Transcript A Modelagem Matemática na Engenharia

Ensino Superior
Modelagem Matemática
1.5 – Na Engenharia
Amintas Paiva Afonso
Sumário
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Introdução
Modelagem Matemática
Para que serve um modelo matemático?
Técnicas de Modelagem
Aplicação da Modelagem Matemática na
Engenharia
 Vantagens da Modelagem Matemática
 Considerações Finais
1. Introdução
 Representar, através de modelos matemáticos,
sistemas e fenômenos observados sempre foi um
desafio.
 Desde a antigüidade, o homem tem procurado
descrever matematicamente sistemas reais para
ajudá-lo a entendê-los e, assim, resolver problemas
relacionados a eles.
2. Modelagem Matemática
 Quando se procura refletir sobre uma
porção da realidade, na tentativa de
explicar, de entender. O processo usual é
selecionar, no sistema, argumentos ou
parâmetros essenciais e formalizá-los
através de um sistema artificial:
o modelo.
Objetivos
 Preparar os alunos para trabalhar profissionalmente
com a Modelagem;
 Motivar os alunos mostrando para eles as
aplicabilidades das idéias matemáticas no mundo
real;
 fornecer oportunidades para que os estudantes a
integrem com outras áreas do currículo.
Habilidades do Engenheiro
 Muitas das habilidades são requeridas para o
engenheiro, tais como:
• Raciocinar;
• Analisar e argumentar com clareza;
• Demonstrar idéias;
• Lidar com informação e tecnologia.
Todas podem ser favorecidas pelo desenvolvimento
de atividades com a Modelagem Matemática.
Essas habilidades requerem
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Interação;
Colaboração;
Cooperação;
Participação ativa;
Envolvimento em atividades de estudo;
Socialização de idéias;
Capacidade de argumentação e síntese;
Capacidade de expressar idéias próprias;
Disposição para rever resultados obtidos.
O que é um modelo
matemático?
“É uma representação dos aspectos essenciais de
um sistema em uma forma utilizável.”
(EYKHOFF, 1974)
“É um sistema de equações cuja solução, dado um
conjunto de dados de entrada, é representativa da
resposta do processo.”
(DENN, 1986)
O que é um modelo
matemático?
“Um modelo nada mas é do que uma abstração
matemática de processo real.”
(SEBORG et al., 1989)
Sintetizando: um modelo matemático, é um análogo
matemático que representa algumas características
observadas em um sistema real.
3. Para que serve um
modelo matemático?
 Esta pergunta deve ser respondida no
contexto de cada problema de modelagem.
• Por exemplo:
• explicar fenômenos;
• monitoramento;
• controle;
• simulação;
• etc.
Sistemas
Componentes do sistema
 O limite do sistema define o sistema de qualquer outro
(o ambiente).
 As unidades básicas do sistema são os elementos do
sistema.
 Podem existir os subsistemas.
 A forma na qual os elementos do sistema estão
organizados ou arranjados é chamado configuração.
Classificação de
sistemas
Simples x Complexo
 Um sistema simples é o que possui poucos
elementos ou componentes, e a relação ou
interação entre os elementos é descomplicada e
direta.
 Um sistema complexo tem muitos elementos que
são altamente relacionados.
Aberto x Fechado
 Um sistema aberto interage com seu ambiente.
Em outras palavras, há um fluxo de entradas e
saídas por todos os limites do sistema.
 Um sistema fechado é o oposto de um aberto.
Não há qualquer interação com o ambiente em um
sistema fechado.
Estável x Dinâmico
 Um sistema estável é aquele em que as
mudanças no ambiente resultam em pouca ou
nenhuma mudança no sistema.
 Um sistema dinâmico é o que sofre mudanças
rápidas e constantes devido às mudanças no
seu ambiente.
Adaptável x Não
Adaptável
 Um sistema adaptável é o que responde ao
ambiente mutável.
 Um sistema não-adaptável é o que não muda
com um ambiente mutável.
Permanente x Temporário
 Um sistema permanente é o que existe ou
existirá por um longo período de tempo.
 Um sistema temporário é o que não existirá
por um longo período de tempo. Em alguns
casos, os sistemas temporários existem por
menos de um mês.
4. Técnicas de Modelagem
 Há várias formas e técnicas de modelagem.
 Uma das possíveis classificações agrupa os
métodos em três grupos:
• Modelagem Caixa Branca;
• Modelagem Caixa Preta;
• Modelagem Caixa Cinza.
Modelagem Caixa Branca
(Teórico ou Analítico)
 É necessário conhecer a fundo o sistema a
ser modelado. Além de estar bem
familiarizado com o sistema, para esse tipo
de modelagem é necessário conhecer as
relações matemáticas que descrevem os
fenômenos envolvidos.
Modelagem Caixa Branca
(Teórico ou Analítico)
 Para poder empregar um modelo teórico há
necessidade de se conhecer certos parâmetros do
processo. São desenvolvidos usando os princípios
da Física e da Química.
Há três estágios para gerar analiticamente um
modelo matemático e simulá-lo (Cannon, 1967)
1) Modelamento Físico
2) Equações de Movimento
3) Comportamento Dinâmico
Modelagem Caixa Branca
(Teórico ou Analítico)
1) Modelamento físico
• Um modelo físico significa um sistema físico
imaginário que se assemelha ao sistema real
em suas características mais marcantes, mas é
mais simples (uma idealização) e, portanto, é
propício ao estudo.
Modelagem Caixa Branca
(Teórico ou Analítico)
2) Equações de Movimento
Pontos importantes:
• Variáveis Físicas: descrevem o estado instantâneo
de um sistema.
• Relações de Equilíbrio: descrevem o balanço de
forças, de energia do sistema.
• Leis Físicas: leis que regem o movimento dos
elementos do sistema.
Modelagem Caixa Branca
(Teórico ou Analítico)
3) Comportamento Dinâmico
• A análise do comportamento dinâmico do
sistema implica em verificar como as variáveis
de interesse respondem no tempo. Esta análise
é feita através das soluções das equações
diferenciais de movimento que o descrevem.
Modelagem Caixa Preta
 É uma área de modelagem matemática que
estuda técnicas alternativas à modelagem
caixa branca.
 Uma das características dessas técnicas é
que pouco ou nenhum conhecimento prévio
do sistema é necessário.
Acessível x Inacessível
 O conceito de caixa preta se refere a um
sistema cujo interior não pode ser
desvendado, cujos elementos internos
são desconhecidos e que só pode ser
conhecido por fora.
Acessível x Inacessível
 Este conceito é utilizado em duas circunstâncias:
• Quando o sistema é impenetrável ou inacessível
(cérebro humano, corpo humano)
• Quando o sistema é excessivamente complexo, de
difícil explicação ou detalhamento (economia nacional)
• Selecione arbitrariamente uma cidade inicial
• Para selecionar a próxima cidade, examine todas as
cidades que ainda não foram visitadas e selecione a que
estiver mais perto da cidade atual. Vá para lá a seguir.
• Repita a etapa 2 até todas as cidades terem sido
visitadas.
Modelagem Caixa Preta
ou Identificação de Sistemas
(Empírico ou Heurístico)
 Suponha que estejam disponíveis os sinais de
entrada, u(k), e de saída, y(k), de um sistema real
qualquer.
 A identificação de sistemas se propõe a obter um
modelo matemático que explique, pelo menos em
parte e de forma aproximada, a relação de causa
e efeito presente nos dados.
Modelagem Caixa Cinza
 Nesta metodologia são utilizadas um
conjunto de técnicas que caracterizam-se
por usar informações auxiliares, que não se
encontra no conjunto de dados utilizados
na modelagem caixa preta.
Modelagem Caixa Cinza
Principais etapas de um
problema de identificação
1. Testes dinâmicos e coleta de dados.
2. Escolha da representação matemática a ser usada.
3. Determinação da estrutura do modelo.
4. Estimação de parâmetros.
5. Validação do modelo.
Testes dinâmicos e coleta
de dados
 Uma vez que a identificação se propõe a obter modelos a
partir de dados, é necessário gerar tais dados.
 Portanto, são efetuados testes de forma a extrair
informações dinâmicas do sistema.
 Problemas importantes relacionados a esta etapa são a
escolha dos sinais de excitação, a execução do teste e a
escolha do tempo de amostragem.
 Para representar matematicamente o modelo de um
sistema real, se faz necessário a escolha, dentre tantas
possibilidades, aquela que melhor representa o sistema.
Escolha da representação
matemática a ser usada
 Os modelos podem ser:
i) lineares ou não-lineares;
ii) variantes ou invariantes no tempo;
iii) estáticos ou dinâmicos;
iv) contínuos ou discretos;
v) monovariáveis ou multivariáveis;
vi) determinísticos ou estocásticos;
vii) paramétricos ou não-paramétricos.
Determinação da
estrutura do modelo
 Um dos aspectos mais importantes na
determinação da estrutura de modelos é a escolha
da ordem do modelo.
 A escolha da ordem errada para um modelo pode,
por um lado, não representar a sua complexidade
estrutural e, por outro lado, pode torná-lo mal
condicionado.
 Assim a correta escolha da ordem do modelo é de
fundamental importância para uma boa estimação
de parâmetros.
Estimação de parâmetros
 Após a coleta dos dados de entrada u(k) e de saída y(k) do
sistema, escolhido o modelo e determinada a ordem desse
modelo, chega-se ao momento de estimar os parâmetros
do modelo matemático escolhido.
 Há vários métodos de estimação de parâmetros, sendo
alguns determinísticos e outros estocásticos.
 Podem-se citar:
• métodos dos mínimos quadrados;
• máxima verossimilhança;
• filtro de Kalman;
• etc.
Validação do modelo
 Tendo obtido uma família de modelos, é
necessário verificar se eles incorporam ou não as
características de interesse do sistema original.
 Além disso, é interessante poder comparar os
modelos entre si e decidir se há algum candidato
significativamente melhor que os demais.
5. Aplicação da Modelagem
Matemática na Engenharia
Dinâmica é o estudo de como certas grandezas variam no
tempo e das causas que induzem essas variações.
O objetivo de se estudar a dinâmica de sistemas é
compreender e predizer o comportamento dinâmico de um
certo sistema e, algumas vezes, melhorá-lo.
Este estudo invariavelmente é feito utilizando-se modelos
matemáticos.
6. Vantagens da
Modelagem Matemática
 Exige-se menos recursos e tempo do que era necessário
para a investigação experimental;
 Pode-se pesquisar sistemas e objetos com os quais seria
impossível realizar investigações experimentais (como, por
exemplo, objetos astronômicos e sistemas sociais);
 É possível pesquisar o comportamento dos objetos em
regimes anormais de funcionamento ou em regimes
extremos;
 É possível receber informação mais detalhada nas
investigações
experimentais
se
elas
forem
complementadas por modelos matemáticos.
7. Considerações Finais
 Nos últimos anos, a modelagem matemática
passou a ser aplicada também em áreas como
biologia, economia, medicina, indústria.
 O uso de computadores e o desenvolvimento dos
métodos de cálculo vieram a favorecer ainda mais
esta tendência, pois surgiu a possibilidade de
utilizar modelos antes inviáveis.