Transcript limit

LİMİT
Matematiğin, ekonomi ve diğer uygulamalı
bilimlerde en çok kullanılan kavramları olan
türev ve integral kavramları limit kavramı
üzerine inşa edilmiştir. Limit kavramı, x
bağımsız değişkeninin belirli bir sayıya
yaklaşırken y=f(x) fonksiyon değerlerinin
belirli bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını
konu alır.
Bağımsız değişken olan x sayısının verilen
bir sayıya yaklaşması demek, a sabit bir
sayı olmak üzere, x ile a arasındaki fark x
değiştiğinde istenildiği kadar küçük bir
sayıdan daha küçük kalıyorsa x sayısı a
sayısına yaklaşıyor demektir. Başka bir
deyişle x değişkeni a dan farklı ve a sayısına
istenildiği kadar yakın değerler alıyorsa x, a
sayısına yaklaşıyor denir. Sembolik olarak
x  a şeklinde gösterilir.
Eğer x değişkeni a sayısına a dan büyük
değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya

x

a
sağdan yaklaşma denir ve
ile
gösterilir.
Eğer x değişkeni a sayısına a dan küçük
değerlerle yaklaşıyorsa bu tür yaklaşmaya

soldan yaklaşma denir ve x  a ile
gösterilir.
• f(x) değerlerinin anlamlı olması için a ya
yaklaşan x değerlerinin fonksiyonun tanım
kümesine ait olması gerekir.
Örnek: f : R  R , f ( x)  2 x  3
fonksiyonunu göz önüne alalım. x
değişkeni 2 ye yaklaşırken f(x) fonksiyon
değerlerinin belirli bir sayıya yaklaşıp
yaklaşmadığı aşağıdaki tabloda
incelenmiştir.
Tabloda görüldüğü üzere hem x  2  için

hem de x  2 için fonksiyon değerleri 1
sayısına yaklaşmaktadır. İşte bu 1 sayısına
f(x) fonksiyonunun 2 noktasındaki limiti denir
ve sembolik olarak
lim
x 2
f ( x)  lim (2 x  3)  1
biçiminde gösterilir.
x 2
Bu fonksiyonun 2 noktasındaki limitini
aşağıdaki grafikte inceleyebiliriz.
• LİMİT ÖZELLİKLERİ
1. c bir sabit sayı ve f : R  R , f ( x)  c
olmak üzere;
lim
x a
f ( x)  lim c  c
x a
olur.
2. f : R  R , f ( x)  x  lim f ( x)  lim x  a
x a
x a
olur.
3. f : A  R , g : A  R fonksiyonları
f ( x)  L1 ve lim g ( x)  L2
verilsin ve lim
x a
x a
olsun. Bu durumda f+g fonksiyonlarının x=a
noktasında limiti vardır ve
lim  f ( x)  g ( x)  lim
lxa
x a
f ( x)  lim g ( x)  L1  L2
x a
olur. Toplamın limiti limitler toplamına eşittir.
Aynı şekilde çıkarmanın limiti çıkarılan
fonksiyonların limitlerinin farkına eşittir.
4. f : A  R , g : A  R fonksiyonları
f ( x)  L1 ve lim g ( x)  L2
verilsin ve lim
x a
x a
olsun. f.g fonksiyonunun x=a noktasında
limiti var ve
lim [ f ( x).g ( x)]  lim
x a
x a
f ( x)  lim g ( x)  L1.L2
x a
olur. Çarpımların limiti limitlerin çarpımına
eşittir.
5. f : A  R , g : A  R fonksiyonları
verilsin, g ( x)  0 ve
lim
x a
f ( x)  L1
ve
lim g ( x)  L
x a
2
f ( x)
L2  0 ise
fonksiyonunun a noktasında
g ( x)
limiti vardır ve
olur.
f ( x)
lim
L
f ( x)

lim g ( x) 
lim g ( x) L
x a
x a
x a
1
2
6. f : A  R fonksiyonu verilsin ve
lim f ( x)  L olsun.
x a
n  N ve n çift iken f ( x)  0
olmak üzere,
lim
xa
olur.
n
f ( x)  n
lim
xa
f ( x)  n L
7. f : A  R , g : A  R , h : A  R
fonksiyonları verilsin ve x in a sayısına
yakın tüm değerleri için h( x)  f ( x)  g ( x)
eşitsizliği sağlansın.
Eğer lim h( x)  lim g ( x)  L oluyorsa bu
x a
x a
durumda f fonksiyonunun a noktasında limiti
vardır ve
lim
olur.
x a
f ( x)  lim h( x)  lim g ( x)  L
x a
x a
8. x   , x   için limit alınırken
aşağıdaki kurallar uygulanır.
1
1
* lim  0
* lim  0
x  
x
x  
x
a>1 olmak üzere:
* lim a x  
* lim a x  0
0  a  1 olmak üzere:
* lim a x  0
* lim a x  
x 
x 
x 
x 
9.   ve   ile ilgili işlemler
aşağıdaki gibi tanımlanır.
a  ()  
a      
a  ()   a  0 ise 
a       a  0 ise 
a       a  0 ise 
a       a  0 ise 
        
        
        
        
        
        
a
0

a
0


  a  0 ise 
a

  a  0 ise 
a

  a  0 ise 
a

  a  0 ise 
a
• Tek Yönlü Limitler:

Eğer x  a için f fonksiyonunun L gibi
bir limiti varsa bu limite a noktasındaki
sağdan limit denir ve lim f ( x)  L
x a
biçiminde gösterilir.

Eğer x  a için f fonksiyonunun L gibi
bir limiti varsa bu limite a noktasındaki
soldan limit denir ve lim f ( x)  L
x a
biçiminde gösterilir.

• Bir sayının belirli bir noktada limitinin
olması için o noktada sağdan ve soldan
limitlerinin olması ve bunların eşit olması
gerekir. Aksi takdirde fonksiyonun o noktada
limiti yoktur denir.
• Örnek:
lim
x 0 
lim
x 0 
lim
x 0
x
x
x
x
x
x
limitini hesaplayalım.
 lim
x
 lim 1  1
x x 0 
 lim
x
 lim (1)  1
x
x 0 
x 0 
x o 
olur. Sağdan ve soldan limitler vardır fakat
eşit değildir. Bu durumda bu verilen noktada
fonksiyonun limiti yoktur denir.