym na wejściu obiektu
Z(s)
W(s)
U(s) +
∑
Gr(s)
-
+
∑
Y(s)
Gp(s)
H(s)
Y (s) 
Gr ( s )G p ( s )
1  Gr ( s)G p ( s) H ( s)
W (s) 
G p (s)
1  Gr ( s)G p ( s) H ( s)
Z (s)
Wprowadza się pojęcie transmitancji zakłóceniowej określającej zależność
Y(s) od Z(s) (ang. Disturbance) przy braku wymuszenia:
G p ( s)
G p (s)
Y ( s)
GD ( s) 


Z ( s) W ( s )0 1  Gr ( s)G p ( s) H ( s) 1  Go ( s)
Można wtedy napisać:
Y (s)  Gz (s)W (s)  GD (s)Z (s)
Teoria Sterowania
Ważnym problemem jest określenie zależności uchybu regulacji E(s)=W(s)-Y(s)
od wymuszenia Y(s) (składowa Ew(s)) i zakłócenia Z(s) (składowa Ez(s)) :
E ( s) 
1  Go ( s)  Gr ( s)G p ( s)
1  Go ( s)
W ( s) 
G p ( s)
1  Go ( s)
Z ( s )  Ew ( s )  E z ( s )
Wprowadza się pojęcia transmitancji uchybowej wymuszeniowej oraz
transmitancji uchybowej zakłóceniowej:
E s
Gew  s  
W s Z
Wynika to od razu z faktu, że:

 s 0
1  Go  s   Gr  s  G p  s 
1  Go  s 
E ( s) |Z ( s )0  W ( s)  Y ( s)  [1  Gz ( s)]W ( s)
Dla H(s)=1 otrzymuje się stosowany zwykle wzór:
E s
Gez  s  
Z s W
Zapisując razem:
 1  Gz ( s )

 s 0
G p  s 
1
Gew  s  
1  Go  s 
1  Go  s 
E (s)  Ew (s)  Ez (s)  Gew (s)W (s)  Gez (s)Z (s)
Teoria Sterowania
Układ regulacji z zakłóceniem Z(s) na działającym na wyjściu obiektu
Z(s)
W(s)
∑
-
U(s)
Gr(s)
Gp(s)
Y(s) +
+
∑
H(s)
Zakłócenie działające na wyjściu procesu modeluje np. błędy pomiarowe
w układzie regulacji, kiedy sygnał sterowany nie jest dostępny
bezpośrednio, ale jedynie w wersji obarczonej błędem.
Zadanie: Pokazać, że zależność uchybu regulacji E(s)=W(s)-Y(s) od
wymuszenia i zakłócenia opisuje wzór:
E  s   [1  Gz (s)]W (s)  Gz (s)Z (s)
gdzie Gz(s) jest transmitancją układu zamkniętego przy braku zakłócenia.
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Zadaniem układu regulacji automatycznej (URA) jest utrzymywanie
równości między wielkością regulowaną y a wielkością zadaną w. Zadanie
to może być wykonane jedynie z pewną dokładnością, określoną przez
uchyb (błąd) regulacji:
e(t) = w(t) – y(t) lub w postaci operatorowej E(s) = W(s) - Y(s)
Uchyb regulacji może być wywołany np. zakłóceniami, realizacją techniczną
układu, własnościami transmitancji układu otwartego (strukturą układu).
Przed układem stawia się określone wymagania dotyczące zarówno
przebiegu procesu przejściowego, czyli przejściowego sygnału uchybu ep(t)
(właściwości dynamicznych), jak i jego wartości w stanie ustalonym eu
(właściwości statycznych).
Wymienione czynniki stanowią o jakości regulacji. Oceny jakości regulacji
dokonuje się na podstawie szeregu kryteriów (wskaźników) jakości.
Teoria Sterowania
Kryteria jakości regulacji można podzielić na kilka grup:
• kryteria związane z parametrami charakterystyki skokowej (układu
zamkniętego),
• kryteria związane z parametrami charakterystyki częstotliwościowej
(zwykle układu otwartego),
• kryteria związane z rozkładem biegunów (i ewentualnie zer) układu
zamkniętego,
• kryteria całkowe (sterowania optymalnego).
Teoria Sterowania
Dokładność statyczna liniowego układu regulacji
Uchyb regulacji jest sumą składowej ustalonej i składowej przejściowej:
e(t )  eu  e p (t )
Miarą dokładności statycznej jest uchyb ustalony, tzn. taki, który utrzymuje
się po zaniku procesów przejściowych wywołanych wymuszeniem lub
zakłóceniem:
eu  lim e(t )  lim sE ( s)
t 
s 0
Uchyb ustalony jest w ogólności sumą składowych związanych z
wymuszeniem i zakłóceniem:
eu = euw + euz
Regulacja powinna spełniać warunek eu=0 lub |eu| eumax.
Problemy:
• jak uchyb ustalony zależy od transmitancji układu otwartego Go(s) i
rodzaju sygnału wymuszenia (zakłócenia),
• jakie są ogólne zasady postępowania w celu zmniejszenia eu.
Teoria Sterowania
Układy statyczne i astatyczne
Wśród liniowych URA można wyróżnić zasadniczo dwa typy układów:
• układy regulacji statycznej, w których występują uchyby ustalone
proporcjonalne do wartości stałego (skokowego) wymuszenia;
• układy regulacji astatycznej, w których uchyby ustalone przy stałym
(skokowym) wymuszeniu są równe zeru (układy astatyczne mogą
wykazywać uchyby ustalone przy innych wymuszeniach, np. rosnących
liniowo, parabolicznie itp.).
URA jest układem astatycznym, jeżeli w transmitancji układu otwartego
znajdują się szeregowo włączone człony całkujące.
Teoria Sterowania
Przykład: Wyznaczyć uchyb ustalony odpowiedzi skokowej (w(t)=A1(t))
układu zamkniętego dla: 1) Gr(s)=Kr, 2) Gr(s)=Kr/s
w(t)
e(t)
_
1)
Gz ( s) 
Gr(s)
u(t)
Kr K p
Ts  1  K r K p
E (s)  W (s)  Y (s)  [1  Gz (s)]W (s)

Kr K p
E ( s )  1 
 Ts  1  K K
r
p

Kp
y(t)
Ts  1
układ zamknięty jest układem
inercyjnym o stałej czasowej
T/(1+KrKp) i współczynniku
wzmocnienia KrKp/(1+KrKp)
A
A(Ts  1)
 
 s s (Ts  1  K r K p )
A
eu  lim sE ( s) 
s 
1  Kr K p
Teoria Sterowania
2)
Gz ( s ) 
Kr K p
s (Ts  1)  K r K p
Układ zamknięty jest układem II rzędu (inercyjnym lub oscylacyjnym) o
współczynniku wzmocnienia równym 1.

Kr K p
E ( s)  1 
 s(Ts  1)  K K
r
p

A
A(Ts  1)
 
 s s (Ts  1)  K r K p
eu  lim sE ( s)  0
s 
Rozważmy w układzie regulacji ze sprzężeniem zwrotnym transmitancję
układu otwartego postaci:
L( s) bm s m  bm1s m1   b1s  b0
Go ( s) 

M ( s)
an s n  an 1s n 1   al s l
al 1 
 a1  a0  0
Teoria Sterowania
Układ otwarty zawiera l połączonych szeregowo członów całkujących, bo
wielomian mianownika można zapisać jako:
M ( s)  an s n  an 1s n 1 
 al s l 
 sl (an s n l  an 1s n 1l 
 al )  sl N (s)
gdzie N(s) jest wielomianem pełnym.
Taki układ nazywa się układem astatycznym l-tego rzędu.
Rozważmy zależność uchybu ustalonego w układzie astatycznym od
wymuszenia (zakładamy brak zakłócenia) w postaci potęgowej funkcji
czasu:
k!
k
w(t )  Ak t 1(t )
W ( s )  Ak
w(t), k=2
w(t), k=1
w(t), k=0
t
s k 1
t
t
Teoria Sterowania
Transmitancję uchybową wymuszeniową można zapisać jako:
1
sl N ( s)
Gew ( s) 
 l
1  Go ( s) s N ( s)  L( s)
Transformata uchybu i uchyb wymuszeniowy ustalony:
sl N (s)
E ( s)  Gew ( s)W ( s)  l
W ( s)
s N ( s )  L( s )
sl 1 N (s)
euw  lim sE ( s)  lim l
W ( s)
s 0
s 0 s N ( s )  L ( s )
Teoria Sterowania
Układ regulacji statycznej to układ, w którym nie ma szeregowo
włączonych członów całkujących (l=0)
L( s) bm s m  bm1s m1   b1s  b0
Go ( s) 

N ( s) an s n  an 1s n 1   a1s  a0
Przy wymuszeniu skokowym w(t)=A01(t), W(s)=A0/s, uchyb ustalony:
b0
K0 
a0
A0
A0
s
euw  lim sE ( s)  lim

s 0
s 0
L( s ) s 1  K 0
1
N ( s)
- współczynnik wzmocnienia układu otwartego
euw
1

A0 1  K o
- współczynnik statyzmu
Uchyb ustalony układu statycznego dla wymuszenia liniowo narastajacego:
A1
sN ( s)
euw  lim
 
s 0 N ( s )  L ( s ) s 2
Teoria Sterowania
Istnieje możliwość podwyższania dokładności statycznej układu
(zmniejszania eu) poprzez zwiększanie współczynnika wzmocnienia układu
otwartego Ko. Nie można jednak dowolnie zwiększać Ko, ponieważ
powoduje to zwykle pogorszenie stabilności układu zamkniętego i zwiększa
amplitudę sygnału sterującego (a to wymaga większej mocy sterowania –
większych i droższych elementów wykonawczych).
Układ statyczny nie jest w stanie nadążyć za wymuszeniem zmieniającym
się liniowo (a tym bardziej wymuszeniem wyższego stopnia).
w(t)
eu
w(t)
e(t)
y(t)
y(t)
t
t
Rys. Odpowiedź układu regulacji statycznej na wymuszenie skokowe i liniowe
Teoria Sterowania
Układ regulacji astatycznej
Jeżeli na wejście układu astatycznego l-tego rzędu poda się wymuszenie w
formie funkcji potęgowej k-tego stopnia:
w(t )  Ak t 1(t )
k
to uchyb ustalony:
W ( s )  Ak
k!
s k 1
Ak k !
sl N (s)
euw  lim s l

s 0 s N ( s )  L( s ) s k 1
Możliwe jest wystąpienie jednego z trzech przypadków:
1. dla l > k
euw=0
2. dla l = k
euw=const
3. dla l < k
euw=
Wniosek: Układ regulacji astatycznej jest w stanie sprowadzić do zera
uchyb ustalony przy wymuszeniu potęgowym, jeżeli ma wystarczająco
wysoki rząd astatyzmu.
Podwyższanie rzędu astatyzmu (włączanie członów całkujących) wpływa
jednak niekorzystnie na stabilność układu zamkniętego (układy astatyczne
rzędu >2 są zwykle niestabilne bez dodatkowej korekcji).
Teoria Sterowania
y(t)
y(t)
eu=0
y(t)
e(t)
eu
t
t
Rys. Typowe odpowiedzi układu regulacji astatycznej I rzędu na
wymuszenie skokowe, liniowe i paraboliczne.
t
Teoria Sterowania
Wymuszenie
Transmitancja
układu
otwartego
L( s )
Go ( s) 
N ( s)
Go ( s) 
Go ( s) 
L( s )
sN ( s)
L( s )
s 2 N (s)
Typ układu
Współczynniki
wzmocnienia
układu otwartego
statyczny
statyczny
l=0
b0
ko 
a0
astatyczny
I rzędu
prędkościowy
l=1
astatyczny
II rzędu
l=2
b
kv  0
a1
skokowe
liniowe
paraboliczne
w(t)=A01(t)
w(t)=A1t1(t)
w(t)=A2t21(t)
uchyb
statyczny
uchyb
prędkościowy
uchyb
przyspieszeniowy
eu
euv
eua
A0
eu 
1  k0


0
A1
euv 
kv

przyspieszeniowy
b0
ka 
a2
0
0
2 A2
eua 
ka
Teoria Sterowania
Zależność uchybu zakłóceniowego od transmitancji regulatora
W przypadku, gdy na wejście obiektu działa zakłócenie (przy braku
wymuszenia), uchyb ustalony zależy od liczby członów całkujących w
transmitancji regulatora Gr(s).
w(t)=0
u(t) +
e(t)
∑
Gr(s)
-
+
z(t)
∑
y(t)
Gp(s)
H(s)=1
Jeżeli transmitancję regulatora przedstawimy w postaci:
Lr ( s )
Gr ( s )  r
s M r (s)
gdzie Lr(s), Mr(s) są wielomianami pełnymi.
Bm  m!
a zakłócenie: z (t )  Bm  t 1(t ) lub w formie operatorowej: Z ( s ) 
s m1
m
to uchyb ustalony od zakłócenia:
 G p  s  Bm m ! 
euz  lim[ sGez ( s) Z ( s)]  lim 
 m 
s 0
s 0 1  G  s 
s 
o

Teoria Sterowania
Możliwe są trzy przypadki:
1. dla r > m
euz= 0
2. dla r = m
euz =const
3. dla r < m
euz = -
Dla r=m>0 wartość uchybu ustalonego:
Bm m !
euz  
Kr
gdzie Kr=br0/ar0 – współczynnik wzmocnienia regulatora.
Zadanie: Wyznaczyć uchyb ustalony przy zakłóceniu skokowym w
układzie z obiektem o transmitancji Gp(s), którego współczynnik
wzmocnienia Kp=bp0/ap0 dla:
1) Gr(s)=Kr (regulator P), 2) Gr(s)=Kr/s (regulator I).
 G p  s 
B0   K p B0
s  
1) euz  lim[ sGez ( s ) Z ( s )]  lim 
s 0
s 0  1  K G  s 
s  1  K r K p
r p

Jeżeli obiekt zawiera działanie całkujące, to Kp i euz=-B0/Kr.
Teoria Sterowania
2)
G p  s  B0
 sG p  s  B0
euz  lim[ sGez ( s) Z ( s)]  lim
 lim
0
s 0
s 0
s 0 s  K G  s 
Kr
r p
1
Gp  s 
s
ez(t)
ez(t)
ezu
t
ezu=0
t
Rys. Typowe odpowiedzi (aperiodyczna i oscylacyjna) układu regulacji na
skokowe zakłócenie
Teoria Sterowania
Dokładność dynamiczna liniowego układu regulacji
Wymagania dynamiczne stawiane układom regulacji często sprowadzają
się do żądania określonego przebiegu przejściowego sygnału uchybu
regulacji e(t) przy skokowym wymuszeniu i/lub zakłóceniu.
y(t)
Mp
ymax
w
yu
eu
=±3% lub ±1%
0,9yu
0,1yu
tn
tr
t
Rys. Przebieg oscylacyjnej i aperiodycznej odpowiedzi układu regulacji
przy skokowej zmianie wartości zadanej (wymuszenia)
Teoria Sterowania
Wskaźnikami jakości związanymi z przebiegami czasowymi sygnału
sterowanego lub uchybu regulacji są:
• czas ustalania (regulacji) tr – jest to czas jaki upływa od chwili
doprowadzenia do układu wymuszenia (lub zakłócenia) do momentu, gdy
wahania sygnału uchybu e(t) wokół eu zmniejszą się trwale poniżej
założonej wartości e (zazwyczaj przyjmuje się e równe 1 lub 3%). Czas
regulacji określa czas trwania przebiegów przejściowych w układzie i jest
miarą zarówno szybkości jak i stabilności układu.
 czas narastania tn – jest to czas potrzebny do tego, aby charakterystyka
skokowa układu zmieniła się od 10% do 90% wartości ustalonej (inna
definicja określa czas narastania jako czas pierwszego osiągnięcia przez
sygnał sterowany wartości zadanej). Czas narastania określa szybkość
działania układu regulacji.
 przeregulowanie Mp - jest to stosunek maksymalnego przeregulowania
odpowiedzi skokowej do wartości stanu ustalonego yu. Przeregulowanie
odpowiedzi skokowej jest miarą stabilności układu zamkniętego.
ymax  yu
Mp 
100%
yu
Teoria Sterowania
e(t)= w(t)- y(t)
Rys. Przebieg
oscylacyjnego i
aperiodycznego
przebiegu uchybu
regulacji przy
skokowym wymuszeniu
w
eu
0
t
Podane wymagania są wzajemnie przeciwstawne, np. zwiększenie
szybkości regulacji pogarsza stabilność układu.
Przy projektowaniu regulacji podaje się zwykle ich maksymalne
dopuszczalne wartości lub przedziały wartości.
Teoria Sterowania
e(t)
ep1
e
0
ep2
Rys. Przebieg uchybu
regulacji przy skokowej
zmianie zakłócenia
(wymuszenie w(t)=0)
t
tr
Jeżeli rozpatrywany jest przebieg uchybu regulacji (np. w odpowiedzi na
skokowe zakłócenie) lub odpowiedź swobodna układu), to jako wskaźnik
analogiczny do Mp stosuje się współczynnik zanikania  tj. iloraz wartości
bezwzględnych amplitud dwóch sąsiednich przeregulowań:

ep2
e p1
100 %
Dla przebiegów aperiodycznych Mp==0.
Teoria Sterowania
Jeżeli układ zamknięty (nawet jeśli jest to układ wyższego rzędu) ma 2
bieguny dominujące, to można go aproksymować transmitancją członu II
rzędu:
2
n
G( s)  2
s  2n s  2n
Analizując wzór na charakterystykę skokową tego członu można podać
zależności między parametrami transmitancji a wskaźnikami jakości:
1.4 dla   0.3
4.6 dla e  1%
 ln  


tr 
 , gdzie   
, tn  , gdzie   1.8 dla   0.5 ,


n
3.5 dla e  3%
2.1 dla   0.7

 
M p  exp 
 d
gdzie: =n ,
d  n 1   2

 100%

Peak time: tmax=/d
5% dla   0.7

Często spotykane wartości przybliżone: M p  15% dla   0.5
35% dla   0.3

Teoria Sterowania
Im s
Im s
jd
n
arcsin 

-jd
Re s
Re s
obszar
zakazany
Rys. Obszar zakazany dla biegunów układu zamkniętego przy minimalnych
dopuszczalnych wartościach wskaźników (, n, )
i związanych z nimi (tr, tn, Mp).
Teoria Sterowania
Całkowe kryteria jakości regulacji
Optymalizacja układu regulacji ma za zadanie uzyskanie możliwie krótkiego
czasu regulacji i jak najmniejszego przeregulowania. Wymagania te są
sprzeczne ze sobą i dlatego konieczny jest kompromis. Kompromis taki
zapewniają kryteria całkowe, mające charakter kryteriów globalnych,
oceniających cały przebieg sygnału błędu ep(t). Polegają one na żądaniu
minimalizacji jednego z całkowych wskaźników jakości:

 kryterium ISE (Integral Squared Error):
I ISE   e 2p (t ) dt
0
Zastosowanie kryterium ISE do układu II rzędu daje tłumienie =0.5 i
przeregulowanie Mp=16%.

 kryterium IAE (Integral of Absolute Error):
I IAE   | e p (t ) | dt
0
Zastosowanie kryterium IAE do układu II rzędu daje tłumienie =1
(Mp=0%).
Teoria Sterowania

 kryterium ITAE (Integral of Time by Absolute Error):
I ITAE   t | e p (t ) | dt
0
Zastosowanie kryterium ITAE do układu II rzędu daje tłumienie =1/2=0.707
i przeregulowanie Mp=4%. Mnożenie przez czas t odpowiada nadawaniu
wagi wartości bezwzględnej błędu. Kryterium ITAE znajduje szerokie
zastosowanie w technice, ponieważ prowadzi do kompromisu: niewielkie
przeregulowanie przy stosunkowo krótkim czasie regulacji.
Jeżeli układ zamknięty jest opisany transmitancją n-tego rzędu postaci:
Gz ( s) 
b0
Y ( s)

X ( s) M n ( s)
to optymalne w sensie ITAE wielomiany mianownika są następujące:
M1 (s)  s  0
M 2 ( s)  s 2  1.410 s  02
M 3 ( s)  s 3  1.750 s 2  2.102 s  03
M 4 ( s)  s 4  2.10 s3  3.402 s 2  2.703 s  04
gdzie 0 oznacza częstotliwość drgań własnych układu i określa jego zadane
pasmo przenoszenia.
Teoria Sterowania
ep(t), |ep(t)|
ep(0)
t
0
Minimalizacja wskaźników całkowych (tzw. funkcji kosztu) stanowi podstawę
sterowania optymalnego.
Często stosowany jest wskaźnik zawierający kombinację energii uchybu i
wielkości sterującej ( – waga):

J   [e 2 (t )   u 2 (t )] dt
0
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Wskaźniki odnoszące się do charakterystyki częstotliwościowej
w
Lm()
dB
B
| Go |
0
-3
_
Mr
| Gz |
Go ( s)

c
Rys. Typowy przebieg charakterystyki amplitudowej układu otwartego Go i
układu zamkniętego Gz=Go/(1+Go)
y
Teoria Sterowania
| Go |

1
c
niskie częstotliwości
średnie częstotliwości
wysokie częstotliwości
dokładnośc statyczna
układu zamkniętego
stabilność układu
zamkniętego
tłumienie zakłóceń
Rys. Typowy przebieg charakterystyki amplitudowej układu otwartego z
podziałem na zakresy częstotliwości. Wartość c decyduje o paśmie
przenoszenia (czyli szybkości działania) układu zamkniętego.
Teoria Sterowania
Parametry charakterystyk częstotliwościowych
Na charakterystyce układu zamkniętego
3 – pasmo przenoszenia – zakres pulsacji 0  ω  ωB, w którym:
20log|Gz(j)|  -3 dB
4 - pulsacja rezonansowa ωr , pik rezonansowy Mr – pulsacja r , dla której
|Gz(j)| osiąga wartość maksymalną równą Mr
Wzmocnienie układu zamkniętego w paśmie przenoszenia powinno być
równe jedności, bo zapewnia to zerowy uchyb ustalony.
Szersze pasmo przenoszenia implikuje większą szybkość działania układu
zamkniętego.
Teoria Sterowania
Na charakterystyce układu otwartego:
1 - pulsacja odcięcia (graniczna modułu) ωc:
Go  jc   1 lub 20log Go  jc   0 dB
2 - pulsacja graniczna fazy ω:
    arg Go  j   180o
3 - zapas modułu ZM – odchylenie charakterystyki amplitudowej układu
otwartego poniżej 0 dB dla pulsacji granicznej fazy ω.
4 - zapas fazy Δφ (ZF) – odchylenie charakterystyki fazowej powyżej
-180o dla pulsacji granicznej modułu ωc:
Δφ=180o+φ(ωc).
Parametry 3 i 4 opisują tzw. zapas stabilności układu zamkniętego
utworzonego po objęciu Go ujemnym sprzężeniem zwrotnym.
Wartość pulsacji odcięcia decyduje o paśmie przenoszenia układu
zamkniętego: cB.
Teoria Sterowania
ωc
0
ω
zapas modułu ZM
|Go(ω)|
dB
ω
0
φ(ω)
ω
zapas fazy ZF
-180
Rys. Zapas modułu i zapas fazy na logarytmicznych charakterystykach
Bodego układu otwartego
Teoria Sterowania
ImGo(j)
ZM
1/ZM’
1
-1
Go(j)
(j)=-
Go(jc)
|Go(jc)|=1
Rys. Zapas modułu i zapas fazy
na wykresie Nyquista.
Alternatywne określenia zakresu
ZM: 0ZM1, 1ZM’

ReGo(j)
(c)
Typowe zadanie projektowe: skonstruować charakterystykę regulatora, która
po złożeniu z charakterystyką obiektu da charakterystykę układu otwartego o
pożądanym przebiegu (ze względu na pasmo przenoszenia, zapas
stabilności, wzmocnienie w zakresie niskich częstotliwości).
Teoria Sterowania
Kryterium Michajłowa (pomocnicze)
Badamy stabilność układu opisanego transmitancją:
L j 
G  j  
M  j 
Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności asymptotycznej
układu liniowego o wielomianie M(j) n-tego stopnia jest to, aby przy
zmianie pulsacji ω od 0 do ∞ zmiana argumentu (kąta fazowego) M(jω)
była równa
 arg M  j   n
0 

2
Oznacza to, że wszystkie pierwiastki M(j) leżą w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s. Jeżeli l pierwiastków leży w prawej półpłaszczyźnie, to:
 arg M  j   n  2l 
0 

2
Krzywa Michajłowa M(j)=P()+jQ() jest odwzorowaniem osi j
płaszczyzny pierwiastków s. Przy zmianie  od 0 do ∞ przechodzi przez
kolejne ćwiartki układu. W przypadku układu stabilnego zawsze
pozostawia początek układu z lewej strony.
Teoria Sterowania
M  j   an ( j  s1 )( j  s2 )
Im s
arg M  j   arg( j  s1 )  arg( j  s2 ) 
js1
s1
js3
j
js2
 arg( j  sn )
Re s
s3
0
s2
jQ()
M(j)
n=3, układ
stabilny
=0
P()
a0

( j  sn )
Przy zmianie  od 0 do ∞ wektor (j-sk)
obraca się o /2 dla pierwiastka
rzeczywistego w lewej półpłaszczyźnie
lub o -/2 dla pierwiastka rzeczywistego
w prawej półpłaszczyźnie. Dla pary
pierwiastków zespolonych sprzężonych
w lewej lub prawej półpłaszczyźnie obrót
ten wynosi odpowiednio  lub –.
Przy zmianie pulsacji w zakresie
 odpowiedni kąt obrotu jest 2
razy większy.
n=3, układ niestabilny, l=2
Teoria Sterowania
Bieguny leżące na osi urojonej traktuje się tak jak stabilne wprowadzając
obejście po półokręgu o nieskończenie małym promieniu w prawej
półpłaszczyźnie. Dla pierwiastka s=0 otrzymujemy wtedy obrót wektora
(j-s0) o /2 przy zmianie  od 0 do ∞. Dla pary pierwiastków zespolonych
na osi urojonej wkład do zmiany argM(j) wynosi .
Im s
j
js
Re s
s=0
Teoria Sterowania
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista umożliwia badanie stabilności układu zamkniętego
na podstawie charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego.
Kryterium to ma duże znaczenie praktyczne, bo wyznaczenie
charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego jest możliwe
zarówno w sposób doświadczalny jak i analityczny.
W(s)
E(s)
∑
Gr(s)
Gp(s)
Y(s)
_
Gz(s)
Transmitancja układu otwartego:
Lo ( s)
Go  s   Gr  s  G p  s  
M o ( s)
Równanie n-tego stopnia Mo(s)=0 jest równaniem charakterystycznym
układu otwartego (stMo=n, stLo=m, n≤m – warunek realizowalności).
Teoria Sterowania
Transmitancja układu zamkniętego:
Go  s 
Lo  s 
Gz  s  

1  Go  s  M o  s   Lo  s 
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego
jest również równaniem stopnia n.
M (s)  L0 (s)  M 0 (s)  0
Dla s=j otrzymujemy transmitancję widmową (charakterystykę amplitudowofazową):
Go ( j )  P( )  jQ( )
Ponieważ P(-)=P() a Q(-)=-Q(), więc gałąź krzywej Go(j) dla
0<<+ jest symetryczna względem osi rzeczywistej P() w stosunku do
gałęzi dla -<<0. Biorąc to pod uwagę wystarczy analizować tylko
dodatni zakres pulsacji.
Rozważymy dwa przypadki zastosowania kryterium Nyquista:
1) gdy układ otwarty jest stabilny; ten przypadek ma największe znaczenie,
bo stabilność układu otwartego można stwierdzić (np. doświadczalnie),
2) gdy układ otwarty jest niestabilny.
Teoria Sterowania
Przypadek 1
Układ otwarty jest stabilny, a więc jego równanie charakterystyczne ma
wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny pierwiastków.
Zgodnie z kryterium Michajłowa:

 arg M 0  j   n .
2
0  
Aby układ zamknięty był stabilny musi zachodzić zależność:
 arg M  j   n
0 

2
Zmiana argumentu (kąta fazowego) funkcji
M  j 
1  Go  j  
M 0  j 
jest równa różnicy zmian argumentu licznika i mianownika:
 arg 1  Go  j    arg M  j    arg M 0  j 
0 
0 
0 
Teoria Sterowania
Warunek stabilności układu zamkniętego można zatem zapisać następująco:
 arg 1  Go  j   0
0 
Kryterium Nyquista bada zmianę kąta fazowego funkcji (wektora) 1+Go(j)
mianownika układu zamkniętego na podstawie przebiegu Go(j).
Wniosek:
Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to zamknięty układ regulacji jest
również stabilny, jeżeli dla pulsacji ω zmieniającej się od 0 do +∞
charakterystyka amplitudowo-fazowa Go(jω) układu otwartego nie
obejmuje punktu (-1,j0).
Sformułowanie równoważne: Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli kąt
obrotu wektora 1+Go(j) przy zmianie pulsacji -∞<<+∞ jest równy 0.
Charakterystyki układu otwartego rozpoczynające się w ∞ (co sygnalizuje, że
w układzie otwartym są człony całkujące, czyli bieguny s=0) zamyka się (tzn.
łączy punkty dla =0+ i =0-) łukiem o nieskończenie dużym promieniu w
przebiegającym w prawej półpłaszczyźnie.
Teoria Sterowania
Q(ω)
a)
(-1, j0)
ω→∞ ω=0
Go(jω)
1+Go(jω)
c)
Q(ω)
b)
(-1,j0)
P(ω)
ω→∞ ω=0
Go(jω)
P(ω)
1+Go(jω)
Q(ω)
(-1,j0)
ω→∞ ω=0
Go(jω)
Rys. Ilustracja kryterium Nyquista.
Charakterystyki amplitudowo-fazowe
P(ω) stabilnego układu otwartego.
Układ zamknięty jest:
a), c) stabilny, b) niestabilny
Teoria Sterowania
Lm(ω)
Lm(ω)
ωc
ωc
ω
ω
φ(ω)
φ(ω)
0o
ω
ω
-180o
-180o
-270o
-270o
Rys. Charakterystyki Bodego dla przypadków b) i c) z poprzedniego
rysunku
Teoria Sterowania
Przypadek 2
Założenie:
układ
otwarty
jest
niestabilny,
jego
równanie
charakterystyczne zawiera m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie, a
pozostałe (n-m) w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Zgodnie z kryterium Michjałowa zmiana argumentu równania
charakterystycznego wynosi

 arg M o  j   n  2m  .
2
0  
Układ zamknięty będzie stabilny, jeśli zmiana argumentu równania
charakterystycznego M(jω) będzie równa:

 arg M  j   n .
2
0  
Teoria Sterowania
Warunek stabilności na podstawie zależności
 arg 1  Go  j    arg M  j    arg M 0  j  .
0 
0 
0 
można zapisać następująco:


m
 arg 1  K  j   n  n  2m   2 .
2
2 2
0 
Wniosek:
Jeżeli układ otwarty regulacji automatycznej jest niestabilny, a jego
równanie charakterystyczne ma m pierwiastków w prawej
półpłaszczyźnie płaszczyzny pierwiastków, to będzie on stabilny po
zamknięciu, jeśli charakterystyka amplitudowo-fazowa Go(jω) układu
otwartego dla pulsacji ω zmieniającej się -∞ do +∞ okrąży m razy
punkt (-1, j0) w kierunku dodatnim.
Przypadek ten ma małe znaczenie praktyczne, bo wymaga wiedzy o
liczbie niestabilnych biegunów układu otwartego.
Teoria Sterowania
Przykłady wykorzystania kryterium Nyquista
Będziemy analizować stabilność układu zamkniętego pokazanego na
rysunku dla Gr(s)=K (regulator proprocjonalny) i kilku różnych transmitancji
przykładowych Gp(s) obiektu regulacji w funkcji parametru K.
W(s)
E(s)
∑
Gr(s)
Gp(s)
Y(s)
_
Gz(s)
Go  s   Gr  s  Gp  s   KGp  s 
Przypomnienie: Szeregowe włączenie członu K powoduje, że:
- każdy punkt charakterystyki amplitudowo-fazowej Nyquista zmienia
odległość od początku układu K razy (skalowanie charakterystyki),
- logarytmiczna charakterystyka amplitudowa Bodego przesuwa się w pionie
o 20logK, a charakterystyka fazowa nie zmienia się.
Teoria Sterowania
ImG(jω)
Przykład 1
G p ( s) 
1
,
s( s  p)
ω=0-
p0
  
 
-1
K2
ReG(jω)
K1
ω=0+
Układ zamknięty jest strukturalnie stabilny, tzn. stabilny niezależnie od
zmian parametrów. Układ otwarty zawiera jeden człon całkujący.
Charakterystyki rozpoczynające się w ∞ zamyka się łukiem o nieskończenie
dużym promieniu w prawej półpłaszczyźnie.
Teoria Sterowania
Przykład 2
ImG(jω)
1
G p ( s) 
( s  p1 )( s  p2 )
p1 , p2  0
-1
  
ω  0
 
ω  0
K1
ReG(jω)
K2
Układ zamknięty jest strukturalnie stabilny. Układ otwarty nie zawiera
członów całkujących.
Teoria Sterowania
Przykład 3
ω=0-
ImG(jω)
1
G p (s) 
s( s  p1 )( s  p2 )

ReG(jω)
-1
K2
K1
ω=0+
Układ zamknięty jest niestabilny dla dużych K. Wartość Kkr, dla której
charakterystyka układu otwartego przechodzi przez punkt -1 nazywa się
krytycznym współczynnikiem wzmocnienia.
Teoria Sterowania
Przykład 4
1
G p ( s)  2
s ( s  p)
ImG(jω)
ω=0+

-1
  
ReG(jω)
ω=0-
Układ zamknięty jest strukturalnie niestabilny, tzn. niestabilny niezależnie
od wartości parametrów. Układ otwarty zawiera dwa człony całkujące.
Teoria Sterowania
Przykład 5
ImG(jω)
s  z

G p (s) 
2
s  p
2
K2
K1
z, p  0
-1
  
ω=0+

ω=0-
ReG(jω)
Układ otwarty niestabilny (m=2 bieguny w prawej półpłaszczyźnie).
Układ zamknięty stabilny dla dużych K (kiedy charakterystyka obejmuje
punkt -1 i okrąża go 2 razy w kierunku dodatnim).
Teoria Sterowania
Przykład 6: Zbadać, dla jakich K stabilny jest układ zamknięty z obiektem:
1
G p ( s) 
( s  1)3
K 1
1

8
Rozwiązanie:
K
(1  j )3
Go ( j ) 
K 2
3
( j  1)
(  1)3
-1
ImG(jω)
 
 ( )  
ReG(jω)
ω  0
1  3 2
 ( 2  3)
Po ( )  K 2
, Qo ( )  K
3
(  1)
( 2  1)3
Qo ( )  0    3  Po ( )  
K
8
Charakterystyka układu otwartego przechodzi przez punkt (-1,j0) dla K=8 i
obejmuje go dla K>8. Układ zamknięty jest niestabilny dla K>8.
Pytanie: Dla jakiego K zapas fazy ZF=45 i ile jest wtedy równe c?
Wskazówka: Musi być spełniony warunek:
2
| Po (c ) || Qo (c ) |
2
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Algebraiczne kryteria stabilności układów liniowych ciągłych
Kryteria algebraiczne to twierdzenia umożliwiające zbadanie położenia
pierwiastków równania charakterystycznego na płaszczyźnie zespolonej
na podstawie współczynników transmitancji (lub równań stanu).
Wadą takiego podejścia jest konieczność znajomości postaci
transmitancji i wartości jej współczynników.
Kryterium Hurwitza
Tw. Hurwitza (1895): Równanie z zespolonym argumentem s
ansn + an-1sn-1+ …+ a1s + a0 = 0
o współczynnikach rzeczywistych ma wszystkie pierwiastki o ujemnych
częściach rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy:
1) Wszystkie współczynniki ai>0, i=0,1,2,…,n (warunek konieczny)
2) Dodatnie są wszystkie podwyznaczniki Δ1, Δ2, …, Δn-1, Δn macierzy
Hurwitza (warunek konieczny i wystarczający).
Teoria Sterowania
Δn
Zasady budowy
podwyznaczników w
kryterium Hurwitza
Δn-1
Δ3
Δ2
Δ1
Δ3
Δn
Δ2
Δ1
an-1 an
0
0
0
0
0
0
an-3 an-2 an-1 an
0
0
0
0
an-5 an-4 an-3 an-2 an-1 an
0
0
Δn-1
0
0
0
a0
a1
a2
a3
a4
0
0
0
0
0
a0
a1
a2
0
0
0
0
0
0
0
a0
Teoria Sterowania
Aby stwierdzić na podstawie kryterium Hurwitza stabilność układu
rzędu n należy:
a) sprawdzić czy współczynniki ai równania charakterystycznego układu
są większe od zera dla i=0, 1, 2, 3 ,…, n,
b) zbudować ciąg podwyznaczników Δ1, Δ2,…, Δn-1 i sprawdzić czy są one
większe od zera. (Uwaga: Ponieważ Δn=a0Δn-1, więc spełnienie
warunków a0>0 i Δn-1>0 implikuje Δn>0 i nie trzeba tego już
sprawdzać.)
Jeśli przyrówna się do zera wyznacznik główny lub któryś z
podwyznaczników Δi, to otrzymuje się warunki, jaki winien spełniać układ
znajdujący się na granicy stabilności (w równaniu charakterystycznym
występują wtedy pierwiastki urojone (o zerowej części rzeczywistej) i/lub
pierwiastek zerowy).
Teoria Sterowania
Przykład
Dany jest układ regulacji przedstawiony na rysunku. Zbadać stabilność
układu, jeśli transmitancje G1(s) i G2(s) mają postać:
1
G1 ( s) 
,
1  T1s 1  T2 s 1  T3s 
W(s)
+
∑
G2  s   k
G1(s)
Y(s)
_
G2(s)
Rozwiązanie: Transmitancja układu zamkniętego:
1
G1  s 
1  T1s 1  T2 s 1  T3s  
1
Gz ( s) 

k
1  G1  s  G2  s 
 1 1  T1s 1  T2 s 1  T3 s   k
1  T1s 1  T2 s 1  T3s 
Teoria Sterowania
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego otrzymujemy przyrównując
do zera mianownik Gz(s)
M(s) = (1+T1s)(1+T2s)(1+T3s)+k = 0
Po wymnożeniu:
3
2
TT
T
s

TT

TT

T
T
s
 T1  T2  T3  s  (k  1)  0


1 2 3
1 2
1 3
2 3
Jest to równanie typu:
a3 s 3  a2 s 2  a1s  a0  0,
gdzie:
a0 = k+1, a1 = T1 + T2 + T3, a2 = T1T2 + T1T3 + T2T3, a3 = T1T2T3.
Jak widać a1,a2,a3 >0 i musi być a0=k+1>0 (zwykle z góry przyjmuje się k>0,
bo tylko wtedy mamy ujemne sprzężenie zwrotne).
Teoria Sterowania
Warunek konieczny i wystarczający stabilności Hurwitza ma postać
a2
2 
a0
a3
 0, czyli
a1
 a1a2  a0 a3   0
Po podstawieniu parametrów transmitancji:
(T1 + T2 + T3)( T1T2 + T1T3 + T2T3) - (1+k)(T1T2T3) > 0
Otrzymujemy stąd warunek stabilności układu zamkniętego:
1 1 1
k  T1  T2  T3       1
 T1 T2 T3 
Jeśli np. T1=1, T2=0.5, T3 =0.1, to k < 19.8 ale musi być a0= k+1>0 więc
ostatecznie -1< k <19.8.
Teoria Sterowania
Kryterium Routha
Dla rozpatrywanego równania
ansn + an-1sn-1+ …+ a1s + a0 = 0
(*)
konstruuje się tzw. tablicę Routha postaci:
k=1
sn :
sn-1 :
sn-2 :
sn-3 :
…
s1 :
s0 :
an an-2 an-4 … 0
an-1 an-3 an-5 … 0
c1
c2
c3
…
c4
c5
c6
…
 an an  2 
 det 

a
a
n 3 
 n 1
c1 
an 1
 an an  4 
 det 

a
a
n 5 
 n 1
c2 
an 1
 an 1 an 3 
 det 

c
c
 1
2 
c4 
c1
 an 1 an 5 
 det 

c
c
3 
 1
c5 
c1
Ogólna zasada (w - wiersz, k - kolumna):
cw,k
cw2,1 cw2,k 1 
 det 

c
c
w1,1
w1, k 1 


cw1,1
Teoria Sterowania
Tw. Routha (1877):
Jeżeli wszystkie współczynniki ai>0, i=0,2,…n (warunek konieczny), to:
1) Wszystkie pierwiastki równania (*) mają ujemne części rzeczywiste wtedy
i tylko wtedy gdy wszystkie wyrazy lewej (pierwszej) kolumny tablicy
Routha są dodatnie.
2) Jeżeli w lewej kolumnie występują zmiany znaku wyrazów, to liczba tych
zmian znaku jest równa liczbie pierwiastków o dodatnich częściach
rzeczywistych.
Uwaga: Jeżeli w lewej kolumnie występuje zero (oznacza to pierwiastki
urojone), to zastępujemy je przez >0.
Zaletą kryterium Routha jest możliwość określenia liczby pierwiastków o
dodatnich częściach rzeczywistych. Wadą jest trudność interpretowania
przypadków szczególnych (np. cały wiersz o wyrazach zerowych).
Teoria Sterowania
Przykład 1: 2s4 + s3 + 3s2 + 5s + 10 = 0
Równanie ma 2 pierwiastki w prawej
półpłaszczyźnie i reprezentuje układ
niestabilny.
Przykład 2:
s4
+
5s3
+
7s2
+ 5s + 6 = 0
Równanie ma 2 pierwiastki na osi urojonej (bo dla
<0 byłyby dwie zmiany znaku).
s4 : 2
s3 : 1
s2 : -7
s1 : 6.43
s0 : 10
s4 : 1
s3 : 5
s2 : 6
s1 : >0
s0 : 6
3
10
5
0
10
0
0
0
0
0
7
6
5
0
6
0
0
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Metoda linii pierwiastkowych została opracowana przez W. Evansa w
1948r. Technika ta umożliwia badanie wpływu zmian wartości określonego
parametru na dynamikę układu regulacji poprzez obserwowanie zmian
rozkładu biegunów transmitancji układu zamkniętego w funkcji tego
parametru.
Weźmy pod uwagę układy przedstawione na schematach blokowych.
Transmitancja układu zamkniętego ma postać:
Y s
KG  s 
Gz  s  

W  s  1  KG  s 
w(t)
∑
_
K
L  s  y(t)
G s 
M s
Y s
G s
Gz  s  

W  s  1  KG  s 
w(t)
∑
_
L  s  y(t)
G s 
M s
K
Rys. Podstawowe schematy blokowe układu regulacji. Bieguny układu
zamkniętego są w obu przypadkach takie same. Element K należy traktować jako
wydzielony w sposób umowny współczynnik wzmocnienia układu otwartego.
Teoria Sterowania
Metoda zastosowana w odniesieniu do współczynnika wzmocnienia
układu otwartego K jest najczęściej rozpatrywanym przypadkiem, ale jest
to technika ogólna i można ją stosować do badania wpływu zmian
dowolnego innego parametru.
Bieguny układu zamkniętego określa równanie charakterystyczne:
1  KG  s   0  M  s   KL  s   0
(*)
Linie pierwiastkowe (ang. root-locus) to parametryczny wykres
miejsc geometrycznych (zmian położeń) biegunów układu
zamkniętego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s w funkcji
parametru. Równanie (*) jest równaniem linii pierwiastkowych
względem parametru K.
Określenie zmian położenia pierwiastków równania charakterystycznego
układu zamkniętego przy zmianie K (teoretyczne od zera do
nieskończoności), umożliwia badanie zmian dynamiki układu regulacji i
pomaga w wyborze właściwych wartości parametrów regulatora.
Teoria Sterowania
Transmitancję układu (otwartego)
L  s  s m  bm1s m1   b0
G s 
 n
M  s  s  an 1s n 1   a0
gdzie n ≥ m można po rozłożeniu na czynniki wielomianów licznika i
mianownika zapisać w postaci:
m
L  s     s  zi 
i 1
n
M  s     s  pk 
k 1
Pierwiastki zi są zerami, a pk biegunami układu. Każdy z czynników można
przedstawić jako wektor łączący punkt zi lub pk z bieżącym punktem s na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Moduły tych wektorów są równe |s - zi|
oraz |s - pk|, natomiast fazy odpowiednio ψi(s) oraz φk(s).
Teoria Sterowania
Im(s)
2=0 |s-p2|
|s-z1|
s
|s-p3|
3
1
|s-p1|
Re(s)
1
Rys. Wektory łączące bieguny i zera układu otwartego z punktem s
Teoria Sterowania
Transmitancja G(s) zapisana w formie moduł-faza ma postać:
G( s )  G e
j  s 
gdzie moduł i faza są odpowiednio równe:
m
G s  
 sz
i 1
n

k 1
i
m
n
i 1
k 1
 s    i s     k s 
s  pk
Z równania linii pierwiastkowych:
1
1  KG ( s)  0  G ( s)  
K
wynika, że linie pierwiastkowe tworzą punkty, które spełniają warunek
modułu:
1
G s 
oraz warunek fazy dla K>0:
.
K
  s   180  l  360,
l  0,1, 2,...
Teoria Sterowania
Dla K<0 warunek fazy zmienia się (bo -1/K jest dodatnie):
  s   0  l  360.
Zatem dla K>0 równania linii pierwiastkowych można zapisać w formie:
m
 sz
i 1
n

k 1
i
s  pk
m
n
  s     s   180
1

K
i 1
i
k 1
k
 l  360
W przypadku występowania w układzie opóźnienia transportowego e-s
wystarczy zmodyfikować wzór na fazę:
m
n
i 1
k 1
  s    i  s    k  s    s
Teoria Sterowania
Zera układu otwartego są także zerami układu zamkniętego, co widać po
przekształceniu transmitancji układu zamkniętego do postaci:
KL  s 
Lz ( s)
Gz  s  

KL  s   M  s  M z ( s )
Reguły wykreślania linii pierwiastkowych
Z równań linii pierwiastkowych (warunków modułu i fazy) wynikają
następujące reguły ich wykreślania dla 0≤K<:
1) Zaznacza się bieguny i zera układu otwartego G(s). Linie zaczynają się w
biegunach G, a kończą w zerach G. Jeżeli n>m, to n-m linii oddala się do
nieskończoności. Wykres linii pierwiastkowych jest symetryczny
względem osi rzeczywistej.
2) Zaznacza się części linii leżące na osi rzeczywistej: są to te części osi, na
prawo od których leży nieparzysta liczba rzeczywistych biegunów i zer G
razem.
Teoria Sterowania
3) W razie potrzeby wykreśla się n-m asymptot, wzdłuż których linie oddalają
się do nieskończoności przy wzroście K. Asymptoty te są ramionami
symetrycznej gwiazdy, której środek leży na osi rzeczywistej w punkcie:
sa


n
k 1
pk   i 1 zi
m
nm
a kąty nachylenia asymptot względem osi rzeczywistej są równe:
180  l  360
l 
, l  0,1,..., (n  m  1)
nm
4) Oblicza się kąty (względem osi rzeczywistej), pod którymi linie wychodzą z
biegunów zespolonych G (o ile takie istnieją). Linia wychodzi z bieguna pn
pod kątem (sumuje się wkłady fazowe od pozostałych n-1 biegunów):
m
n 1
i 1
k 1
n   i  pn    k  pn   180
Analogicznie kąt dojścia do zespolonego zera zm:
m 1
n
i 1
k 1
 m   i  zm    k  zm   180
Teoria Sterowania
5) Wyznacza się krytyczną wartość Kkr, przy której linie pierwiastkowe
przecinają oś urojoną, przyrównując do zera mianownik transmitancji
widmowej układu zamkniętego Gz(j):
Re M z  j   0
M z  j   M  j   KL  j   0  
Im M z  j   0
Z układu równań wyznacza się niewiadome (Kkr,kr). Pulsacja kr jest
pulsacją drgań nietłumionych na granicy stabilności układu zamkniętego.
6) Określa się punkty, w których równanie linii ma pierwiastki wielokrotne na
osi rzeczywistej z równania:
d 
1 
dM ( s)
dL( s)
 M ( s)
0

  0  L( s )
ds  G( s) 
ds
ds
W punktach tych linie przecinają się ze sobą, tzn. dochodzą lub odchodzą od
osi. Kąty dojścia/wyjścia wyznacza się jak poprzednio z warunku fazy.
Teoria Sterowania
Przykład 1:
1
Go ( s)  K
( s  p1 )( s  p2 )
1
Go ( s)  K
( s  p) 2
Im(s)
Im(s)
Kkr
-p1
Re(s)
Re(s)
-p2
-p
0
Układ zamknięty stabilny dla tych K, dla których linie pierwiastkowe wejdą
do lewej półpłaszczyzny. Kiedy linie opuszczają oś rzeczywistą w układzie
zamkniętym pojawiają się przebiegi oscylacyjne
Teoria Sterowania
Przykład 2:
1
Go ( s)  K
( s  p1 )( s  p2 )( s  p3 )
1
Go ( s)  K 2
s ( s  p)
Im(s)
Kkr
Im(s)
s=jkr
Re(s)
Re(s)
-p1 -p2
-p3 0
-p
0
Układ zamknięty traci stabilność przy zwiększaniu K, kiedy linie przejdą do
prawej półpłaszczyzny.
Teoria Sterowania
Przykład 3:
1
Go ( s)  K
,
( s  p1 )( s  p2 )( s  p3 )
p1 , p2 zespolone sprzężone
Im(s)
Kkr
-p1
s=jkr
Re(s)
-p3
-p2
0
Teoria Sterowania
Przykład 4:
sz
Go ( s)  K
( s  p1 )( s  p2 )
Im(s)
Re(s)
-z
-p1
-p2
0
Teoria Sterowania
Przykład 5:
( s  z )2
Go ( s)  K
, z, p  0
2
( s  p)
Im(s)
Kkr
-z
p
Re(s)
Układ zamknięty jest niestabilny dla małych K i staje się stabilny dla dużych K
kiedy linie przejdą do lewej półpłaszczyzny.
Teoria Sterowania
Linie pierwiastkowe w funkcji dowolnego parametru
Metoda linii pierwiastkowych może być wykorzystana do badania
dynamiki układu zamkniętego w funkcji dowolnego parametru . W tym
celu mianownik transmitancji układu zamkniętego należy przedstawić w
postaci:
M z (s)   L (s)  M  (s)
a następnie wykreślić i interpretować linie tak samo jak w funkcji
współczynnika K, ale dla wirtualnej transmitancji:
L ( s )
G ( s ) 
M  (s)
Teoria Sterowania
Przykład: Dla transmitancji układu zamkniętego
1
Gz ( s)  2
s  2 s  1
mamy L(s)=2s i M(s)=s2+1, więc linie względem  przebiegają tak samo
jak względem K dla transmitancji:
2s
G ( s)  2
s 1
Im(s)
j
Re(s)
0
-j
Teoria Sterowania
Kasowanie biegunów
Typową metodą usuwania w układzie regulacji niepożądanej dynamiki
obiektu jest tzw. kasowanie biegunów obiektu odpowiedzialnych za tę
niepożądaną dynamikę przez szeregowe włączenie transmitancji
regulatora z zerami równymi (lub bliskimi) kasowanym biegunom.
Przykład: Niepełne kasowanie większej stałej czasowej T=1.
1) Obiekt bez korektora
1
G1 ( s) 
( s  1)( s  5)
1
1
G1 ( s)  0.25
 0.25
s 1
s5
g1 (t )  0.25et  0.25e5t , t  0
2) Obiekt z korektorem
s  1.1
1
G2 ( s) 

1.1 ( s  1)( s  5)
1 
1
1  (pierwszy ułamek ma
G2 ( s) 
0.025
 0.975

1.1 
s 1
s  5  współczynnik 10x mniejszy)
Teoria Sterowania
Związek położenia biegunów z charakterystykami czasowymi
Rozmieszczenie zer i biegunów transmitancji G(s) układu określa
charakter przebiegów przejściowych na wyjściu przy zadanym
wymuszeniu.
Jeżeli biegun rzeczywisty znajduje się w punkcie σk, to w odpowiedzi
występuje składnik
Cexp(σkt). Parze biegunów zespolonych
sprzężonych σi ± jωi odpowiada składnik exp(σit)(Asinωit+Bcosωit) (A,B,C
– stałe zależne od warunków początkowych).
Im dalej na lewo od osi urojonej znajduje się biegun (para biegunów), tym
szybciej zanika związany z nimi składnik odpowiedzi. Decydujący wpływ
na przebiegi przejściowe mają bieguny położone blisko osi urojonej i
dlatego nazywa się je dominującymi.
Jeżeli odpowiedź skokowa układu ma charakter oscylacyjny, to często
można z wystarczającą dokładnością aproksymować taki układ
transmitancją drugiego rzędu:
1
G ( s) 
2
 s 
s

2

1
 
n
 n 
Teoria Sterowania
większa częstotliwości drgań 
Im s
większa szybkość zanikania 
Re s
Mapa przebiegów przejściowych związanych z położeniem biegunów układu
na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Dla ujemnych części rzeczywistych stosuje się oznaczenie ||
Teoria Sterowania
Im(s)
  arcsin 
Rys. Współrzędne biegunowe
i kartezjańskie określające
położenie pary biegunów na
płaszczyźnie zmiennej s
  n ,
ωn
Re(s)
ωd
σ
d  n 1   2
Teoria Sterowania
y(t)
Im(s)
n
Re(s)
1
=0
0
=0.1
=1
=5
0
G( s) 
1
2


 s
  s 
s
 1    2
 1

n 
 n   n 

Rys. Wpływ
dodatkowego
bieguna p=-n/
na przebieg
odpowiedzi
skokowej układu o
t transmitancji G(s)
(=0.5, n=1):
spowolnienie i
zmniejszenie
przeregulowania
Teoria Sterowania
y(t)
Im(s)
n
Re(s)
0
=5
=1
1
=0.1
=0
0

G ( s) 
2
s
n
1
 s 
s
1
   2
n
 n 
Rys. Wpływ
dodatkowego zera
z=-n/ na przebieg
odpowiedzi skokowej
układu G(s) (=0.5,
n=1): przyspieszenie i
t zwiększenie
przeregulowania
Teoria Sterowania
Na właściwości dynamiczne układu zamkniętego o danej strukturze
można oddziaływać na dwa sposoby:
a) przez dobór współczynnika wzmocnienia K, od którego – przy danej
konfiguracji zer i biegunów układu otwartego i określonym kształcie
linii pierwiastkowych – zależy położenie biegunów układu zamkniętego
na tych liniach;
b) przez zmianę innych parametrów układu otwartego, od których zależą
współczynniki wielomianów L(s) i M(s), a w konsekwencji
rozmieszczenie biegunów i zer układu otwartego i kształt linii
pierwiastkowych; parametry, które można zmieniać to nastawy
regulatora, ewentualnie niektóre parametry obiektu.
Typowe zadanie projektowe: dobrać strukturę i parametry regulatora w
taki sposób, aby bieguny (i zera) układu zamkniętego znajdowały się w
zadanych położeniach, określonych przez zakładaną transmitancję
układu zamkniętego Gz(s)=Lz(s)/Mz(s). (ang. pole-zero placement/
assignment).
Teoria Sterowania
Przykłady:
a) przed korekcją
Im(s)
s3
s2
p1
p2
Δ2
z1
z2
Re(s)
p3
0
Δ3
Im(s)
b) po korekcji
Re(s)
p’1
p’2 s’2
s’3 p’3
0
Rys. Efekty przesunięcia rzeczywistych biegunów układu otwartego;
K=const
Teoria Sterowania
Im(s)
po korekcji
s3 przed korekcją
s’3
p’3
p’1
p3
Δ
p1
0
p’2
s’2
p2
Re(s)
s2
Rys. Efekty przesunięcia zespolonych biegunów dominujących układu
otwartego; K=const
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Regulacja PID
Regulacja PID (ang. proportional-integral-derivative) lub jej szczególne
odmiany P, I, PI, PD, to najczęściej stosowany w praktyce algorytm regulacji
w przypadku obiektów niskich rzędów i o słabych nieliniowościach.
z(t)
regulator
w(t)
e(t)
∑
Gr(s)
u(t)
∑
obiekt
Gp(s)
y(t)
_
Równanie regulatora PID z idealną częścią różniczkującą:

1
u (t )  k p e(t ) 
Ti

de(t ) 
0 e( )d  Td dt 
t
Transmitancja PID:


U ( s)
1
GPID ( s) 
 k p 1 
 Td s 
E ( s)
 Ti s

Teoria Sterowania
Transmitancja PID składa się z trzech (równoległych) składowych:
GPID (s)  P(s)  I (s)  D(s)
P( s )  k P
kP
1
I (s)  kI , kI 
s
Ti
D(s)  kD s, kD  kPTd
- część proporcjonalna
- część całkująca
- część różniczkująca idealna
Część proporcjonalna (P) – wytwarza sygnał sterujący proporcjonalny do
uchybu regulacji. Zapewnia dość szybką regulację przy niezbyt dużej
dokładności statycznej.
Część całkująca (I) – wytwarza sygnał sterujący proporcjonalny do całki z
uchybu. Sygnał sterujący może być niezerowy nawet przy e=0. Zaletą jest
astatyzm regulacji (uchyb ustalony =0), wadą wydłużenie czasu regulacji i
pogorszenie stabliności (ujemne przesunięcie fazowe).
Część różniczkująca (D) – wytwarza sygnał sterujący proporcjonalny do
pochodnej uchybu. Przyspiesza regulację i poprawia stabilność
wprowadzając dodatnie przesunięcie fazowe (działanie forsujące).
Teoria Sterowania
Parametry regulatora PID:
kp – współczynnik wzmocnienia,
Ti – czas zdwojenia (resetu),
Td – czas wyprzedzenia.
e(t)
a)
e(t)
b)
u(t)
u(t)
PI
PD
e(t)=1(t)
2kp
tg  
kp
Ti
e(t)=t 1(t)
kp
tg=kp
kp
Ti
t
Td
Td
Rys. Graficzna interpretacja a) czasu zdwojenia Ti dla PI, b) czasu
wyprzedzenia Td dla PD
t
Teoria Sterowania
Lm(ω)
jQ 
kp
φ(ω

)
 

1
Ti
1
Td
2
0
kp
1
TiTd
P 
0


2

1
TiTd
Rys. Logarytmiczne
charakterystyki amplitudowa i
fazowa idealnego regulatora PID
 0
Rys. Charakterystyka
amplitudowo-fazowa
idealnego regulatora PID
Teoria Sterowania
Często stosuje się regulatory PI (bez części różniczkującej) lub PD (bez
części całkującej).
Działanie D stosuje się w zasadzie zawsze w kombinacji z P lub PI w celu
zapewnienia lepszego tłumienia. W praktyce nie jest możliwe uzyskanie
idealnego działania różniczkującego (nieskończonych impulsów). Poza
tym w zakresie wysokich częstotliwości wzmocnienie części D dąży do
nieskończoności, co jest niekorzystne.
Z tych powodów rozpatruje się i projektuje regulatory z tzw. rzeczywistą
częścią D (działanie różniczkujące z inercją):
D s 
Td s
Td
s 1
kd
gdzie kd=130. Dodatkowa stała czasowa powoduje płaski przebieg
charakterystyki amplitudowej w zakresie wysokich częstotliwości.
Jeżeli zastosowanie regulacji PID nie zapewnia wymaganych
właściwości układu regulacji to do układu włącza się dodatkowe człony
nazywane korektorami dynamiki.
Teoria Sterowania
Lm
kd
kp
/2
1/Ti
1/Td
kd/Ti



/2
Rys. Charakterystyki częstotliwościowe rzeczywistego regulatora PID
Teoria Sterowania
ht 
kp

h(t)
tg 
kp
Ti
t
t
Ti
Rys. Charakterystyka
skokowa idealnego
regulatora PID
Rys. Charakterystyka
skokowa rzeczywistego
regulatora PID
Teoria Sterowania
Rys. Panel przemysłowego elektronicznego cyfrowego regulatora PID.
Typowy zakres parametrów: kp=0.1100, Ti=110000s,
Td=OFF,13000s, kp=130
Teoria Sterowania
ez(t)
PD
ezu
P
PID
PI
t
0
Rys. Typowe przebiegi uchybu regulacji ez(t) w odpowiedzi na skok
zakłócenia z(t)=1(t) (w=0) dla regulacji P, PD, PI i PID.
Obiekt dwuinercyjny.
Teoria Sterowania
Kaskadowy układ regulacji
regulatory kaskady
w1(t)
∑
Gr1
_
w2(t)
obiekt
Gr2
∑
_
u(t)
Gp2
Gp1
y2(t)
y1(t)
Rys. Schemat układu regulacji kaskadowej.
Gr1 – regulator główny (nadrzędny),
Gr2 - regulator pomocniczy (podporządkowany)
y1 – główna wielkość regulowana, y2 – pomocnicza wielkość regulowana
Teoria Sterowania
Zgrubny dobór nastaw regulatorów PID
1) Identyfikacja na podstawie odpowiedzi skokowej
Jest to metoda stosowana w przypadku obiektów o aperiodycznei
odpowiedzi skokowej. Na podstawie tej odpowiedzi określa się parametry
modelu zastępczego obiektu:
 s
ke
G s 
Ts  1
k
h(t)
Rys. Odpowiedź skokowa
obiektu (np. członu
inercyjnego wysokiego
rzędu)
T
τ
t
Teoria Sterowania
Kryterium
jakości
regulacji
=0%
trmin
=20%
trmin
Typ
regulatora
Optymalne nastawy regulatorów
Wartości spodziewane
kpk
Ti
Td
tr
eu/k
P
0.3T/
-
-
4.5
/(+0.3T)
PI
0.6T/
0.8+0.5T
-
8
0
PID
0.95T/
2.4
0.4
5.5
0
P
0.7T/
-
-
6.5
/(+0.7T)
PI
0.7T/
+0.3T
-
12
0
PID
1.2T/
2
0.4
7
0
Teoria Sterowania
2) Metoda wskaźników wzmocnienia krytycznego
Metoda opiera się na określeniu parametrów układu znajdującego
się na granicy stabilności:
• w układzie zamkniętym z regulatorem typu P zwiększa się
współczynnik wzmocnienia kp dopóki w odpowiedzi skokowej y(t)
nie wystąpią drgania niegasnące,
• notuje się wartość wzmocnienia krytycznego regulatora kp=kkr
oraz mierzy okres drgań krytycznych Tkr sygnału wyjściowego z
obiektu
Teoria Sterowania
w(t)
∑
e(t)
Reg. P
kp
u(t)
y(t)
G(s)
y(t)
kp=kkr
t
Tkr
Rys. Wyznaczanie okresu drgań krytycznych układu na granicy
stabilności
Teoria Sterowania
Nastawy regulatora wyznaczone według metody wskaźników drgań
krytycznych są następujące:
regulator P
regulator PI
regulator PID
kp=0.45kkr
kp=0.45kkr
Ti=0.85Tkr
kp=0.6kkr
Ti=0.5Tkr
Td=0.12Tkr
Podane nastawy powinny zapewnić przeregulowanie odpowiedzi
skokowej układu zamkniętego na poziomie nie przekraczającym 30%.
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Ogólne równanie stacjonarnego układu nieliniowego w przestrzeni stanów:
 g1  x, u  
 f1  x, u  




x  f  x, u   
,
y

g
x
,
u






 g p  x, u  
 f n  x, u  


charakterystyka statyczna f  x, u   0, y  g  x, u 
Równanie wejście-wyjście stacjonarnego układu nieliniowego SISO:


F y, y,... y  n , u, u,...u  m  0, charakterystyka statyczna F ( y, u )  0
Układy zastępcze układów nieliniowych
Tw.1. Dynamiczny układ nieliniowy można zastąpić układem
równoważnym złożonym z nieliniowego elementu statycznego i
liniowego elementu dynamicznego.
Tw.2. Statyczny element nieliniowy o charakterystyce niejednoznacznej
można zastąpić układem równoważnym ze sprzężeniem zwrotnym
zawierającym elementy nieliniowe o charakterystykach jednoznacznych.
Teoria Sterowania
Przykłady elementów nieliniowych:
– element z nasyceniem,
– przekaźnik idealny i z histerezą,
– dioda idealna,
– przetwornik A/C,
– przekładnia zębata z luzem,
– histereza magnetyczna.
y
u
y
y
B
x
y
a
-a
x
x
e
+
+
B
y
e
-B
-B
a/B
Teoria Sterowania
Wybrane metody analizy układów nieliniowych
1. Metoda funkcji opisującej (pierwszej harmonicznej)
2. Metoda przestrzeni stanów (płaszczyzny fazowej)
Metoda funkcji opisującej (ang. describing function)
Rozważa się układ nieliniowy o następującej strukturze:
x(t )  A sin t
f(x)
statyczny
element
nieliniowy
u (t )
G(s)
y (t )
dynamiczny
element
liniowy LP
Okresowy sygnał niesinusoidalny u(t) można rozwinąć w szereg Fouriera:

u  t   B0    Bk sin kt  Ck cos kt 
k 1
Teoria Sterowania
1
B0 
2
Bk 
1

2
 f  A sin t  d (t )
0
2
 f  A sin t  sin(kt )d (t ),
0
Ck 
1

2
 f  A sin t  cos(kt )d (t )
0
• Jeżeli charakterystyka statyczna f(x) jest symetryczna, tj. f(x)=-f(x) ,
to szereg Fouriera nie zawiera składowej stałej (B0=0).
• Zakłada się, że część liniowa G(s) ma charakter dolnoprzepustowy
i tłumi wyższe harmoniczne u(t). Można wtedy w przybliżeniu przyjąć,
że y(t) jest sinusoidalnie zmienny i może być reprezentowany przez
pierwszą harmoniczną sygnału u(t) (niezależnie od wartości ):
y (t )  u1 (t )  B1 sin t  C1 cos t  B sin(t   )  Im  Be j e jt 
C1
B  B  C ,   arctg
B1
2
1
2
1
Teoria Sterowania
Def. Funkcją opisującą J(A) układu nieliniowego nazywa się
stosunek zespolonej amplitudy pierwszej harmonicznej odpowiedzi
wywołanej wymuszeniem harmonicznym do amplitudy A tego
wymuszenia w stanie ustalonym :
j
B1  jC1
Be
J  A 

,
A
A
j
J  A 
A
2

f  A sin t  e  jt d (t )
0
• Funkcja opisująca charakteryzuje w przybliżony sposób
wzmocnienie elementu nieliniowego w zależności od amplitudy A
sygnału wejściowego (nie ma zależności od , bo element
nieliniowy jest statyczny). Jest odpowiednikiem wzmocnienia w
transmitancji widmowej (charakterystyce częstotliwościowej)
układu liniowego.
• Funkcja opisująca układu o jednoznacznej charakterystyce f(x)
jest rzeczywista (C1=0):
2
B1
1
J  A  
A A
 f  A sin t  sin(t )d (t )
0
Teoria Sterowania
f(x)
f(x)
x
x
A1<A2<A3
A3 A2 A1
Rys. Lokalna linearyzacja
charakterystyki statycznej
układu nieliniowego w
punkcie równowagi (styczne)
Rys. Nachylenie siecznych jest
proporcjonalne do modułu funkcji
opisującej układu nieliniowego
(wzmocnienie dla większych A
jest mniejsze, „linearyzacja
globalna”)
Teoria Sterowania
y
Wzmacniacz z nasyceniem
B
-a
a
x
-B
y
Element ze strefą nieczułości
tg=k
-a
a
2 

2B 
a a
a
J ( A) 
arcsin 
1   
a 
A A
A 



dla A  a
x
y
B
2 
2k 
a a
a
 
J ( A)  k 
arcsin 
1   
 
A A
A 



dla A  a
Przekaźnik dwupołożeniowy idealny
x
-B
4B
J ( A) 
A
Teoria Sterowania
y
Przekaźnik trójpołożeniowy idealny
B
-a
a
x
-B
4B
a
J ( A) 
1  
A
 A
dla A  a
2
y
B
Przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą
(charakterystyka niejednoznaczna)
a
-a
x
-B
2


4B 
a
a
 
J ( A) 
1    j 
 A
A
A



dla A  a
Teoria Sterowania
Zastosowanie funkcji opisującej do analizy układu ze
sprzężeniem zwrotnym
w(t)
e(t)
∑
-
f(e)
u(t)
G(s)
y(t)
J(A)
Rys. Układ regulacji z nieliniowym elementem statycznym i liniowym
elementem dynamicznym
y0
e
∑
-
u
k
G(s)
y
Rys. Układ regulacji z elementami liniowymi
Teoria Sterowania
Do analizy można zastosować kryterium Nyquista.
Warunek powstania drgań niegasnących w układzie, w którym człon
nieliniowy zastąpiono elementem bezinercyjnym o wzmocnieniu k:
1
M z ( j )  1  k  G  j   0  G  j   
k
Jeśli charakterystyka G(j) układu stabilnego obejmuje punkt
(-1/k, j0), to układ zamknięty jest niestabilny.
Dla układu opisanego funkcją opisującą J(A) otrzymuje się przez
analogię:
1
1  J  A  G  j   0  G  j   
J  A
Analizuje się wzajemne położenie krzywych G(jω) oraz -1/J(A) na
płaszczyźnie zespolonej i stosuje interpretację z kryterium Nyquista.
Teoria Sterowania
1

J ( A)
A=0
Im
P1(A1,1)
 
Punkty równowagi:
 0
P1 – punkt pracy niestabilnej
P2 – punkt pracy stabilnej
A2>A1, 2<1
Re
P2(A2,2)
A
G j 
Wytrącenie układu z punktu P1 w kierunku mniejszych A (G(j) nie
obejmuje wtedy -1/J(A) – obszar stabilny) powoduje zanik drgań,
wytrącenie w kierunku większych A (G(j) obejmuje wtedy -1/J(A) –
obszar niestabilny) powoduje wzrost ich amplitudy i przejście do P2.
Wytrącenie układu z punktu P2 kończy się powrotem do tego punktu.
Teoria Sterowania
1. Jeżeli układ otwarty jest stabilny, a krzywe G(jω) i -1/J(A) nie
przecinają się oraz charakterystyka G(jω) nie obejmuje krzywej 1/J(A), to układ zamknięty jest stabilny dla dowolnej amplitudy A
sygnału wejściowego w(t).
2. Jeżeli G(jω) obejmuje całkowicie -1/J(A) to układ zamknięty jest
niestabilny dla dowolnej amplitudy A wymuszenia.
3. Jeżeli krzywe się przecinają, w układzie wystąpią drgania
nieliniowe o amplitudzie i pulsacji określonej przez parametry
punktu przecięcia.
L s
L s
G s 
, J  A
 1  0  L  s  J  A  M  s   0
M s
M s
ω i A otrzymuje się rozwiązując układ równań dla s=j:
ReL j J  A  M  j   0

ImL j J  A  M  j   0
Teoria Sterowania
Analiza układów nieliniowych metodą przestrzeni fazowej
Metoda oparta jest na badaniu przebiegów trajektorii fazowych.
Daje pełne informacje o przebiegach odpowiedzi czasowych
układu.
Dla układów II rzędu jest wygodna, bo trajektorie fazowe wykreśla
się na płaszczyźnie (stąd nazwa: metoda płaszczyzny fazowej).
Teoria Sterowania
Przestrzeń fazowa – n-wymiarowa przestrzeń, której
elementami są wektory o składowych będących kolejnymi
pochodnymi względem czasu pierwszej składowej.
• Metoda przestrzeni stanów jest metodą geometryczną.
Każdemu stanowi układu odpowiada punkt w tej
przestrzeni.
• Zmianę stanu (w czasie) odwzorowuje ruch tego punktu
wzdłuż krzywych nazywanych trajektoriami fazowymi.
Portret fazowy – rodzina trajektorii fazowych dla różnych
warunków początkowych.
• Metoda nie ma zastosowania dla członów niestacjonarnych
i o wymuszeniach będących funkcjami czasu (sintω).
Teoria Sterowania
Punkty osobliwe – reprezentuje stany równowagi na
płaszczyźnie fazowej
dx
0
dx 0
dt


dx
dx 0
0
dt
1. Punkt równowagi trwałej – układ po wytrąceniu z punktu
równowagi powraca do punktu równowagi.
2. Punkt równowagi nietrwałej – układ po wytrąceniu z
punktu równowagi nie powraca do punktu równowagi.
x 1  F1x1 , x 2 
x 2  F2 x1 , x 2 
• Jeżeli F1 i F2 są nieliniowe, to może występować wiele
punktów równowagi.
Teoria Sterowania
Portrety fazowe
Rys. Ognisko stabilne
Teoria Sterowania
Rys. Ognisko stabilne. Rozmieszczenie pierwiastków równania
charakterystycznego
Teoria Sterowania
Rys. Ognisko niestabilne
Teoria Sterowania
Rys. Ognisko niestabilne. Rozmieszczenie pierwiastków równania
charakterystycznego
Teoria Sterowania
Rys. Środek
Teoria Sterowania
Rys. Środek. Rozmieszczenie pierwiastków równania
charakterystycznego
Teoria Sterowania
Rys. Węzeł stabilny
Teoria Sterowania
Rys. Węzeł stabilny. Rozmieszczenie pierwiastków równania
charakterystycznego.
Teoria Sterowania
Rys. Węzeł niestabilny
Teoria Sterowania
Rys. Węzeł niestabilny. Rozmieszczenie pierwiastków równanie
charakterystycznego
Teoria Sterowania
Rys. Siodło
Teoria Sterowania
Rys. Siodło. Rozmieszczenie pierwiastków równania
charakterystycznego
Teoria Sterowania
Wykreślanie portretów fazowych układów nieliniowych
metodą izoklin
• Przebiegi trajektorii fazowych umożliwiają wyciąganie
wniosków dotyczących działania układu nieliniowego
(stabilność, oscylacje o ustalonej amplitudzie).
• Portrety fazowe można niekiedy wyznaczyć poprzez
rozwiązanie układu równań stanu. Całkowanie nieliniowych
równań różniczkowych jest jednak niekiedy trudne lub
niemożliwe do wykonania.
• Najbardziej rozpowszechnioną metodą rysowania portretów
fazowych jest metoda izoklin.
Teoria Sterowania
Izoklina – miejsce geometryczne punktów trajektorii fazowych
o stałym nachyleniu
x1 t   f1x1 t , x2 t , u t 
x2 t   f 2 x1 t , x2 t , u t 
dx2 f 2 x1 , x2 , u  F2 x1 , x2 


dx1 f1x1 , x2 , u  F1x1 , x2  u const
(1)
W celu otrzymania równania trajektorii fazowej należy
scałkować równanie (1), otrzymuje się wtedy rozwiązanie.
Jest to możliwe jedynie w niektórych przypadkach
F x1, x2   0
Teoria Sterowania
W metodzie izoklin przyjmuje się
dx2
S
 const
dx1
Równanie izokliny
S  f  x1, x2 , u   x2   Si x1  u const
Si – nachylenie i-tej izokliny
W metodzie izoklin wyznacza się równania izoklin dla
różnych wartości nachylenia trajektorii Si. Następnie wykreśla
się na płaszczyźnie fazowej izokliny, zaznaczając ich
nachylenie i zakładając stany początkowe rysuje się przebieg
trajektorii. Nachylenia Si należy tak dobierać, aby otrzymane
izokliny pokrywały całą płaszczyznę fazową.
Teoria Sterowania
Stabilność układów nieliniowych
Pierwsza metoda Lapunowa
Układ autonomiczny
x  Fx 
x – n wymiarowy wektor stanu,
F – funkcja nieliniowa, różniczkowalna względem x
Niech x=0 będzie punktem równowagi układu, wtedy
F0  0
Teoria Sterowania
Przybliżenie liniowe równania
dx2 f 2 x1, x2 , u  F2 x1, x2 


dx1 f1x1, x2 , u  F1x1, x2  u const
(rozwinięte w szereg Taylora w otoczeniu punktu x=0)
x  Ax
A  Fx
x 0
A – macierz kwadratowa (n×n)
Teoria Sterowania
• Pierwsza metoda Lapunowa formułuje warunek stabilności
lokalnej w punkcie równowagi układu nieliniowego. Układ
nieliniowy jest lokalnie stabilny asymptotycznie w punkcie
równowagi x=0, jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne
asymptotycznie,
tzn.
pierwiastki
równania
charakterystycznego
detsI  A  s n  an1s n1  ...  a1s  a0  0
leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.
Teoria Sterowania
• Jeżeli przybliżenie liniowe jest niestabilne, to układ
nieliniowy jest niestabilny.
• Jeżeli przybliżenie liniowe jest stabilne, ale nie
asymptotycznie, to na podstawie przybliżenia liniowego nie
można wyciągać wniosków o zachowaniu układu
nieliniowego. O stabilności układu decyduje wtedy część
nieliniowa rozwinięcia w szereg Taylora.
Teoria Sterowania
Druga metoda Lapunowa
• Metoda formułuje warunki dostateczne stabilności zwykłej i
asymptotycznej
w
obszarze
ograniczonym
i
nieograniczonym.
• Funkcję V(x) wektora stanu x nazywa się funkcję Lapunowa
w obszarze D, jeżeli:
1. V(x) jest dodatnio określona w obszarze D; V(x)>0 dla
x≠0 i V(0)=0.
2. Pochodna względem czasu funkcji V(x) jest ujemnie
określona w obszarze D;
V x  0 dla x  0; V x  0 dla x  0.
3.


V x    dla x  x12  x22  ...  xn2  .
2
Teoria Sterowania
Funkcja V(x) musi być ciągła i mieć ciągłe pierwsze pochodne
względem wektora stanu x .
Pochodną V(x) względem czasu można przedstawić w
postaci zależności
V x  dx1
V x  dxn

V x  
 ... 

x1 dt
xn dt
T
 dx 
   gradV x   Fx T gradV  x 
 dt 
gdzie:
x  Fx 
 V x 
 x 
 1 
gradV x     
 V 
 xn 
Teoria Sterowania
Druga Metoda Lapunowa: Układ nieliniowy x  Fx  jest
stabilny asymptotycznie w obszarze D zawierającym
początek układu współrzędnych, jeżeli można dobrać funkcję
Lapunowa V(x) dodatnio określoną w obszarze D, której
pochodna względem czasu V x  wzdłuż trajektorii fazowej
jest funkcją ujemną określoną w tym obszarze.
• Jeżeli pochodna V x  jest funkcją ujemnie półokreśloną
(niedotatnio określoną) w obszarze D, to układ nieliniowy
jest stabilny w tym obszarze, ale niekoniecznie
asymptotycznie.
Teoria Sterowania
z
c
z=c
z=V(x1,x2)
ε
0
x1
L
x2
Teoria Sterowania
x2
P
δ
0
P0
L
ε
x1
Teoria Sterowania
x3
V=0
x2
0
V=C1
V=C2
x1
V=C3
C3>C2>C1>0
Teoria Sterowania
• Jako funkcję Lapunowa wybiera się najczęściej formę
kwadratową
dodatnio-określoną
lub
sumę
formy
kwadratowej dodatnio określonej i całki charakterystyki
statycznej członu nieliniowego.
V x  
n
e
i , j 1
0
T
b
x
x

x
Bx   f  d
 ij i j
Układ autonomiczny liniowy
x  Ax
V x   xT Bx
V x   x T Bx  xT Bx  Ax T Bx  xT BAx  


 xT AT B  BA x  xT Wx
 W  AT B  BA
Teoria Sterowania
Macierz W dobiera się, tak aby pochodna względem czasu
funkcji Lapunowa była ujemnie określona.
• Układ autonomiczny liniowy jest stabilny asymptotycznie w
punkcie x=0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla do wolnej
symetrycznej dodatnio-określonej macierzy W istnieje
symetryczna dodatnio-określona macierz B będąca
jedynym rozwiązaniem równania  W  AT B  BA a funkcja
V(x)=x’B(x) jest funkcją Lapunowa.
• Często przyjmuje się W=I
AT B  BA  I
Teoria Sterowania
Układ nieliniowy autonomiczny
Często przyjmuje się
V x   Fx T BFx  lub B  I
Fx T   f1  x ... f n  x 
x  Fx 
Teoria Sterowania
Twierdzenie Popova. Metoda Popowa
Metoda Popowa umożliwia badanie stabilności układów
nieliniowych na podstawie charakterystyki amplitudowo –
fazowej części liniowej układu nieliniowego.
f e 
k1 
 k2 , f 0  0
e
1. Wszystkie bieguny G(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie.
2. Bieguny G(s) leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej lub na osi urojonej.
Teoria Sterowania
Twierdzenie 1.
Układ nieliniowy o charakterystyce nieliniowej spełniającej
warunek
f e 
0
 k f 0  0
e
oraz części liniowej G(s) mającej wszystkie bieguny w lewej
półpłaszczyźnie
zmiennej
zespolonej
jest
stabilny
asymptotycznie
w
obszarze
nieograniczonym
(asymptotycznie), jeżeli istnieje taka skończona liczba
rzeczywista q, dla której jest spełniona nierówność
1
Re1  jq G j    0
k
dla wszystkich ω≥0.
Teoria Sterowania
Twierdzenie 2.
Układ nieliniowy o charakterystyce nieliniowej spełniającej
warunek
f e 

 k f 0  0
e
ε – dowolnie mała liczba dodatnia oraz części liniowej G(s)
mającej bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej i co najmniej podwójny biegun zerowy, jest
stabilny asymptotycznie w obszarze nieograniczonym
(globalnie), jeżeli istnieje taka skończona liczba rzeczywista
q, dla której spełniona jest nierówność
1
Re1  jq G j    0
k
dla wszystkich ω>0 oraz
Teoria Sterowania
lim Im G j    pojedynczy biegun zerowy
 0
lim Re G j    podwójny biegun zerowy
 0
oraz ImG(jω)<0 dla ω bliskich zera i dodatnich.
Twierdzenia te można podać w innej postaci korzystając z
pojęcia zmodyfikowanej charakterystyki amplitudowo –
fazowej.
Teoria Sterowania
G*  j   U *    jV *  
U *    Re G*  j   Re G  j 
V *    Im G*  j    Im G  j 
Dla układów liniowych stacjonarnych część rzeczywista jest
parzystą funkcją ω a część urojona nieparzystą funkcją ω.
Z definicji wynika, że część rzeczywista i urojona G*(jω) są
parzystymi funkcjami ω.
Re G*  j   Re G*  j 
Im G*  j   Im G*  j 
Teoria Sterowania
Z zależności
V *    Im G*  j    Im G j 
wynika, że punkty przecięcia się wykresu G*(jω) z osią liczb
rzeczywistych pokrywają się z punktami przecięcia wykresu
G(jω)
Wykres G*(jω) dla ω=0 rozpoczyna się w tym samym punkcie
co G(jω)
Teoria Sterowania
Niech
Ls  bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0
G s  

M s  an s n  an1s n 1  ...  a1s  a0
nm
Z powyższego równania wynika, że jeżeli n-m jest większe od
jednodności to G*(jω) spełnia warunek
lim G*  j   0 dla n  m  1
 
natomiast dla n-m = 1




 lim Re G*  j   0
 

bm
bm
*
*
 lim Im G  j  
 lim G  j   j
 
 
an
an
Teoria Sterowania
Re1  jq G  j  
Stąd
1
0
k
można przedstawić w postaci
1
U    qV     0
k
*
*
(*)
Równanie
1
U    qV     0 - równanie prostej Popova
k
*
*
na płaszczyźnie U (ω), V (ω) przedstawia prostą
 1 
przechodzącą przez punkt   ,0  o współczynniku
 k 
1
kierunkowym . Prosta ta zwana prostą Popova dzieli
q
płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Nierówność (*)
odpowiada półpłaszczyźnie na prawo od tej prostej.
*
*
Teoria Sterowania
Twierdzenie 1.
Układ nieliniowy regulacji automatycznej mający wszystkie
bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej jest
stabilny asymptotycznie w obszarze nieograniczonym, jeżeli
1
istnieje taka prosta Popova przechodząca przez punkt   ,0 
 k 
o dowolnym współczynniku kierunkowym, że wykres
zmodyfikowanej charakterystyki czasowej G*(jω) leży na
płaszczyźnie U*(ω), V*(ω) na prawo od tej prostej.
Teoria Sterowania
Twierdzenie 2.
Układ nieliniowy o charakterystyce spełniającej warunek

f e 
k
e
f 0  0
i mający co najwyżej dwa bieguny zerowe jest stabilny
asymptotycznie w obszarze nieograniczonym
jeżeli istnieje taka prosta Popova przechodząca przez punkt
 1 
  ,0  o dowolnym współczynniku kierunkowym, że wykres
 k 
zmodyfikowanej charakterystyki amplitudowo-fazowej G*(jω)
leży na płaszczyźnie U*(ω),V*(ω) na prawo od tej prostej oraz
ponadto są spełnione warunki
Teoria Sterowania




 lim Re G*  j   0
 

b
b
 lim Im G*  j   m  lim G*  j   j m
 
 
an
an
Teoria Sterowania
Teoria Sterowania
Projektowanie układu regulacji metodą zmiennych stanu
1. Opis układu dynamicznego metodą przestrzeni stanu
(modern control design).
Opis metodami we – wy transmitancji nie uwzględnia całej
dynamiki układu – metoda zmiennych stanu daje opis
kompletny. Zachowanie układu opisuje się jako trajektorię w
przestrzeni stanu.
x3
x(t2)
x(t1)
x(t3)
0
x2
x1
Rys. Trajektoria w przestrzeni stanu.
Teoria Sterowania
Obiekt
D
w
G
wejście
u
∑
B
x
∫
x
C
∑
wyjście
y
A
Rys. Obiekt w przestrzeni stanu.
x  Ax  Bu  Gw

y  Cx  Du
gdzie:
x - wejście (znane); x - zmienne stanu; y - wyjście (wielkości
mierzone obserwowane); w – zakłócenie mierzalne
Teoria Sterowania
Transmitancja
 s1  A  B
det 

C
D
Y s 
1


Gs  
 Cs1  A  B D 
u s 
dets1  A
Teoria Sterowania
zasada superpozycji
2. Procedura projektowania regulatora
a) - projektowanie prawa (reguły) sterowania; zakłada
się na razie, że wszystkie zmienne stanu są do
dyspozycji,
b) - projektowanie estymatora (obserwatora), układu
lub algorytmu; który estymuje (przewiduje) wartości
xˆ zmiennych stanu na podstawie wyjść (mierzonych) y
c) - połączenie reguły sterowania i estymatora, sygnał
sterujący u jest generowany (obliczany) na podstawie
estymat xˆ
Teoria Sterowania
obiekt + czujniki
u
x
x  Ax  Bu
y
C
u
K
xˆ
Estymator
regulator
Rys. Regulator z estymatorem
+
∑
r
-
Teoria Sterowania
u
x  Ax  Bu
x
y
C
u  Kx
Rys. Obiekt ze sprzężeniem stanu
Ad. a) Jeżeli układ spełnia warunek sterowalności,
pierwiastki jego równania charakterystycznego mogą być
przesunięte do wymaganych położeń przez jednoznaczne
określone sprzężenie stanu u=-Kx (liniowe, statyczne;
zakładamy, że sygnał zadany r=0).
Oznacza to, że układ może osiągnąć dowolny (xoxt) stan
przez zastosowanie skończonego sterowania u=-Kx w
skończonym czasie dla K  K1 K 2 ...K n .
Teoria Sterowania
Zadanie polega na znalezieniu współczynników K,
zapewniających wymagane rozmieszczenie pierwiastków
s1,s2,…,sn równania charakterystycznego (regulatora)
 c s   s  s1 s  s2 ...s  sn   0
 c s   dets1  A  BK 
x  Ax  B Kx 
x  A  BK x
Istnieje kanoniczna
forma równań stanu, dla
których
obliczenie K jest najprostsze – kanoniczna forma regulacji.
Teoria Sterowania
u(s)
B s 
G
As 
Y(s)
u(s)
1
As 
 s 
 x1   n 1  pochodne
 x   n  2  


x   2  
   

  
 xn    
B s 
Y(s)
Teoria Sterowania
Definicja I
Układ (A,B) jest sterowalny, jeśli dla dowolnego wielomianu
αc(s) n-tego stopnia istnieje (jednoznacznie określona)
reguła
sterowania
u=-Kx
taka,
że
równanie
charakterystyczne macierzy (A-BK) jest równe αc(s).
Definicja II
Układ (A,B) jest sterowalny jeśli istnieje (kawałkami ciągłe)
sterowanie u(t) takie, że zmienne stanu winna przeprowadzić
od dowolnego stanu początkowego x(0) do dowolnego stanu
końcowego xf w skończonym czasie.
Teoria Sterowania
Definicja I
Układ (A,C) jest obserwowalny, jeśli dla dowolnego
wielomianu αe(s) n-tego stopnia istnieje (jednoznacznie
określone) sprzężenie estymacji L takie, że równanie
charakterystyczne błędu estymacji (A-LC) jest równe αe(s).
Definicja II
Układ (A,C) jest obserwowalny, jeśli dla dowolnego x(0)
istnieje skończony czas τ taki, że x(τ) może być określone
(jednoznacznie) na podstawie u(τ) i y(τ).
Teoria Sterowania
Wybór położeń biegunów układu ze sprzężeniem
zwrotnym
Zasady:
 znaczenie zmiany położeń biegunów układu ze
sprzężeniem
x  Ax  B Kx 
x  A  BK x
w stosunku do położeń wyjściowych wymaga dużych
sygnałów sterujących u(t) (bieguny są przyciągane przez
zero)
 koryguje się tylko niepożądaną część dynamiki układu
otwartego – wymaga to mniejszego działania
Teoria Sterowania
1.Projektowanie prototypu
Dla układów wyższych rzędów, których nie można
aproksymować układem oscylacyjnym II rzędu lub jego
zaburzeniami
stosuje
się
„prototypy”
oparte
na
odpowiedziach ITAE i Bessela.
a) ITAE – odpowiedź tego typu minimalizuje całkę

I   t e dt - kryterium całkowe
0
Teoria Sterowania
Rząd
k
Położenie biegunów transmitancji
ITAE, ω0=1 rad/s
1
s+1
2
s+0.707±j0.707
s+0.866±j0.5
3
(s+0.708)(s+0.521±j1.608)
(s+0.942)(s+0.746±j0.711)
4
(s+0.424±j1.263)(s+0.626±j0.
414)
(s+0.657±j0.830)(s+0.905±j0.
271)
5
(s+0.896)(s+0.376±j1.292)·
·(s+0.576±j0.534)
Transmitancja w formie funkcji
Bessela
s+1
(s+0.926)(s+0.591±j0.907)·
·(s+0.852±j0.443)
[Dla ω0≠1  s  s/ω0], ω0 – nominalna pulsacja odcięcia
Teoria Sterowania
Charakterystyki częstotliwościowe
1
1
2
ITAE
Bessel
ω
1
2
1 – pasmo przenoszenia według Bessla,
2 – pasmo przenoszenia według kryterium ITAE.
Teoria Sterowania
Kryterium ITAE dopuszcza kilkuprocentowe przeregulowanie,
ma szybsze narastanie
- pasmo przenoszenia ITAE jest większe
- dla takiego samego pasma ITAE lepiej tłumi szumy HF
- ponieważ naturalne częstotliwości prototypów są w
przybliżeniu jednakowe wymagany jest duży sygnał
sterujący, jeśli naturalne częstotliwości układów otwarte są
różne co do rzędu
Teoria Sterowania
2. Symetryczne linie pierwiastkowe SLP
Regulacja LQ – efektywna i szeroko stosowana.
Wersja uproszczona ze wskaźnikiem jakości:
J
 z t   u t dt

2
2
(LQR)
0
x  Ax  Bu
z  C1x
z – błąd śledzenia, dla r=0  z=ε
Bryson, Ho 1969: Optymalne sterowanie, które minimalizuje J
jest dane przez sprzężenie stanu
u  Kx
Teoria Sterowania
Optymalny rozkład biegunów układu zamkniętego
(pierwiastki αc(s)=0) jest dany przez stabilne pierwiastki
równania
1  G0  s G0 s   0 (LP względem ρ)
gdzie G0 jest transmitancją układu otwartego
z s 
L s 
1
G0 s  
 C1 s1  A  B 
u s 
M s 
a) wybiera się C1 określający błąd śledzenia z(t)
b) wykreśla się linie pierwiastkowe względem ρ
c) wybiera optymalne położenie biegunów LHP:
ρ=0  minimalny sygnał sterujący
ρ bardzo duże  minimalny błąd śledzenia, duże
sterowanie
Teoria Sterowania
Projektowanie estymatora
W rzeczywistości nie znamy wszystkich zmiennych stanu
(koszty czujników, niedostępność, np. w reaktorze
jądrowym). Można jednak odtworzyć zmienne stanu mierząc
tylko wyjścia y i dysponując modelem. Okazuje się, że
można zastąpić prawdziwe zmienne stanu przez ich
estymaty xˆ w sprzężeniu u  Kˆx
Teoria Sterowania
Znamy A, B, C, y, u
Estymator (obserwator)
y
u
y
xˆ
Model
A, B
C
+
yˆ
-
y  yˆ
L
Rys. Struktura estymatora
∑
xˆ
Teoria Sterowania
Błąd estymacji:

~
x  x  xˆ
~
x  A~
x, ~
x0  x0  xˆ 0
Błąd zbiega się do zera jeśli A jest stabilne, ale z taką
szybkością (dynamiką) jak same zmienne stanu. Musi
zbiegać się szybciej, jeśli sterowanie ma mieć sens.
Wprowadźmy sprzężenie L od błędu  y  yˆ 
xˆ  Axˆ  Bu  L y  yˆ   Axˆ  Bu  L y  Cxˆ   Axˆ  BKx  LC~
x
Cx
Dla uzyskania równania dynamiki błędu ~
x ,odejmiemy
równanie ze sprzężenia stanu
x  Ax  Bu
Teoria Sterowania
~
x  x  xˆ  Ax  B/ u  Axˆ  B/ u  LC~
x   Gw  A  LC ~
x
x  A  BK x
~
x  A  LC ~
x
jak możemy zauważyć równania te
mają taką samą postać
Jeśli sprzężenie można dobrać tak, żeby dynamika błędu
A-LC była stabilna i szybka, to ~
x  0 (jeśli nie ma zakłóceń)
i to szybciej niż w układzie otwartym.
Jeżeli nawet model A, B, C nie jest w estymatorze
dokładny, to L można wybrać tak żeby ~
x było małe.
zbyt
Estymator jest częścią regulatora  elektronika lub algorytm
Teoria Sterowania
Równanie charakterystyczne błędu:
dets1  A  LC  0
Zadanie polega na znalezieniu współczynnika L, tak, aby
pierwiastki równania charakterystycznego błędu leżały w
położeniach określonych przez wymagania wielomianu

 e s  s  1 s   2 ...s   n   0
Można tego dokonać, jeśli układ jest obserwowalny.
Test matematyczny: macierz obserwowalności
 C 
 CA 
 jest pełnego rzędu
0
  
 n 1 
CA 
Teoria Sterowania
Dynamika obserwatora musi być większa
0e  3  60c  żeby zapewnić szybkie zanikanie błędu
Stopień przesunięcia pierwiastków (dynamika błędu).
Połączenie kontrolera i estymatora
x  Ax  Bu  Ax  BKxˆ
xˆ  Ax  Bu  L y  Cxˆ   Axˆ  BKxˆ  LCx  xˆ  
 A  BK  LC xˆ  LCx
 BK
x   A
 x 
xˆ   LC A  BK  LC xˆ 
  
 
x 
y  0 0 
xˆ 
układ rozszerzony z
dynamiką obserwatora
Teoria Sterowania
Wybór biegunów estymatora
Jeżeli szumy pomiarowe odgrywają role to estymator może
być wolniejszy niż trzy razy żeby je wygładzić.
W regule symetrycznych linii pierwiastkowych, q zależy od
stosunku szumu pomiarowego do zakłóceń w.
1  Ge  s Ge s   0
gdzie:
Ge s  
y s 
 Cs1  A 1G
 s 
Teoria Sterowania
Jeśli szum pomiarowy jest duży należy wziąć małe L (wolny
estymator).
Jeśli zakłócenie ω jest znaczne, model układu w estymatorze
jest mało użyteczny i lepiej wierzyć pomiarom (duże L
– szybki estymator)
y  Cx  v
gdzie v szum pomiarowy
xˆ  Axˆ  Bu  L y  Cxˆ 


LC ~
x  Lv
model układu pomiary
Teoria Sterowania
Estymator zredukowany
• większe pasmo przenoszenia,
• większa czułość ma szumy ze względu na brak filtracji,
• mniej skomplikowany w realizacji.
Teoria Sterowania
w
x
Obiekt
Czujnik
x  Ax  Bu  Gw
u
-K
Pełna struktura:
wymuszenia)
xˆ
y
C
Estymator
xˆ  Axˆ  Bu  L y  Cxˆ 
kontroler
+
estymator
(bez
sygnału
Teoria Sterowania
Wprowadzenie sygnału wymuszenia (z pełnym
sprzężeniem stanu)
Projektowanie bez sygnału wymuszenia r daje dobre
tłumienie zakłóceń, ale nie uwzględnia śledzenia y(t) za r(t)
(command following).
Oblicza się xss i uss w stanie ustalonym, które dają y=r.
Równanie sterowania:
u  u ss  K x  x ss , dla x=xss  u=uss
Równanie obiektu:
 x  Ax  Bu

 y  Cx  Du
Teoria Sterowania
ess 0
Dla SS
x  0 i yss  rss
dla dowolnego rss
Podstawiamy:
x ss  N x rss i uss  Nu rss do
 x  Ax  Bu

 y  Cx  Du
i dzielimy przez rss:
1
 N x   A B  0 
 A B   N x  0 
C D  N   1   N   C D 1

 u   
  
 u 
Wymuszenie dające eu=0:
N
 

u  N u r  K x  N x r   Kx   N u  KN x r  Kx  N r




Teoria Sterowania
r
Nu
u
+ ∑
y
Obiekt
+
-K
x
Nx
-
∑
+
Rys. Kontroler
Teoria Sterowania
r
N
+ ∑
+
-K
u
y
Obiekt
x
Rys. Kontroler uproszczony
Teoria Sterowania
W układzie kontroler – estymator istnieją dwa sposoby
wprowadzenia r
r
N
u
+ ∑
+
y
Obiekt
-K
xˆ
Estymator
a) kompensacja w torze sprzężenia zwrotnego
Wymuszenie jednakowo pobudza obiekt i estymator.
Transmitancja od r do y musi mieć zera w położeniach
biegunów i kasuje je. Konfiguracja ta jest zwykle lepsza.
Teoria Sterowania
r
+ ∑
e
Estymator
 xˆ
K
u
y
Obiekt
-
b) Kompensacja w torze głównym
Kompensacja w torze głównym r pobudza estymator
powodując zanikający błąd estymacji. Dynamika estymatora
dodaje się do dynamiki sterowania:
dets1  A  BK   dets1  A  LC  0
Teoria Sterowania
Sterowanie całkujące
Rozszerzamy równanie stanu o stan całkujący:
x1  Cx
r
e
t
x1   edt
0
 x1  0 C   x1   0  1  0 
 x   0 A   x   B u  0 r  G  w
  
       
 x1 
u  K1 K 0  
x 0 
Teoria Sterowania
r
+ ∑
e
-
1
s
x1
-K1
+ ∑
+
y
u
Obiekt
-K0
Rys. Sterowanie całkujące obiektem
Teoria Sterowania