Transcript Dvimaciai_a_d

Dvimačiai atsitiktiniai dydžiai
Kai atsitiktinius dydžius X ir Y tiriame drauge, iš jų
sudarome porą (X, Y). Poros (X, Y) vadinamos dvimačiais
atsitiktiniais dydžiais. Diskrečiųjų dvimačių atsitiktinių
dydžių skirstinys yra matrica
Sumuodami tikimybes, surašytas lentelės eilutėse ir
stulpeliuose gauname atsitiktinių dydžių X ir Y
vienmačius skirstinius.
Turėdami vienmačius skirstinius, galime rasti MX, MY,
DX, DY. Plokštumos taškas (MX, MY) apie kurį
grupuojasi atsitiktinio dydžio reikšmės vadinamas (X, Y)
vidurkiu.
Dydžių X ir Y nuokrypių nuo vidurkių sandaugos
vidurkį vadiname kovariacija ir žymime
cov X , Y   M  X  MX Y  MY 
Kovariacijai būdingos tokios savybės:
1. cov X , Y   covY , X 
2. cov X , X   DX
3. cov X , Y   MXY  MX  MY
cov X , Y   M  X  MX Y  MY   M ( XY  X  MY 
 Y  MX  MX  MY )  MXY  MX  MY  MY  MX 
 MX  MY  MXY  MX  MY
cov X , Y    xi y j pij  MX  MY
i
j
4. Jei X ir Y nepriklausomi, tai jie yra ir nekoreliuoti, bet
ne atvirkščiai
cov X , Y   MXY  MX  MY  MX  MY  MX  MY  0
Pvz. Duotas dvimatis atsitiktinis dydis:
Apskaičiuosime cov X , Y   MXY  MX  MY
MXY  0  0,2  (1)  0  0  0,2  0  0,2 1  1 0  (1) 
 1 0,4  0  1 0 1  0;
MX  0,2  0,2  0 ; MY  0  0,4  0,4 ;
cov(X , Y )  0  0  0,4  0
Patikrinsime ar dydžiai X ir Y nepriklausomi, t.y. pij=piqj,
visiems i,j:
0,2  0,6  0,12  0,2
X ir Y priklausomi
5. DaX  bY   a 2 DX  b2 DY  2abcov X , Y 
Atsitiktinių dydžių X ir Y koreliacijos koeficientu 
vadiname kovariacijos ir standartų sandaugos santykį:
cov X , Y  MXY  MX  MY
 X ,Y  

 x  y
DX  DY
1    1
Jei atsitiktiniai dydžiai susieti tiesine priklausomybe ,
tai
 1
Jei koreliacijos koeficientas teigiamas, tai vienam iš
atsitiktinių dydžių didėjant kitas taip pat didėja , o jei
neigiamas, tai vienam didėjant kitas mažėja.
Pvz. Iš dėžės, kurioje yra 2 balti ir 2 juodi ir 1 raudonas
rutuliai, traukiami du rutuliai. Tarkime, X– ištrauktų baltų
rutulių skaičius, Y– ištrauktų juodų rutulių skaičius. Rasime
atsitiktinio vektoriaus (X,Y) skirstinį. Apskaičiuosime MX,
MY, DX, DY, cov(X,Y), ρ(X,Y).
Sąlyginės tikimybės formulės:


P X  xi Y  y j  
P Y  y j 
P X  xi ; Y  y j


P Y  y j X  xi 
pij
pi
Diskrečiojo atsitiktinio dydžio X sąlyginiu vidurkiu,
kai Y=yj, vadinamas dydis



M X Y  y j   xi P X  xi Y  y j

i
Analogiškai apibrėžiamas atsitiktinio dydžio y
sąlyginis vidurkis

M Y X  xi    y j P Y  y j X  xi
j

Aibė plokštumos xOy taškų su koordinatėmis
M X Y  y ; y 
j
j
vadinama atsitiktinio dydžio X regresijos kreivė dydžio
Y atžvilgiu, o aibė taškų su koordinatėmis
x ; M Y X  x 
i
i
vadinama atsitiktinio dydžio Y regresijos kreive X
atžvilgiu.
Kai X ir Y nepriklausomi, regresijos kreivės yra
tiesės lygiagrečios koordinačių ašims
Pvz. Duotas dvimačio vektoriaus (X,Y) skirstinys:
Apskaičiuosime: