Transcript 第六章
线性系统理论
第六章
线性反馈系统的状态空间综合
已知受控系统结构参数及期望的系统运动形式或特征,
确定施加于受控系统的控制规律与参数,称为综合。当系
统以状态空间描述以后,系统的状态含有系统的全部运动
信息,若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭
环控制,便可得到相当好的控制效果。无论在抗扰动或抗
参数变动方面,反馈系统的性能都远优于非反馈系统。
线性系统理论
在本章中,将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常
系统的反馈控制规律的综合方法,包括建立可综合的条件
及建立控制规律及其算法。
综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和
优化型性能指标两种类型,它们都规定着综合所得系统运
动过程的期望性能。两者的差别是:非优化指标是一类不
等式型的指标,即只要性能值达到或好于期望指标就算实
现了综合的目标;
线性系统理论
优化型指标则是一类极值型指标,综合目的是要使性能指
标在所有可能值中取极值。本章讨论的综合问题主要涉及
的是非优化型指标,它们可能以一组期望的闭环系统极点
作为性能指标,讨论极点配置问题。系统运动的状态也即
其动态性能,主要是由系统的极点位置所决定。把闭环极
点组配置到所希望的位置上,实际上等价于使综合得到的
系统的动态性能达到期望的要求。
以渐近稳定作为性能指标,主要讨论各种反馈结构对
系统稳定性的影响。
线性系统理论
以使一个“多输入——多输出”系统实现“一个输入
只控制相应的某个输出”作为性能指标,其相应的综合问
题即为解耦控制问题。
还有在各种扰动作用下无静差地跟踪参考指令的性能
指标,其相应的综合问题为鲁棒控制问题(留在下一章专
门讨论)。
本章最后讨论状态观测器。在状态反馈中,假定所有
状态变量如输出量一样是可以得到的。实际上,这一假定
通常是不成立的。
线性系统理论
因此,若我们要实现状态反馈,则必须根据可利用的信息
来产生状态向量估值。这种建立近似状态向量的装置即为
状态观测器。状态观测器理论的建立,拓宽了状态反馈综
合方法的应用范围。
线性系统理论
§ 6.1
常用的反馈结构及其对系统特性的影响
§ 6.2
单输入-单输出系统的极点配置
§ 6.3
多输入-多输出传统的极点配置
§ 6.4
解耦控制
§ 6.5
状态观测器
线性系统理论
6.1
常用的反馈结构及其对系统特性的影响
无论是在经典控制理论还是在现代控制理论中,反馈
都是系统设计的主要方式。但由于经典控制理论是用传递
函数来描述的,因此它只能以输出量作为反馈量。而现代
控制理论由于是采用系统内部的状态变量来描述系统的物
理特性,因而除了输出反馈外,还可采用状态反馈这种新
的控制方式。
线性系统理论
一、两种反馈结构
1. 状态反馈
设有n维线性定常系统
x Ax Bu,
y Cx
(6.1)
式中 x, u, y 分别为n维、p维和q维向量,A、B、C 分别为
n n、n p、q n 阶实矩阵。
由式可画出该系统结构图如图6-1(a)所示。
线性系统理论
u
B
x
+
I /s
x
C
+
A
图6-1(a)
系统结构图
线性系统理论
在这里,我们研究形如 u v Kx 的线性状态反馈对
原线性定常动态方程的影响。其中v为p维系统参考输入向
量,K是 ( p n) 反馈增益矩阵。按要求,K应为实矩阵。
在研究状态反馈时,我们默认了这样一个假定,即所有的
状态变量都是可以用来反馈的。
因此,当将系统的控制量u取为状态变量x的线性函数
u v Kx
(6.2)
线性系统理论
时,称其为线性的直接状态反馈,简称状态反馈。由式
(6.1)与式(6.2)可以得出加入状态反馈后系统结构图如图
6-1(b)所示,将式代入式可得状态反馈系统动态方程为
x ( A BK ) x Bv,
y cx
(6.3)
其传递函数矩阵可表示为
Gk ( s) C ( sI A BK ) 1 B
(6.4)
线性系统理论
v
u
+
B
-
x
+
I /s
x
C
A
K
图6-1(b)
加入状态反馈后的结构图
y
线性系统理论
因此可用系统 {( A BK ) B C} 来表示引入状态反馈
后的闭环系统。而从式可以看出输出方程则没有变化。
2. 输出反馈
系统的状态常常不能全部测量到,状态反馈方法就有
一定的工程限制,在此情况下,人们常常采用输出反馈方
法。输出反馈的目的首先是使闭环成为稳定系统,然后在
此基础上进一步改善闭环系统的性能。
线性系统理论
当把线性定常系统的控制量u取为输出y的线性函数
u v Fy
(6.5)
时,相应的称为线性非动态输出反馈,简称为输出反馈。
加入输出反馈后系统的结构图如图6-2所示。
线性系统理论
v
u
+
B
x
+
-
I /s
x
+
A
F
图6-2
输出反馈系统
C
y
线性系统理论
由式(6.1)和式(6.5)可导出输出反馈的状态空间描述为
x ( A BFC ) x Bv,
y Cx
(6.6)
其传递函数矩阵则为:
GF ( s) C ( sI A BFC ) 1 B
(6.7)
不难看出,不管是状态反馈还是输出反馈,都可以改
变状态的系数矩阵。但这并不是说,两者具有等同的性能。
线性系统理论
由于状态能完整地表征系统的动态行为,因而利用状态反
馈时,其信息量大而完整,可在不增加系统的维数的情况
下,自由地支配响应特性;而输出反馈仅利用了状态变量
的线性组合来进行反馈,其信息量便较小,所引入的串、
并联补偿装置将使系统维数增加,且难于得到任意期望的
响应特性。一个输出反馈系统的性能,定有对应的状态反
馈系统与之等同,这时只需令 FC K ,确定状态反馈增
益矩阵是方便的;
线性系统理论
但是,一个状态反馈系统的性能,却不一定有对应的输出
反馈系统与之等同,这是由于令 K FC 来确定 F的解时,
或者形式上过于复杂而不易实现,或者 阵含有高阶导数
F
项而不能实现,或对于非最小相位的受控对象,如含有右
极点,而选择了右校正零点来加以对消时,便会潜藏有不
稳定的隐患。不过,输出反馈所用的输出变量总是容易测
得的,因而实现是方便的;而有些状态变量不便测量或不
能测量,需要重构,给实现带来麻烦是需要克服的障碍。
线性系统理论
通过引入状态观测器,利用原系统的可测量变量 y 和 u 作
为其输入以获得x的重构量 xˆ ,并以此来实现状态反馈
(图6-3)。有关状态观测器和带有状态观测器的状态反
馈系统的分析和综合问题,将在本章的最后几节中研究。
线性系统理论
v
u
+
B
x
+
-
I /s
x
C
+
A
K
图6-3
xˆ
状态观测器
利用观测器来实现状态反馈
y
线性系统理论
二、反馈结构对系统特性的影响
由于反馈引入后,系统状态的系数矩阵有了变化,对
系统的能控性、能观测性、系统的稳定性、系统的响应等
都有影响。本节我们将研究反馈对能控性、能观测性,稳
定性的影响及对闭环极点位置的影响问题。
1. 对能控性与能观测性的影响
对此,有如下两个结论。
线性系统理论
结论1
状态反馈的引入,不改变系统的能控性,但
可能改变系统的能观测性。
设受控系统 的动态方程为
证
0
x Ax Bu,
则由
0
状态反馈后的系统
y Cx
x ( A BK ) x Bv,
k
的动态方程为
y Cx
首先证明:状态反馈系统 k 为能控的充分必要条件是受
控系统 0 为能控。
线性系统理论
表示 0 和 k 的能控性判别阵分别为
Qc [ B AB
和
An1B]
( A Bk ) n1 B]
Qck [ B ( A Bk ) B
由于
B [b1 b2
bp ],
AB [ Ab1
( A Bk ) B [( A Bk )b1
Ab2
( A Bk )bp ]
式中 bi 为列向量。将K表为行向量组{ki },即
Abp ],
线性系统理论
k1
k ,
k p
k1bi
bp
k p bi
( A Bk )bi Abi b1
令式中 c1i k1bi ,
, c pi k pbi , cii ( j 1,
, p) 均为标量,
故
( A Bk )bi Ab1 (ci1b1
c pibp )
线性系统理论
该式表明(A-Bk )B 的列是[B AB]的列的线性组合。同理有
(A-Bk )2 B 的列是 [B AB A 2B] 的线性组合,如此等等。
故Q ck 的每一列均可表为 Q 的列的线性组合,由此可得
c
rankQck rankQc
(6.8)
另一方面, 0 又可以看成为 k 的状态反馈系统,即
x = Ax + Bu = [(A - Bk ) Bk ]x + Bu
所以,同理可得下式
rankQc rankQck
(6.9)
线性系统理论
由式(6.8)和式(6.9)可导出
rankQck rankQc
从而 ck 能控,当且仅当 c 能控。
再来证明状态反馈系统不一定能保持能观测性。对此
只需举反例说明,设为 0 能观测的,但 k不一定为能观
测。如考察系统
1 2
0
x
x u, y 1 1 x
0 3
1
线性系统理论
其能观测性判别阵
c 1 1
Q0
cA
1
5
满足 rankQ0 n 2,故 0为能观测。现引入状态反馈,
取 k 0 4 ,则状态反馈系统为
1 2
0
x ( A - bk )x Bv
x v, y 1 1 x
0 1
1
线性系统理论
其能观测性判别阵
c
1 1
Q0k
c
(
A
bk
)
1
1
显然有 rankQ0 k 1 n 2 ,故 k 为不完全能观测。而若
取 k 0 5 ,则通过计算可知, k 为能观测的。从而表
明状态反馈可能改变系统的能观测性,这是由于人为地使
配置极点和零点相对消造成的。
线性系统理论
结论2
输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性
和能观测性,即输出反馈系统 F 为能控(能观测)的充
分必要条件是受控系统 0 为能控(能观测)。
证
首先,由于对任一输出反馈系统都可找到一个等
价的状态反馈系统 K = FC
,而已知状态反馈可保持能控性,
从而证明输出反馈的引入不改变系统的能控性。
线性系统理论
其次,表示 0 和 F 的能观测判别阵分别为:
C
CA
Q0
n-1
CA
由于
和 Q
oF
c1
c1A
C
CA
,
,
cq
cq A
C
C( A - BFC)
n-1
C
(
A
BFC
)
线性系统理论
c1 ( A BFC)
C( A BFC)
cq ( A BFC)
式中 ci 为行向量。将F表示为列向量组 { fi } ,即
F f1
则
f q
ci ( A - BFC) ci A ci B( f1c1
ci A [(ci Bf1 )c1
f q cq )
(ci Bf q )cq ]
线性系统理论
令式中 ci Bf j j , j 1,
的行是 CΤ
, q , j 为标量,该式表明C( A BFC)
Τ Τ Τ
A C 的行的线性组合。同理有 C( A BFC)2
Τ
的行是 CΤ A ΤCΤ ( A Τ ) 2 CΤ 的行的线性组合,如此等
等。故 Q oF 的每一行均可表示为 Q o 的行的线性组合,由
此可得
rankQoF rankQo
进而,可把 0看成 F 的反馈系统,又有
(6.10)
线性系统理论
rankQo rankQoF
从而,由式(6.10)和(6.11)即得
rankQo rankQoF
这表明输出反馈克保持能观测性。证毕。
(6.11)
线性系统理论
2.稳定性与镇定
状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。加入反
馈,使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统,就称为
镇定。鉴于状态反馈的优越性,这里只讨论状态反馈的镇
定问题。对于线性定常受控系统
x = Ax + Bu
如果可以找到状态反馈控制律
u = -Kx + v, v为参考输入
线性系统理论
使得通过反馈构成的闭环系统
x = (A - BK)x + Bv
是渐近稳定的,也即其特征值均具有负实部,则称系统实
现了状态反馈镇定。在镇定问题中,综合的目标不是要是
闭环系统的极点严格地配置到任意指定的一组位置上,而
是使其配置于复数平面的左半开平面上,因此这类问题属
于极点区域配置问题,是指定极点配置的一类特殊情况。
利用这一点,可以很容易导出镇定问题的相应结论。
线性系统理论
依据极点配置的基本定理可知,如果系统 A B 为
能控,则必存在状态反馈增益矩阵K,使得 ( A - BK ) 的全
部特征值配置到任意指定的位置上。当然,这也包含了使
Re i ( A - BK ) 0, i 1, 2, , n 。因此, A B 为能控是系
统可由状态反馈实现镇定的充分条件。状态反馈镇定的充
分必要条件由下述结论给出。
结论
线性定常系统是由主题反馈可镇定的,当且仅
当其不能控部分是渐近稳定的。
线性系统理论
由 A B为不完全能控,则必可对其引入线
性非奇异变换而进行结构分解:
证明
Ac
A = PAP =
0
-1
Bc
A12
, B = PB =
Ac
0
并且对任意K = K 1 K 2 可导出
det(sI A + BK ) = det(sI A + BK )
sI A c + B c K1 A12 + B c K 2
det
0
sI
A
c
det(sI A c + B c K1 ) det(sI A c )
线性系统理论
Bc 为能控,故必存在 K1 ,使 ( Ac Bc K1 )的特
征值具有负实部,而状态反馈对不能控子系统的极点毫无
但知
A
c
影响。从而即知,欲使 ( A BK )的特征值均具有负实部,
也就是上述系统由状态反馈可镇定的充分必要条件是:不
能控部分 A c 的特征值均具有负实部。证毕。
线性系统理论
3.极点配置问题
当反馈形式确定以后,极点配置问题就是依据希望的
指定极点位置来计算反馈增益矩阵的问题。对于状态反馈
而言,单输入系统的、反馈增益是唯一的,而多输入系统
的反馈增益阵不唯一;但无论是单输入或多输入系统,只
要系统完全能控,则系统的极点可以实现任意配置。关于
状态反馈的极点配置问题将在6.2、6.3节中详细介绍。
线性系统理论
6.2 单输入-单输出系统的极点配置
由于一个系统的性能和它的极点位置密切相关,因此
极点配置问题在系统设计中是很重要的。这里,需要解决
两个问题:一个是建立极点可配置条件,也就是给出受控
系统可以利用双腿反馈而任意配置其闭环极点所应遵循的
条件:另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩
阵K的算法。
线性系统理论
一.极点可配置条件
我们来给出利用状态反馈的极点可配置条件,应该说
明的是,该条件既适于单输入-单输出系统,又适于多输
入-多输出系统。
定理
设受控系统状态方程为
x = Ax + Bu
(6.12)
要通过状态反馈的方法,使闭环系统的极点位于预先规定
的位置上,其充分必要条件是系统(6.12)完全能控。
线性系统理论
证明
下面就单输入-多输出系统的情况证明本定理。
这时式(6.12)中B的为一列,记为b。
先证充分性。考虑到一个单输入能控系统通过 x = P-1 x
的坐标变换可换成能控规范型
x = Ax + bu, y = Cx
式中
线性系统理论
0
0
A
0
a0
1
0
0
1
0
0
a1
a2
10
20
C=
q0
11
21
q1
0
0
1
an1
1(n-1)
2(n-1)
q(n-1)
0
0
b
0
1
线性系统理论
即 A = PAP-1 ,b = Pb 在单输入情况下,引入下述状态反
馈,
u = v - kx = v - kP -1x = v - kx
其中 k = kP 1,则引入状态反馈向量 k [k0
后状态反馈构成的闭环系统状态阵为
k1
kn1 ]
线性系统理论
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
(a0 k0 ) (a1 k1 ) (a2 k2 )
0
1
(an1 kn1 )
0
(6.13)
对于式(6.13)这种特殊形式的矩阵,很容易写出其闭环
特征方程
线性系统理论
det[ sI ( A b k )] s n (an1 kn1 ) s n1 (an2 kn2 ) s n2
(a1 k1 ) s (a0 k0 ) 0
由上式可见,n阶特征方程中的n个系数,可通过
k0 k1
kn1 来独立地设置,也就是说 A b k 的特征值
可以任意选择,既系统的极点可以任意配合着。
再证必要性。如果系统 A B 不能控,就数码系统
的有些状态将不受u的控制。显然引入反馈时,企图通过
控制量u来影响不能控的极点将是不可能的。
线性系统理论
至此,证明完毕。
考虑到实际问题中几乎所有的系统都是能控的,因此
通常总可以利用状态反馈来控制系统的特征值即振型,而
这正是状态反馈的重要特征之一。
线性系统理论
二.单输入-单输出系统的极点配置算法
需要解决的是状态反馈增益矩阵的问题。这里给出一
种规范算法。
给定能控矩阵对 A b和一组期望的闭环特征值
1 2
n ,要确定 (1 n)维的反馈增益矩阵,使
i ( A bk ) i , i 1, 2, n 成立。
第1步:计算A的特征多项式,即
线性系统理论
det[ sI A] s n an1s n1 an2 s n2
第2步:计算由 1
多项式,即
2
a ( s ) ( s 1 )( s 2 )
a1s a0
n 所决定的希望特征
( s n )
s n an1s n1 an2 s n2
a1 s a0
第3步:计算
k a0 a0
a1 a1
an1 an1
线性系统理论
第4步:计算变换矩阵
P A B
1
n-1
第5步:求P;
1
a
AB B n1
a1
第6步:所求的增益阵 k = kP
1
an1
1
线性系统理论
应说明的是,以上规范算法也适于单输入-多输出系
统;求解具体问题也不一定化为能控规范型,可直接计算
状态反馈系统的特征多项式 det( sI A bk ) ,式中系数均
为 ki 的函数。
例6.1
给定单输入线性定常系统为:
0
0 0
1
x 1 6 0 x 0 u
0 1 12
0
线性系统理论
再给定一组闭环特征值为:
1 2, 2 1 j, 3 1 j
易知系统为完全能控,故满足可配置条件。现计算系
统的特征多项式:
0
0
s
det( sI A) det 1 s 6
0 s 3 18s 2 72 s
1 s 12
0
进而计算
线性系统理论
3
a ( s ) ( s i ) ( s 2)( s 1 j )( s 1 j ) s 3 4s 2 6s 4
i 1
于是,可求得
k a0 a0
再来计算变换阵
a1 a1 a2 a2 4 66 14
线性系统理论
1
P 1 A 2b Ab b a2
a1
0 0
1 0 6
a2 1 1
0 0
k kP 4 66 14 0 1
1 18
0
0 1 1 0
1 0 18 1
0 0 72 18
1
12 14
144
1
0 0
P 0 1 12
1 18 144
0 72 18 1
0 12 1 0
1 1 0 0
186 1220
线性系统理论
或令
a ( s ) det( sI A + bk )
s k1
1
0
k2
s6
k3
0
1
s 12
s 3 (k1 18) s 2 (18k1 k2 72) s (72k1 12k2 k3 )
于是 k1 18 4;18k1 k2 72 6;72k1 12k2 k3 4
同样可得
k1 14, k2 186, k3 1220
线性系统理论
三.状态反馈对传递函数零点的影响
状态反馈在改变系统极点的同时,是否对系统零点有
影响,下面对此问题作出具体分析。已知对于完全能控的
单输入-单输出线性定常受控系统,经适当的线性非奇异
变换可化为能控规范型
x = Ax + bu, y = Cx
受控系统的传递函数 G ( s)为
线性系统理论
G ( s ) c( sI A) 1 b c ( sI A) 1 b
0
1
s n an1s n1
n1s n1
n1
a1s a0
1s 0
n
s an1s n1 a1s a0
1 0
s 0
s n1 1
线性系统理论
引入状态反馈后的闭环系统传递函数Gk ( s ) 为
Gk ( s ) c( sI A bk ) 1 b c ( sI A b k ) 1 b
0
1
s n an1s n1
n1
a1 s a0
n1s n1
1s 0
n
s an1s n1 a1 s a0
(6.15)
1 0
s 0
s n1 1
线性系统理论
上述推导表明,由于 adj( sI A)与 adj( sI A b k ) 的第n列
相同,故G ( s) 与 Gk ( s )的分子多项式相同,即闭环系统零
点与受控系统零点相同,状态反馈对G ( s) 的零点没影响,
唯使 G ( s)的极点改变为闭环系统极点。然而可能由这种情
况,引入状态反馈后恰巧使某些极点转移到零点处而构成
极、零点对消,这时既失去了一个系统零点,由失去了一
个系统极点,并且造成了对消掉的那些极点(即振型)称
为不能观测。这也是对状态反馈可能使系统失去能观测性
的一个直观解释。
线性系统理论
6.3 多输入-多输出传统的极点配置
设能控的多输入-多输出受控系统动态方程为
x = Ax + bu, y = Cx
(6.16)
引入状态反馈控制规律 u = v Kx ,式中K为 p n 矩阵,
则闭环动态方程为
x = ( A BK )x + bv, y = Cx
(6.17)
线性系统理论
适当选择K阵的 p n个元素,为任意配置n个闭环极点提供
了很大的自由,但通常包含大量的数值计算,K阵选择不
唯一,导致传递函数矩阵不唯一系统动态响应特性并不相
同。这些是多变量系统极点配置问题的特点。其中一种能
显著降低K阵的计算量,它是人为地对K阵的结构加以限制,
即不采用满秩结构(
(
rankK),而采用单位秩结构
p
rankK ),这时可将多输入-多输出系统化为等价的
1
单输入系统,于是可进而采用单输入系统的极点配置算法。
线性系统理论
另一种是化为龙伯格能控规范型的极点配置方法,依该法
所选的K阵,可使系统有良好的动态响应。下面来分别介
绍这两种方法。
一.化多输入-多输出系统为等价单输入系统的极点配
置算法
当K阵取为单位秩结构,则K阵只有一个独立的行或列,
即令
是
为 ρ (p
向量,
K ,式中
= ρk
1) 为 k
,闭环动态方程为。
u = v ρkx
x ( A Bρk )x + Bv
(1向量,于
n)
线性系统理论
再来看单输入-多输出受控系统,设能控的动态方程
为 x = Ax + B u ,y = Cx ,引入状态反馈 u = v - kx ,
则闭环动态方程为 x = ( A - B k ) x + B v。显见二者的闭环
状态阵全同,具有相同的闭环极点,故K取单位秩结构的
实质就是化多输入-多输出系统为等价的单输入系统,这
里等价的含意是指闭环极点配置等价。
线性系统理论
K阵取单位秩结构以后,其中含 ( p n) 个待定元素,
通常由设计者任意规定 ρ 的p个元素,只待确定k的n个元
素以配置n个极点。然而,化成的等价单输入系统必须满
足能控的条件,才能以 u = v - kx 来任意配置极点,即要
求
rank Bρ A( Bρ)
An-1 ( Bρ) n
但怎样才能使一个能控的多输入-多输出受控系统,化成
一个能控的等价单输入受控系统呢?这里要用到循环矩阵
的概念。
线性系统理论
1.循环矩阵及其属性
如果系统矩阵A的特征多项式 det( sI - A) 等同于其最
小多项式 ( s ),则称其为循环矩阵。或者说,预解矩阵
( sI - A)1 不可简约,即 det( sI - A)与 adj ( sI - A)之间无公
因子,则为循环矩阵。它有如下一些特征:
1).将循环矩阵化为约当规范型后,每一个不同的特
征值仅有一个约当块;
线性系统理论
2). 如果的所有特征值两两相等,则必定是循环矩阵;
3).若A为循环矩阵,其循环性是指:必存在一个向量
b,使向量组
即
能控;b
B
A4).若
Ab
An1b
可张成一个n维空间,
能控,且A为循环阵,则对几乎任意的
维实向量
为能控
A B,使单输入系统的矩阵对
ρ
(这也是可化为等价单输入系统任意配置极点的充要条
A Bρ
p 1
件);
线性系统理论
5).若A为非循环阵,但 A B 能控,则对几乎任意
的 p n 实矩阵K,( A - BK ) 为循环阵。
下面我们仅对特性1)作一证明。其余特性可由读者自
行推导。
证明 设 1 , 2 , n 为A的两两相异的特征值,其重数
分别为 m1 , m2 , mn ,则可知A的特征多项式:
a
det( sI - A) ( s i ) mi
i 1
(6.18)
线性系统理论
再表A的约当规范型为:
J1
Aˆ =
J2
Ja
i
J ij
mij mij
J i1
Jj
mi mi
1
i
1
i
Ji2
J ir
(6.19)
线性系统理论
且有(mi1 mi 2
mir ) mi ,(m1 m2
m现令
mi 2
i max mi1
理论可知
Aˆ
ma ) n
mir
(也即A)的最小多项式
( s)
a
( s) ( s i ) m
i
,则由矩阵
为
(6.20)
i 1
于是,利用循环矩阵的定义,并由(6.16)和(6.18)
即知:A为循环矩阵,当且仅当
mi mi ,也即A的约当规范
型中每一个不同的特征值仅有一个约当块。至此,证明完
毕。
线性系统理论
下面通过举例来补充说明。设 A = diag 1 2 3 ,
则 det( sI - A) ( s) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) ,故A为循环矩
阵。此时
adj ( sI - A) diag ( s 2 )( s 3 ) ( s 1 )( s 3 ) ( s 1 )( s 2 )
显见 det( sI - A) 与 adj ( sI - A) 之间无公因子。有
adj ( sI - A) s 0
j
则A则为循环矩阵。
j 1, 2,3
线性系统理论
设
1 1
A=
1
1
( s 1 ) 2 ( s 1 )
0
1
2
则 ( sI - A) 1
0
(
s
)
0
1
( s 1 )3
2
0
0
(
s
)
1
这里 det( sI - A) ( s 1 )3, ( s) ( s 1 ) 2 ,故A为非循环矩
阵。
线性系统理论
已知多输入-多输出系统A、B分别为
3 1 0
0 4
0 3 1
0 0
A = 0 0 3
B = 2 1
2
1
4
3
2
2 0
易知 A B 能控且A为循环矩阵。其等价的单输入系统
A Bρ 其
线性系统理论
0 4
0 0
ρ1
ρ1
Bρ = B 2 1 2 1 2
ρ2
ρ2
4 3
2 1
2 0
只需满足 2 1 2 0 及 2 1 0便能保证 A Bρ能控。唯
有 1 0 或/和 1 0 时, A Bρ不能控,故有属性4。
线性系统理论
设A、B分别为
1 0
A=
0
1
1 0
,B =
0 1
易知 A B 能控,但A为非循环矩阵。引入任意的状态反
馈矩阵如
a 0 ,其中 a 为任意非零值,其闭环状
K1
0
0
1 a 0
态阵为 A - BK1
,其特征值两两相异,
0
1
线性系统理论
故 A - BK 1 为循环矩阵,可以此修正的受控对象来进一步
化为等价的单输入系统,即保障了 A - BK 1 B 的能控
性,故有属性5。通常 K1 的结构尽可能简单, a 数值尽可
能小,便可满足循环性要求。于是对非循环的受控对象的
极点配置问题需分两步进行:第一步引入 K1 消去A的非循
环性,显然这不会改变受控对象的能控性, A - BK 1 B
是能控矩阵对;第二步再引入单位秩状态反馈矩阵 K 2 K
来配置极点。对原受控对象来说,总的状态反馈矩阵K为
K = K1 + K 2 = K1 + k
线性系统理论
2.多输入-多输出系统极点配置定理
若(6.16)所示受控对象能控,则通过线性状态反馈
u = v - Kx 可对 ( A - BK ) 的特征值任意配置,式中K为 p n
实常矩阵。
证 若A为非循环矩阵,现引入 u = ω - K1 x 使得
x = ( A - BK1 ) x + B
(6.21)
A - BK1是循环的。因为 A B 能控,所以
A B能控。
式中 A
线性系统理论
因而存在一个 p 1维实向量 ρ 使得 A B 也能控。
现引入另一状态反馈 ω = v - K 2 x ,且取 K 2 k ,
其中k是 1 n 实向量。
于是式(6.21)成为
x = ( A - BK 2 ) x + Bv = ( A - B k ) x + Bv
由于 A B 能控,则借助于选择k,就能任意配置
( A - B k ) 的特征值。
线性系统理论
将状态反馈 u = ω - K1 x 与状态反馈 ω = v - K 2 x 合起来,
便得 u = v - ( K1 + K 2 ) x
v - Kx(为K反馈矩阵)于是定理
得证。见图6-4。
若 A B 不能控,则将它们变换成
A11
0
A12
A22
, B1
0
这时任何状态反馈向量都不能影响 A22的特征值。
线性系统理论
因此我们判定,能够任意配置 ( A - BK ) 的特征值之充分必
要条件是
A
B 能控。
K2
K1
v
u
x
B
I /s
x
A
图6-4 多变量动态方程的状态反馈
y
C
线性系统理论
3.极点配置算法步骤
给定能控矩阵对 A B 和一组期望的闭环特征值
1 2
n 要确定 p n 维反馈增益矩阵K,是式
i ( A - BK ) = i , i 1, 2, n
成立。
第1步:判断A是否为循环矩阵。若不是,消去一个 p n
阶常阵 K1使 A - BK1 为循环,并定义 A = A - BK1;若是,
则直接选取 A = A ;
线性系统理论
第2步:对于循环矩阵 A ,通过适当选取一个 p 1 维
实常向量 ρ ,使得 A B 也能控;
第3步:对于等价单输入问题 A B ,利用单输入
极点配置问题的算法,求出增益向量k;
第4步:当A为循环时,所求增益矩阵 K k ;当A为
非循环时,所求增益矩阵则为 K k + K1 ;
线性系统理论
容易看出,在这一算法中, K和
1
的选取不是唯一的,
有着一定的任意性。从工程实现的角度而言,通常总是希
望使得
和K1 的选取以达到K的各个元素为尽可能地小。
但是总的来说,由这种算法得到的K的各反馈增益值往往
偏大。
线性系统理论
二.化多输入-多输出系统为龙伯格能控规范型的极点
配置算法
由第3章可知,能控的多输入-多输出系统可化为龙伯
格能控规范型,其 A 的对角线上的块阵,均为维数由能
控性指数集确定的友矩阵,当引入状态反馈阵 K 以后,其
仍为结构形式相同的龙伯格能控规范型。若将希望闭环极
点按该规范型对角线上块阵的维数进行分组,分别确定各
组的多项式,便可构造仅含友矩阵的对角线分块矩阵
线性系统理论
( A - B K ) ,它作为希望的闭环状态阵,经与( A - BK ) 相
比较便能确定 K 阵诸元。为了叙述简便,结合一个 n 9, p 3
的一般性例子来说明算法步骤。
第1步:把能控矩阵
例如
A
B对化成龙伯格能控规范型,
线性系统理论
0
0
a10
0
A = S -1 AS = 21
0
0
0
31
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
a11
a12
14
15
16
17
18
0
0
0
1
0
0
0
22
23
a20
a21
26
27
28
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
32
33
34
35
0
a30
0
a31
0
a32
0
0
19
0
29
0
0
1
a33
线性系统理论
0
0
1
0
B = S 1 B = 0
0
0
0
0
0
0
r
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0 其中S为线性变换矩阵
0
0
0
1
线性系统理论
第2步:把给定的期望闭环特征值 1
2
9
按龙伯格能控规范型 A的对角线块阵的维数,相应地计算
a1 ( s ) ( s 1 )( s 2 )( s 3 ) s 3 a12 s 2 a11 s 2 a10
2
a2 ( s ) ( s 4 )( s 5 ) s 2 a21
s a20
3
2
2
a3 ( s ) ( s 6 )( s 7 )( s 8 )( s 9 ) s 4 a33
s a32
s a31
s a30
构造希望的闭环状态阵:
线性系统理论
0
0
a10
A - B K =
1
0
0
1
a11
a12
0
1
a20
a21
0
1
0
0
0
1
0
a30
0
a31
0
a32
0
0
1
a33
线性系统理论
希望特征多项式为
9
det( sI - A + B K ) a1 ( s )a2 ( s )a3 ( s ) ( s i )
i 1
第3步:由( A - BK ) 与 ( A - B K ) 相比较确定 K ,其中
线性系统理论
( A - BK ) =
0
0
a10 k11 k 21
0
21 k21
0
0
0
31 k31
1
0
0
0
0
14 k14 k 24
15 k15 k 25
0
23 k23
0
a20 k 24
1
a21 k 25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
32 k32
33 k33
34 k34
35 k35
a11
0
0
k12 k 22
22
0
k 22
a12
1
k13 k 23
0
0
0
0
0
0
16 k16 k 26
17 k17 k 27
18 k18 k 28
0
0
0
26 k26
27 k27
28 k28
0
0
0
0
0
0
0
a30 k36
0
a31 k37
0
a32 k38
0
19 k19 k 29
0
29 k29
0
0
0
a33 k39
0
线性系统理论
令 det( sI - A+ BK ) det( sI - A + B K ) ,故 K 为
a10 a10 21 a11 a11 22 a12 a12 23
K=
21
22
23
31
32
33
14 (a20
a20 ) 15 (a21
a21 ) 16 26
a20
a20
a21
a21
26
34
35
a30
a30
17 27
27
31
a a31
18 28 19 29
28
29
32
a a32
a a33
33
线性系统理论
第4步:据下列各式计算化为龙伯格能控规范型的变
换矩阵 S -1 :
P = b1
Ab1
A11
bm
Abm
A11bm
式中 1 m 为能控性指数集。求 P 1 并按行分块,第1
行块含 1 行,…,第m行块含 m 行;再由各行块的末行
按规则构造变换矩阵 S -1 。其中 P 1、S -1记为
线性系统理论
l1T1
l11T
T
l11 A
1行
l1T
1
1 1
T
A
l
1
11
P
-1
S
lT
m1
lT
m m
T
m行
l T
lm m A
m m n n
lmT A1 1
m
1行
nn
m行
线性系统理论
第5步:所求的状态反馈增益矩阵即为
K = KS -1
这种计算过程是很规范化的。计算过程中,主要的计
算工作为计算变换阵 S -1 和导出龙伯格能控规范型 A B。
而且,由这一算法所求得的K阵诸元的数值常比由算法Ⅰ
定出的结果要小得多。这时这种算法的一个优点。并且,
如果龙伯格规范型 A中对角线块阵的个数愈多,即子块的
维数愈小,则这个优点就愈明显。
线性系统理论
例6.2 给定多输入定常系统为规范型:
0 1 0 0 0
0
0 0 1 0 0
0
x = 3 1 0 1 2 x + 1
0
0
0
0
1
0
4 3 1 1 4
0
再给定期望的一组闭环特征值为
0
0
0 u
0
1
1 1, 2,3
2 j, 4,5
1 j 2
线性系统理论
方案1:利用算法Ⅰ,先求出
a1 ( s ) ( s 1)( s 2 j )( s 2 j ) s 3 5s 2 9s 2 5
a2 ( s ) ( s 1 j 2)( s 1 j 2) s 2 2s 2 5
再根据反馈阵的算式,即得
8 10 5 1 2
K=
4
3
1
4
2
并且,容易定出,希望的反馈系统的系统矩阵为:
线性系统理论
0 1 0
0 0 1
A - BK = 5 9 5
0
1
5 2
而其特征多项式就是:
det( sI A BK ) ( s3 5s 2 9s 5)( s 2 2s 5)
从而满足极点配置要求。
线性系统理论
方案2:先求出
5
( s) ( s i* ) s 5 7 s 4 24s 3 48s 2 55s 25
*
i 1
可知期望的闭环系统矩阵应为:
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
A BK 0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
25 55 48 24 7
线性系统理论
于是,利用给出的阵A和上述得到的矩阵 A BK ,可得:
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
BK 3 1 0 0 2 1
0
0
0
0
0
0
29 58 49 23 3 0
由此可定出所要求的反馈增益矩阵为
3 1 0 0 2
K
29
58
49
23
3
0
0
0 K
0
1
线性系统理论
上述计算方法实质上即为算法1。
并且,通过比较由两种方案所得到的增益矩阵K可以
看出,一般地说,按算法II导出的中元的值从整体上要小
于按算法I导出的K中的元。
状态反馈对多输入-多输出系统传递函数矩阵的零点
的影响 已知单变量系统引入状态反馈后,通常不改变传
递函数零点,该结论对于多输入-多输出系统也是适用的,
即状态反馈通常不改变传递函数矩阵的零点。
线性系统理论
注意到在第三章中关于传递函数矩阵的零点的定义,便可
将单变量系统的上述结论推广到多输入-多输出系统。但
是,传递函数矩阵的诸元的分子多项式是受状态反馈影响
而改变的,详见下面举例。
例6.3
考虑一个双输入-双输出线性定常系统,其系
数矩阵为:
1 0 0
1 0
1 0 2
A 0 2 0 , B 0 1 , C
2
1
0
0 0 3
1 1
线性系统理论
容易算出,此系统的传递函数矩阵为:
3s 5
( s 1)( s 3)
G (s)
2
s 1
G ( s ) 的极点是 1 1, 2 2, 3 3;
2
s 3
1
s 2
G ( s ) 的零点是 z 3 。
现引入状态反馈控制,其状态反馈增益阵为:
6 15 15
K
0
3
0
线性系统理论
则可导出状态反馈系统的各系数矩阵为:
7 15 15
1 0
1 0 2
A BK 0 1 0
, B 0 1 , C
2
1
0
6 12 12
1 1
并且,相应地,闭环系统的传递函数矩阵为:
3s 5
( s 2)( s 3)
G k (s)
2( s 3)
( s 2)( s 3)
2 s 2 12 s 17
( s 1)( s 2)( s 3)
( s 3)( s 8)
( s 1)( s 2)( s 3)
线性系统理论
比较 G k ( s )和 G ( s ) 不难看出,状态反馈的引入,使 G k ( s )
的极点移动到 1* 1, 2* 2, 3* 3,但 G k ( s ) 的零点仍
为 z 3 ,G k ( s ) 的大部分元传递函数的零点与 G ( s )的元传递
函数的零点很不相同。利用状态反馈可以影响受控系统的
的 G ( s ) 元传递函数的零点这一事实,并注意到极点配置
问题中反馈增益矩阵的不唯一性,我们不难得出结论:
线性系统理论
对于可实现相同极点配置的两个不同的反馈增益矩阵 K1
和 K 2 ,其相应的闭环系统的传递函数矩阵 C( sI A BK )1 B
1
和 C( sI A BK 2 )1 B 一般是不相同的,从而也就有不同
的状态运动响应和输出响应。显然,在极点配置问题的综
合中,应当选取同时使元增益值较小且瞬态响应较好的反
馈增益矩阵解。通常按算法II导出的反馈增益矩阵K,较
优于其它算法导出的结果。
线性系统理论
6.4
问题描述
解耦控制
设受控系统状态方程为。
x Ax Bu , y Cx
其中输入向量和输出向量有相同的维数m。如果 x(0) 0 ,
则输入与输出之间的关系可用传递矩阵表示:
y ( s) G( s)u( s) C( sI A) 1 Bu( s)
线性系统理论
上式可展开成
y1 ( s ) g11 ( s )u1 ( s ) g12 ( s )u2 ( s )
y2 ( s ) g 21 ( s )u1 ( s ) g 22 ( s )u2 ( s )
g1m ( s )um ( s )
g 2 m ( s )um ( s )
ym ( s ) g m1 ( s )u1 ( s ) g m 2 ( s )u2 ( s ) g mm ( s )um ( s )
我们称这些方程是耦合的,因为每一个输入都影响所
有的输出。如果要在其它输出都不改变的情况下去调整某
个输出,通常是十分困难的。
线性系统理论
定义
设如果系统 ( A B C) 的传递矩阵 G ( s ) 是对角
化的非奇异矩阵,则称系统 ( A B C) 是解耦的。这样一
个系统可以看作是由个独立的子系统所组成。如图6-5所
示。
因此寻求一些控制规律使耦合的多变量系统变成解耦
的系统,可以使每一个输入仅控制一个输出,即每一个输
出仅受一个输入控制。
线性系统理论
u1
g11 ( s)
u2
输入
g 22 ( s)
um
g 33 ( s )
图6-5
解耦系统
y1
y2
ym
线性系统理论
v
L
u
–
B
x
I /s
x
y
C
A
K
图6-6
包含输入变换的状态反馈
线性系统理论
考虑多输入-多输出的线性定常系统:
x Ax Bu , y Cx
(6.22)
其中:x为n维状态向量,u为p维控制向量,y为q维输出向
量。引入三个基本假定:
(1)p q ,即输入和输出具有相同的变量个数;
(2)控制律采用状态反馈结合输入变换,即 u
Lv Kx 其中K为 p n 维反馈增益阵,L为 p p 维输入变换
阵,v为参考输入。
线性系统理论
相应的反馈系统结构图如–图6-6
包含输入变换的状态反
馈图6-6所示;
(3)输入变换阵L为非奇异,即有 det L 0 。
由图6-6可看出包含输入变换的状态反馈系统的状态
空间描述为
x ( A BK )x BLv , y Cx
而其传递函数为
G KL ( s) C( sI A BK ) 1 BL
(6.23)
(6.24)
线性系统理论
由已知假定 p q ,可知 G KL ( s ) 为 p q 维有理分式矩阵。
于是所谓解耦问题就是:对由(6.22)式给出的多变
量受控系统,寻找一个输入变换和状态反馈矩阵对 {L K}
使得状态反馈系统的传递函数矩阵 G KL ( s ) 为非奇异对角
线有理分式矩阵,即
G KL ( s) diag[ g11 ( s) g 22 ( s)
其中 gii ( s) 0, i 1, 2,
,
p
g pp ( s)]
线性系统理论
容易看出,为了综合解耦控制问题,将面临两个有待
研究的命题。一个是研究受控系统的可解耦性,即建立使
受控系统可通过状态反馈和输入变换而实现解耦所应遵循
的条件;另一个是给出解耦控制问题的综合算法,以便对
于可解耦的系统,确定出所要求的矩阵对 {L K} 。这些
命题的解决,都涉及受控系统传递函数矩阵的某些结构特
征参数。
线性系统理论
传递函数矩阵的两个特征量
设 G ( s )为 p p 维受控
系统传递函数矩阵,g i ( s ) 为它的第个行传递函数向量,即
有
gi ( s) [ gi1 ( s) gi 2 ( s)
gip ( s)]
式中 gij ( s) 均为严格有理真分式。
再设 ij 为 gij ( s) 的分母多项式的次数和 gij ( s) 的分子
多项式的次数之差,则 g i ( s ) 的第一个特征向量 d i 定义为
di min i1 i 2
ip 1
(6.25a)
i 1, 2,
,p
线性系统理论
显然 d i 必为非负整数。当 G ( s )给定后,
d1
d2
dp 为
唯一确定。
设 gij ( s) 的分母多项式至多为n次,当 g i ( s ) 中有一元
的分子多项式阶次为 (n 1) 时,便有 di 0;当 g i ( s ) 的所
有元的分子多项式阶次均为零且分母多项式阶次均为n时,
di 。故有
n 1
0 di ,且
n 1
式的最高阶数为
n (di。用
1) 表示
di
才有
g诸元分子多项
i (s)
有
gi (s)
线性系统理论
gi ( s) ci ( sI A) 1 B
ci adj(sI A)1B ci (R n1s n1 R n2 s n2 R1s R 0 )B
sI A
sI A
ci R n1Bs n1 ci R n2Bs n2 ci R ndi Bs ndi ci R ndi 1Bs ndi 1 ci R 0B
s n an1s n1 a1s a0
式中 ci 表示C的第i行。由于 g i ( s )分子多项式的最高阶数
为 n di 1 ,故不存在 s ndi ,…,s n1 等阶次更高的项,
即有
线性系统理论
ci R n1B ci R n2B
ci R ndi B 0及ci R ndi 1B 0
考虑 sI A I ( sI A) adj( sI A) ,将其展开,由同幂
项系数相等的条件可导出诸R矩阵为
R n1 I
R n2 A an1I
R n3 A 2 an1A an2 I
R ndi A di 1 an1A di 2
andi 1I
R ndi 1 A di an1A di 1
andi I
R 0 A n1 an1A n2
a1I
线性系统理论
于是又可导出
ci B ci AB
ci A di 1B 0及ci A di B 0
(6.25b)
该式意味着 d i 是使 ci A k B 0 的最小正整数k,而 ci A k B 0
k 0,1,..., k 1 当k=0,1,…,n-1时有 ci A k B 0 ,则di n 1
由式(6.25b)显见,特征量 d i 也可由受控系统的(A,B,
C)来确定。
g i ( s )的第二个特征量 Ei定义为
Ei lim s di 1gi ( s)
s
i 1,
,p
(6.26a)
线性系统理论
Ei 为( 1 p )向量,计算可知
Ei lim s
s
lim
s
di 1
ci R ndi 1Bs ndi 1
ci R ndi 1Bs n
s n an1s n1
ci R 0 B
sI A
ci R 0Bs di 1
a1s a0
(6.26b)
ci R ndi 1B ci A di B
式(6.26b)表明,特征量 Ei 也可由(A,B,C)确定。
线性系统理论
以上确定 G ( s ) 的两个特征量的方法,也可用来确定
引入{L K}矩阵对以后的闭环传递函数矩阵 G KL ( s ) 的特征
量 d i 、Ei 。这时,G KL ( s ) 的第 i 行 g KLi ( s )为
g KLi ( s ) ci ( sI A BK ) 1 BL
式中
ci R n1BLs n1 ci R n2BLs n2 ci R 0BL
s n an1s n1 a1s a0
(6.27)
线性系统理论
R n1 I
R n2 ( A BK ) an1I
R n3 ( A BK ) 2 an1 ( A BK ) an2I
R 0 ( A BK ) n1 an1 ( A BK ) n2
且可导出
ci BL ci ( A BK )BL
a1I
ci (A BK )di 1 BL 0及ci (A BK ) di BL 0
(6.28)
线性系统理论
Ei ci ( A BK )di BL
(6.29)
式(6.28)和式(6.29)给出了 d i 和 Ei 的定义式。考虑
式(6.25),可验证存在下列恒等式
ci ( A BK )k ci A k
k 0, 1,
,d
则 ci ( A BK )k BL ci A k BL 对于任意{L K}均成立。考虑
det L 0有
c i ( A BK ) k BL 0 则 c i A k B 0
ci ( A BK ) k BL 0 则 ci A k B 0
线性系统理论
故
di di
Ei Ei L
i 1,
,p
(6.30)
1
(6.31)
G ( s ) 与 G KL ( s)的关系 有下列恒等式
G KL ( s) G ( s) I K ( sI A) B L
G KL ( s) C( sI A BK ) 1 BL
C( sI A) 1 ( sI A)( sI A BK ) 1 BL
1
证
C( sI A) 1 ( sI A BK BK )( sI A BK ) 1 BL
C( sI A) 1[BK ( sI A BK ) 1 ]BL
线性系统理论
C( sI A) 1[B BK ( sI A BK ) 1 B]L
C( sI A) 1 B[I K ( sI A BK ) 1 B]L
G ( s )[I K ( sI A BK ) 1 B]L
由于
[I K ( sI A BK )1 B] [I K ( sI A)1 B]
I K ( sI A BK ) 1 B K ( sI A) 1 B
K ( sI A BK ) 1 B K ( sI A) 1 B
线性系统理论
I K ( sI A BK ) 1 B K ( sI A BK ) 1
( sI A BK )( sI A) 1 B K ( sI A BK ) 1 B K ( sI A ) 1 B
I K ( sI A BK ) 1 B K ( sI A BK ) 1
( sI A BK BK )( sI A ) 1 B
I
即
[I K ( sI A BK )1 B] [I K ( sI A)1 B]1
故式(6.31)得证。
线性系统理论
可解耦条件
线性定常受控系统(6.22)可采用状态
反馈和输入变换即存在矩阵对{L K}进行解耦的充分必要
条件,是如下的 p p 维常阵
为非奇异。
E1
E
2
E
E p
(6.32)
线性系统理论
证明:
必要性:已知对{A B C}存在{L K}可实现解耦,即闭
环系统的传递函数矩阵为
g11 ( s )
G KL ( s )
,
g pp ( s )
由此并利用 Ei 的定义,可得
gii ( s ) 0
线性系统理论
di 1
di 1
lim
s
g
(
s
)
lim
s
g11 ( s )
KL1
E1
s
s
E
E p lim s d p 1 g ( s )
s
KLp
d p 1
lim s g pp ( s )
s
这表明 E 为对角线非奇异阵。再知 E EL,且L为非奇异,
从而即知
E 为非奇异阵。由此必要性得证。
EL1
线性系统理论
充分性:采用构造性证明,取{L K}为
L E1 , K E1F
(6.33)
其中,由已知E为非奇异,故存在 E1 ,而 p n 常阵F定义
为:
由
c Adi 1
i
F
d p 1
c
A
p
gi ( s) ci ( sI A) 1 B
I A A2
ci ( 2 3
s s
s
A di 1 A di A di 1
di di 1 di 2
s
s
s
(6.34)
)B
线性系统理论
考虑式(6.25),有
A di A di 1
g i ( s ) ci di 1 di 2 B
s
s
di
1
A
di 1 I
di 1 ci A A 2
s
s s
1
B
di
di 1
1
c
A
B
c
A
(
s
I
A
)
B
i
di 1 i
s
1
1
E
F
(
s
I
A
)
B
i
di 1 i
s
线性系统理论
故
1
1
s d1 1 E1 F1 ( sI A ) B
g1 ( s )
g (s) 1
1
E
F
(
s
I
A
)
B
2
2
s d2 1 2
G (s)
g
(
s
)
p
1
1
E
F
(
s
I
A
)
B
p
s d p 1 p
线性系统理论
1
s d1 1
1
s d2 1
E F ( sI A ) 1 B
1
d p 1
s
线性系统理论
GKL ( s) G ( s)[ I K ( sI A) 1 B]1 L
1
s d1 +1
1
1
1
1
[
E
F
(
sI
A
)
B
]
[
I
E
F
(
sI
A
)
B
]
E
1
dp +1
s
线性系统理论
1
s d1 +1
1
1
1
1
1
E
[
I
E
F
(
sI
A
)
B
]
[
I
E
F
(
sI
A
)
B
]
E
1
s dp +1
1
s d1 +1
1
s dp +1
GKL ( s) 为对角阵且非奇异,即实现了解耦。充分性得证
线性系统理论
上述分析研究说明:
(1)受控系统(6.22)能否采用状态反馈和输入变
换来实现解耦,唯一地决定于其传递函数矩阵G ( s) 的两个
特征量 d i 和 Ei (i 1,
2,…p)。从表面上看,系统的能控性
和能镇定性在这里是无关紧要的。但是,从解耦合后的系
统要能正常地运行并具有良好的动态性能而言,仍需要求
受控系统是能控的,或至少是能镇定的。否则,甚至不能
保证闭环系统是渐进稳定的,此时解耦控制也就失去了意
义。
线性系统理论
(2)判断受控系统(6.22)能否采用状态反馈和输
入变换来实现解耦,即可从传统的传递函数矩阵描述来组
成判别矩阵E,也可从系统的状态空间描述来组成判别矩
阵E。
(3)用式(6.33)所示的 L K ,对可解耦受控系
统能实现积分型解耦,解耦后诸单变量系统的传递函数均
为多重积分器,但是这种解耦系统的动态性能不能令人满
意,故本身并无实际应用价值,它仅是解耦控制的一个中
间步骤。
线性系统理论
由式(6.35)可知,子系统 i 含有个 (di 1)积分器,积分
型解耦控制系统的动态方程为
x Ax Bv ( A BE 1F ) x BE 1v
y Cx=Cx(6.36)
(4)( A, B) 能控时,( A BE 1F , BE 1 ) 一定能控,这
是由于 BE 1与 B 有相同的秩,则状态反馈不改变系统能控
1
性。当 ( A, B)能控,且 ( A,C ) 和 ( A B F C ) 都能观测
时,必有 n
p
(d
i 1
i
1) ,其中子系统 i维数为 mi di 1 。
线性系统理论
当( A, B) 能控,( A, C ) 或 ( A B 1F C ) 不能观测时,必有
p
n (di 1) 时,子系统 i的维数 mi di 1 ,记 mi (di 1) li
i 1
至于 mi ,可根据 ( A BE 1F BE 1 ) 的能观测性指数集来
确定。
对积分型解耦系统附加状态反馈实现极点配置问题
为解决积分型解耦系统的动态性能问题,需采
用附加反馈以配置所需极点,但引入该反馈后仍应保证闭
环系统是解耦系统。
线性系统理论
为此,将积分型解耦系统首先变换为解耦规范系统,在解
耦规范系统中引入附加状态反馈,可使闭环系统仍然解耦。
现引入一个非奇异线性变换 x Qx ,其中
x m1 1
Q1 m1 n
x m 1
Q m n
2
2 2
x
Q
m 1
x
p
Q p m p n
x m p1 1
Q p1 m p1 n
线性系统理论
Ci
C A
i
di
Ci A
Qi
...
dl 1
l
l
i 1,..., p
(6.37)
线性系统理论
p
式中 mi (di 1) li ,
m p1 n [(di 1) li ] X i ;符号×
i 1
p 1
为使 Qi非奇异的任意行向量; mi n ,Q 为 (n n)矩阵,
i 1
为 Qi
为任取的
个线性无关行向量,
Q p1
m p1
(矩阵;
mi n)
x p的不能观测状态。以上变换实为对积分型解耦系
为
( A,C )
1
统进行按能观测性的结构分解。可以证明(略),对能控
的积分型解耦系统,经以上变换可以化为下列解耦规范型
线性系统理论
x QAQ 1 x QBv Ax Bv
y CQ 1 x Cx
式中,
A1
A
Ac1
m1行
0 mp
Ap 1 m p1
0
Ap
Acp
(6.38)
线性系统理论
b1
B
bc1
m1行
b1
mp
bcp m p1
C
C
C
m1
0
0
m p列
其中,虚线分块化表示按能观测性的结构分解形式,当
( A C ) 为能观测时,则 ( A B C )中不出现不能观测部分,
也无需进行按能观测性分解;
线性系统理论
此时 Q I 。其中 ( A bi ci ) 的子系统的形式为
0
II di
0 di 1
0
A
mi m i
0
0
0
li
*
i
( di 1)
li
线性系统理论
bim 1
i
0
0
1
...
0
0
di 1
ci1mi
l
i
1
0
0
...
0
0
di 1
l
i
线性系统理论
式中 ( A, bi ) 是能控子系统, li 阶矩阵块 i 是不能观测,
(由 ( A,C ) 能观测但引入了 ( L, K ) 后不能观测生成)。
还应注意到 m p1 阶矩阵块 Ap1 也是不能观测的(由 ( A,C )
不能观测)。
对解耦规范型中的诸子系统
x Ax bi vi ,
yi ci xi
i 1,..., p
引入状态反馈 vi vi ki xi ,式中
ki ki 0
ki1
kidi
0
0
1m
线性系统理论
用以实现子系统 i 的极点配置。而对整个解耦规范系统
( A, B, C ) 所引入的状态反馈控制规律为 v v Kx ,
式中
K p p
k1
0 1行
mp
k
0
p
m p1
m1列
m p m p1
(6.39)
线性系统理论
可得闭环系统动态方程为
1
(QAQ QBK ) x QBv
1
1
1
1
[Q( A BE F )Q QBE K ] X QBE v
y CQ 1 x
x ( A BK ) x Bv
还可导出闭环传递函数矩阵
(6.40)
线性系统理论
c1 ( sI A1 b1k1 ) 1 b1
1
C ( sI A BK ) B
(6.41)
和
c p ( sI Ap bp k p ) 1 bp
线性系统理论
0
0
Ai bi ki
ki 0
I di
k i1
*
ki d i
*
线性系统理论
这表明, K 的结构形式保证了解耦控制的实现,而
i
的元则由解耦后的第
个单输入-单输
ki (i 1, 2,..., p)
出控制系统的期望极点组所决定。而且,不难看出,由于
需保证实现解耦,状态反馈所能控制的不是
的全部特征
Ai
值。对于不能观测的状态变量必须是稳定的,否则,表示
不存在稳定的解耦控制规律。
利用 x Qx ,可得原闭环系统动态方程为
线性系统理论
x ( A BE 1F BE 1KQ) x BE 1v
y Cx
故原受控对象为实现解耦以及配置极点的 {L K }矩阵对应
分别为
K E 1F E 1KQ
L E 1
(6.42)
线性系统理论
例6.4
0 1
3 0
x
0 0
0 2
给定输入双-输出的线性定常受控系统为:
0
0
0
0
0
0
1
2
x
1
0
0
0
试设计解耦控制规律。
0
0
u,
0
1
1 0 0 0
y
x
0 0 1 0
线性系统理论
解 易知受控系统能控并且能观测
①计算 di (i 1, 2) 和 Ei (i 1, 2)
0 0
1 0
1
C1 B 1 0 0 0
0 0
0
1
0 1 0 0 0
3 0 0 2 1
C1 AB 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0
2
0
0
0
0
0
0
1 0
0
1
线性系统理论
0
1
C2 B 0 0 1 0
0
0
0 1
3 0
C2 AB 0 0 1 0
0 0
0 2
0
0
0 0
0
1
0
0
0
0
0 0
2 1
1 0
0 0
0
0
0 1
0
1
线性系统理论
由此,即可定出
d1 1, d 2 1
E1 1 0 , E2 1 0
②判断可解耦性
显然,可解耦性判别阵
E1 1 0
E
E
0
1
2
为非奇异,因此可进行解耦。
线性系统理论
③导出积分型解耦系统
定出
1 0
E
0
1
1
C1 A2 3 0 0 2
F
2
0
2
0
0
C
A
2
再取
1 0
LE
0
1
1
3 0 0 2
K E F
0
2
0
0
1
线性系统理论
则有
0
0
1
A A BE F
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
C C
0
0
1
B BE 1
0
0
0
1
0
0
0
1
线性系统理论
容易看出,
{ A C} 保持为能观测,且 { A B C} 已处于解耦
规范型。所以,无需进一步引入变换,也即 Q I 。
④相对于解耦规范型确定状态反馈增益矩阵 K
将 K 取为:
k10
K
0
k11
0
0
k20
0
k21
线性系统理论
则可得
0
k
10
A BK
0
0
1
0
k11
0
0
0
0
k20
0
0
1
k21
再来指定解耦后的单输入-单输出系统的期望特征值,分
别为:
11* 2, 12* 4
21* 2 j, 22* 2 j
线性系统理论
于是,通过求得
1* ( s) ( s 2)( s 4) s 2 6s 8
2* ( s) ( s 2 j )( s 2 j ) s 2 4s 5
从而
8
K
0
6
0
0
5
0
4
线性系统理论
⑤ 给出给定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩
阵对 {L
K}
解耦控制系统的状态方程和输出方程为:
x ( A BK ) x BLv
0 1 0 0
0
-8 -6 0 0
1
x
=
0 0 0 1
0
0
0
-5
-4
0
1 0 0 0
y Cx
x
0 0 1 0
0
0
v
0
1
线性系统理论
而其传递函数矩阵则为:
1
2
s
6s 8
GKL ( s ) C ( sI A BK 1 ) BL
0
1
s 2 4 s 5
0
由以上介绍可以看出,解耦控制大大简化了控制过程,
使得对各个输入变量的控制都可以单独地运行。在许多工
程问题中,特别是过程控制中,解耦控制有着重要意义。
线性系统理论
6.5 状态观测器
状态重构问题
前面各节对各种综合问题的讨论中
已经充分显示了状态反馈的优越性。不管是系统的极点配
置、镇定以及解耦控制,都有赖于引入恰当的状态反馈才
能实现。我们把所有的状态变量都假设为同输出一样是可
以得到的,但是实际上由于不易直接测量,或者由于测量
设备在经济上和使用性上的限制,使得不可能实际获得系
统的状态变量,从而使状态反馈的物理实现成为不可能。
线性系统理论
因此,为了应用状态反馈达到镇定、最优化或解耦的目的,
必须先找到状态变量的合理替代者。在本节中,我们将指
出如何用动态方程的输入和输出去驱动一个装置,使得该
装置的输出逼近状态变量。这种建立近似状态变量的装置
称为状态观测器。
线性系统理论
一.开环形式的状态观测器
设有一个受控系统 ( A, b, c) ,其状态变量 x 不一定能
取得,因此可以人为地建立一个模拟系统 ( Aˆ , bˆ, cˆ) ,并要
求 Aˆ A, bˆ b, cˆ c 。两个系统由同一输入 u ,如图6-7所
示。
线性系统理论
图6-7 开环形式状态观测器
线性系统理论
分别写出原系统和模拟系统的动态方程:
ˆ ,
ˆ ˆ bu
原系统 x Ax bu ,模拟系统 xˆ Ax
ˆˆ
y cx
yˆ cx
根据假设 Aˆ A, bˆ b, cˆ c,并设 x x xˆ 表示两系统状态
变量间的偏差,则有
x x xˆ A( x xˆ ) Ax
(6.43)
由上式可以看出两系统状态变量偏差的动态特性完全由状
态A所决定。
线性系统理论
求出式(6.43)的时域解:
x(t ) e A(t t0 ) x(t0 ) e A(t t0 ) [ x(t0 ) xˆ (t0 )] (6.44)
由式(6.44)可以看出只要置状态观测器状态变量的初值 xˆ (t0 )
等于原系统的初值
,则
,但实际上做不
x(t ) 0
x(t0 )
到这一点,所以一般情况下
按式(6.44)变化与初始状
x(t )
态偏差成比例。如果(6.44)中A含有较理想的特征值,如
特征值的实部都为负,则衰减速度快,能使
x(t )
于0,实现 xˆ (t ) →x(t )
;
很快趋近
线性系统理论
如果A含有不稳定特征值,在那么即使 xˆ0和 x0 间偏差很小,
也会导致随着t的增加而使
越来越大。受控对象的A阵
x(t )
往往不够理想,各类扰动因素又难以重构,开环形式的状
态观测器没有应用价值,使用的状态观测器都是闭环形式
的。本节将介绍两类闭环形式的状态观测器:全维的和降
维的。维数等同于受控系统的状态观测器称为全维状态观
测器,维数小于受控系统的状态观测器成为降维状态观测
器。利用状态观测器实现状态反馈的系统如图6-8所示。
线性系统理论
二、闭环形式的状态观测器
全维状态观测器
考虑n维线性定常系统
x Ax Bu
x(0) x0 t 0
y Cx
(6.45)
其中,A、B、C分别为 n n,n p 和 q n 实常阵。所谓全
维状态观测器,就是以y和u为输入,且其输出
xˆ (t ) 满足如
下关系式
lim xˆ (t ) lim x(t )
t
t
(6.46)
线性系统理论
的一个n维线性定常系统。设计全维状态观测器的步骤:
首先,根据已知的系数矩阵A、B和C,按和原系统相同的
结构形式,复制出一个基本系统,并与原系统共用同一个
输入量u。其次,取原系统输出y和复制系统输出 yˆ 之差值
信号作为修正变量,并将其经增益矩阵L反馈到复制系统
中积分器的输入端而构成一个闭环系统,如图6-9所示。
线性系统理论
显然,这个重构系统是以原系统的可测量变量u和y为输入
的一个n维线性系统,其中待确定的系数矩阵只有L。从图
6-9可导出全维状态观测器的动态方程为
xˆ Axˆ Bu L( y Cxˆ )
xˆ (0) xˆ0
(6.47)
其中修正项 L( y Cxˆ )起反馈作用,它利用 x(t ) 来消除 x(t )
从而使 xˆ (t ) x(t ),故有闭环形式的状态观测器之称,该项
是为了克服开环形式状态观测器的上述问题而引入的。
线性系统理论
v
+
u
x Ax Bu
C
y
-
K
xˆ
状态观测器
图6-8 闭环形式的状态观测器
线性系统理论
u
+
B
I/S
+
x
y
C
A
+
L
+
+
B
I/S
+
yˆ
-
xˆ
A
图6-9 全维状态观测器
C
线性系统理论
考虑到 y Cx 并将其带入式(6.47),则此种全维状
态观测器的动态方程可表为
xˆ ( A LC ) xˆ Ly Bu ,
xˆ (0) xˆ0
相应地观测器的结构图可表为图6-10所示。
(6.48)
线性系统理论
u
+
B
I/S
+
x
y
C
A
L
B
+
+
+
I/S
xˆ
A-LC
图6-10 全维状态观测器
线性系统理论
再设 x x xˆ 为真实状态和估计状态间的误差,则可导出
x ( A LC ) x, x(0) x0 x0 xˆ0
(6.49)
该式表明,不管初始误差 x0 为多大,只要使矩阵 ( A LC )
的特征值 i ( A LC )(i=1,2,…,n)均具有负实部,那么
一定可做到下式成立
lim xˆ (t ) lim x(t )
t
t
即实现状态的渐进重构。进而,如果可通过选择增益阵L
而使 i ( A LC ) (i=1,2,…,n)任意配置,
线性系统理论
则 x(t ) 的衰减快慢是可被控制的。显然,若 i ( A LC ) 均
具有小于- 的负实部,则可断言 x(t )的所有分量将以比 e t
要快的速度衰减至零,即可使重构 xˆ (t ) 很快趋于真实状态
x(t ) 。不难理解,在 xˆ (t ) 趋于 x(t ) 的过渡过程中,使用 xˆ (t )
或 x(t ) 作为反馈,系统将有不同的瞬态响应。通常系统状
态观测器的响应速度要比状态反馈系统的响应速度要快些。
线性系统理论
可任意配置极点的条件
设由式(6.45)所给出的n
维线性定常系统是能观测的,即若{A C}为能观测,则比
可采用由(6.48)所表述的全维观测器来重构其状态,并且
必可通过选择增益阵L而任意配置(A-LC)的全部特征值。
证明:利用对偶原理,{A C}能观测意味着 { AT C T }
能控。再利用极点配置问题的基本理论可知,对任意给定
的n个实数或共轭复数特征值 {1* 2* n*},必可找到一
个实常阵K,使式
i ( AT C T K ) i* i 1, 2, , n
线性系统理论
成立。进而由于 ( AT C T K ) 与其转置矩阵
( AT C T K )T ( A K T C )
具有等同的特征值,故当取 L K T 时就能使式
i ( A LC ) i* i 1, 2, , n
成立,也即可任意配置 ( A LC ) 的全部特征值。于是,证
明完毕。
由上述结论及其证明过程,我们可归纳出设计全维状
态观测器的算法。
线性系统理论
算法 给定被估计系统 x Ax Bu, y Cx ,设 { A C}
为能观测,再对所要设计的全维观测器指定一组期望的极
点 {1* 2* n*} ,则设计全维状态观测器的步骤为:
第一步:导出对偶系统 { AT BT C T };
第二步:利用极点配置问题的算法,由矩阵对{ AT C T }
来确定使 i ( AT C T K ) i* i 1, 2, , n
的反馈增益阵K;
第三步:取 L K T ;
线性系统理论
第四步:计算 ( A LC ) ,则所要设计的全维状态观测器就
为
xˆ ( A LC ) xˆ Bu Ly
而即 xˆ 为 x 的估计状态。
值得说明的是,当 ( A, C ) 不完全能观测但不能观测子
系统是稳定的,则称受控系统是可检测的,这时观测器可
镇定,观测器仍存在,为不能观测子系统的特征值不再能
任意配置。
线性系统理论
例6.5 试求下属系统的全维状态观测器,使观测器的
两个极点 1,2 10 ,使 xˆ x
解
①
0 1
0
x
x u , y 2 0 x
2 3
1
C 2 0
P0
CA
0
2
rankP0 2 系统能观测
②确定K阵,使 1* 2* 10
线性系统理论
2k1 2 2k2
| A C K |
1
3
T
T
2 (2k1 3) (6k1 2k2 2) 0
令
| AT C T K | ( 10)2 2 20 100 0
得
k1 8.5 k2 23.5
K 8.5 23.5
线性系统理论
③取
8.5
LK
23.5
T
④计算 A LC 得到全维状态观测器为
17 1
0
8.5
xˆ
x u
y
49 3
1
23.5
观测器如图6-11所示。
线性系统理论
C
x Ax Bu
u
-
-
2
-3
-2
8.5
23.5
图6-11 降维状态观测器
yˆ + -
y
线性系统理论
降维状态观测器
q维输出系统有q个输出变量总是
可由传感器测得的,该q个信息能作为测得的状态,该部
分状态便便无需状态观测器重构,而可直接加以利用,带
有状态观测器估计的状态数目可以降低,称这类状态观测
器为降维观测器。降维观测器的最小维数为(n-q),这时
只需用较少的积分器,简化了状态观测器的结构。
由于输出变量通常是状态变量的线性组合,并不是用
于状态反馈所需要的状态变量。
线性系统理论
为了使所测得的输出变量能当作状态反馈所使用的状态变
量,需选择一个特定的非奇异线性变换,将受控对象的状
态向量经过该特定变换,使其中部分状态正是受控系统的
输出向量,而其余(n-q)个状态向量则由降维状态观测器
重构。因此,降维状态观测器的设计关键便是:选择特定
的非奇异线性变换,使原受控对象的状态变量变成输出向
量及(n-q)维向量两个子向量,并获得(n-q)维子系统的动
态方程。
线性系统理论
根据(n-q)维子系统动态方程,便可构造(n-q)维状态观测
器,其基本的设计步骤便于全维状态观测器的设计类同了。
状态反馈需用的状态信息则由输出量传感器及降维状态观
测器联合提供
(n-q)维子系统动态方程的建立
设受控系统的动态方程为
x Ax Bu, y Cx
(6.50)
线性系统理论
假定 ( A, C )能观测,rankC=q。引入下列特定的非奇异线性
变换
x Px
式中P按如下方式构造
(6.51)
Cqn
P
(6.52)
R( nq )n
R可以任意选择,通常选择 I n的某些行向量,使P非奇异即
可。再计算P的逆阵且表为分块阵,即
Q
P 1 [Q1nq Q2n( nq ) ]
线性系统理论
显然有
CQ1 CQ2 I q
C
I n PQ Q1 Q2
R
RQ1 RQ2 0
式中 CQ1 I q , CQ2 0。
变换后受控对象动态方程为
x PAP 1 x PBu Ax Bu
y CP 1 x CQ1 CQ2 x I q
0 x
0
I nq (6.53)
线性系统理论
现令 x1 和 x2分别为q和(n-q)维分状态,则可把上式进一步
表示为
x1 A11
x2 A21
A12 x1 B1
u
A22 x2 B2
(6.54)
x
1
y I q 0 x1
x2
其中 A11 , A12 , A21 , A22分别为 q q, q (n q),(n q) q 和
(n q) (n q) 矩阵,B1 , B2 分别为 q p,(n q) p 矩阵。
线性系统理论
并且,由式(6.54)可以看出,变换后的分状态 x1即为系统
的输出 y ,顾客直接利用而无需对其重构,这里所要重构
的仅是(n-q)维分状态 x2 。
由式(6.54)导出相对于 x2 的状态方程和输出方程:
x2 A22 x2 ( A21 y B2u )
y A11 y B1u A12 x2
(6.55)
( A21 y B2u ) 和输出 y A11 y B1u ,
那么还可以把式(6.55)表示为如下的规范形式
进而定义输入 u
线性系统理论
x2 A22 x2 u , A12 x2
(6.56)
并且,{ A22 A12 } 能观测的充分必要条件是 { A C} 能观测。
式(6.56)便是(n-q)维子系统动态方程。
(n-q)维状态观测器的构造与分析设计
由于 { A22 A12 } 能观测,故知此(n-q)维状态观测器必
存在,其形式为:
xˆ2 ( A22 LA12 ) xˆ2 L u
(6.57)
线性系统理论
并且,可通过选择 L 而任意配置 ( A22 LA12 ) 的全部特征值。
再将 u 和 的定义式代入(6.57),可得:
xˆ ( A LA ) xˆ L ( y A y B u ) ( A y B u ) (6.58)
2
22
12
2
11
1
21
2
易见上式中包含输出的导数 y ,从抗扰动性的角度而言这
是不希望的。为此,通过引入
z xˆ2 Ly
来达到在观测器中消去 y 的目的。这样,由式(6.58)和
(6.59)就可导出:
线性系统理论
z xˆ2 Ly
( A22 LA12 ) xˆ2 ( A21 LA11 ) y ( B2 LB1 )u
( A22 LA12 ) z [( A22 LA12 ) L ( A21 LA11 )] y ( B2 LB1 )u
可以看出,这是一个以u和y为输入的(n-q)维动态系统,
且 ( A22 LA12 ) 的特征值是可以任意配置的。而且,x2 的重
构状态即为:
xˆ2 z Ly
线性系统理论
对于变换状态 x 的重构状态 xˆ ,可容易导出为
xˆ1 y
ˆx
ˆ
x2 z Ly
考虑到 x P 1 x Qx ,所以相应地也有 xˆ Qxˆ 。于是,进
而可定出系统状态 x 的重构状态 xˆ 为
xˆ Q1
y
Q2
Q1 y Q2 ( z Ly )
z Ly
线性系统理论
根据上述分析结果,即可得出给定系统(6.58)的(n-q)
维降维状态观测器。
现在,我们来对降维状态观测器和全维状态观测器做
一比较。从结构上看,降维观测器只需(n-q)个积分器,
远较全维观测器需要n个积分器为少。从抗干扰性上看,
由于降维观测器中y通过增益阵 Q1 直接传递到其输出端,
所以若y中出现干扰时它们将全部出现于x中;
线性系统理论
而在全维观测器中,y需经积分器滤波后才传送到输出端,
从而x中由y包含的干扰所引起的影响已大为减小。这表明,
在工程应用中,究竟是采用降维观测器还是全维观测器,
应视具体情况来加以确定。
线性系统理论
分离定理
在状态反馈中,利用估计状态 xˆ 进行反
馈和利用真实状态x进行反馈之间究竟有无差别?下面就
讨论这一问题。
带状态观测器的状态反馈控制系统,由于系统方程为
n维,而状态观测器也为n维,所以整个闭环控制系统为2n
维。其实现的结构图如图6-12所示。
线性系统理论
L
B
-
+
I/s
yˆ +
C
-y
+
A
K
u
+
-
B
x
+
I/s
x
C
+
A
图6-12 带观测器的系统
线性系统理论
从图6-12可见,整个闭环系统状态方程可写成
x Ax BKxˆ Bv
xˆ ( A LC BK ) xˆ LCx Bv
y Cx
上述方程可写为矩阵形式
x A
xˆ LC
BK
B
x v
xˆ
A LC BK
B
(6.61)
(6.62)
(6.63)
线性系统理论
y C
x
0
xˆ
整个系统为2n维,故设此复合系统为 { A1 B1 C1}
BK
A
B
, B , C C
A1
1 1
A LC BK
LC
B
0
线性系统理论
将上式进行坐标变换
x I
x I
0 x x
I xˆ x xˆ
令坐标变换矩阵
I
P
I
0
I
1
, P
I
I
0
I
设经过变换后系统为 { A1 B1 C1} ,则
A1 P 1 A1P, B1 P 1B1 , C1 C1P
线性系统理论
系统 { A1 B1 C1} 的特征方程和传递矩阵与原系统 { A1 B1 C1}
的特征方程和传递矩阵完全相同。
0 A
BK
0 A BK
BK
I
I
A1
I LC
A LC BK I
I 0
A LC
I
0 B B
0
I
I
, C C
C
B1
0
0
1
I B 0
I
I
I
线性系统理论
已知下列分块矩阵
R S
0 T
若分块R和T为可逆,则
1
R 1 R 1ST 1
R S
0 T
1
0
T
利用上式计算 [ sI A1 ]1,可得
线性系统理论
sI ( A BK )
[ sI A1 ]1
0
sI ( A BK ) 1
0
BK
sI ( A LC )
1
[ sI ( A BK )]1 BK [ sI ( A LC )]1
[ sI ( A LC )]1
系统 { A1 B1 C1} 的闭环传递函数矩阵也就是 { A1 B1 C1} 的闭
环传递函数矩阵,可验证如下:
线性系统理论
C1 sI A1 B1
1
sI A BK 1 sI A BK 1 BK sI A LC 1 B
C 0
1
0
0
s
I
A
LC
sI A BK 1 B
1
C 0
C sI A BK B
0
由此可见,复合系统传递函数矩阵和用准确的作为反馈时
的传递函数矩阵完全相同。因此由观测器给出作为状态反
馈并不影响复合系统的特性。
线性系统理论
除此之外,由于
sI A BK
BK
det sI A1 det
0
s
I
A
LC
det sI A BK det sI A LC
故复合系统的特征多项式等于矩阵 A BK 与矩阵 A LC
的特征多项式的乘积。
线性系统理论
其中 A BK 是状态反馈系统的状态阵, A LC 是观测
器系统的状态阵,上式表明,控制系统的动态特性与观测
器的动态特性是相互独立的。这个特性表明:只要系统
A
B C 是能控的,同时又是能观测的,则可按极点配
置的需要选择反馈控制阵K,然后按观测器动态特性的要
求选择L,L的选择并不影响配置好的极点。因此系统的极
点配置和观测器的设计可以分开进行,即状态反馈控制律
的设计和观测器的设计可以独立分开进行。通常,称这个
性质为分离原理。
线性系统理论
显然,分离原理为闭环控制系统的设计提供了很大方便。
通常把反馈矩阵K并入观测器系统,如图6.13所示。
观测器和K所组成的系统称作控制器。
线性系统理论
v
+
控制对象
(A,B,C )
u
—
K
xˆ
观测器
控制器
图 6-13 控制器
y