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II
LES EQUILIBRES
LIMITES
1) Définitions
Les équilibres limites (E.L.) permettent de déterminer les
contraintes dans les zones où le sol a été amené à la rupture.
En tous points de ces zones, l’état de contrainte peut être
représenté par un cercle de Mohr à la rupture qui est tangent aux
droites intrinsèques.
Les théories des E.L. sont relatives aux contraintes effectives.
On distingue 2 types d’E.L.
L’équilibre de POUSSEE ou état ACTIF qui correspond à l’action
du sol sur l’ouvrage
L’équilibre de BUTEE ou état PASSIF qui correspond à l’action
de l’ouvrage sur le sol
2) L’état de contrainte des terres au repos
En l’absence d’actions extérieures, il existe un état de contrainte
initial dans le sol qui est appelé « état de contrainte au repos ».
Cas du massif à surface libre horizontale
s’v
s’Ho
s’v : contrainte effective principale majeure
s’Ho : contrainte principale mineure dépendant de l’histoire
du sol.
Représentation de Mohr
Dr.Intr.
t’
s’v
s’Ho
On dit que l’équilibre est surabondant.
s’
Expérimentalement on montre que :
s’Ho = Ko. s’v
Ko : coefficient des terres au repos
Sables Ko = 0,4 à 0,5
Argiles Ko = 0,5 à 0,7
Argiles molles et vases Ko = 1
Ce paramètre étant difficile à mesurer, on prend pour la plupart
des sols
Ko = 0,5
Formule empirique de JAKY (pour les milieux granulaires)
Ko = 1 – sinf’
3) Etude expérimentale des E.L.
déplacement de l’écran
Poussée
écran
Force
Butée
sable
H
Force
Fp
poussée
Ko
butée
Fa
déplacement
H/1000
H/100
déplacement
4) Equilibres de RANKINE
La diminution de s’Ho va conduire le sol à un E.L. de Poussée.
Cercle de
poussée
s’H1
s’Ho
On peut ainsi calculer s’H1 à la rupture
L’augmentation de s’Ho va conduire le sol à un E.L. de Butée.
Cercle de
butée
s’Ho
s’H2
Pour les sols pulvérulents (c’ = 0) et pour un terrain horizontal, les
contraintes sont liées par les relations suivantes :
En poussée :
s ' H1 
1  sin  '
.s ' V
1  sin  '
= Kag.s’V
avec Kag : coefficient de poussée
En butée :
s 'H2 
1  sin  '
.s ' V
1  sin  '
= Kpg.s’V
avec Kpg : coefficient de butée
Comme s’V = g.h (pour un sol homogène), s’H varie linéairement avec la profondeur.
Pour les sols pulvérulents et cohérents et pour un terrain
horizontal, les contraintes sont liées par les relations suivantes :
En poussée :
1  sin  '
cos  '
s ' H1 
.s ' V  2c'
1  sin  '
1  sin  '
En butée :
1  sin  '
cos  '
s 'H2 
.s ' V  2c'
1  sin  '
1  sin  '
5) Cas des sols purement cohérent - Court terme
Terrain horizontal : sv = g.h
t
Cu
sv
sH1
s
sH2
En poussée :
sHa = sv – 2Cu = g.z – 2Cu
Le sol est en traction sur une certaine profondeur
En butée :
sHp = sv + 2Cu = g.z + 2Cu
Attention : il s’agit ici de contraintes totales, g est le poids volumique
apparent, généralement gsat.
Remarques concernant la théorie de Rankine
-Cette théorie existe également pour la butée, mais elle est peu utilisée.
- la théorie de Rankine n’est pas bien adaptée pour les écrans réels qui
imposent une orientation des contraintes .
6) Théorie générale de Boussinesq (1882)
Cette théorie donne la répartition des contraintes effectives sur un
plan réel dans le sol (paroi B.A., palplanche…).
Elle s’applique à la poussée et à la butée.
Hypothèses :
Sols pulvérulents : c’ = 0
Répartition des contraintes linéaires
On connaît l’état de rugosité de la paroi (inclinaison d).
b
r
l
eag
da
Sol (g,f’)
dp
epg
Ecran réel
Expression des contraintes :
Poussée : eag  kag.g.r
(inclinaison da positive )
: epg  kpg.g.r
(inclinaison dp négative)
Butée
Les coefficients kag et kpg sont donnés par les tables de
Caquot et Kérisel.
valeurs usuelles de d :
Paroi lisse : d = 0 (ex : palplanches)
Paroi rugueuse : d = f’ (ex : paroi coulée)
Paroi B.A. : d = 0,66.f’ (ex : paroi banchée)
Forces résultantes :
En poussée :
En butée :
1
2
Fag  kag .g .L
2
1
Fpg  kpg .g .L2
2
L : longueur de l’écran
Attention :
• Ces forces résultent de l’application des contraintes effectives
sur l’écran.
• Pour les sols humides, g correspond au poids volumique
apparent du sol.
• En présence d’une nappe, il faut prendre en compte le poids
volumique déjaugé du sol g’.
7) Actions des surcharges - Théorie de Prandtl
Surcharge uniforme verticale
b
q
Poussée
Sol :
g=0
c’ = 0
f’
eaq
l
d
La répartition des contraintes est uniforme :
eaq = kaq.q ( inclinaison d )
Force résultante : (longueur de l’écran L)
Faq = kaq.q.L
avec:
kaq 
kag
cosb  l 
8) Les E.L. et le calcul des soutènements
q
Sol (g, f’)
Faq  kaq.q.L
Poids du
mur
Fag  0,5.kag.g.L²