Transcript 20a. Экстремальные задачи

Упражнение 1
На данной прямой с найдите такую точку C, расстояние до которой
от данной точки A, не принадлежащей прямой c, наименьшее.
Ответ. Искомой точкой является основание C перпендикуляра AC.
Для любой другой точки D прямой c будет выполняться неравенство
AC < AD.
Упражнение 2
Пусть точка A не принадлежит прямой c. Существует ли точка D на
прямой c, для которой расстояние AD наибольшее?
Ответ. Нет. Для любой точки D прямой c существует точка E на этой
прямой, для которой AE > AD.
Упражнение 3
На данной окружности найдите точку, до которой расстояние от
данной точки A наименьшее.
Ответ. Искомой точкой является точка B.
Действительно, пусть B’ – другая точка окружности. Если она
совпадает с C, то AB < AC. Пусть B’ не совпадает с C.
Тогда AB + BO < AB’ + B’O’ (по неравенству треугольника). Так как
BO = B’O, то из этого неравенства следует, что AB < AB’.
Упражнение 4
На данной окружности найдите точку, до которой расстояние от
данной точки A наименьшее.
Ответ. Искомой точкой является точка B.
Действительно, пусть B’ – другая точка окружности. Если она
совпадает с C, то AB < AC. Пусть B’ не совпадает с C.
Тогда AB’ > OB’ – OA (по неравенству треугольника). Так как OB’ =
OB, то из этого неравенства следует, что AB’ > AB.
Упражнение 5
На данной окружности найдите точку, до которой расстояние от
данной точки A наибольшее.
Ответ. Искомой точкой является точка С.
Действительно, пусть С’ – другая точка окружности. Если она
совпадает с B, то AC > AB. Пусть C’ не совпадает с B.
Тогда AC = AO + OC = AO + OC’ > AC’.
Упражнение 6
На данной окружности найдите точку, до которой расстояние от
данной точки A наибольшее.
Ответ. Искомой точкой является точка С.
Действительно, пусть С’ – другая точка окружности. Если она
совпадает с B, то AC > AB. Пусть C’ не совпадает с B.
Тогда AC = AO + OC = AO + OC’ > AC’.
Упражнение 7
На данной окружности найдите точку, от которой расстояние до
данной прямой a наименьшее.
Ответ. Искомой точкой является точка B.
Действительно, пусть B’ – другая точка
окружности. Если она совпадает с C, то
AC > AB. Пусть B’ не совпадает с C.
Тогда A’B’ + B’O > A’O (по неравенству треугольника), A’O >AO =
AB + BO (по свойству перпендикуляра и наклонной).
Следовательно, имеем неравенство A’B’ + B’O > AB + BO. Так как
B’O = BO, то из этого неравенства получаем неравенство A’B’ > AB.
Упражнение 8
На данной окружности найдите точку, от которой расстояние до
данной прямой a наибольшее.
Ответ. Искомой точкой является точка С.
Действительно, пусть С’ – другая точка
окружности. Если она совпадает с B, то
AC > AB. Пусть C’ не совпадает с C.
Тогда A’C’ < AC’ < AO + OC’ = AO + OC = AC.
Упражнение 9
На двух данных окружностях найдите точки, расстояние между
которыми наименьшее.
Ответ. Искомыми точками являются точки B1 и B2.
Действительно, пусть B1’, B2’ – другие точки окружностей.
Тогда O1B1’ + B1’B2’ + B2’O2 > O1O2= O1B1 + B1B2 + B2O2. Так как
O1B1’ = O1B1 и B2’O2 = B2O2, то будет выполняться неравенство
B1’B2’ > B1B2.
Упражнение 10
На двух данных окружностях найдите точки, расстояние между
которыми наибольшее.
Ответ. Искомыми точками являются точки С1 и С2.
Действительно, пусть С1’, С2’ – другие точки окружностей.
Тогда С1’ С2’ < O1C1’ + С1’ С2’ + C2’O2 = C1O1+ O1O2+ O2C2 =
C1C2.
Упражнение 11
Дана прямая с и две точки А и В, лежащие от нее по
разные стороны. На прямой c найдите такую точку С,
для которой сумма расстояний АС + СВ наименьшая.
Решение. Искомой точкой C является точка пересечения прямой c и
отрезка AB.
Действительно, для любой другой точки C’ прямой c выполняется
неравенство AC’ + C’B > AC + CB (неравенство треугольника).
Упражнение 12 (задача Герона)
Дана прямая с и две точки А и В, лежащие от нее по
одну сторону. На прямой c найдите такую точку С, для
которой сумма расстояний АС + СВ наименьшая.
Задачу Герона можно интерпретировать следующим
образом. Два населенных пункта расположены по одну
сторону от прямолинейного участка шоссе. В каком
месте шоссе следует построить автобусную остановку и
проложить от нее прямолинейные дорожки до
населенных пунктов, чтобы суммарная длина этих
дорожек была наименьшей.
Решение задачи Герона
Решение. Из точки B опустим перпендикуляр BH на прямую c, и
отложим на его продолжении отрезок HB’, равный BH. Искомой
точкой C будет точка пересечения прямой c и отрезка AB’.
Действительно, прямоугольные треугольники BCH и B’CH равны по
двум катетам. Следовательно, CB = CB’ и AC + CB = AC + CB’ =
AB’. Для любой другой точки C’ прямой c имеем: AC’ + C’B = AC’ +
C’B’ > AB’ = AC + CB (неравенство треугольника).
Упражнение 13
Дана прямая с и две точки А и В по одну сторону от нее.
Точка С на прямой c обладает тем свойством, что сумма
расстояний АС + СВ – наименьшая. Докажите, что угол
1 равен углу 2.
Доказательство. Рассмотрим точку B’, симметричную точке B
относительно прямой c. Углы 1 и 3 равны, как вертикальные. Углы
2 и 3 равны, как соответственные углы в равных треугольниках
BCH и B’CH. Следовательно, угол 1 равен углу 3.
Отражение света
Известно, что луч света распространяется по
кратчайшему пути. Поэтому, если луч света исходит из
точки A, отражается от прямой c и приходит в точку B,
то точка C, найденная в задаче Герона, будет точкой
отражения и, таким образом, имеет место закон
отражения света: угол падения светового луча равен
углу отражения.
Упражнение 14
На прямой c укажите точку C, для которой сумма
расстояний до двух данных точек A и B наименьшая.
Ответ.
Упражнение 15
На прямой c укажите точку C, для которой сумма
расстояний до двух данных точек A и B наименьшая.
Ответ.
Упражнение 16
На прямой c укажите точку C, для которой сумма
расстояний до двух данных точек A и B наименьшая.
Ответ.
Упражнение 17
Дана прямая с и две точки А и В, лежащие от нее по
одну сторону. На прямой c найдите такую точку С,
чтобы разность АС – СВ была наибольшей.
Решение. Искомой точкой C является точка пересечения луча AB и
прямой c, AC – CB = AB.
Для любой другой точки C’ прямой c выполняется неравенство AC’
– C’B < AB (неравенство треугольника).
Заметим, что если луч AB не пересекается с прямой c , то искомой
точки нет.
Упражнение 18
Дана прямая с и две точки А и В, лежащие от нее по
разные стороны. На прямой c найдите такую точку С,
чтобы разность АС – СВ была наибольшей.
Решение. Из точки B опустим перпендикуляр BH на прямую c. На
его продолжении отложим отрезок HB’, равны BH. Искомой точкой
C является точка пересечения луча AB и прямой c, AC – CB = AB’.
Для любой другой точки C’ прямой c выполняется неравенство AC’
– C’B < AB’ (неравенство треугольника).
Заметим, что если луч AB’ не пересекается с прямой c , то искомой
точки нет.
Упражнение 19
Дана прямая с и две точки А и В, лежащие от нее по
разные стороны. На прямой c найдите такую точку С,
чтобы разность АС – СВ была наибольшей.
Ответ.
Упражнение 20
Дан острый угол aOb и точка C внутри него. На сторонах a и
b этого угла найдите точки соответственно A и B, для которых
периметр треугольника ABC наименьший.
Решение. Из точки C опустим
перпендикуляры CH’ и CH” на
стороны a и b, на их продолжениях
отложим отрезки H’C’ и H”C”
соответственно равные отрезкам CH’ и
CH”. Искомыми точками A и B будут
точки пересечения отрезка C’C” со
сторонами данного угла.
Действительно, CA = C’A, BC = BC”, следовательно, периметр
треугольника ABC равен длине отрезка C’C”. Для любых других
точек A’, B’ на сторонах угла периметр треугольника A’B’C равен
длине ломаной C’A’B’C”, которая больше длины отрезка C’C”.
Упражнение 21
Дан прямой угол aOb и точка C внутри него. Выясните,
существуют ли на сторонах a и b этого угла точки соответственно A
и B, для которых периметр треугольника ABC наименьший.
Решение. Из точки C опустим
перпендикуляры CH’ и CH” на
стороны a и b, на их продолжениях
отложим отрезки H’C’ и H”C”
соответственно равные отрезкам CH’ и
CH”. Тогда  1 =  1’,  2 =  2’.
Следовательно, точки C’, O и C”
принадлежат одной прямой.
Для любых точек A и B на сторонах данного угла найдутся точки A’
и B’, расположенные ближе к вершине O, для которых периметр
треугольника CA’B’ будет меньше периметра треугольника ABC.
Таким образом, точек A, B, для которых периметр треугольника
ABC наименьший, не существует.
Упражнение 22
Дан тупой угол aOb и точка C внутри него. Выясните,
существуют ли на сторонах a и b этого угла точки соответственно A
и B, для которых периметр треугольника ABC наименьший.
Решение аналогично решению предыдущей задачи. Для любых
точек A и B на сторонах данного угла найдутся точки A’ и B’,
расположенные ближе к вершине O, для которых периметр
треугольника CA’B’ будет меньше периметра треугольника ABC.
Таким образом, точек A, B, для которых периметр треугольника ABC
наименьший, не существует.
Упражнение 23
Дан угол aOb и две точки C и D, лежащие внутри него.
На сторонах этого угла укажите точки соответственно A
и B, для которых сумма CA + AB + BD наименьшая.
Ответ.
Упражнение 24
Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Найдите точку E,
сумма расстояний от которой до вершин этого четырехугольника
наименьшая.
Решение. Искомой точкой является точка E пересечения диагоналей
четырехугольника.
Если точка E’ не принадлежит диагонали AC, то AE’+E’C > AE+EC
(неравенство треугольника). Если точка E’ не принадлежит
диагонали BD, то BE’+E’D > BE+ED. Следовательно, сумма
расстояний от точки E’ до вершин данного четырехугольника будет
больше, чем для точки E.
Упражнение 25
Предыдущую задачу можно интерпретировать следующим
образом. Четыре соседа в садовом товариществе решили вырыть
общий колодец и проложить к нему дорожки от своих домиков. В
каком месте следует расположить колодец, чтобы суммарная длина
дорожек была наименьшей?
Ответ. Искомым местом является точка E пересечения диагоналей
четырехугольника ABCD.
Упражнение 26
Укажите точку, сумма расстояний от которой до данных
точек A, B, C, D наименьшая.
Ответ.
Упражнение 27
Укажите точку, сумма расстояний от которой до данных
точек A, B, C, D, E, F наименьшая.
Ответ.