Transcript NP问题选讲
第七章 NP问题选讲 邹权（博士） 计算机科学系 提要 7.1 概念 7.2 规约 7.3 最大独立集问题 7.1 概念 • 判定问题 • P是所有可在多项式时间内用确定算法求解 的判定问题的集合。 • NP问题是所有可用多项式时间算法验证其 猜测准确性的判定问题的集合。 • P NP • P = NP ? • 多项式时间规约 – 问题A能够多项式时间规约到B – 说明：B比A难！ • NP完全问题，满足： – 该问题是NP问题 – 所有其他的NP问题都可以多项式时间规约到该问题 NP P NP-hard NPC 7.2 规约 • 3-CNF可满足性问题 – CNF（合取范式）：如果一个布尔公式是 一些子句的合取（与），而且子句是一 个文字或多个文字的析取（或），则该 公式是CNF。 – 如果CNF中每个子句都有且只有3个不同 的文字，则该公式称为3-CNF。 – 例：(x1 ¬x1 ¬x2) (x3 x2 x4) (¬x1 ¬x3 ¬x4) 7.2 规约 • 最大团问题 – 对于无向图G，一个团即图G的一个完全 子图 – 最大团问题即是否可以找出一个团，使 得其包含的顶点个数大于k • 顶点覆盖问题 – 对于无向图G=(V,E)，是否可以找出子集 V’，使得如果边(u,v) ∈E，则u ∈V’或v ∈V’，且|V’|<k • 已知3-CNF可满足问题是一个NPC问题， 试证明最大团问题也是NPC问题 – 首先易证最大团是一个NP问题。 – 为3-CNF φ构造一个图G。 – 然后欲证3-CNF φ可满足当且仅当图G有一个 大小为k的团。 – 多项式规约说明：如果最大团问题可以多项 式时间解决，那么3-CNF亦可以。也就是说： 最大团不会比3-CNF容易！ • 已知最大团问题是一个NPC问题，试证明 顶点覆盖问题也是NPC问题 – 首先易证顶点覆盖是一个NP问题。 – 为最大团的图G构造一个图G’ – 然后欲证图G有一个大小为k的团当且仅当图 G’ 有一个大小为|V|-k的顶点覆盖 – 多项式规约说明：顶点覆盖不会比最大团问 题容易！ – 如果最大团是NPC，顶点覆盖也是NPC。 CircuitSAT SAT 3-CNF-SAT TSP ParallelScheduling Clique GraphColoring VertexCover SetCover HamCycle SubsetSum Partition Knapsack BinPacking StripPacking 对比 • 以往的转化 – 欲解决问题A，将其转化为较简单的问题B， 然后解决B，从而解决A • 本章的转化（多项式规约） – 欲证明B不可解，找一个不可解（NP完全） 的问题A，将A多项式规约到B，从而说明B 比A难，B也不可解 7.3 最大独立集问题 • 问题 – 对于无向图G=(V,E)，是否可以找出顶点个数大 于k的子集V’，使得V‘中没有任何边 • NP完全性证明 – 顶点覆盖中顶点的补集即独立集 • 解决办法 – Hopfield神经网络 • 应用 – RNA二级结构预测 • 输入：RNA序列 GGGCGACUAGCUCAAGUGGUAGAGCGCUCGCUU AGCAUGCGAGAGGUACGGGGAUCGAUACCCCG GUCGUCCA • 输出：配对关系 • 目标：尽量多的碱基配对 参考文献 • Quan Zou, Tuo Zhao, Yang Liu, Maozu Guo. Predicting RNA secondary structure based on the class information and Hopfield network. Computers in Biology and Medicine. 2009,39(3):206-214 • 刘琦，张引，叶修梓，俞荣栋. 基于离散 Hopfield网络 求解极大独立集的茎区选择算法以及在RNA二级结构 预测中的应用. 计算机学报. 2008,31(1):51-58 • Y. Takefuji, L. Chen, K. Lee, J. Huffman. Parallel Algorithms For Finding A Near-Maximum Independent Set of A Circle Graph. IEEE Transaction On Neural Networks. 1990,1(3):263-267